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2015年高考北京市文科数学真题含答案解析(超完美版)


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2015 年高考北京市文科数学真题
一、选择题 1.若集合 ? ? x ?5 ? x ? 2 , ? ? x ?3 ? x ? 3 ,则 ? ? ? ? ( A. x ? 3 ? x ? 2 C. x ? 3 ? x ? 3

?

?

?

/>?



?

?

B. x ? 5 ? x ? 2 D. x ? 5 ? x ? 3 )
2 2

?

?

?

?

?

?

2.圆心为 ?1,1? 且过原点的圆的方程是( A. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

B. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 D. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

C. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

3.下列函数中为偶函数的是( A. y ? x2 sin x C. y ? ln x



B. y ? x2 cos x D. y ? 2
?x

4.某校老年,中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体情况,在抽取的样本中, 青年教师有 320 人,则该样本的老年人数为( ) 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 人数

900
1800

1600
4300

A. 90 B. 100 C. 180 D. 300 5.执行如果所示的程序框图,输出的 k 值为( )

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A. 3

B. 4 C. 5 D. 6 ? ? ? ? ? ? ? ? 6.设 a , b 是非零向量,“ a ? b ? a b ”是“ a //b ”的(



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为(



A. 1

B. 2

C. 3

D. 2

8.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况。 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米)

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2015 年 5 月 1 日 2015 年 5 月 15 日

12

35000 35600

48

注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程。 在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为( ) A. 6 升 B. 8 升 C. 10 升 D. 12 升 二、填空题 9.复数 i(1 ? i) 的实部为__________________ 10. 2 , 3 2 , log2 5 三个数中最大数的是______________________ 11.在 ??? C 中, a ? 3 , b ? 12.已知 ? 2,0 ? 是双曲线 x ?
2
?3

1

6 , ?? ?

2? ,则 ?? ? ______________________ 3

y2 ? 1( b ? 0 )的一个焦点,则 b ? ____________ b2

13.如图, ??? C 及其内部的点组成的集合记为 D , ? ? x, y ? 为 D 中任意一点,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 _____________

14.高三年级 267 位学生参加期末考试, 某班 37 位学生的语文成绩, 数学成绩与总成绩在全年级中的排名情 况如下图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.

从这次考试成绩 ①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是____________;

www.yitiku.cn ②在语文和数学两个科目中,两同学的成绩名次更靠前的科目是______________

三、解答题
2 15.已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2 3 sin

x . 2

(Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ? x ? 在区间 ?0,

? 2? ? 上的最小值 ? 3 ? ?

16.已知等差数列{ (Ⅰ)求{

}满足

+

=10,

-

=2.

}的通项公式; }满足 , ;问: 与数列{ }的第几项相等?

(Ⅱ)设等比数列{

17.某超市随机选取 1000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成下统计表,其中 “√”表示购买,“×”表示未购买。 商 顾 客 品 人 数 √ × √ √ √ × × √ √ × × √ √ × √ √ × × √ √ × × × × 甲 乙 丙 丁

100
217 200

300
85 98

www.yitiku.cn (Ⅰ)估计顾客同时购买乙和丙的概率 (Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率 (Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大?

18.如图,在三棱锥 E-ABC 中,平面 EAB ⊥平面 ABC,三角形 EAB 为等边三角形,AC⊥ BC,且 AC=BC= ,O,M 分别为 AB,EA 的中点。

(Ⅰ)EB//平面 MOC. (Ⅱ)平面 MOC⊥平面 EAB (Ⅲ)求三棱锥 E-ABC 的体积。

19.设函数 f ? x ? ?

x2 ? k ln x , k ? 0 . 2

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间和极值; (Ⅱ)证明:若 f ? x ? 存在零点,则 f ? x ? 在区间 1, e ? 上仅有一个零点

?

?

20.已知椭圆 C : x ? 3 y ? 3 ,过点 D ?1,0 ? 且不过点 ? ? 2,1? 的直线与椭圆 C 交于 ? ,? 两点,直线 ?? 与
2 2

直线 x ? 3 交于点 ? . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若 ?? 垂直于 x 轴,求直线 ?? 的斜率; (Ⅲ)试判断直线 ?? 与直线 D ? 的位置关系,并说明理由.

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2015 年高考北京市文科数学真题
一、选择题 1.答案:A 解析过程: 在数轴上将集合 A 、 B 表示出来,如图所示,

由交集的定义可得, A ? B 为图中阴影部分, 即 x ?3 ? x ? 2 ,选 A 2.答案:D 解析过程: 由题意可得圆的半径为 r ?
2

?

?

2,
2

则圆的标准方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 .选 D 3.答案:B 解析过程: 根据偶函数的定义 f (? x) ? f ( x) , A 选项为奇函数, B 选项为偶函数,

C 选项定义域为 (0, ??) 不具有奇偶性, D 选项既不是奇函数,也不是偶函数,选 B. 4.答案:C 解析过程: 由题意得,总体中青年教师与老年教师比例为

1600 16 ? ; 900 9

设样本中老年教师的人数为 x , 由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等,

www.yitiku.cn 即

320 16 ? ,解得 x ? 180 .选 C x 9

5.答案:B 解析过程: 初值为 a ? 3 , k ? 0 ,进入循环体后, a ?

3 , k ? 1; 2

3 3 3 , k ? 2 ; a ? , k ? 3; a ? ,k ? 4; 4 8 16 1 此时 a ? ,退出循环,故 k ? 4 ,选 B 4 a?
6.答案:A 解析过程:

? ? ? ? ? ? a ? b ?| a | ? | b | cos ? a, b ? ,
由已知得 cos ? a, b ?? 1,即 ? a, b ?? 0 , a //b . 而当 a //b 时, ? a, b ? 还可能是 ? , 此时 a ? b ? ? | a || b | , 故“ a ? b ? a b ”是“ a //b ”的充分而不必要条件.选 A 7.答案:C 解析过程: 四棱锥的直观图如图所示:

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

由三视图可知, SC ? 平面 ABCD,SA 是四棱锥最长的棱,

SA ? SC 2 ? AC 2 ? SC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 3 ,选 C
8.答案:B 解析过程: 因为第一次邮箱加满, 所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量 V ? 48 升. 而这段时间内行驶的里程数 S ? 35600 ? 35000 ? 600 千米.

www.yitiku.cn 所以这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为 二、填空题 9.答案: ?1 解析过程: 复数 i(1 ? i) ? i ? 1 ? ?1 ? i ,其实部为 ?1 . 10.答案: log2 5 解析过程:
1 1 2 ? ? 1 , 32 ? 3 ? 1 , log2 5 ? log2 4 ? 2 ? 3 ,所以 log2 5 最大 8
?3

48 ? 100 ? 8 升,选 B. 600

11.答案:

? 4
3 6 a b ? ,即 , ? sin A sin B 3 sin B 2

解析过程: 由正弦定理,得

所以 sin B ? 12.答案: 3 解析过程:

? 2 ,所以 ?B ? . 4 2

2 2 2 由题意知 c ? 2, a ? 1 , b ? c ? a ? 3 ,所以 b ? 3 .

13.答案: 7 解析过程: 由题意得,目标函数 b ? 3 ? ?

2 z x? , 3 3

因此当 x ? 2 , y ? 1 ,即在点 A 处 z 取得最大值为 7 14.答案:乙、数学 解析过程: ①由图可知,甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后; 而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前,故填乙; ②由图可知,比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多; 而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少, 所以丙的数学成绩的排名更靠前,故填数学.

www.yitiku.cn 三、解答题 15.答案: (Ⅰ) 2? ; (Ⅱ) ? 3 . 解析过程: (Ⅰ)因为 f ? x ? ? sin x ? 3 cos x ? 3 ? 2sin( x ? 所以, f ? x ? 的最小正周期为 2?

?
3

)? 3

2? ? ? ,所以 ? x ? ? ? 3 3 3 ? 2? 当 x ? ? ? ,即 x ? 时, f ? x ? 取得最小值 3 3
(Ⅱ)因为 0 ? x ? 所以 f ? x ? 在区间 ?0,

2? ? 2? ? )?? 3 上的最小值为 f ( ? 3 ? 3 ?

16.答案: (Ⅰ) an ? 4 ? 2(n ?1) ? 2n ? 2 ; (Ⅱ) b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等. 解析过程: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d. 因为 a4 ? a3 ? 2 ,所以 d ? 2 . 又因为 a1 ? a2 ? 10 ,所以 2a1 ? d ? 10 ,故 a1 ? 4 . 所以 an ? 4 ? 2(n ?1) ? 2n ? 2

(n ? 1 , 2 ? , .)

(Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q . 因为 b2 ? a3 ? 8 , b3 ? a7 ? 16 , 所以 q ? 2 , b1 ? 4 . 所以 b6 ? 4 ? 26?1 ? 128 . 由 128 ? 2n ? 2 ,得 n ? 63 . 所以 b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等. 17.答案: (Ⅰ) 0.2 ; (Ⅱ) 0.3 ; (Ⅲ)同时购买丙的可能性最大. 解析过程: (Ⅰ)从统计表可以看出,在这 1000 位顾客中,

www.yitiku.cn 有 200 位顾客同时购买了乙和丙, 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为

200 ? 0.2 1000

(Ⅱ)从统计表可以看出,在在这 1000 位顾客中, 有 200 位顾客同时购买了甲、丙、丁, 另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙, 其他顾客最多购买了 2 种商品. 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率 可以估计为

100 ? 200 ? 0.3 1000

(Ⅲ)与(Ⅰ)同理,可得:

200 ? 0.2 , 1000 100 ? 200 ? 300 ? 0.6 , 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 1000 100 ? 0.1 , 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 1000
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大. 18.答案: (Ⅰ)证明详见解析; (Ⅱ)证明详见解析; (Ⅲ) 解析过程: (Ⅰ)因为 O, M 分别为 AB,VA 的中点, 所以 OM / /VB . 又因为 VB ? 平面 MOC, 所以 VB / / 平面 MOC. (Ⅱ)因为 AC ? BC , O 为 AB 的中点, 所以 OC ? AB . 又因为平面 VAB ? 平面 ABC,且 OC ? 平面 ABC, 所以 OC ? 平面 VAB. 所以平面 MOC ? 平面 VAB. (Ⅲ)在等腰直角三角形 ACB 中, AC ? BC ? 2 ,

3 . 3

www.yitiku.cn 所以 AB ? 2, OC ? 1 . 所以等边三角形 VAB 的面积 S?VAB ? 3 . 又因为 OC ? 平面 VAB, 所以三棱锥 C-VAB 的体积等于 ? OC ? S?VAB ?

1 3

3 . 3

又因为三棱锥 V-ABC 的体积与三棱锥 C-VAB 的体积相等, 所以三棱锥 V-ABC 的体积为

3 . 3
k (1 ? ln k ) ; 2

19.答案: (Ⅰ)单调递减区间是 (0, k ) ,单调递增区间是 ( k , ??) ;极小值 f ( k ) ? (Ⅱ)证明详见解析. 解析过程: (Ⅰ)由 f ? x ? ?

x2 ? k ln x , k ? 0 得 2

f ?? x? ? x ?

k x2 ? k ? ,由 f ? ? x ? ? 0 解得 x ? k x x

f ? x ? 与 f ? ? x ? 在区间 ? 0, ??? 上的情况如下:

所以, f ( x ) 的单调递减区间是 (0, k ) ,单调递增区间是 ( k , ??) ;

f ( x) 在 x ? k 处取得极小值 f ( k ) ?

k (1 ? ln k ) . 2 k (1 ? ln k ) . 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) 在区间 (0, ??) 上的最小值为 f ( k ) ? 因为 f ( x ) 存在零点,所以

k (1 ? ln k ) ? 0 ,从而 k ? e . 2

当 k ? e 时, f ( x ) 在区间 (1, e ) 上单调递减,且 f ( e ) ? 0 ,

www.yitiku.cn 所以 x ?

e 是 f ( x) 在区间 (1, e ] 上的唯一零点.
1 e?k ? 0 , f ( e) ? ?0, 2 2

当 k ? e 时, f ( x ) 在区间 (0, e ) 上单调递减,且 f (1) ? 所以 f ( x ) 在区间 (1, e ] 上仅有一个零点.

综上可知,若 f ( x ) 存在零点,则 f ( x ) 在区间 (1, e ] 上仅有一个零点.

20. 答案: (Ⅰ) 解析过程:

6 ; (Ⅱ) 1 ; (Ⅲ)直线 BM 与直线 DE 平行. 3

(Ⅰ)椭圆 C 的标准方程为 所以 a ? 3 , b ? 1 , c ? 所以椭圆 C 的离心率 e ?

x2 ? y 2 ? 1. 3

2.

c 6 . ? a 3

(Ⅱ)因为 AB 过点 D(1, 0) 且垂直于 x 轴,所以可设 A(1, y1 ) , B(1, ? y1 ) . 直线 AE 的方程为 y ?1 ? (1 ? y1 )( x ? 2) . 令 x ? 3 ,得 M (3, 2 ? y1 ) . 所以直线 BM 的斜率 k BM ?

2 ? y1 ? y1 ?1. 3 ?1

(Ⅲ)直线 BM 与直线 DE 平行.证明如下: 当直线 AB 的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知 kBM ? 1 . 又因为直线 DE 的斜率 k DE ?

1? 0 ? 1 ,所以 BM / / DE . 2 ?1

当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 1) . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则直线 AE 的方程为 y ? 1 ?

y1 ? 1 ( x ? 2) . x1 ? 2

令 x ? 3 ,得点 M (3,

y1 ? x1 ? 3 ). x1 ? 2

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由?

? x2 ? 3 y 2 ? 3 ? y ? k ( x ? 1)

,得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 3 ? 0 .

所以 x1 ? x2 ?

6k 2 3k 2 ? 3 x x ? , . 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

直线 BM 的斜率 k BM

y1 ? x1 ? 3 ? y2 x1 ? 2 ? 3 ? x2

因为 kBM ? 1 ?

k ( x1 ? 1) ? x1 ? 3 ? k ( x1 ? 1)( x1 ? 2) ? (3 ? x2 )( x1 ? 2) (3 ? x2 )( x1 ? 2)
(k ? 1)[ ?3k 2 ? 3 12k 2 ? ? 3] 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 ? 0, (3 ? x2 )( x1 ? 2)

?

(k ? 1)[? x1x2 ? 2( x1 ? x1 ) ? 3] ? (3 ? x2 )( x1 ? 2)

所以, kBM ? 1 ? kDE ,所以 BM / / DE 综上可知,直线 BM 与直线 DE 平行


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