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专题一 函数 第一章函数的概念及其表示


专题一 函数
第一章 函数的概念及其表示
第一节 函数与映射的概念 1. 映射与函数的概念 映射:设 A, B 是两个非空的集合,如果按照某一个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个元素 x ,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与对应,那么就称 f : A ? B 为 从集合 A 到集合 B 的一个映射,记为 f : A ? B 。 函数:设

A, B 是两个非空的数集,如果按照某一个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的 任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 与对应,那么就称 f : A ? B 为从集合

A 到集合 B 的一个函数,记为 y ? f ( x), x ? A, y ? B 。
2. 函数的定义域、值域 在函数 y ? f ( x) , x ? A 中, x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的取值集合 { f ( x) | x ? A} 叫做函数的值域。 3. 函数的构成要素 函数构成的三要素:定义域、值域、对应关系。 习题: 1. 已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} ,B ? { y | 0 ? y ? 1} , 则下列给出的对应中不能构成 A ? B 的映射的是( )

1 A. f : x ? y ? x 2
C. f : x ? y ? ?x ? 2?
2

2

1 x 3 1 2 D. f : x ? y ? x 4
B. f : x ? y ? )

2. 设 f : x ? x 是集合 A 到集合 B 的映射,如果 B ? {1,2} ,则 A ? B 等于( A. {1} B. ? C. ? 或 {1} )

D. ? 或 {2}

3. 下列各组函数中, f ( x) 与 g ( x) 表示同一函数的是( A. f ( x) ?

? x ? , g ( x) ?
2

x2

B. f ( x) ?| x | , g ( x) ?

x2
x2 ?1 x ?1

C. f ( x) ? x , g ( x) ?

x2 x

D. f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ?

4. 下列函数中不能满足 f (2 x) ? 2 f ( x) 的是( A. f ( x) ?| x | B. f ( x) ? x? | x |

) D. f ( x) ? ? x )

C. f ( x) ? x ? 1

5. 若集合 A ? {1,2,3} , B ? {a, b} ,则以 A 为定义域、 B 为值域的函数有( A. 2 个 B. 3 个 C. 6 个 ) D. 8 个

6. 对函数 f ( x ? 1) 与函数 f ( x ? 1) 下列描述正确的是(

A. 是同一个函数 B. 定义域相同 C. 图像重合 D. 值域相同 7. 若一系列函数的解析式相同、值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数” , 那么函数解析式为 y ? 2 x 2 ? 1 ,值域为 {1,7} 的“孪生函数”共有( A. 10 个 B. 9 个 C. 8 个 ) D. 4 个

8. 若 ( x, y ) 在映射 f 下的象是 ( x ? y, x ? y) , 则 (1,2) 在 f 下的象是__________;(1,2) 在 f 下的原象是__________. 第二节 函数的定义域 求函数的定义域往往归结于解不等式组的问题,求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不得为零; (2)偶次方根的被开方数大于等于零; (3)对数函数的真数必须大于零; (4)指数函数和对数函数的底数必须大于等于零且不等于 1 ; (5)零次方根的底数不能为零。 例 1:初等函数定义域 1. 函数 y ?

x( x ?1) ? x 的定义域为(
B. {x | x ? 1}

) C. {x | x ? 1} ? {0} D. {x | 0 ? x ? 1}

A. {x | x ? 4} 2. 函数 f ( x) ?

| x ? 2 | ?1 的定义域为__________. log2 ?x ? 1?

例 2:复合函数定义域 1. 若函数 f ( x) 的定义域是 [0,1] ,则函数 f ( x ? 1) 的定义域是( A. [ ?1,1] B. [0,2] C. [?2,0] ) D. [0,1]

2. 若函数 f ( x ? 1) 的定义域是 [ ?1,1] ,则函数 g ( x ) ? A. [0,1] B. [0,1)

f (2 x) 的定义域是( x ?1
D. (0,1)



C. [0,1) ? (1,4]

习题: 1. 函数 y ? A. {x | x ? 4} C. {x | x ? 2 或 x ? 3} 2. 函数 y ?

x ?1 ? x ? 5x ? 6
2

的定义域是(



B. {x | 2 ? x ? 3} D. {x | x ? R, x ? 2, x ? 3}

( x ? 1)0 的定义域是( | x | ?x

) B. {x | x ? 0} D. {x | x ? 0 且 x ? ?1, x ? R} )

A. {x | x ? 0} C. {x | x ? 0 且 x ? ?1 } 3. 若函数 y ? A. (4,??) 4. 若函数 y ? A. (0, ) C. (?? ,0] ? [ ,?? )

x 2 ? 4 x ? a 的定义域为 R ,则实数 a 的取值范围为(
B. [4,??) C. (?4,??)

D. [?4,??) )

mx ? 1 的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是( mx ? 4mx ? 3
2

3 4

B. (??,0) ? (0,??)

3 4

D. [ 0, ) )

3 4

5. 若函数 f ( x) 的定义域是 [?3,1] ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的定义域为( A. [?3,3] 6. 若函数 f ( x ) ? B. [ ?1,1] C. [?3,1] D. [?1,3]

1? x ,则 y ? f [ f ( x)] 的定义域为__________. 1? x 5 7 4 4

2 7. 已知函数 f (3 ? 2 x) 的定义域为 [ , ] ,则函数 f ? x ? x ?

? ?

1? ? 的定义域为__________. 2?

8. 设 f ( x) 在 [0,1] 上有定义,要使函数 f ( x ? a) ? f ( x ? a) 有定义,则 a 的取值范围为 __________. 第三节 函数的表示方法 1. 函数的常用表示方法有:解析法、列表法、图像法。 2. 分段函数:若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子 来表示,这种函数称为分段函数,分段函数虽然由几部分组成,但它表示同一个函数。 3.确定函数解析式的方法:配凑法、待定系数法、换元法、消元法(方程组法) 。

例 1: f ( x ) ? ? A. 1 B. 2

? ?2 x , x ? 0 ,则 f (?2) ? ( ? x( x ? 1) , x ? 0 ?
C. 3 D. 4



例 2:已知 f ( x) 是一次函数, 2 f (2) ? 3 f (1) ? 5 , f (0) ? f (?1) ? 1 ,则 f ( x) ? ( A. 3 x ? 2 B. 3 x ? 2 C. 2 x ? 3 D. 2 x ? 3



例 3:设 f ( x) ? 2 x ? 3 , g ( x ? 2) ? f ( x) ,则 g ( x) ? __________. 例 4:已知函数 f ( x) 满足 f ( x ) ? 2 f ( ) ? x ,则 f ( x) ? __________.

1 x

练习: 1. 已知函数 f ( x) ? ? A. [ ?1,1]

? ?x ? 2 , x ? 0 2 ,则不等式 f ( x) ? x 的解集为( ? ?? x ? 2 , x ? 0
C. [?2,1] D. [?1,2]



B. [?2,2]

2. 已知函数 f ( x ? ) ? x ?
2

1 x

1 ,则 f (3) ? __________. x2

3. 已知函数 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,则 f ( x) ? __________. 4. 已知 f ( x) 是二次函数,且 f (0) ? 2 , f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 ,则 f ( x) ? __________. 5. 已知函数 f ( ? 1) ? lg x ,则 f ( x) ? __________. 6. 已知定义在 (?1,1) 的函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? lg( x ? 1) ,则 f ( x) ? __________. 7. 已知函数 f ( x) ? ?
2 ? ?x ? 1 , x ? 0 ,则满足 f (1 ? x 2 ) ? f (2 x) 的 x 取值范围是__________. ? ?1 , x ? 0

2 x

8. 已知函数 f ( x ) ? ?

?1 , x ? [0,1] ? ,且 f [ f ( x)] ? 1 ,则 x 取值范围为__________. ? x ? 3 , x ? [0,1] ?

第四节 函数的值域(最值) 求函数值域的方法常用的有:直接法、函数单调性法、换元法、配方法、分离常数法、判别 式法、图像法、数形结合法、基本不等式法、导数法等。 例 1:当 x ? [0,5] 时,函数 f ( x) ? 3x ? 4 x ? c 的值域(
2

) D. [c,20 ? c]

A. [c,55 ? c]

B. [ ?

4 ? c, c ] 3

C. [?

4 ? c,55 ? c] 3

例 2:已知 x ? [0,1] ,则函数 y ?

x ? 2 ? 1 ? x 的值域是__________.

例 3:函数 f ( x) ? 2x ? x ?1 的值域为__________.

x ?1 , x ?[1,3] ,则函数的最大值为__________;最小值为__________. x ?1 x ?1 例 5:函数 y ? 2 的最大值为__________. x ?8
例 4:函数 f ( x ) ? 例 6:函数 y ?| 1 ? x | ? | x ? 3 | 的值域为__________.

练习: 1. 函数 y ?

? x 2 ? x ? 2 的最大值为__________,最小值为__________. x 2 ? 1 的定义域为__________,值域为__________.
1 2

2. 函数 y ? 1 ? x 2 ?

3. 若函数 y ? f ( x) 的值域是 [ ,3] ,则函数 F ( x) ? f ( x) ?

1 的值域是( f ( x)
D. [3,



A. [ ,3]

1 2

B. [ 2,

10 ] 3


C. [ ,

5 10 ] 2 3

10 ] 3

4. 函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的最值为( A. ymin ? ?

5 5 5 , y max ? B. 无最小值, y max ? 4 4 4 5 C. ymin ? ? ,无最大值 D. 既无最大值也无最小值 4 3 ? 2x 5. 函数 y ? , x ? [3,5] 的最大值为__________,最小值为__________. x?2
6. 函数 y ?| 2 x ? 1 | ? | 1 ? x | 的值域为__________.

5 ? 4x ? x2 7. 函数 f ( x) ? 在 (??,2) 上的最小值是__________. 2? x
8. (1)求二次函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2 在 [2,4] 上的值域;
2

(2)求二次函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3 在 [t , t ? 2] 上的值域.
2


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