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2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷数学(理科)


2015 年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷

数学(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分, 满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作 答,超出答题区域书写的答案无效

.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号; 非选择题答案使用 O.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1,x2, …,xn 的标准差 锥体体积公式

s=

1 ?( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? n?

V= Sh
其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式
S ? 4?R2 , V ?
4 3 ?R 3

1 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

V=Sh
其中 S 为底面面积,h 为高 第Ⅰ卷(选择题

其中 R 为球的半径 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.把答案填涂在答题卡相应位置. 1.下列函数中,为奇函数的是( ) 2 A.y=x+1 B.y=x C.y=2x D.y=x|x| 2.已知 a ? R ,复数 z ? (a ? 2i)(1 ? i) (i 为虚数单位)在复平面内对应的点为 M,则“ a ? 0 ”是“点 M 在第四象限”的( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 3.若 a>0,b>0,a+b=1,则 y ? A.2 4.函数 y ? sin( 2 x ? π A.x=- 2 B.3

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 ? 的最小值是( a b
C.4

) D.5 ) π D.x= 4

?
2

) 图象的一条对称轴方程为(
B. x ? ?

?
4

π C.x= 8

5.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是
理科试题 1

半径为 1 的半圆,则其侧视图的面积是( A.

) C.1 D. 3

1 2

B.

3 2

6.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的 S 的值等于 126,则判断框中 的①可以是( ) A.i>4? B.i>5? C.i>6? D.i>7? 7.若直线 y=kx-k 交抛物线 y 2 ? 4 x 于 A,B 两点,且线段 AB 中点到 y 轴的距离为 3, 则 AB =( )

A.12 B.10 C.8 D.6 8.学校将 5 个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年段的 4 个班级,其中甲班级至少分 配 2 个名额,其它班级可以不分配名额或分配多个名额,则不同的分配方案共有( ) A.20 种 B.24 种 C.26 种 D.30 种 9.常用以下方法求函数 y ? [ f ( x)]
g ( x)

的导数:先两边同取以 e 为底的对数(e≈2.71828…,为自然对数

的 底 数 ) 得 ln y ? g ( x) ln f ( x) , 再 两 边 同 时 求 导 , 得

1 ' ? y ? g '( x) l n f (x ? ) g (x ?) [ l nf x (, )] ' 即 y

y ' ? [ f ( x)]g ( x){g '( x)ln f ( x) ? g ( x) ?[ln f ( x)]'} .运用此方法可以求函数 h( x) ? x x (x>0)的导函数.据此
可以判断下列各函数值中最小的是 ( A. h ( ) ) C. h ( )

1 3

B. h ( )

1 e

1 2

D. h ( )

2 e

* 10.如图, ?ABC 所在平面上的点 P n AB 与 ?P n AC 的面积比 n (n ? N ) 均满足 ?P

为 3;1, Pn A ? 则 x5 等于( A.65

xn ?1 Pn B ? (2 xn ? 1) PnC (其中, ?xn ? 是首项为 1 的正项数列) , 3
) B.63 C.33 D.31

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填写在答题卡的相应位置. 11.集合 A ? x ? 1 ? x ? 3 , B ? x x ? 1 ,则 A ? B ? ________. 12.某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元)的统计资料如下表:

?

?

?

?

x
y

6 2
^

8 3

10 5
^

12 6

根据上表数据可得 y 与 x 之间的线性回归方程 y ? 0.7 x ? a ,据此模型估计,该机器使用年限为 14 年时 的维修费用约为 万元.

理科试题 2

?0 ? x ? 1, ? 13.向区域 ?0 ? y ? 1, 内随机投点,则该点与坐标原点连线的斜率大于 1 的概率为 ? y ? x2 ?
14. 已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1和双曲线 C :



x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) .若对双曲 a 2 b2

线 C 上任意一点 A (点 A 在圆 O 外) , 均存在与圆 O 外切且顶点都在双曲 线 C 上的菱形 ABCD,则

1 1 ? 2 ? ___________. 2 a b

15 . 定 义 : ? x? ? x ? R? 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 . 例 如 ? 1.5? ? 1 ,

??0.5? ? ?1.给出下列结论:
①函数 y ? ?sin x? 是奇函数; ②函数 y ? ?sin x? 是周期为 2? 的周期函数; ③函数 y ? ?sin x? ? cos x 不存在零点; ④函数 y ? ?sin x? ? ?cos x? 的值域是 ?? 2,?1,0,1?. 其中正确的是_____________. (填上所有正确命题的编号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 把答案填在答题 卡相应位置. 16.本小题满分 13 分 已知数列{an}的首项为 1,前 n 项和 Sn 满足 Sn ? (Ⅰ)求 Sn 与数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

Sn?1 ? 1(n ? 2) .
? bn ? 12 成立的最小正整数 n. 25

1 (n∈N*) ,求使不等式 b1 ? b2 ? an an ?1
3 sin ?x cos ?x ? cos 2 ?x ?

17.本小题满分 13 分 已知函数 f ( x) ?

1 (? ? 0) 经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图 2

象时,列表并填入的部分数据如下表:

x
f ( x)

① 0

2 ? 3
1 0

5 ? 3
-1 0

(Ⅰ)请直接写出①处应填的值,并求函数 f(x)在区间 ? ?

? ? ?? 上的值域; , ? 2 3? ?

(Ⅱ) ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 f ( A ? 的面积.
理科试题 3

?
3

) ? 1, b ? c ? 4 , a ? 7 ,求 ?ABC

18.本小题满分 13 分 甲、乙两位选手为为备战我市即将举办的“推广妈祖文化·印象莆田”知识竞赛活动,进行针对性训练, 近 8 次的训练成绩如下(单位:分) : 甲 83 81 93 79 78 84 88 94 乙 87 89 89 77 74 78 88 98 (I)依据上述数据,从平均水平和发挥的稳定程度考虑,你认为应派哪位选手参加?并说明理由; (II)本次竞赛设置 A、B 两问题,规定:问题 A 的得分不低于 80 分时答题成功,否则答题失败,答题成 功可获得价值 100 元的奖品,问题 B 的得分不低于 90 分时答题成功,否则答题失败,答题成功可获得价 值 300 元的奖品.答题顺序可自由选择,但答题失败则终止答题.选手答题问题 A,B 成功与否互不影响, 且以训练成绩作为样本,将样本频率视为概率,请问在(I)中被选中的选手应选择何种答题顺序,使获得 的奖品价值更高?并说明理由. 19.本小题满分 13 分 如图,边长为 2 的正方形 ABCD 绕 AB 边所在直线旋转一定的角度(小于

180? )到 ABEF 的位置.
(Ⅰ)求证:CE//平面 ADF; (Ⅱ)若 K 为线段 BE 上异于 B,E 的点,CE= 2 2 .设直线 AK 与平面 BDF 所成角为 ? ,当 30? ? ? ? 45? 时,求 BK 的取值范围. 20.本小题满分 13 分 如图,椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e = ,且椭圆 C 的首项为的短轴长为 2. 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P,M,N 椭圆 C 上的三个动点. (i)若直线 MN 过点 D(0, ?

1 ) ,且 P 点是椭圆 C 的上顶点,求 2

△PMN 面积的最大值; (ii)试探究:是否存在△PMN 是以 O 为中心的等边三角形,若存 在,请给出证明;若不存在,请说明理由. 21.本小题满分 14 分 已知函数 f(x)=lnx+

1 2 ax +b(a,b∈R) . 2

(Ⅰ)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线为 y=-1,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)求证:对任意给定的正数 m,总存在实数 a,使函数 f(x)在区间(m,+∞)上不单调; (Ⅲ)若点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) (x2>x1>0)是曲线 f(x)上的两点,试探究:当 a<0 时,是否存在实数 x0∈(x1,x2) ,使直线 AB 的斜率等于 f ?( x0 ) ?若存在,给予证明;若不存在,说明理由.

理科试题 4

2015 年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷

理科数学试题参考解答及评分标准

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.D 2.A 3.B 4.A 5.B 6.C 7.C 8.A 9.B 10.D 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. x ? 1 ? x ? 1

?

?

12.7.5 13.

3 4

14. 1

15.②③④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.本小题主要考查数列、不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分 13 分. 解: (Ⅰ)因为 Sn ?

Sn?1 ? 1(n ? 2) ,

所以 { Sn } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,………1 分 则 Sn =1+(n-1)1=n,……………2 分 从而 Sn=n2.…………………3 分 当 n=1 时,a1=S1=1, 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2 =2n-1. 因为 a1 ? 1 也符合上式, 所以 an=2n-1.…………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 所以 b1 ? b2 ?

1 1 1 1 ? ( ? ) ,……………8 分 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? bn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? ,……………10 分 2 2n ? 1 2n ? 1



n 12 ? ,解得 n>12.………………12 分 2n ? 1 25

所以使不等式成立的最小正整数为 13.……………13 分 17.本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识,考查运算求 解能力,考查化归与转化思想.满分 13 分. 解: (Ⅰ)①处应填入

? .………1 分 6

理科试题 5

f ( x) ?

3 1 ? cos 2? x 1 sin 2? x ? ? ………3 分 2 2 2

?

3 1 ? sin 2? x ? cos 2? x ? sin(2? x ? ) .………4 分 2 2 6
5? 2? 2? 1 ? ? ) ? 2? ,所以 ? 2? , ? ? ,即 f ( x) ? sin( x ? ) .………5 分 3 3 2? 6 2

因为 T= 2(

因为 x ? ? ?

2? ? ? ? 1 ? ? ?? ? x ? ? ,所以 ?1 ? sin( x ? ) ? , , ? ,所以 ? 3 6 6 6 2 ? 2 3?

从而得到 f ( x) 的值域为 ? ?1, ? .………7 分 2

? ?

1? ?

(Ⅱ)因为 f ( A ? 得 A?

?

?
6

?

?
2

? ? ? 7? ) ? sin( A ? ) ? 1 ,又 0 ? A ? ? , 所以 ? A ? ? , 3 6 6 6 6
?
3
.………9 分
2

,A?

2 2 2 由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) ? 2bc ? bc cos

?
3

? (b ? c)2 ? 3bc ,

即 ( 7)2 ? 42 ? 3bc ,所以 bc ? 3 .………11 分 所以 ?ABC 的面积 S ?

1 1 3 3 3 . ………13 分 bc sin A ? ? 3 ? ? 2 2 2 4

18.本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望 等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想、分类与整合思想.满 分 13 分.
2 2 解: (I)记甲、乙两位选手近 8 次的训练的平均成绩分别为 x甲 、 x乙 ,方差分别为 s甲 、 s乙 .

83 ? 81 ? 93 ? 79 ? 78 ? 84 ? 88 ? 94 ? 85 , 8 89 ? 98 ? 77 ? 74 ? 87 ? 78 ? 79 ? 88 x乙 ? ? 85 .?????? 8 x甲 ?

2分

1 65 2 , s甲 ? [(83 ? 85)2 ? (81 ? 85)2 ? (93 ? 85)2 ? (79 ? 85)2 ? (78 ? 85)2 ? (84 ? 85)2 ? (88 ? 85)2 ? (94 ? 85)2 ] ? 8 2 1 2 s乙 ? [(89 ? 85) 2 ? (98 ? 85)2 ? (77 ? 85)2 ? (74 ? 85) 2 ? (87 ? 85) 2 ? (78 ? 85)2 ? (89 ? 85)2 ? (88 ? 85)2 ] ? 56 . 8 ??????4 分
2 2 因为 x甲 ? x乙 , s甲 ,所以甲、乙两位选手的平均水平相当,但甲的发挥更稳定,故应派甲参加. ? s乙

??????5 分 (II)记事件 C 表示为“甲回答问题 A 成功” ,事件 D 表示为“甲回答问题 B 成功” ,则 P(C)= 且事件 C 与事件 D 相互独立. ??????6 分 记甲按 AB 顺序获得奖品价值为 ? ,则 ? 的可能取值为 0,100,400.
理科试题 6

3 1 , P(D)= , 4 4

P( ? =0)=P( C )=

1 3 3 9 3 1 3 ,P( ? =100)=P( CD )= ? ? ,P( ? =400)=P( CD )= ? ? . 4 4 4 16 4 4 16

即 ? 的分布列为:

?
P

0

100

400

9 3 16 16 1 9 3 525 ? 400 ? ? 所以甲按 AB 顺序获得奖品价值的数学期望 E? ? 0 ? ? 100 ? .??????9 分 4 16 16 4 记甲按 BA 顺序获得奖品价值为? ,则? 的可能取值为 0,300,400. 3 1 1 1 3 1 3 P( ? =0)=P( D )= ,P(? =300)=P( DC )= ? ? ,P(? =400)=P( DC )= ? ? , 4 4 4 16 4 4 16 即 ? 的分布列为:

1 4

?
P

0

300

400

1 3 16 16 3 1 3 375 ? 400 ? ? 所以甲按 BA 顺序获得奖品价值的数学期望 E? ? 0 ? ? 300 ? .??????12 分 4 16 16 4
因为 E? ? E? ,所以甲应选择 AB 的答题顺序,获得的奖品价值更高.??????13 分 19.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能 力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.满分 13 分. (Ⅰ)证明:正方形 ABCD 中,CD // BA,正方形 ABEF 中,EF // BA.????2 分

3 4

? EF // CD,? 四边形 EFDC 为平行四边形,? CE//DF.????3 分
又 DF ? 平面 ADF,CE ? 平面 ADF,? CE//平面 ADF. ????5 分 (Ⅱ)解:? BE=BC=2,CE= 2 2 ,? CE ? BC ? BE ,
2 2 2

? ?BCE 为直角三角形,BE ? BC,?????6 分 又 BE ? BA,BC ? BA=B,BC、BA ? 平面 ABCD,? BE ? 平面 ABCD. ?????7 分
以 B 为原点, BC 、 BA 、 BE 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建 立空间直角坐标系, 则B (0, 0, 0) , F (0, 2, 2) , A (0, 2, 0) ,BD ? (2,2,0) ,

BF ? (0,2,2) .
设 K(0,0,m) ,平面 BDF 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) . 由 n ? BD ? 0 , n ? BF ? 0 ,得 ?

?2 x ? 2 y ? 0, 可取 n ? (1,?1,1) ,???? ?9 分 ?2 y ? 2 z ? 0,

理科试题 7

又 AK ? (0,?2, m) ,于是 sin ? ?

n ? AK n ? AK

=

2?m 3 ? 4 ? m2



? 30? ? ? ? 45? ,?

1 ? sin ? ? 2

? ? ? 2 ,即 ? 2 ?

2? m 1 ? , 2 3? 4? m2 2? m 2 ????11 分 ? , 2 2 3? 4? m

结合 0 ? m ? 2 ,解得 0 ? m ? 4 ? 2 3 ,即 BK 的取值范围为(0, 4 ? 2 3 ].???? ?13 分 20.本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能 力、推理论证能力、分析解决问题能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与 转化思想.满分 14 分.

?c 3 , ? ? a 2 ? ? 解: (Ⅰ)由题意得 ? 2b ? 2, 解得 a=2,b=1,?????????????3 分 ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ? ?
x2 ? y 2 ? 1.????????????????????????3 分 所以椭圆方程为 4
(Ⅱ) (i)解法一:由已知,直线 MN 的斜率存在, 设直线 MN 方程为 y=kx-

1 ,M(x1,y1) ,N(x2,y2) . 2

? x2 ? y 2 ? 1, ? 4k ?3 3 ?4 , x1 x2 ? 由? 得(1+4k2)x2-4kx-3=0,所以 x1 ? x2 ? ,又 | PD |? .??5 分 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? y ? kx ? 1 , ? ? 2
所以 S△PMN=

1 3 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?????????????????6 分 |PD|·|x1-x2|= 2 4

?

3 16k 2 12 3 16k 2 ? 3 .?????????????7 分 ? ? 4 (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2 2(1 ? 4k 2 )
2

令 t= 16k 2 ? 3 ,则 t≥ 3 , k ?

t2 ? 3 16

所以 S△PMN=

3t 6t 6 ? 2 ? ,??????????????????8 分 2 t ?3 t ?1 t ? 1 2(1 ? 4 ? ) t 16

令 h(t)= t ? ,t∈[ 3 ,+∞),则 h '(t ) ? 1 ?

1 t

1 t 2 ?1 ? 2 >0,所以 h(t)在[ 3, ?? )单调递增, t2 t
理科试题 8

则 t= 3 ,即 k=0 时,h(t)的最小值,为 h( 3 )=

4 3 , 3

所以△PMN 面积的最大值为

3 3 .????????9 分 2
1 ,M(x1,y1) ,N(x2,y2) . 2

解法二:由已知,直线 MN 的斜率存在,设直线 MN 方程为 y=kx-

? x2 ? y 2 ? 1, ? 4k ?3 ? , x1 x2 ? 由? 4 得(1+4k2)x2-4kx-3=0,所以 x1 ? x2 ? .???????5 分 2 2 1 ? 4 k 1 ? 4 k 1 ? y ? kx ? , ? ? 2
所以|MN| ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2

16k 2 12 . ? 2 2 (1 ? 4k ) 1 ? 4k 2
? 3 2 1? k 2
.???6 分

点 P(0,1)到直线 MN 的距离 d=

| 2k ? 0 ? 2 ?1 ? 1| 4k ? 2
2 2

1 1 16k 2 12 3 2 所以 S△PMN= |MN|·d= 1? k ? ? 2 2 2 2 2 (1 ? 4k ) 1 ? 4k 2 1 ? k 2

?

3 16k 2 12 .?????????????7 分 ? 2 2 4 (1 ? 4k ) 1 ? 4k 2

以下同解法一. (ii)假设存在△PMN 是以 O 为中心的等边三角形. (1)当 P 在 y 轴上时,P 的坐标为(0,1) ,则 M,N 关于 y 轴对称,MN 的中点 Q 在 y 轴上. 又 O 为△PMN 的中心,所以 PO ? 2OQ ,可知 Q(0, ? ), M ( ? 3, ? ), N ( 3, ? ) .

1 2

1 2

1 2

从而|MN|= 2 3 ,|PM|=

21 ,|MN|≠|PM|,与△PMN 为等边三角形矛盾. 2 y0 , x0

(2)当 P 在 x 轴上时,同理可知,|MN|≠|PM|,与△PMN 为等边三角形矛盾.?????10 分 (3)当 P 不在坐标轴时,设 P(x0,y0) ,MN 的中点为 Q,则 kOP= 又 O 为 ?PMN 的中心,则 PO ? 2OQ ,可知 Q ( ?

x0 y ,? 0 ). 2 2

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 x1 ? x2 ? 2xQ ? ? x0 , y1 ? y2 ? 2 yQ ? ? y0 , 又 x12+4y12=4,x22+4y22=4,两式相减得 kMN=

y1 ? y2 1 x ?x 1 x ?x 1 x ? ? 1 2 ? ? ? 1 2 ? ? ? 0 ,??11 分 x1 ? x2 4 y1 ? y2 4 y1 ? y2 4 y0

从而 kMN= ? ?

1 x0 .??12 分 4 y0
理科试题 9

所以 kOP·kMN=

1 y0 1 x · ( ? ? 0 )= ? ≠ -1, 4 x0 4 y0

所以 OP 与 MN 不垂直,与等边△PMN 矛盾.??13 分 综上所述,不存在△PMN 是以 O 为中心的等边三角形.?????????14 分 21.本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用,考查运算求解能力、抽象概括能力、 推理论证能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分 14 分.

1 ? ?a ? ?1, ? f (1) ? a ? b ? ?1, ? 解: (Ⅰ)由已知得 ? 解得 ? 2 1 …………… 2 分 b?? . ? ? ? ? f (1) ? 1 ? a ? 0, ? 2
此时 f ( x) ? ln x ?

1 2 1 1 ( x ? 1)( x ? 1) x ? , f ?( x) ? ? x ? ? (x>0) . 2 2 x x

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,f(x), f ?( x ) 的变化情况如下表: x (0,1) + 单调递增 1 0 极大值 (1,+∞) - 单调递减

f ?( x )
f(x)

所以函数 f(x)的增区间为(0,1) ,减区间为(1,+∞) .……………… 4 分 (Ⅱ) f ?( x) ?

1 ax 2 ? 1 ? ax ? (x>0) . x x

(1) 当 a≥0 时, f ?( x) ? 0 恒成立, 此时, 函数 f(x)在区间 (0, +∞) 上单调递增, 不合题意, 舍去. ………5 分 (2)当 a<0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?

1 ,f(x), f ?( x ) 的变化情况如下表: a
?
0 极大值

x

(0, ?

1 ) a

1 a

( ?

1 ,+∞) a


f ?( x )
f(x)

+ 单调递增

单调递减

所以函数 f(x)的增区间为(0, ?

1 1 ) ,减区间为( ? ,+∞) .……………… 7 分 a a
1 1 >m,即 ? 2 ? a ? 0 . m a

要使函数 f(x)在区间(m,+∞)上不单调,须且只须 ? 所以对任意给定的正数 m,只须取满足 ? 调.…… 8 分

1 ? a ? 0 的实数 a,就能使得函数 f(x)在区间(m,+∞)上不单 m2

(Ⅲ)存在实数 x0∈(x1,x2) ,使直线 AB 的斜率等于 f ?( x0 ) .………… 9 分
理科试题 10

证明如下:令 g(x)=lnx-x+1(x>0) ,则 g ?( x ) ?

1 ?1, x

易得 g(x)在 x=1 处取到最大值,且最大值 g(1)=0,即 g(x)≤0,从而得 lnx≤x-1. (*)……… 10 分 由

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ln x2 ? ln x1 1 1 ? f ?( x0 ) ,得 ? a( x2 ? x1 ) ? ? ax0 .……………… 11 分 x2 ? x1 x2 ? x1 2 x0
1 ln x2 ? ln x1 1 a( x2 ? x1 ) ? ax , q( x) ? ? ,则 p(x),q(x)在区间[x1,x2]上单调递增. 2 x2 ? x1 x 1 1 1 1 a( x2 ? x1 ) ? ax1 ? a ( x2 ? x1 ) ? 0 , p( x2 ) ? a( x2 ? x1 ) ? ax2 ? a( x1 ? x2 ) ? 0 , 2 2 2 2

令 p( x) ? 且 p ( x1 ) ?

x2 x2 ?1 ln x2 ? ln x1 1 x1 x1 1 1 结合(*)式可得, q( x1 ) ? ? ? ? ? ? ? 0, x2 ? x1 x1 x2 ? x1 x1 x2 ? x1 x1 ln x1 x ?( 1 ? 1) ln x2 ? ln x1 1 x2 1 x2 1 q( x2 ) ? ? ? ? ? ? ?0. x2 ? x1 x2 x2 ? x1 x2 x2 ? x1 x2 ? ln
令 h(x)=p(x)+q(x),由以上证明可得,h(x)在区间[x1,x2]上单调递增,且 h(x1)<0,h(x2)>0,…… 13 分 所以函数 h(x)在区间(x1,x2)上存在唯一的零点 x0, 即

ln x2 ? ln x1 1 1 ? a( x2 ? x1 ) ? ? ax0 成立,从而命题成立.…………… 14 分 x2 ? x1 2 x0

(注:在(Ⅰ)中,未计算 b 的值不扣分. )

理科试题 11

理科试题 12

理科试题 13

理科试题 14

理科试题 15

理科试题 16


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