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黑龙江省哈尔滨市第九中学2013届高三第四次模拟考试数学(理)试卷(Red独家奉献)


辽宁省哈尔滨市第九中学 2013 届高三第四次模拟考试 数学(理)试卷(Red 独家奉献)
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在下列各题的四个选项中,只有一项是 最符合题意的) 1. 定义 A ? B ? { x | x ? A 且 x ? B } ,已知 A ? { 2 , 3 }, B ? { 1

, 3 , 4 } 。则 A ? B ? A. {1,4} B. {2} C. {1,2} D. {1,2,3}
x? y

A. 15 9.已知 ? , ? ? [ ?
?
2 ,

B. 14
?
2

C. 7

D. 8

开始 输入 p
n ? 1, S ? 0
S ? p?

] ,且 ? sin ? ? ? sin ? ? 0 ,

则下列不等式一定成立的是( ) A. ? ? ? B. ? ? ? C. ? ? ? ? 0 D. ?
2

? ?

2







10.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组,若甲组至少两人, 乙、丙组至少各一人,则不同的分配方案的种数为( ) A.80 B.120 C.140 D.180



2.已知 x , y ? R ,为虚数单位,且 ( x ? 2 ) i ? y ? ? 1 ? i ,则 (1 ? i ) A. 4 B. 4
? 4i

的值为





S ?S?2

n ?1

输出 n 结束

C. ? 4
S4 S8 ? 1 3

D. 2 i
等于 D.
3 10

11. 中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 C 的离心率为 e ,直线 与双曲线 C 交于 A , B 两点,线段 AB 中点 M 在第一象限,
( )

n ? n ?1

3. 设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和,若 A.
1 9

,则 C.
1 3

S8 S 16

并且在抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 上,且 M 到抛物线焦点 的距离为 p ,则直线的斜率为( )
2

B.

1 8

A. e ? 1
2

B. e ? 1
2

C.
?? ?? ??

e ?1
2

D.
?? ?

e ?1
2

4.已知 a , b , c , d 是实数,则“ a ? b 且 c ? d ”是“ a ? c ? b ? d ? b ? c ? a ? d ”的 A.充分不必要条件
n





?? 12.已知向量 ?

?? |? 1 , | ? ? ? |? | ? | , ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? 0 .若对每一确定的 ? ?? 最大值和最小值分别为 m , n ,则对任意 ? , m ? n 的最小值是

? , ? ,?

??

满足 | ?

??

??

2

?

2

,|? | 的 ( )

?? ?

B.必要不充分条件
2?

C.充要条件
f ?( 0 ) f (0)

D.既不充分也不必要条件
? ? 3 ,则 f ( x ) 的展开式

A.

1 4

B.

1 2

C.

3 4

D.

5.设函数 f ( x ) ? ( x ? a ) ,其中 n ? 3 ? 中 x 的系数为 A. ? 2 4 0
2

?

sin( ? ? x ) dx ,

( B. ? 6 0 C. 6 0 D. 2 4 0 (
]


? ? ? 2 x ? 2,

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
x ?1 x ?1

6. 过原点的直线与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 有公共点,则直线的倾斜角的取值范围是 A. [ ?
?
6 ,



?
6

]

B. [

?
6

,

5? 6

]

C. [ 0 ,

?
6

]? [

5? 6

,? )

D. [

?
6

,

?
2

)? (

?
2

,

5? 6

13.函数 f ( x ) ? ? 2 x ? 4 x ? 3, ? 是 个。

的图象与函数 g ( x ) ? ln ? x ? 1 ? 的图象的公共点个数

7.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为 A. 12 ?
3

(

)

B. 10 ? D. 11 ?

3

C. 10 ? 2 3

3

?x ? y ? 2 ? 14.已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,且 x ? 2 y ? a 恒成立,则 a 的取值范围为 ?x ? 1 ?



15. 已知数列 { a n } 的首项 a 1 ? 2 ,且对任意的 n ? N ? 都有 a n ? 1 ? 则 a 1 ? a 2 ? ? a 2013 ? 8. 执行如图的程序框图,若输出的 n
? 5

1 ? an 1 ? an



。 。

,则输入整数

p

的最小值是 ...

(

)

16. 下列说法正确的是

(1)从匀速传递的产品生产流水线上,质检人员每 20 分钟从中抽取一件产品进行检测, 这样的抽样方法为分层抽样; (2)两个随机变量相关性越强,相关系数 r 的绝对值越接近 1,若 r ? 1 或 r ? ? 1 时, 则 x 与 y 的关系完全对应(即有函数关系) ,在散点图上各个散点均在一条直线上; (3)在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高;
^
^

参考公式与临界值表: K

2

?

n ( ad ? bc )

2

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )



p(K

2

? k0 )

0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

(4)对于回归直线方程 y ? 0 . 2 x ? 12 ,当 x 每增加一个单位时, y 平均增加 12 个单位; (5)已知随机变量 X 服从正态分布 N
(1, ? )
2

k0

,若 P ( x ? 2 ) ? 0 . 72 ,则 P ( x ? 0 ) ? 0 . 28 。

三、解答题(本题共 6 小题, 17-21 题每题 12 分,选做题 10 分,共 70 分)
17.(本小题共 12 分) 在 ? ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 a cos B ? b cos A ? b 。 (1)求证 B ? C ; (2)若 ? ABC 的平分线交 AC 于 D ,且 sin
A 4 ? 3 5

19.(本小题共 12 分) 如图,在四棱锥 P ? A B C D 中,顶点 P 在底面 A B C D 内的射影恰好落在 A B 的中点 O 上,
o 又 ? BAD ? 90 , BC / / AD 且 BC : AB : AD ? 1 : 2 : 2

,求

BD DC

的值。

(1)求证: P D ? A C ; (2)若 P O ? B C ,求直线 P D 与 A B 所成角的余弦值; (3)若平面 APB 与平面 PCD 所成的角为 6 0 ,求
o

PO BC

的值。

18.(本小题共 12 分) 哈尔滨市第一次联考后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析, 规定:大于或等于 120 分为优秀,120 分以下为非优秀.统计成绩后, 得到如下的 2 ? 2 列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部 110 人中随机抽取 1 人为优秀 的概率为
3 11

P

A

D



优秀 甲班 乙班 合计 10

非优秀

合计

B

C

30 110

(1)请完成上面的列联表; (2)根据列联表的数据,若按 99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”; (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进 行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号。试求抽 到 9 号或 10 号的概率。

20.(本小题共 12 分) 已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为 F ( 1 , 0 ) ,点 P 是点 F 关于 y 轴的对称点, 过点 P 的直线交抛物线于 A , B 两点。 (1)试问在 x 轴上是否存在不同于点 P 的一点 T ,使得 TA , TB 与 x 轴所在的直线所成 的锐角相等,若存在,求出定点 T 的坐标,若不存在说明理由。 (2)若 ? AOB 的面积为
5 2

,求向量 OA , OB 的夹角;

21. (本小题共 12 分) 设函数 f ( x ) ? x ln x ( x ? 0 ) 。 (1)求函数 f ( x ) 的最小值;
2 (2)设 F ( x ) ? a x ? f ? ( x ) ( a ? R ) ,讨论函数 F ( x ) 的单调性;

理科数学答案
一.选择题:BCDAD CACDA DB a ? -1 二.填空题:2 个 2 (2) (3) (5) 17 解: (1)∵acosB+bcosA=b,由正弦定理可得 sinAcosB+cosAsinB=sinB, ∴sin(A+B)=sinB, --------3 分 即 sinC=sinB,∴b=c,∴C=B. --------------6 分 (2)△BCD 中,用正弦定理可得 = ,由第一问知道 C=B,

(3)斜率为 k 的直线与曲线 y ? f ? ( x ) 交于 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ( x1 ? x 2 ) 两点, 求证: x1 ?
1 k ? x2 。

请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时 请写清题号。
22. (本小题共 10 分) 如图所示,已知 AB 是圆 O 的直径, AC 是弦, AD AC 平分 ? BAD 。 (1)求证:直线 CE 与圆 O 的相切; (2)求证: AC
2

而 BD 是角平分线,∴
? CE

=2cos.

---------8 分

,垂足为 D , 由于三角形内角和为 180°,设 A=x,B=2α =C,那么 4α +x=180°, 故 α +=45°.--9 分 ∵sin=,∴cos=, ∴cosα =cos(45°﹣)=cos45°cos+sin45°sin= ∴ =2cos=2cosα = .---------------12 分
-------4 分

? AB ? AD

。 .

18.(1)

23. (本小题共 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 为 ?
x

? x ? a cos ? ? y ? s in ?

优秀

非优秀

合计

(1 ? a ? 6 , ? 为参数) 。在以 O 为原点,
甲班 10 50 60

轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 6 cos ? ,射线为 ? ? ? ,

与 C 1 的交点为 A ,与 C 2 除极点外的一个交点为 B 。当 ? ? 0 时, | AB |? 4 。 (1)求 C 1 , C 2 的直角坐标方程; (2)设 C 1 与 y 轴正半轴交点为 D ,当 ? ? 为 E ,求 | BD | ? | BE | 。 24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式证明选讲 已知函数 f ( x ) ? | x ? a | 。 (1)若 f ( x ) ? m 的解集为 { x | ? 1 ? x ? 5 } ,求实数 a , m 的值。 (2)当 a
? 2

乙班

20

30

50

?
4

时,设直线 B D 与曲线 C 1 的另一个交点

合计

30

80

110

(2)根据列联表中的数据,得到 K = ≈7.487<10.828.因此按 99.9%的 可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系” -------8 分 (3)设“抽到 9 或 10 号”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为(x,y).所 有的基本事件有:(1,1)、(1,2)、(1,3)、?、(6,6)共 36 个.事件 A 包含的基本 事件有:(3,6)、(4,5)、(5,4)、(6,3)、(5,5)、(4,6)(6,4)共 7 个.所 以 P(A)=
7 36

2

且t

? 0

时,解关于 x 的不等式 f ( x ) ? t ? f ( x ? 2 t ) 。

,即抽到 9 号或 10 号的概率为

7 36



-------12 分

19 解:因为 AB 中点 O 为点 P 在平面 ABCD 内的射影,所以 PO⊥底面 ABCD.以 O 为坐标原点, AB 所在直线为 x 轴,OP 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 o﹣xyz(如图) . (1)设 BC=a,OP=h 则依题意得:B(a,0,0) ,A(﹣a, 0,0) ,P(0,0,h) , C(a,a,0) ,D(﹣a,2a,0) . ∴ 于是 =(2a,a,0) , ?
2 2

? y1 ? y 2 ? 4m -------- 2 分 ? y1 y 2 ? 4 ? 假设存在 T ( a , o ) 满足题意,则

=(﹣a,2a,﹣h) ,

k AT ? k BT ?
y 1 ( my

y1 x1 ? a

?

y2 x2 ? a
1

?

y1 ( x 2 ? a ) ? y 2 ( x1 ? a ) ( x 1 ? a )( x 2 ? a )
? 2 my
1

=﹣2a +2a =0,∴PD⊥AC;--------4 分

?

2

? 1 ? a ) ? y 2 ( my ( x 1 ? a )( x 2 ? a )

? 1 ? a)

y 2 ? ( 1 ? a )( y 1 ? y 2 )

( x 1 ? a )( x 2 ? a )

?

8 m ? 4 m (1 ? a ) ( x 1 ? a )( x 2 ? a )

? 0

(2)由 PO=BC,得 h=a,于是 P(0,0,a) ,——5 分 ∵ =(2a,0,0) ,
2

? 8 m ? 4 m ( 1 ? a ) ? 0 -----

------5 分
? 存在 T(1,0)----------------6 分

=(﹣a,2a,﹣a) ,

?1? a ? 2?a ? 1

(2) (法一) ,
S ? ABC ? 1 2 OF y1 ? y 2 ? 1 2 y1 ? y 2 ? 5 2



?

=﹣2a ,cos<



>=

=

? y1 ? y 2 ? 5

----------------7 分
4 y1 y2 x2 y2 y2 4
2

∴直线 PD 与 AB 所成的角的余弦值为

;-----------8 分

设直线 OA,OB 的倾斜角分别为 ? , ? , ? AOB ? ?
k OA ? y1 x1 ? y1 y1 4
2

(3)设平面 PAB 的法向量为 m,可得 m=(0,1,0) , 设平面 PCD 的法向量为 n=(x,y,z) , 由 ∴ =(a,a,﹣h) , =(﹣a,2a,﹣h) , ) ,∴m?n=2,

?

? tan ? , k OA ?

?

?

4 y2

? tan ? --------9 分

设? ? ? ? ?
4 tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ? ? 4 y2 16 y1 y 2 ? 4? y 2 ? y1 y1 ? y 2 1? 4 ? y1 ? y 2 5 ? 1 ------11

,解得 n=(1,2,

? tan ? ? tan( ? ? ? ) ?

?

y1 1?

cos<m,n>=

,∵二面角为 60°,∴

=4,


?? ?

?
4

----------------------12 分
1 2 OA OB sin ? ? 5 2

解得=

,即

=

.----------------12 分
2

法二: S ? ABC ? -------1 分
OA OB ? 5 sin ?

20.(1)由题意知:抛物线方程为: y 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 设直线 l : x ? my ? 1 代入 y
y
2 2

? 4 x 且 P ?? 1 ,0 ?

-----------------------7 分
y1 4
2

? 4x 得

OA ? OB ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ?

?

y2

2

4

? y1 y 2 ?

? y 1 y 2 ?2
16

? 4 ?

4

2

? 4 ? 5 ---------9 分

16

? 4 my ? 4 ? 0
2

? ? 16 m

? 16 ? 0 ? m

2

? 1

? cos ? AOB ?

OA ? OB OA ? OB

?

5 5 sin ? AOB

? sin ? AOB ? tan ? AOB ? 1 -------11 分

? ? AOB ?

?
4

--------------------12 分 . 时,

21.(1)解:f'(x)=lnx+1(x>0) ,令 f'(x)=0,得 ∵当 f'(x)>0, ∴当 时,
2

②设 h(t)=tlnt﹣(t﹣1) (t≥1) ,则 h'(t)=lnt≥0(t≥1) ,故 h(t)在[1,+∞)上是 增函数, ∴当 t>1 时,h(t)=tlnt﹣(t﹣1)>h(1)=0,即 t﹣1<tlnt(t>1) . 由①②知(*)成立,得证.---------------------------------12 分 22. 证明: (Ⅰ)连接 O C ,因为 O A ? O C ,所以 ? O C A ? ? O A C . 2 分
0 又因为 A D ? C E ,所以 ? A C D ? ? C A D ? 9 0 ,

时,f'(x)<0;当

.----------------- 4 分 又因为 A C 平分 ? B A D ,所以 ? O A C ? ? C A D , 4分 5分 .
o 所以 ? O C A ? ? A C D ? 9 0 ,即 O C ? C E ,所以 C E 是 e O 的切线.

(2)F(x)=ax +lnx+1(x>0) , ①当 a≥0 时,恒有 F'(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数; ②当 a<0 时, 令 F'(x)>0,得 2ax +1>0,解得 令 F'(x)<0,得 2ax +1<0,解得
2 2

0 (Ⅱ)连接 B C ,因为 A B 是圆 O 的直径,所以 ? B C A ? ? A D C ? 9 0 ,

; 因为 ? O A C ? ? C A D , .
AC ? AD A C ,即 A C
2

8分

综上,当 a≥0 时,F(x)在(0,+∞)上是增函数; 当 a<0 时,F(x)在 上单调递增,在 上单调递

所以△ A B C ∽△ A C D ,所以 A B 10 分 23.(1)由 ? . 由已知得 C 1 的直角坐标方程是
x a
? 6 co s ?

? AB ? AD .

减.------------------------------------8 分 (3)证:

得 ? ? 6 ? co s ? ,所以 C 2 的直角坐标方程是 x ? y ? 6 x ? 0 --2 分
2 2 2

2 2

? y ?1,
2

要证

,即证

,等价于证

,令



当 ? ? 0 时射线与曲线 C 1 , C 2 交点的直角坐标为 ? a , 0 ? , ? 6, 0 ? ,-----------3 分
? A B ? 4 ,? a ? 2 ? C 1 的直角坐标方程是
x
2

? y ? 1 .①-----------5 分
2

4

则只要证

,由 t>1 知 lnt>0,
2 2 (2)联立 x ? y ? 6 x ? 0 与 y ? x 得 B ? 3, 3 ? 或 B ? 0, 0 ? ,? B 不是极点? B ? 3, 3 ? .---6 分

故等价于证 lnt<t﹣1<tlnt(t>1) . (*) ①设 g(t)=t﹣1﹣lnt(t≥1) ,则 ,

故 g(t)在[1,+∞)上是增函数, ∴当 t>1 时,g(t)=t﹣1﹣lnt>g(1)=0,即 t﹣1>lnt(t>1) .

又可得 D ? 1, 0 ? , ? K B D

? x ? 3? ? ? ? B D 的参数方程为 ? ? 2 ?y ? 3? ? ?

2 13 3 13

3

t

? t 为 参 数 ? ② -------8 分
t

将②带入①得

25 13

t ?
2

66 13

t ? 4 1 ? 0 ,设 D , E 点的参数是 t1, t 2 ,则

t1 ? t 2 ?

?66 13 25

, t1 t 2 ?

533 25

? B D ? B E ? t1 ? t 2 ?

66 13 25

-------10 分

24 解: (Ⅰ)由|x﹣a|≤m 得 a﹣m≤x≤a+m, 所以 解之得 为所求.----------------4 分

(Ⅱ)当 a=2 时,f(x)=|x﹣2|, 所以 f(x)+t≥f(x+2t)?|x﹣2+2t|﹣|x﹣2|≤t,① 当 t=0 时,不等式①恒成立,即 x∈R; 当 t>0 时,不等式

解得 x<2﹣2t 或

或 x∈?,即



综上,当 t=0 时,原不等式的解集为 R, 当 t>0 时,原不等式的解集为 .-----------10 分


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