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3.1导数的概念(一)


第三章

导数与微分

导数与微分以及它们的应用,作为微分 学的基本内容,是微积分的重要组成部分。

本章介绍导数与微分这两个概念,以及 它们的计算公式与运算法则。

第三章 导数与微分

3.1 两类引例

一、曲线的切线问题
设平面曲线的方程为

y ? f ( x), 求该曲线在点

M ( x0 , y0 ) 处的切线,其中 y0 ? f ( x0 ).

y
M

N N
N N
T

o
切线—割线的极限位置

x

分析与求解:如果割线

y
y ? f ( x)

MN 绕点 M 旋转而趋向极限 位置 MT , 直线 MT就称为曲 线 y ? f ( x) 在点 M 处的切
线. 割线 MN 的斜率:

N
T

C M
o
?
?

x0

x0 ? ?x x

极限位置即:?x ? 0 时,tan ? ? tan ?

y ? y0 ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) tan? ? ? ? x ? x0 ?x ?x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y tan ? ? lim tan ? ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

切线 MT 的斜率:

因此,曲线 y ? f ( x) 在点 M 0 ( x0 , y0 )处的切线就是:
过点M 0 且斜率为
?y tan ? ? lim tan ? ? lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? lim ?x ? 0 ?x

的直线.

例1:求曲线 y ? f ( x) ? x2在点 (1, 2) 处切线的斜率.

二、变速运动的瞬时速度
设某物体作变速直线运动,从某时刻(不妨设 为 0)到时刻 t 所通过的路程为 S . 显然,路程 S 是 时刻 t 的函数. 如果已知路程函数 S ? S (t ), 求该物体在时刻

t 0 的速度 V (t0 ).

分析与求解:

S (t0 )
t0

S (t0 ? ?t )
t0 ? ?t
S

?S S (t0 ? ?t ) ? S (t0 ) V? ? ?t ?t
?t ? 0,

V ? V (t0 )

S (t0 ? ?t ) ? S (t0 ) ?S V (t0 ) ? lim V ? lim ? lim ?t ?0 ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t

例2:设一质点在真空中做自由落体运动,求

分别在 t ? 1 秒, 2 秒时的瞬时速度.

三、例题解答
例1:如书

例2:解

1 2 ? S ? gt 2 1 1 2 2 g (t0 ? ?t ) ? gt0 S (t0 ? ?t ) ? S (t0 ) 2 ?V (t0 ) ? lim ? lim 2 ?t ? 0 ?t ? 0 ?t ?t 2t0 ?t ? ?t 2 1 ? g lim ? gt0 2 ?t ?0 ?t ?V (1) ? g ?1 ? 9.8m / s, V (2) ? g ? 2 ? 19.6m / s


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