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数形结合法巧解对数函数问题


数形结合法巧解对数函数问题
陈国平(洛阳十二中) 数形结合法是高中数学的一种重要的思想方法, 所谓数形结合, 就是根据数 学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义又揭示其几何意义,使 数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来,并充分利用这种“结合” ,寻找解 题思路, 使问题得到解决, 数形结合思想是解决数学试题的一种常用方法和技巧, 特别是在解决选择题、 填空题中发挥着奇特的功效, 它常用来研究函数的单调性、 求变量的取值范围及研究方程根的情况等. 数形结合法在近年的高考题中多次体 现。下面对数函数为例进行说明。 例 1 函数 f (x)=| log 1 x | 的单调增区间是:y
2

1 ] 2 (B) (0,1] (C) (0,+∞) (D)[1,+∞) 解析:由上图可判断答案为(D)

(A) (0,

O

1

x

例 2 使 log2 (-x) < x+1 成立的 x 的取值 范围是 。 解:分别作出函数 y= log2 (-x) ,y= x + 1 的图象,由图易知 x ∈(-1, 0 )。 评注: 数形结合, 简明直观, 作出图形, 一目了然。 例 3 若 0 < b1 < 2 < b2 , logab1 = b1-1 ,loga b2 = b2-1,则 有 loga2 与 1 的关系是( ) (A)loga2 = 1 (B)loga2〈 1 (C)loga2 〉1 (D)不确定 解析:因为 logab1 = b1-1 ,loga b2 = b2-1 , 所以 b1、 2 、看作是方 b 程 logax=x-1 的两个根,即 b1、b2 是函数 y=㏒ ax 和 y=x-1 的图像交 点的横坐标。 因为 0<b1<2< b2, 所 x 以函数 y=㏒ a 和 y=x-1 的图像有 两个交点。当 0<a<1 时,函数 y= ㏒ ax 和 y=x-1 的图像只有一个交 点; a>1 时, 当 函数 y=y=㏒ ax 和 y=x-1 的图像有两个交点, ,所以只能是 a>1,作出函数 y=y=㏒ ax 和 y=x-1 的

y y=log2 (-x) 1 -1 O

y= x + 1

y

y=x-1

y=㏒ a

x

O

1

2

b2

x

图像如上所示,易知两交点的横坐标 b1=1,b2>2,所以㏒ a2>1,答案为 C。 例 4 设方程 2x+x-3=0 的根为α ,方程㏒ 2x+x-3=0 的根为β ,求α +β 的值 分析:直接解方程是十分困难的,运用数形结合思想,借助于函数的图像,注意 到指数函数与对数函数的关系则使问题易于解决。
y 3 y=2x y=x

A y=㏒ 2x B 1 y=-x+3 0 x

1

3

解:将方程整理得 2x=-x+3,㏒ 2x =--x+3。可知α 是指数函数 y=2x 的图像与直线 y=-x+3 交点 A 的横坐标。β 是对数函数 y=㏒ 2x 的图像与直线 y=-x+3 交点 B 的 横坐标。 由于函数 y=2x 与函数 y=㏒ 2x 互为反函数, 它们的图像关于直线 y=x 对称, 所以 A、B 两点也关于直线 y=x 对称,是 A(α , β )、B(β , α ),且两点都在直 线上,故α +β =3 数形结合是解函数问题的重要的思想方法, “以数定形”在今后的高考中的 将会有所加强, 在函数学习应高度重视, 对函数、 方程等问题要习惯于见数想形。


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