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高中数学 第三章 不等式A组测试题 新人教A版必修5


数学(必修 5)第三章:不等式 [基础训练 A 组] 一、选择题
2 1.若 ? 2 x ? 5x ? 2 ? 0 ,则 4 x ? 4 x ? 1 ? 2 x ? 2 等于(
2



A. 4 x ? 5

B. ? 3

C. 3

D. 5 ? 4 x ) B. ( x ? 1) 2 ? 0 与 x ? 1 ? 0 D. ( x ? 1) 3 ? x 3 与

2.下列各对不等式中同解的是( A. 2 x ? 7 与 2 x ?

x ?7? x

C. x ? 3 ? 1与 x ? 3 ? 1

1 1 ? x ?1 x


3.若 2

x 2 ?1

? ( ) x ? 2 ,则函数 y ? 2 x 的值域是(

1 4

1 1 1 B. [ , 2] C. (??, ] D. [2, ??) 8 8 8 4.设 a ? 1 ? b ? ?1 ,则下列不等式中恒成立的是 ( 1 1 1 1 2 A. ? B. ? C. a ? b a b a b
A. [ , 2)

) D. a ? 2b
2

5.如果实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 1,则 (1 ? xy)(1 ? xy) 有 (

)

1 和最大值 1 2 3 C.最小值 而无最大值 4
A.最小值

B.最大值 1 和最小值

3 4

D.最大值 1 而无最小值

6.二次方程 x2 ? (a2 ? 1) x ? a ? 2 ? 0 ,有一个根比 1 大,另一个根比 ?1 小, 则 a 的取值范围是 ( ) A. ?3 ? a ? 1 B. ?2 ? a ? 0 C. ?1 ? a ? 0 D. 0 ? a ? 2

二、填空题
1.若方程 x ? 2(m ? 1) x ? 3m ? 4mn ? 4n ? 2 ? 0 有实根,
2 2 2

则实数 m ? _______;且实数 n ? _______。 2.一个两位数的个位数字比十位数字大 2 ,若这个两位数小于 30 , 则这个两位数为________________。 3.设函数 f ( x) ? lg( ? x ? x ) ,则 f ( x ) 的单调递减区间是
2

3 4



4.当 x ? ______时,函数 y ? x (2 ? x ) 有最_______值,且最值是_________。
2 2

用心

爱心

专心

5.若 f (n) ?

n 2 ? 1 ? n, g (n) ? n ? n 2 ? 1, ?(n) ?

1 ( n ? N *) ,用不等号从小到大 2n

连结起来为____________。 三、解答题 1.解不等式 (1) log(2 x?3) ( x2 ? 3) ? 0 (2) ? 4 ? ?

1 2 3 x ? x ? ? ?2 2 2

2.不等式

x 2 ? 8x ? 20 ? 0 的解集为 R ,求实数 m 的取值范围。 m x2 ? 2(m ? 1) x ? 9m ? 4

? y ? x, ? 3. (1)求 z ? 2 x ? y 的最大值,使式中的 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ? y ? ?1. ?

(2)求 z ? 2 x ? y 的最大值,使式中的 x 、 y 满足约束条件

x2 y 2 ? ?1 25 16

4.已知 a ? 2 ,求证: log?a?1? a ? loga ?a ? 1?

第三章 [基础训练 A 组]答案
一、选择题 1.C

1 ?2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0, (2 x ? 1)( x ? 2) ? 0, ? x ? 2 , 2

4 x2 ? 4 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 4 ? 2 x ? 3
2.B 对于 A. 2 x ? 7, x ?

7 7 , 与 2x ? x ? 7 ? x , 0 ? x ? 2 2

对于 C. x ? 3 ? 1, x ? 3 ? 1或x ? 3 ? ?1 与 x ? 3 ? 1

用心

爱心

专心

对于 D. ( x ? 1) 3 ? x 3 与

1 1 ? x ?1 x



当 ?1 ? x ? 0 时,

1 1 ? 不成立 x ?1 x

3.B 4.C

2x

2

?1

? ( ) x ? 2 ? 24? 2 x , x 2 ? 1 ? 4 ? 2 x, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, ?3 ? x ? 1, ? y ? 2
1 1 ? ,要求 a , b 同号, a b

1 4

1 8

对于 A,B,倒数法则: a ? b, ab ? 0 ?

1 ? b ? ?1 ? b2 ? 1, 而a ? 1,对于 a2 ? 2b 的反例: a ? 1.1, a2 ? 1.21, b ? 0.8, 2b ? 1.6
5.B 设 x ? cos ? , y ? sin ? ,1 ? x y ? 1 ?
2 2

1 2 sin 2? 4

6.C 令 f ( x) ? x2 ? (a2 ? 1) x ? a ? 2 ,则 f (1) ? 0 且 f (?1) ? 0 即?

?a 2 ? a ? 0 ? , ?1 ? a ? 0 2 ?a ? a ? 3 ? 0 ?
2 2 ? ?4 ( ? 1 ) ? 4 m3 ? m4 ? n4 ? 2 ? m (2 n )

二、填空题 1. 1, ?

1 2

0

2m2 ? 4mn ? 4n2 ? 2m ? 1 ? 0 ,即 (m ? 2n)2 ? (m ?1)2 ? 0
2 2 而 (m ? 2n) ? (m ? 1) ? 0 ,即 (m ? 2n) ? ( m ? 1) ? 0 ? m ? 1, 且n ? ?
2 2

1 2

2. 13 或 24

设十位数为 a ,则个位数为 a ? 2 ,

10a ? a ? 2 ? 30, a ?
3. ? ?

28 , a ? N * ? a ? 1或, 2 ,即 13 或 24 11

? 1 1? , ? ? 2 2?

3 3 1 1 1 1 ? x ? x 2 ? 0, ? ? x ? ,递减则 x ? ? , ∴ ? ? x ? 4 2 2 2 2 2
2 2 4 2 y ? x ( 2 ? x ) ? ? x ?2 x ? ? x ? ) ,当 x2 ? 1 时, ymax ? 1 ( 2 12 ? 1

4. ? 1, 大,1

5. f (n) ? ? (n) ? g (n) 三、解答题 1. 解: (1) ?

f (n )?

1 n2 ? 1 ? n

g n( ?) ,

1 n 2? 1 ? n

? ,n ( ) ?

1 n 2? n

? x2 ? 3 ? 1

?0 ? x 2 ? 3 ? 1 或? 得 x ? 2或 3 ? x ? 2 , ? 2 x ? 3 ? 1 ?0 ? 2 x ? 3 ? 1

? x ? ( 3, 2) ? (2, ??)
3 ?1 2 ? 2 x ? x ? 2 ? 4 ? x2 ? 2 x ?1 ? 0 ? 1 2 3 ? ,? 2 (2) 2 ? x ? x ? ? 4, ? 2 2 ? ? 1 x2 ? x ? 3 ? 2 ? x ? 2x ? 5 ? 0 ?2 ? 2
用心 爱心 专心

?x ? 2 ? 1 x ? ? 2 1 或 ? ? , ? ? ?? 6 ? 1? x ? 6 1 ?

? x ? (? 6 ?1, ? 2 ?1) ? ( 2 ?1, 6 ?1)
2. 解:? x2 ? 8x ? 20 ? 0恒成立, mx2 ? 2(m ? 1) x ? 9m ? 4 ? 0须恒成立 ? 当 m ? 0 时, 2 x ? 4 ? 0 并不恒成立; 当 m ? 0 时,则 ?

?m ? 0
2 ?? ? 4(m ? 1) ? 4m(9m ? 4) ? 0

?m ? 0 ? 得? 1 1 ?m ? 4 , 或m ? ? 2 ?
3.解: (1)作出可行域

1 ?m ? ? 2

' ' (2)令 x ? 5x , y ? 4 y , Z m a x? 3 ;

则 ( x' )2 ? ( y' )2 ? 1, z ? 10 x' ? 4 y' ,当直线 z ? 10 x' ? 4 y ' 和圆 ( x' )2 ? ( y' )2 ? 1 相切时 z ? 116 , Zmax ? 116 4.证明:? log? a ?1? a ? log a ? a ? 1? ?

lg a lg(a ? 1) lg 2 a ? lg(a ? 1) lg(a ? 1) ? ? lg(a ? 1) lg a lg a lg(a ? 1)
2 2

2 lg a 2 2 ? lg(a ? 1) ? lg(a ? 1) ? ? lg(a ? 1) ? ?? ?( ) ? lg 2 a 而 lg(a ? 1) lg(a ? 1) ? ? ? ? 2 2 2 ? ? ? ?

即 lg2 a ? lg(a ?1)lg(a ? 1) ? 0, 而 a ? 2 ? lg(a ? 1) lg a ? 0

?

lg 2 a ? lg(a ? 1) lg(a ? 1) ? 0 ,即 log? a ?1? a ? log a ? a ? 1? ? 0 lg a lg(a ? 1)

? log? a ?1? a ? log a ? a ? 1?

用心

爱心

专心



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