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基本不等式的证明(2课时)


基本不等式的证明(一 基本不等式的证明 一)

一、创设问题情景:
把一个物体放在天平的一个盘子上,在另一个盘子 上放砝码使天平平衡,称得物体的质量为a。如果 天平制造得不精确,天平的两臂长略有不同(其他 因素不计),那么a并非物体的实际质量。不过, 我们可以作第二次测量:把物体调换到天平的另一 个盘上,此时称得物体的质量为b。

问题1 如何合理的表示物体的质量 问题1、如何合理的表示物体的质量?

a+b 两个正数 正数a 称为a 两个正数a、b ,我们把 称为a、b 2
的算术平均数, 算术平均数, 平均数 称为几何平均数。 几何平均数 ab 称为几何平均数。

问题2 两个正数a 问题2、两个正数a、b的算术平均数与几何平均数 之间具有怎样的大小关系呢? 之间具有怎样的大小关系呢?

a+b 猜想: ab ≤ ( a > 0 ,b > 0) 2
a+b 问题3:如何证明 ab ≤ ( a > 0 ,b > 0) 2

不等式证明的基本方法 比较法(作差、作商法) 比较法(作差、作商法)

分析法——执果索因 执果索因 分析法

综合法——由因索果 由因索果 综合法

证法1: 比较法(作差、作商法) 比较法(作差、作商法) a+b ? ab 2
1 = [( a ) 2 + ( b ) 2 ? 2 a b ] 2

1 2 = ( a ? b) ≥ 0 2 当且仅当 a = b , 即a = b时,取“=”

证法2:
要证

a+b ab ≤ 2

证法3:
对于正数 a, b,有

只要证
只要证

2 ab ≤ a + b
0 ≤ a ? 2 ab + b

( a ? b) ≥ 0
2

? a + b ? 2 ab ≥ 0

只要证

0 ≤ a ? b )2 (
a+b 成立 2

? a + b ≥ 2 ab
a+b ? ≥ ab 2

因为最后一个不等式成立
所以,ab ≤

当且仅当a = b时取“=”

综合法——由因索果 由因索果 综合法

分析法——执果索因 执果索因 分析法

a+b 如果 a,b 是正数,那么 ab ≤ 2

(当且仅当a = b时取" = " 号)
问题 3、 当 a ≥ 0, b ≥ 0时 ,这个不等式仍然成立吗?

a+b (a ≥ 0, b ≥ 0) 称为基本不等式。 把不等式 ab ≤ 2

注意 条件( ) (1)不等式成立条件(2)等号成立条件 )不等式成立条件

问题4: 你能给出基本不等式几何解释吗? 问题 : 你能给出基本不等式几何解释吗?

ab a b

“半径不小于半弦” 半径不小于半弦”

回顾反思
1、今天这节课学了哪些主要知识? 2、在解决问题时用了哪些方法?

拓展延伸
这个基本不等式可否推广到“n个非负数”的情 形,有兴趣的同学可作进一步的研究,也可 查阅有关资料。

若ai ≥ 0 ( i = 1, 2 ,L n ), a1 + a2 + L an 则 n a1a2 L an ≤ ( n > 1,n ∈ N ) n

练习:课本P88 1

作业:课本P88 直通车


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