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吉林省长春市东北师大附中2015届高三上学期第一次摸底数学试卷(文科)


吉林省长春市东北师大附中 2015 届高三上学期第一次摸底数学 试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合 题目要求的. 1. (5 分)集合 A={x|log3(x﹣1)<1},B={x| <2 <1},则 A∩B=() A.(1,2) B.(1,4)
2
﹣x

C

.(﹣2,0)

D.(0,2)

2. (5 分)命题“对任意的 x∈R,都有 2x ﹣x+1≥0”的否定是() 2 A.对任意的 x∈R,都有 2x ﹣x+1<0 2 B. 存在 x0∈R,使得 2x0 ﹣x0+1<0 2 C. 不存在 x0∈R,使得 2x0 ﹣x0+1<0 2 D.存在 x0∈R,使得 2x0 ﹣x0+1≥0

3. (5 分)曲线 y= A.

在点(4,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为() B.4e
2

2

C.2e

2

D.e

2

4. (5 分)下列函数中是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是() A.y=2
﹣x

B.y=lnx ”的()

C.y=x

﹣2

D.y=|x|﹣1

5. (5 分)“a>1”是“ A.充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. (5 分)若 0<b<a<1,则下列不等式成立的是() A.ab<b <1 C. 2 <2 <2
b a 2

B. log
2

>log

D.a <ab<1

7. (5 分)如图,直线 l 和圆 C,当 l 从 l0 开始在平面上绕点 O 按逆时针方向匀速转动(转动 角度不超过 90°)时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,这个函数的图象大致 是()

A.

B.

C. 8. (5 分)已知函数 f(x)=ln A.﹣1 B. 0

D. ﹣3x)+1,则 f(lg2)+f C. 1 D.2 =()

9. (5 分)偶函数 f(x)的定义域为 R,g(x)=f(x﹣1) ,g(x)是奇函数,且 g(3)=1, 则 f=() A.0 B. 1 C . ﹣1 D.2014 10. (5 分)函数 f(x)=x ﹣ax ﹣bx+a 在 x=1 处有极值 10,则点(a,b)为() A.(3,﹣3) B.(﹣4,11) C.(3,﹣3)或(﹣4,11) D. 不存在 11. (5 分)若[﹣1,1]?{x||x ﹣tx+t|≤1},则实数 t 的取值范围是() A.[﹣1,0] B.[2﹣2 ,0] C.(﹣∞,﹣2] D.[2﹣2 12. (5 分)[x]表示不超过 x 的最大整数,函数 f(x)=|x|﹣[x] ①f(x)的定义域为 R; ②f(x)的值域为(0,1]; ③f(x)是偶函数; ④f(x)不是周期函数; ⑤f(x)的单调增区间为(k,k+1) (k∈N) . 上面的结论正确的个数是() A.3 B. 2 C. 1
2 3 2 2

,2+2

]

D.0

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分)

13. (5 分)设函数 f(x)=

,若 f(f(1) )=2,则 a 的值为.

14. (5 分)函数 f(x)=x ﹣3x+m 恰好有两个零点,则 m 的值为. 15. (5 分)函数 f(x)是定义在(0,4)上的减函数,且 f(a ﹣a)>f(2) ,则 a 的取值范 围是. 16. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x ,若对任意的 x∈[t,t+2], 不等式 f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数 t 的取值范围是.
2 2

3

三、解答题:解答题应写出文字说明,演算步骤或证明过程 2 17. (12 分)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c,不等式 f(x)>﹣2x 的解集为{x|1<x<3}. (Ⅰ)若方程 f(x)=2a 有两个相等正根,求 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围. 18. (12 分)有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛,由 500 名大众评委现场投票决定歌 手名次,根据年龄将大众评委分为 5 组,各组的人数如下: 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (Ⅰ) 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其 中从 B 组中抽取了 6 人.请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 (Ⅱ) 在(Ⅰ)中,若 A,B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手,现从这两组被抽 到的评委中分别任选 1 人,求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 19. (12 分)如图,AB 是圆 O 的直径,PA⊥圆 O 所在的平面,C 是圆 O 上的点. (1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)若 Q 为 PA 的中点,G 为△ AOC 的重心,求证:QG∥平面 PBC.

20. (12 分)分别过椭圆 E:

=1(a>b>0)左、右焦点 F1、F2 的动直线 l1、l2 相交于

P 点,与椭圆 E 分别交于 A、B 与 C、D 不同四点,直线 OA、OB、OC、OD 的斜率分别为 k1、k2、k3、k4,且满足 k1+k2=k3+k4,已知当 l1 与 x 轴重合时,|AB|=2 ,|CD|= .

(1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在定点 M,N,使得|PM|+|PN|为定值?若存在,求出 M、N 点坐标,若不存在, 说明理由. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点 x1、x2, (x1<x2) (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求证:f(x1)<0,f(x2)>﹣ .

四、选做题考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作 答时请写清题号【选修 4-1 几何证明选讲】 22. (10 分)如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B,C, ∠APC 的平分线分别交 AB,AC 于点 D,E. (Ⅰ)证明:∠ADE=∠AED; (Ⅱ)若 AC=AP,求 的值.

【选修 4-4,坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系中,直线 l 经过点 P(2,2) ,倾斜角 α= ,以该平面直角坐标系的原点为

极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度,圆 C 的极坐 标方程为 ρ=2cosθ. (Ⅰ)写出直线 l 的参数方程与圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,求 + 的值.

【选修 4-5 不等式选讲】 24.证明: ﹣ < + +…+ < (n=2,3,4…) .

吉林省长春市东北师大附中 2015 届高三上学期第一次摸 底数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合 题目要求的. 1. (5 分)集合 A={x|log3(x﹣1)<1},B={x| <2 <1},则 A∩B=() A.(1,2) B.(1,4) C.(﹣2,0) D.(0,2)
﹣x

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 利用交集的性质和不等式的性质求解. 解答: 解:∵A={x|log3(x﹣1)<1}={x| B={x| <2 <1}={x|0<x<2}, ∴A∩B={x|1<x<2}=(1,2) . 故选:A. 点评: 本题考查交集的求法,是基础题,解题时要注意对数函数、指数函数的性质的合理 运用. 2. (5 分)命题“对任意的 x∈R,都有 2x ﹣x+1≥0”的否定是() 2 A.对任意的 x∈R,都有 2x ﹣x+1<0 2 B. 存在 x0∈R,使得 2x0 ﹣x0+1<0 2 C. 不存在 x0∈R,使得 2x0 ﹣x0+1<0 2 D.存在 x0∈R,使得 2x0 ﹣x0+1≥0 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 将量词改为“存在”,将结论否定当结论.由此得到原命题的否定. 解答: 解:由全称命题的否定方法得: 2 2 “对任意的 x∈R,都有 2x ﹣x+1≥0”的否定是“存在 x0∈R,使得 2x ﹣x+1<0 成立. 故选 B. 点评: 本题考查了全称命题的否定方法,属于容易题.
2
﹣x

}={x|1<x<4},

3. (5 分)曲线 y=

在点(4,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()

2

A.

B.4e

2

C.2e

2

D.e

2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题. 分析: 利用导数求曲线上点切线方程,求直线与 x 轴,与 y 轴的交点,然后求切线与坐标 轴所围三角形的面积. 解答: 解:∵曲线 y= ∴y′= ,
2

× ,切线过点(4,e )
2

∴f(x)|x=4= e , ∴切线方程为:y﹣e = e (x﹣4) , 令 y=0,得 x=2,与 x 轴的交点为: (2,0) , 令 x=0,y=﹣e ,与 y 轴的交点为: (0,﹣e ) , ∴曲线 y= 故选 D. 点评: 此题主要考查利用导数求曲线上点切线方程,解此题的关键是对曲线 y= 确求导,此题是一道基础题. 4. (5 分)下列函数中是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是() A.y=2
﹣x

2

2

2

2

在点(4,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积 s= ×2×|﹣e |=e ,

2

2

2

能够正

B.y=lnx

C.y=x

﹣2

D.y=|x|﹣1

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据基本初等函数的单调性奇偶性,逐一分析答案四个函数在(0,+∞)上的单调性 和奇偶性,逐一比照后可得答案. 解答: 解:A,y=2 定义域是{x|x≠0},是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则 A 不符 合; B,函数 y=lnx 的定义域是(0,+∞) ,则是非奇非偶函数,B 不符合题意; C,函数 y=x 的定义域是{x|x≠0},但在(0,+∞)单调递减,C 不符合题意; D,y=|x|﹣1 为偶函数,在(0,+∞)上单调递增,D 正确. 故选:D. 点评: 本题考查函数奇偶性与单调性,解题的关键是熟练掌握函数奇偶性与单调性的判断 方法,以及基本函数奇偶性和单调性,考查了推理判断的能力.
﹣2 ﹣x

5. (5 分)“a>1”是“

”的()

A.充分不必要条件 C. 充要条件 考点: 充要条件. 分析: 可以把不等式“

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

”变形解出 a 的取值范围来,然后再作判断,具体地来说,两边

同乘以分母 a 要分类讨论,分 a>0,a<0 两类来讨论,除了用符号法则,这是解答分式不等 式的另一种重要方法. 解答: 解:由 得:

当 a>0 时,有 1<a,即 a>1; 当 a<0 时,不等式恒成立. 所以 ?a>1 或 a<0 的充分不必要条件.

从而 a>1 是

故应选:A 点评: 本题考查不等式的性质及其应用,解分式不等式的问题,不等式的等价变形!本题 需要注意的是在利用不等式的乘法单调性时易出错,比如本题中若原不等式两边同乘以 a,等 到 a>1 就是对不等式两边同乘以一个正数还是负数不等式是否改变方向认识不足导致的错 误. 6. (5 分)若 0<b<a<1,则下列不等式成立的是() A.ab<b <1 C. 2 <2 <2
b a 2

B. log
2

>log

D.a <ab<1

考点: 不等式的基本性质. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 取特殊值,确定 A,B,D 不正确,0<b<a<1,2>1,利用指数函数的单调性,可 得 C 正确. 解答: 解:b= ,a= ,则 ab= ,b = log =﹣2,log
2

,故 A 不正确;a = ,ab= ,故 D 不正确;

2

=﹣1,故 B 不正确;

∵0<b<a<1,2>1, b a ∴2 <2 <2, 故选:C. 点评: 本题主要考查不等式与不等关系,不等式性质的应用,若利用特殊值代入法,可排 除不符合条件的选项.

7. (5 分)如图,直线 l 和圆 C,当 l 从 l0 开始在平面上绕点 O 按逆时针方向匀速转动(转动 角度不超过 90°)时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,这个函数的图象大致 是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 分析: 由图象可以看出,阴影部分的面积一开始增加得较慢,面积变化情况是先慢后快然 后再变慢,由此规律找出正确选项 解答: 解: 观察可知阴影部分的面积 S 变化情况为“一直增加, 先慢后快, 过圆心后又变慢”, 对应的函数的图象是变化率先变大再变小,由此知选项 D 符合要求, 故选 D. 点评: 本题考查直线与圆相交的性质,解答本题的关键是根据所给的图形得出直线扫过的 阴影部分的面积变化规律, 利用函数的思想找出正确答案, 本题考查识图的能力以及根据实际 问题选择函数模型的能力.

8. (5 分)已知函数 f(x)=ln A.﹣1 B. 0

﹣3x)+1,则 f(lg2)+f C. 1 D.2

=()

考点: 函数奇偶性的性质;函数奇偶性的判断;函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数 可. 解答: 解:函数 , 是奇函数以及对数值, 直接化简求解即

则 = =

=f(lg2)+f(﹣lg2) + +1+

=

+

=2. 故选:D. 点评: 本题考查函数的奇偶性,函数值的求法,考查分析问题解决问题的能力与计算能力. 9. (5 分)偶函数 f(x)的定义域为 R,g(x)=f(x﹣1) ,g(x)是奇函数,且 g(3)=1, 则 f=() A.0 B. 1 C . ﹣1 D.2014 考点: 函数奇偶性的性质;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 g(x)是奇函数及已知条件得到 f(x+1)=﹣f(x﹣1) ,即 f(x﹣1)=﹣f(x+1) , 所以 f(x)=﹣f(x+2)=f(x+4) ,所以函数 f(x)的周期是 4,所以 f=f(2+503×4)=f(2) , 所以根据已知条件求 f(2)即可. 解答: 解:∵g(x)是奇函数,∴g(﹣x)=f(﹣x﹣1)=﹣g(x)=﹣f(x﹣1) ; 又 f(x)是偶函数,∴f(x+1)=﹣f(x﹣1) ,即 f(x﹣1)=﹣f(x+1) ,∴f(x)=﹣f(x+2) =f(x+4) ; ∴f(x)是周期为 4 的周期函数; ∴f=f(2+503×4)=f(2)=g(3)=1. 故选 B. 点评: 考查奇偶函数的定义,以及函数周期的概念. 10. (5 分)函数 f(x)=x ﹣ax ﹣bx+a 在 x=1 处有极值 10,则点(a,b)为() A.(3,﹣3) B.(﹣4,11) C.(3,﹣3)或(﹣4,11) D. 不存在 考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 计算题. 分析: 首先对 f(x)求导,然后由题设在 x=1 时有极值 10 可得 出 a 和 b 的值. 2 解答: 解:对函数 f(x)求导得 f′(x)=3x ﹣2ax﹣b, 又∵在 x=1 时 f(x)有极值 10, ∴ , 解之即可求
3 2 2

解得





验证知,当 a=3,b=﹣3 时,在 x=1 无极值, 故选 B. 点评: 掌握函数极值存在的条件,考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力,属于中 档题. 11. (5 分)若[﹣1,1]?{x||x ﹣tx+t|≤1},则实数 t 的取值范围是() A.[﹣1,0] B.[2﹣2 ,0] C.(﹣∞,﹣2] D.[2﹣2 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用;集合. 分析: 令 y=x ﹣tx+t,由题意,将集合的包含关系可化为求函数的最值的范围. 2 解答: 解:令 y=x ﹣tx+t, ①若 t=0, 2 则{x||x ≤1}=[﹣1,1],成立, ②若 t>0, 则 ymax=(﹣1) ﹣t(﹣1)+t=2t+1≤1,即 t≤0,不成立; ③若 t<0, 2 则 ymax=(1) ﹣t+t=1≤1,成立, ymin=( ) ﹣t? +t≥﹣1, 即 t ﹣4t﹣4≤0, 解得,2﹣2 ≤t≤2+2 , 则 2﹣2 ≤t<0, 综上所述, 2﹣2 ≤t≤0. 故选 B. 点评: 本题考查了集合的包含关系的应用,属于基础题. 12. (5 分)[x]表示不超过 x 的最大整数,函数 f(x)=|x|﹣[x] ①f(x)的定义域为 R; ②f(x)的值域为(0,1]; ③f(x)是偶函数; ④f(x)不是周期函数; ⑤f(x)的单调增区间为(k,k+1) (k∈N) . 上面的结论正确的个数是() A.3 B. 2 C. 1
2 2 2 2 2

,2+2

]

D.0

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据新定义的函数 f(x)=x﹣[x],可以画出其图象根据图象对①②③④⑤5 个选 项逐一判断即可. 解答: 解:[x]表示不超过 x 的最大整数,函数 f(x)=|x|﹣[x],当 x 为整数时,f(x)=0,

作出函数 f(x)的图象如下:

由图可以看出,函数 f(x)的定义域为 R,①正确; 当 0≤x<1 时,f(x)=x﹣[x]=x﹣0=x, ∴函数{x}的值域为(0,1],②都正确; 由图可知,函数 f(x)的图象不关于 y 轴对称,故 f(x)不是偶函数,③错误; 又∵f(x+1)=(x+1)﹣[x+1]=x﹣[x]=f(x) , ∴函数{x}=x﹣[x]是周期为 1 的函数,每隔一个单位重复一次,④错误; 由图可得,f(x)的单调增区间为(k,k+1) (k∈N) ,⑤正确; 综上所述,结论正确的个数是 3 个,为①②⑤,③④错误. 故选:A. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,作图是关键,考查函数 f(x)=|x|﹣[x]的图象与奇 偶性、单调性、周期性及定义域、值域等性质,属于中档题. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13. (5 分)设函数 f(x)= ,若 f(f(1) )=2,则 a 的值为﹣5.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知得 f(1)=2e 的值. 解答: 解:∵数 f(x)=
1﹣1 1﹣1

=2,从而 f(f(1) )=f(2)=log3(4﹣a)=2,由此能求出 a

,f(f(1) )=2,

∴f(1)=2e =2, ∴f(f(1) )=f(2)=log3(4﹣a)=2, ∴4﹣a=9,解得 a=﹣5. 故答案为:﹣5. 点评: 本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意分段函数的性质的合 理运用. 14. (5 分)函数 f(x)=x ﹣3x+m 恰好有两个零点,则 m 的值为﹣2 或 2.
3

考点: 利用导数研究函数的极值;函数零点的判定定理;利用导数研究函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: 若函数 f(x)恰好有两个不同的零点,等价为函数的极值为 0,建立方程即可得到结 论 3 解答: 解: :∵f(x)=x ﹣3x+m, 2 ∴f'(x)=3x ﹣3, 由 f'(x)>0,得 x>1 或 x<﹣1,此时函数单调递增, 由 f'(x)<0,得﹣1<x<1,此时函数单调递减. 即当 x=﹣1 时,函数 f(x)取得极大值,当 x=1 时,函数 f(x)取得极小值. 3 要使函数 f(x)=x ﹣3x+a 只有两个零点,则满足极大值等于 0 或极小值等于 0, 由极大值 f(﹣1)=﹣1+3+m=m+2=0,解得 m=﹣2;再由极小值 f(1)=1﹣3+m=m﹣2=0, 解得 m=2. 综上实数 m 的取值范围:m=﹣2 或 m=2, 故答案为:﹣2 或 2. 点评: 本题主要考查三次函数的图象和性质,利用导数求出函数的极值是解决本题的关键, 属于中档题. 15. (5 分)函数 f(x)是定义在(0,4)上的减函数,且 f(a ﹣a)>f(2) ,则 a 的取值范 围是(﹣1,0)∪(1,2) . 考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 因为 f (x) 是定义在 ( 0, 4) 上的减函数, 所以由 f (a ﹣a) >f (2) 得 解该不等式组即得 a 的取值范围. 解答: 解:根据已知条件,原不等式变成 ,解得﹣1<a<0,或 1<a<2;
2 2



∴a 的取值范围是(﹣1,0)∪(1,2) . 故答案为: (﹣1,0)∪(1,2) . 点评: 考查函数单调性的定义,根据函数的单调性解不等式,以及函数的定义域,解一元 二次不等式. 16. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x ,若对任意的 x∈[t,t+2], 不等式 f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数 t 的取值范围是 .
2

考点: 函数恒成立问题;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 2 2 分析: 由当 x≥0 时,f(x)=x ,函数是奇函数,可得当 x<0 时, f(x)=﹣x ,从而 f(x) 在 R 上是单调递增函数,且满足 2f(x)=f( x) ,再根据不等式 f(x+t)≥2f(x)=f( x) 在[t,t+2]恒成立,可得 x+t≥ x 在[t,t+2]恒成立,即可得出答案. 2 解答: 解:当 x≥0 时,f(x)=x

∵函数是奇函数 ∴当 x<0 时,f(x)=﹣x ∴f(x)=
2



∴f(x)在 R 上是单调递增函数, 且满足 2f(x)=f( x) , ∵不等式 f(x+t)≥2f(x)=f( x)在[t,t+2]恒成立, ∴x+t≥ x 在[t,t+2]恒成立, 即:x≤(1+ )t 在[t,t+2]恒成立, ∴t+2≤(1+ )t 解得:t≥ , 故答案为:[ ,+∞) . 点评: 本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性,难度适中,关键是掌握函数的单调性 与奇偶性. 三、解答题:解答题应写出文字说明,演算步骤或证明过程 17. (12 分)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c,不等式 f(x)>﹣2x 的解集为{x|1<x<3}. (Ⅰ)若方程 f(x)=2a 有两个相等正根,求 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围. 考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系;二次函数的性质;一元二次不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用.
2

分析: (Ⅰ)由题意可得 ax +(b+2)x+c>0 的解集为{x|1<x<3},可得

2





,代入 ax +bx+c=2a 整理,根据此方程的判别式△ =0,求得 a 的值,可得 b、

2

c 的值,从而求得 f(x)的解析式.

(Ⅱ)由题意可得

,由此求得 a 的范围.
2

解答: 解: (Ⅰ)∵已知二次函数 f(x)=ax +bx+c,不等式 f(x)>﹣2x 的解集为{x|1<x <3}.

故 ax +(b+2)x+c>0 的解集为{x|1<x<3},故有

2

,整理可得



代入 ax +bx+c=2a 可得 ax ﹣(4a+2)x+a=0. 再根据此方程的判别式△ =(4a+2) ﹣4a =0,求得 a=﹣1,或 a=﹣ . 当 a=﹣1 时,b=2,c=﹣3,此时,f(x)=﹣x +2x﹣3,满足条件. 当 a=﹣ 时,b=﹣ ,c=﹣1,此时,f(x)=﹣ x ﹣ x﹣1,此方程有 2 个负实数根,不满足 条件,故舍去. 综上可得,f(x)=﹣x +2x﹣3.
2 2 2 2 2 2

2

2

(Ⅱ)若 f(x)=ax ﹣(4a+2)x+3a(a<0)的最大值为正数,则有



求得 a<﹣2﹣ ,或 0>a>﹣2+ . 点评: 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系,二次函数的性质,体现了转化、 分类讨论的数学思想,属于基础题. 18. (12 分)有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛,由 500 名大众评委现场投票决定歌 手名次,根据年龄将大众评委分为 5 组,各组的人数如下: 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (Ⅰ) 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其 中从 B 组中抽取了 6 人.请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 (Ⅱ) 在(Ⅰ)中,若 A,B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手,现从这两组被抽 到的评委中分别任选 1 人,求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 考点: 相互独立事件的概率乘法公式;分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数; (Ⅱ)利用古典概型概率计算公式求出 A,B 两组被抽到的评委支持 1 号歌手的概率,因两组 评委是否支持 1 号歌手相互独立, 由相互独立事件同时发生的概率公式计算从这两组被抽到的 评委中分别任选 1 人,2 人都支持 1 号歌手的概率. 解答: 解: (Ⅰ)按相同的比例从不同的组中抽取人数. 从 B 组 100 人中抽取 6 人,即从 50 人中抽取 3 人,从 150 人中抽取 6 人,填表如下: 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 3 6 9 9 3 (Ⅱ)A 组抽取的 3 人中有 2 人支持 1 好歌手,则从 3 人中任选 1 人,支持 1 号歌手的概率为 . B 组抽取的 6 人中有 2 人支持 1 号歌手,则从 6 人中任选 1 人,支持 1 号歌手的概率为 .

现从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人,则 2 人都支持 1 号歌手的概率 p=



点评: 本题考查了分层抽样方法, 考查了相互独立事件同时发生的概率乘法公式, 若事件 A, B 是否发生相互独立,则 p(AB)=p(A)p(B) ,是中档题. 19. (12 分)如图,AB 是圆 O 的直径,PA⊥圆 O 所在的平面,C 是圆 O 上的点. (1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)若 Q 为 PA 的中点,G 为△ AOC 的重心,求证:QG∥平面 PBC.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1) 由 PA⊥圆所在的平面, 可得 PA⊥BC, 由直径对的圆周角等于 90°, 可得 BC⊥AC, 根据直线和平面垂直 的判定定理可得结论. (2)连接 OG 并延长交 AC 于点 M,则由重心的性质可得 M 为 AC 的中点.利用三角形的中 位线性质,证明 OM∥BC, QM∥PC,可得平面 OQM∥平面 PBC,从而证明 QG∥平面 PBC. 解答: 解: (1)AB 是圆 O 的直径,PA⊥圆所在的平面,可得 PA⊥BC, C 是圆 O 上的点,由直径对的圆周角等于 90°,可得 BC⊥AC. 再由 AC∩PA=A,利用直线和平面垂直的判定定理可得 BC⊥平面 PAC. (2)若 Q 为 PA 的中点,G 为△ AOC 的重心,连接 OG 并延长交 AC 于点 M, 连接 QM,则由重心的性质可得 M 为 AC 的中点. 故 OM 是△ ABC 的中位线,QM 是△ PAC 的中位线,故有 OM∥BC,QM∥PC. 而 OM 和 QM 是平面 OQM 内的两条相交直线, AC 和 BC 是平面 PBC 内的两条相交直线, 故 平面 OQM∥平面 PBC. 又 QG?平面 OQM,∴QG∥平面 PBC. 点评: 本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、直线和平面平行的判定定理的应用,属 于中档题.

20. (12 分)分别过椭圆 E:

=1(a>b>0)左、右焦点 F1、F2 的动直线 l1、l2 相交于

P 点,与椭圆 E 分别交于 A、B 与 C、D 不同四点,直线 OA、OB、OC、OD 的斜率分别为 k1、k2、k3、k4,且满足 k1+k2=k3+k4,已知当 l1 与 x 轴重合时,|AB|=2 (1)求椭圆 E 的方程; ,|CD|= .

(2)是否存在定点 M,N,使得|PM|+|PN|为定值?若存在,求出 M、N 点坐标,若不存在, 说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1) 由已知条件推导出|AB|=2a=2 , |CD|= , 由此能求出椭圆 E 的方程.

(2)焦点 F1、F2 坐标分别为(﹣1,0) , (1,0) ,当直线 l1 或 l2 斜率不存在时,P 点坐标为 (﹣1,0)或(1,0) ,当直线 l1,l2 斜率存在时,设斜率分别为 m1,m2,设 A(x1,y1) ,B (x2,y2) ,由 ,得 ,由此利用韦达

定理结合题设条件能推导出存在点 M,N 其坐标分别为(0,﹣1) 、 (0,1) ,使得|PM|+|PN| 为定值 2 . 解答: 解: (1)当 l1 与 x 轴重合时,k1+k2=k3+k4=0, 即 k3=﹣k4, ∴l2 垂直于 x 轴,得|AB|=2a=2 解得 a= ,b= , . ,|CD|= ,

∴椭圆 E 的方程为

(2)焦点 F1、F2 坐标分别为(﹣1,0) , (1,0) , 当直线 l1 或 l2 斜率不存在时,P 点坐标为(﹣1,0)或(1,0) , 当直线 l1,l2 斜率存在时,设斜率分别为 m1,m2, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由 ,











=

=

=



同理 k3+k4= ∵k1+k2=k3+k4,



∴ 由题意知 m1≠m2, ∴m1m2+2=0, 设 P(x,y) ,则

,即(m1m2+2) (m2﹣m1)=0,





,x≠±1,

由当直线 l1 或 l2 斜率不存在时, P 点坐标为(﹣1,0)或(1,0)也满足, ∴点 P(x,y)点在椭圆 上,

∴存在点 M,N 其坐标分别为(0,﹣1) 、 (0,1) , 使得|PM|+|PN|为定值 2 . 点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查是否存在定点 M,N,使得|PM|+|PN|为定值的判断与 证明,对数学思维的要求较高,有一定的探索性,解题时要注意函数与方程思想、等价转化思 想的合理运用. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点 x1、x2, (x1<x2) (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求证:f(x1)<0,f(x2)>﹣ .

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数 的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)利用导数研究函数的极值,求导,f′(x)=lnx+1﹣2ax.令 g(x)=lnx+1﹣2ax, 由于函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点?g(x)=0 在区间(0,+∞)上有两个实数根.对 a 分类讨论,解得即可. (2)先求出 f′(x) ,令 f′(x)=0,由题意可得 lnx=2ax﹣1 有两个解 x1,x2?函数 g(x)=lnx+1 ﹣2ax 有且只有两个零点?g′(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于 0.利用导数与函数极 值的关系即可得出. 解答: 解: (1)f(x)=xlnx﹣ax (x>0) ,f′(x)=lnx+1﹣2ax. 令 g(x)=lnx+1﹣2ax, ∵函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,则 g(x)=0 在区间(0,+∞)上有两个实数根. g′(x)= ﹣2a= ,
2

当 a≤0 时,g′(x)>0,则函数 g(x)在区间(0,+∞)单调递增,因此 g(x)=0 在区间(0, +∞)上不可能有两个实数根,应舍去. 当 a>0 时,令 g′(x)=0,解得 x= .

令 g′(x)>0,解得 0<x< 令 g′(x)<0,解得 x> ∴当 x=

,此时函数 g(x)单调递增;

,此时函数 g(x)单调递减.

时,函数 g(x)取得极大值.

当 x 趋近于 0 与 x 趋近于+∞时,g(x)→﹣∞, 要使 g(x)=0 在区间(0,+∞)上有两个实数根,则 g( ∴实数 a 的取值范围是(0, ) . (2)由(1)得 0<x1< <x2,f′(x1)=lnx1+1﹣2ax1=0,f′(x2)=lnx2+1﹣2ax2=0. <0, )= >0,解得 0<a< .

且 f(x1)=x1(lnx1﹣ax1)=x1(2ax1﹣1﹣ax1)=x1(ax1﹣1)<x1(﹣ax1)=﹣a f(x2)=x2(lnx2﹣ax2)=x2(ax2﹣1)>1×(a× ﹣1)=﹣ .

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值,考查了等价转化方法,考查了推理能 力和计算能力,属于难题. 四、选做题考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作 答时请写清题号【选修 4-1 几何证明选讲】 22. (10 分)如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B,C, ∠APC 的平分线分别交 AB,AC 于点 D,E. (Ⅰ)证明:∠ADE=∠AED; (Ⅱ)若 AC=AP,求 的值.

考点: 弦切角;相似三角形的性质. 专题: 证明题. 分析: (Ⅰ)根据弦切角定理,得到∠BAP=∠C,结合 PE 平分∠APC,可得 ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED; (Ⅱ) 根据 AC=AP 得到∠APC=∠C, 结合 (I) 中的结论可得∠APC=∠C=∠BAP, 再在△ APC 中根据直径 BC 得到∠PAC=90°+∠BAP,利用三角形内角和定理可得 .利用直角三角形中正切的定义,得到 过内角相等证明出△ APC∽△BPA,从而 . ,最后通

解答: 解: (Ⅰ)∵PA 是切线,AB 是弦, ∴∠BAP=∠C. 又∵∠APD=∠CPE, ∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE. ∵∠ADE=∠BAP+∠APD,∠AED=∠C+∠CPE, ∴∠ADE=∠AED.…(5 分) (Ⅱ) 由(Ⅰ)知∠BAP=∠C, ∵∠APC=∠BPA, ∵AC=AP, ∴∠APC=∠C ∴∠APC=∠C=∠BAP. 由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°. ∵BC 是圆 O 的直径, ∴∠BAC=90°. ∴∠APC+∠C+∠BAP=180°﹣90°=90°. ∴ 在 Rt△ ABC 中, ∴ . ,即 . ,

∵在△ APC 与△ BPA 中 ∠BAP=∠C,∠APB=∠CPA, ∴△APC∽△BPA. ∴ ∴ . . …(10 分)

点评: 本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函数的定义和相似 三角形的性质等知识点,属于中档题.找到题中角的等量关系,计算出 Rt△ ABC 是含有 30 度的直角三角形,是解决本题的关键所在. 【选修 4-4,坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系中,直线 l 经过点 P(2,2) ,倾斜角 α= ,以该平面直角坐标系的原点为

极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度,圆 C 的极坐 标方程为 ρ=2cosθ. (Ⅰ)写出直线 l 的参数方程与圆 C 的直角坐标方程;

(Ⅱ)直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,求

+

的值.

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程.

分析: (I)由直线 l 经过点 P(2,2) ,倾斜角 α=

,可得直线 l 的参数方程

(t

为参数) ;圆 C 的极坐标方程 ρ=2cosθ,化为 ρ =2ρcosθ.利用 方程. (II)把直线 l 的参数方程代入圆的直角坐标方程可得:

2

即可得出直角坐标

,可得根与系

数的关系,可得

+

=

=



解答: 解: (I)由直线 l 经过点 P(2,2) ,倾斜角 α=



可得直线 l 的参数方程

(t 为参数) ;
2

圆 C 的极坐标方程 ρ=2cosθ,化为 ρ =2ρcosθ. 2 2 ∴直角坐标方程为 x +y =2x. (II)把直线 l 的参数方程代入圆的直角坐标方程可得: + 化为 t1+t2=﹣ ∴ + = =2 , <0,t1t2=4>0,∴t1<0,t2<0. = = . ,

点评: 本题考查了直线的参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题. 【选修 4-5 不等式选讲】 24.证明: ﹣ < + +…+ < (n=2,3,4…) .

考点: 反证法与放缩法. 专题: 证明题;不等式的解法及应用.

分析: 利用

< <

= =

﹣ ,



= ﹣

,即可证明结论.

解答: 证明:∵

﹣ ,



+

+…+

<1﹣ + ﹣ +…+

﹣ =1﹣ =



∵ ∴

> + +…+

= ﹣

, = ﹣ ,

> ﹣ + ﹣ …+ ﹣

∴ ﹣



+

+…+



(n=2,3,4…) .

点评: 本题考查放缩法,考查学生分析解决问题的能力,利用 > = ﹣ ,是关键.



=

﹣ ,


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