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2016届高三数学综合练习(一)讨论稿


西乡一中 2016 届高三数学(理科)综合练习题(一)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题 共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.复数 z ? 1 ? i , z 为 z 的共轭复数,则 z z ? z ? 1 ? ( ) A. 2i B. i C. ?i D. ? 2i 2.

设集合 A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B={4, 5, 6, 7, 8}, 则满足 S? A 且 S∩B≠? 的集合 S 的个数是( A.57 B.56 ) C.49 D.8 )

3.设 a,b 都是不等于 1 的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的( A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

??? ? ??? ? ??? ? 4.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 OB ? a4 OA ? a2013 OC ,且 A, B, C 三点
共线( O 为该直线外一点) ,则 S2016 等于( A.2016 B.1008 C. 2
2016



D. 2

1008

5.为调查高中三年级男生的身高情况,选取了 5000 人作 为样本,右图是此次调查中的某一项流程图,若输出的结 果是 3800,则身高在 170cm 以下的频率为( ) A.0.24 B.0.38 C.0.62 D.0.76 6.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由 4 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正 方形,若直角三角形中较小的锐角为 ? ,大正方形 的面积是 1 ,小正方形的面积是 值等于( A.1 ) B. ? 7
25

1 , 则 sin 2 ? ? cos 2 ? 的 25

C. 7

25

D. ? 24

25

7.在正项等比数列 ?an ? 中,若 3a1 , A. 3 或 -1 B. 9 或 1 C. 3

1 a ? a2017 a3 , 2a2 成等差数列,则 2016 ? 2 a2014 ? a2015
D. 9
1

x2 y 2 ? ? 1 的左、 右焦点, 若 M 为椭圆上一点, 且 ?MF1F2 的 25 16 内切圆的周长等于 3? ,则满足条件的点 M 有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个

8. 已知 F1 , F2 为椭圆

[来源:学科网 ZXXK]

9. ( x 2 ? x ? y )5 的展开式中, x5 y 2 的系数为( ) A.60 B.30 C.20 D.10 10.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图 所示, 则该三棱锥的外接球表面积( A. 29? B. 30? C.
29? 2
3

) D. 216?

4
主视图

2
侧视图

俯视图

11.如图,矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(0,—1),B( ? ,—1),C( ? ,1), D(0,1), 正弦曲线 f(x)=sinx 和余弦曲线 g(x)=cosx 在矩形 ABCD 内交于点 F,向矩形 ABCD 区域 内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概 率是(
?
y D F
f(x)=sinx

C

) B. 1 ? 2
2?

O
g(x)=cos

E
x

x

A. 1 ? 2 C. 1
?

A

B

D. 1

2?

12. 已知函数 f ( x) ? (2 ? x)ex ? ax ? a , 若不等式 f ( x) ? 0 恰好存在两个正整数解, 则实数 a 的取值范围是( ) 3 ? e ? ? e3 e ? ? e3 ? ? e ? A. ? ? , 0 ? B. ? ? , 0 ? C. ? ? , ? D. ?? , 2 ? ? 2 ? ? 4 ? ? 4 2? ? 4 ?

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分 )
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把答案填写在答题卡 相应的位置) 13.已知数列 ?an ? 的前项和为 Sn ,若 S n =2an -4, ? n ? N ? ? ,则 an = ;

2

? x ? y ? 2 ? 0, 1 ? 14.若 x , y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0, ,则 z ? y ? x 的最大值为 2 ? y ? 0, ?
[来源:学。科。网 Z。X。X。K][来源:学科网 ZXXK]

.

15.已知抛物线 C: y 2 ? 8x 与点 M (?2, 2) ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C ???? ???? 交于 A,B 两点,若 MA ? MB ? 0 ,则 k ? ; 1 16. 已知 f ( x) 是奇函数, 且当 x ? (0, 2) 时, f ( x) ? ln x ? ax( a ? ) , 当 x ? (?2, 0) 2 时, f ( x) 的最小值是 1,则 a ? ;
[来源:学#科#网]

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
(17)(本小题满分 12 分) 在右图所示的四边形 ABCD 中,∠BAD=90°, ∠BCD=120°,∠BAC=60°,AC=2, 记∠ABC=θ 。 (I)求用含θ 的代数式表示 DC; (II)求△BCD 面积 S 的最小值.

18.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知四点 A(12,0) , B(?4, 0) , C (0, ?3) , D(?3, ?4) ,把坐标系平面沿 y 轴折为直二面角. (Ⅰ)求证:BC⊥AD; (Ⅱ)求平面 ADO 和平面 ADC 的夹角的余弦值; (Ⅲ)求三棱锥 C—AOD 的体积.

19.(本小题满分 12 分)有一个小型慰 问演出队,其中有 2 人会唱歌,有 5 人会 跳 舞 , 现 从 中 选 2 人 . 设 ? 为 选 出 的 人 中既 会 唱 歌 又 会 跳 舞 的人 数 , 且 7 P (? ? 0) ? . 10 (Ⅰ)求该演出队的总人数; (Ⅱ)求 ? 的分布列并计算 E? .
x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点. 4 ???? ???? ? 5 (I)若 P 是第一象限内该椭圆上的一点, PF1 ?PF2 ? ? ,求点 P 的坐标; 4 (II)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,且 ?AOB 为锐 角(其 中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分) 已知 F1 、 F2 分别是椭圆

3

x ln x 和直线 l : y ? m( x ? 1) . x ?1 (Ⅰ)当曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 l 垂直时,求原点 O 到直线 l 的

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

距离; (Ⅱ)若对于任意的 x ? [1, ? ?), f ( x) ? m( x ? 1) 恒成立,求 m 的取值范围; (Ⅲ)求证: ln 4 2n ? 1 ? ?
i ?1 n

i 4i ? 1
2

. ( n ? N? ) .

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题 计分,做答时请写清题号. 2 2.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于点 E. (Ⅰ)若 D 为 A C 的中点,证明:DE 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 OA= 3 CE,求∠ACB 的大小.

23.本小题满分 10 分 )选修 4—4;坐标系与参数方程 在极坐标系 ox 中,P 为曲线 C1 : ? ? 2 cos ? 上的任意一点,点 Q 在射线 OP 上,且满足 | OP | ? | OQ |? 6 ,记 Q 点的轨迹为 C2 . (Ⅰ)求曲线 C2 的直角坐标方程; ? (Ⅱ)设直线 l : ? ? 分别交 C1 与 C2 交于 A、B 两点,求 | AB | . 3 24. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 (Ⅰ)已知 c ? 0 ,关于 x 的不等式: x ? x ? 2c ? 2 的解集为 R.求实数 c 的取值范 围; (Ⅱ)若 c 的最小值为 m ,又 p、 q、 r 是正实数,且满足 p+q+r=3m,求证: p2+q2+r2≥3.

4

数 学(理科)参考答案
一.选择题: CADBA ACCBD BA 二.填空题: 5 2 13. 5 14. f ( x) ? 2sin(11 6 x ? 6?) 三.解答题:

15. 2

16. 1

(17)解: (Ⅰ)在△ADC 中,∠ADC=360° -90° -120° -θ=150° -θ, DC AC DC 2 由正弦定理可得 = ,即 = , sin∠DAC sin∠ADC sin30° sin(150° -θ) 1 于是:DC= . sin (150° -θ) AC BC 3 (Ⅱ)在△ABC 中,由正弦定理得 = ,即 BC= , sin θ sin 60° sin θ 1 由(Ⅰ)知:DC= , sin (150° -θ)

?5 分

3 3 3 那么 S= = , 2 = 4sin θ·sin (150° -θ) 2sinθcosθ+2 3sin θ 3+2sin(2θ-60° ) 故 θ=75° 时,S 取得最小值 6-3 3.
4 18.(本小题满分 12 分). (2) 5 ,(3)18

?12 分

19. (本小题满分 12 分)[解析]:设既会唱歌又会跳舞的有 x 人,则文娱队中共 有 (7 ? x) 人,那么只会一项的人数是 (7 ? 2 x) 人. 7 (1)? P(? ? 0) ? 1 ? P(? ? 0) ? 10 ,

C72? 2 x 3 ? , C72? x 10 (7 ? 2 x)(6 ? 2 x) 3 ? ? x ? 2. ∴ 故文娱队共有 5 人 (7 ? x)(6 ? x) 10 1 1 2 C2 ? C3 C2 3 3 1 (2) P(? ? 0) ? 10 , , P(? ? 1) ? ? 5 P(? ? 2) ? 2 ? 10 2 C5 C5 ? 的分布列为 3 3 1 4 ∴ E? ? 0 ? 10 ? 1? 5 ? 2 ? 10 ?5 ? 0 1 2
3 ∴ P(? ? 0) ? 10 ,即

P

3 10

3 5

1 10

20. (本小题满分 12 分)
x2 ? y 2 ? 1 , 知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 , [解析](I)因为椭圆方程为 4 ? F1 (? 3,0), F2 ( 3,0) ,设 P( x, y)( x ? 0, y ? 0) ,

5

???? ???? ? 5 则 PF1 ?PF2 ? (? 3 ? x, ? y )?( 3 ? x, ? y ) ? x 2 ? y 2 ? 3 ? ? , 4 7 ? 2 x ? y2 ? ? x2 ? 1 ? x ? 1 ? x2 3 ? 4 ? ? 又 ? y 2 ? 1,联立 ? 2 ,解得 ? 2 3 ? ? ,? P (1, ) 3 4 2 ? x ? y2 ? 1 ?y ? ?y ? ? 4 ? 2 ? ? 4 (II)显然 x ? 0 不满足题意,可设 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

? x2 2 12 16k ? ? y ?1 , x1 ? x2 ? ? 联立 ? 4 , ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 ? x1 x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? y ? kx ? 2 ? 3 且△ ? (16k ) 2 ? 4(1 ? 4k 2 ) ?12 ? 0,? k 2 ? 4 ??? ? ??? ? 又 ?AOB 为锐角,?OA ? OB ? 0 ,? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,? x1 x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? 0 ,
? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? (1 ? k 2 ) 12 16k 4(4 ? k 2 ) ? 2 k ( ? ) ? 4 ? ?0 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 3 3 3 3 ? k 2 ? 4, 又? k 2 ? ,? ? k 2 ? 4 , ? k ? (?2, ? ) ? ( , 2) 4 4 2 2
x ? 1 ? ln x ( x ? 1) 2

21.(本小题满分 12 分) [解析](Ⅰ) f ?( x) ?
2

∴ f ?(1) ? 1 ,于是 m ? ?2 原点 O 到直线 l 的距离为 2 5
5

, 直线 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 ……3 分

(Ⅱ) f ( x) ? x ln x , ?x ?[1, ??), f ( x) ? m( x ? 1), 即ln x ? m( x ? 1 ) ,
x ?1 x

设 g ( x) ? ln x ? m( x ? 1 ) ,即 ?x ?[1, ??), g ( x) ? 0 x 1 1 ?mx2 ? x ? m g ?( x) ? ? m(1 ? 2 ) ? x x x2 ①若 m ? 0 ,存在 x 使 g ?( x) ? 0 , g ( x) ? g (1) ? 0 ,这与题设 g ( x) ? 0 矛盾 ②若 m ? 0 ,方程 ?mx2 ? x ? m ? 0 的判别式 ? ? 1 ? 4m2 , 当 ? ? 0 ,即 m ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,
2

∴ g ( x) 在 (1, ??) 上单调递减, ∴ g ( x) ? g (1) ? 0 ,即不等式成立 当 0 ? m ? 1 时,方程 ?mx2 ? x ? m ? 0 ,设两根为 x1 , x2 ,
2
( x1 ? x2 ) x1 ? 1 ? 1 ? 4m 2 1 ? 1 ? 4m 2 ? (0,1), x2 ? ? (1, ??) 2m 2m
6

当 x ? (1, x2 ), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调递增, g ( x) ? g (1) ? 0 与题设矛盾,综上所述,
m? 1 2

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 x ? 1 时, m ? 1 时, ln x ? 1 ( x ? 1 ) 成立.
2

2

x

不妨令 x ? 2k ? 1 ,(k ? N? ) ,

2k ? 1 k 所以 2k ? 1 ? 1 ( 2k ? 1 ? 2k ? 1 ) ? 4 , 2k ? 1 2 2k ? 1 2k ? 1 4k 2 ? 1 1 4k [ln(2k ? 1) ? ln(2k ? 1)] ? 2 ,(k ? N? ) 4 4k ? 1 1 ?1 ? 4 (ln 3 ? ln1) ? 4 ? 12 ? 1 ? 2 ?1 累加可得 ? (ln 5 ? ln 3) ? 2 4 4 ? 2 ?1 ? n ?1 (ln(2n ? 1) ? ln(2n ? 1)) ? ? 4 ? n2 ? 1 ?4 n 1 i ln(2n ? 1) ? ? 2 (n ? N? ) . 4 4 i ? 1 i ?1
ln 4 2n ? 1 ? ?
i ?1 n

i (n ? N? ) 4i 2 ? 1

22.【解析】 (1)连接 OE, OD ,可证 ?OAD ? ?OED,??OED ? ?OAD ? RT ? , 所以 DE 是圆 O 的切线. (2) ?ACB ? 60? 23. 【解析】 (1) ? cos? ? 3 (2) AB ? 5 24. 【解析】 ( I ) 不 等 式 x? | x ? 2c |? 2的解集为R ?
R上恒大于或等于2 , ? x? | x ? 2c |? ? ?

函数y ? x? | x ? 2c | 在

2 x ? 2c, x ? 2c, , ?函数y ? x? | x ? 2c | , x ? 2c, ?2c,

在R上的最小值为2c ,? 2c ? 2 ? c ? 1.

所以,实数 c 的取值范围为 ?1 , +?? .

(Ⅱ)由(1)知 p+q+r=3,又 p,q,r 是正实数,所以(p2+q2+r2)(12+ 12 + 12)≥(p×1+ q×1+ r×1)2 = (p + q + r)2 = 9 ,即 p2 + q2 + r2≥3.当且仅当
p ? q ? r ? 1等号成立。

7


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