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南昌二中高中物理竞赛力学教程第二讲 运动学


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第二讲 运动学
§2.1 质点运动学的基本概念
2.1.1、参照物和参照系 . . 、 要准确确定质点的位置及其变化,必须事先选取另一个 z 假定不动的物体作参照,这个被选的物体叫做参照物。为了 定量地描述物体的运动需要在参照物上建立坐标,构成坐标 r 系。 γ 通常选用直角坐标系 O–xyz,有时也采用极坐标系。平 z 面直角坐标系一般有三种,一种是两轴沿水平竖直方向,另 α β 一是两轴沿平行与垂直斜面方向,第三是两轴沿曲线的切线 y O 和法线方向(我们常把这种坐标称为自然坐标) 。 x 2.1.2、位矢 位移和路程 . . 、 y 在直角坐标系中,质点的位置可用三个坐标 x,y,z 表 x 示,当质点运动时,它的坐标是时间的函数 图 2-1-1 x=X(t) y=Y(t) z=Z(t) 这就是质点的运动方程。 v 质点的位置也可用从坐标原点 O 指向质点 P(x、y、z)的有向线段 r 来表示。如图 2-1-1 所示, r 也是描述质点在空间中位置的物理量。r 的长度为质点到原点之间的距离,r 的方向 由余弦 cosα 、 cos β 、 cos γ 决定,它们之间满足

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
当质点运动时,其位矢的大小和方向也随时间而变,可表示为 r = r (t)。在直角坐标系中,设 分别为 i 、 j 、 k 沿方向 x 、 y 、 z 和单位矢量,则 r 可表示为

r (t ) = x(t )i + y(t ) j + z (t )k
位矢 r 与坐标原点的选择有关。 研究质点的运动,不仅要知道它的位置,还必须知道它
1 的位置的变化情况,如果质点从空间一点 P ( x1 , y1 , z1 ) 运动

z

P(x1, y1, z1) 1

r1
O

?r

到另一点 P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,相应的位矢由 r 变量为 ? r

1

变到 r 2,其改

r

2

P (x , y , z )

y

? r = r2 ? r1 = ( x2 ? x1 )i + ( y 2 ? y1 ) j + ( z 2 ? z1 )k

x

称为质点的位移,如图 2-1-2 所示,位移是矢量,它是 从初始位置指向终止位置的一个有向线段。它描写在一定时间内质点位置变动的大小和方向。 它与坐标原点的选择无关。 2.1.3、速度 . . 、 质点在一段时间内通过的位移和所用的时间之比叫做这段时间内的平均速 平均速度 度

图 2-1-2

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第二讲 运动学

平均速度是矢量,其方向为与 ?r 的方向相同。平均速度的大小, 与所取的时间间隔 ?t 有 关,因此须指明是哪一段时间(或哪一段位移)的平均速度。 瞬时速度

r r s v= ?t

v

v s v v v = lim v = lim ?t → 0 ?t ?t → 0

当 ?t 为无限小量,即趋于零时, ?r 成为 t 时刻的瞬时速度,简称速度

v

瞬时速度是矢量,其方向在轨迹的切线方向。 瞬时速度的大小称为速率。速率是标量。 2.1.4、加速度 . . 、 平均加速度 的平均加速度

质点在 ?t 时间内,速度变化量为 ?v ,则 ?v 与 ?t 的比值为这段时间内

v

v

平均加速度是矢量,其方向为 ?v 的方向。 瞬时加速度 度,简称加速度

v r ?v a= ?t

v

当 ?t 为无限小量,即趋于零时, ?v 与 ?t 的比值称为此时刻的瞬时加速

v

加速度是矢量,其方向就是当 ?t 趋于零时,速度增量的极限方向。 2.1.5、匀变速直线运动 . . 、 v v v 加速度 a 不随时间 t 变化的直线运动称为匀变速直线运动 匀变速直线运动。若 a 与 v 同方向,则为匀加速 匀变速直线运动 v v 直线运动;若 a 与 v 反方向,则为匀减速直线运动。 匀变速直线运动的规律为:

v ?v a = lim ? t → 0 ?t

v1 = vο + at

s = v0 t =
2

1 2 at 2 1 (v0 + vt )t 2

v1 ? vο = 2as
2

s = vt =

匀变速直线运动的规律也可以用图像描述。其位移—时间图像(s~t 图)和速度—时间图 像(v~t 图)分别如图 2-1-3 和图 2-1-4 所示。 从(s~t)图像可得出: (1)任意一段时间内的位 s 移。 (2)平均速度, ( t 2 ? t1 ) 在 的时间内的平均速度的大小, 是通过图线上点 1、点 2 的割 线的斜率。 v 2

1

物理课件网(www.wulikj.com)----全力打造物理课件、物理试题、物理教案、物理视频第一交流平台! t

O

t1

t2

O

t

图 2-1-3

图 2-1-4

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(3)瞬时速度,图线上某点的切线的斜率值,等于该时刻的速度值。从 s~t 图像可得出: 从(v~t)图像可得出: (1)任意时刻的速度。 (2)任意一段时间内的位移, t1 ? t 2 时间内的位移等于 v~t 图线, t1、t 2 时刻与横轴所围 的“面积”。这一结论对非匀变速直线运动同样成立。 (3)加速度,v~t 图线的斜率等于加速度的值。若为非匀变速直线运动,则 v~t 图线任一 点切线的斜率即为该时刻的瞬时加速度的大小。 §2.2 运动的合成与分解相对运动 2.2.1、运动的合成与分解 . . 、 (1)矢量的合成与分解 矢量的合成与分解的基本方法是平行四边形法则,即两分量构成平行四边形的两邻边, 合矢量为该平行四边形与两分量共点的对角线。由平行四边形法则又衍生出三角形法则,多 个矢量的合成又可推导出多边形法则。 同一直线上的矢量的合成与分解可以简化为代数运算,由此,不在同一直线上的矢量的 合成与分解一般通过正交分解法 正交分解法进行运算,即把各个矢量向互相垂直的坐标轴投影,先在各 正交分解法 轴上进行代数运算之后,再进行矢量运算。 (2)运动的合成和分解 运动的合成与分解是矢量的合成与分解的一种。运动的合成与分解一般包括位移、速度、 加速度等的合成与分解。运动的合成与分解的特点主要有:①运动的合成与分解总是与力的 作用相对应的;②各个分运动有互不相干的性质,即各个方向上的运动与其他方向的运动存 在与否无关,这与力的独立作用原理是对应的;③位移等物理量是在一段时间内才可完成的, 故他们的合成与分解要讲究等时性,即各个运动要取相同时间内的位移;④瞬时速度等物理 量是指某一时刻的,故它们的合成分解要讲究瞬时性,即必须取同一时刻的速度。 两直线运动的合成不一定就是直线运动,这一点同学们可以证明。如:①两匀速直线运 动的合成仍为匀速直线运动;②两初速为零(同一时刻)的匀加速直线运动的合成仍为初速 为零的匀加速直线运动;③在同一直线上的一个匀速运动和一个初速为零的匀变速运动的合 运动是一个初速不为零的匀变速直线运动,如:竖上抛与竖下抛运动;④不在同一直线上的 一个匀速运动与一个初速为零的匀加速直线运动的合成是一个曲线运动,如:斜抛运动。 2.2.2、相对运动 . . 、 任何物体的运动都是相对于一定的参照系而言的,相对于不同的参照系,同一物体的运 动往往具有不同的特征、不同的运动学量。 通常将相对观察者静止的参照系称为静止参照系;将相对观察者运动的参照系称为运动 参照系。物体相对静止参照系的运动称为绝对运动,相应的速度和加速度分别称为绝对速度 和绝对加速度;物体相对运动参照系的运动称为相对运动,相应的速度和加速度分别称为相 对速度和相对加速度;而运动参照系相对静止参照系的运动称为牵连运动,相应的速度和加 速度分别称为牵连速度和牵连加速度。 绝对运动、相对运动、牵连运动的速度关系是:绝对速度等于相对速度和牵连速度的矢 量和。

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v v v v绝对 = v相对 + v 牵连
这一结论对运动参照系是相对于静止参照系作平动还是转动都成立。 当运动参照系相对静止参照系作平动时,加速度也存在同样的关系:

v v v a 绝对 = a 相对 + a 牵连

当运动参照系相对静止参照系作转动时,这一关系不成立。 如果有一辆平板火车正在行驶,速度为 v 火地 (脚标“火地”表示火车相对地面,下同) 。

v

v v汽火 ,那么很明显, 有一个大胆的驾驶员驾驶着一辆小汽车在火车上行驶,相对火车的速度为
汽车相对地面的速度为:

v v v v汽地 = v汽火 + v火地

v v v v 汽火 和 v 火地 不一定在一条直线上)如果汽车中有一只小狗,以相对汽车为 v狗汽 (注意:
的速度在奔跑,那么小狗相对地面的速度就是

v v v v v 狗地 = v狗汽 + v汽火 + v火地

从以上二式中可看到,上列相对运动的式子要遵守以下几条原则: ①合速度的前脚标与第一个分速度的前脚标相同。合速度的后脚标和最后一个分速度的 后脚标相同。 ②前面一个分速度的后脚标和相邻的后面一个分速度的前脚标相同。 ③所有分速度都用矢量合成法相加。 ④速度的前后脚标对调,改变符号。 以上求相对速度的式子也同样适用于求相对位移和相对加速度。 相对运动有着非常广泛的应用,许多问题通过它的运用可大为简化,以下举两个例子。 例 如图 2-2-1 所示,在同一铅垂面上向图示的两个方向以 vB=20m/s

vA = 10m / s、vB = 20m / s 的初速度抛出 A、B 两个质点,问 1s

vA=10m/s 60? 30?

后 A、B 相距多远?这道题可以取一个初速度为零,当 A、B 抛 出时开始以加速度 g 向下运动的参考系。在这个参考系中,A、B 二个质点都做匀速直线运动,而且方向互相垂直,它们之间的距 离

图 2-2-1

s AB =

(v At )2 + (v B t )2

= 10 5m = 22.4 m

在空间某一点 O,向三维空间的各个方向以相同的速度 vο 射出很多个小球,球 ts 之后这 些小球中离得最远的二个小球之间的距离是多少(假设 ts 之内所有小球都未与其它物体碰 撞)?这道题初看是一个比较复杂的问题,要考虑向各个方向射出的小球的情况。但如果我 们取一个在小球射出的同时开始自 O 点自由下落的参考系,所有小球就都始终在以 O 点为球 心的球面上,球的半径是 v0 t ,那么离得最远的两个小球之间的距离自然就是球的直径 2 v 0 t 。

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§2.3 抛体运动 2.3.1、曲线运动的基本知识 . . 、 轨迹为曲线的运动叫曲线运动。 它一定是一个变速运动。 2-3-1 表示一质点作曲线运动, 图 它经过 P 点时, P 点两旁的轨迹上取 a1、b1 两点, a1、P、b1 在 过 三点可作一圆,当这两点无限趋近于 P 点时,则圆亦趋近于一个 定圆,我们把这个圆叫 P 点的曲率圆,曲率圆的半径叫 P 点的曲 率半径,曲率圆的圆心叫 P 点的曲率中心,曲率半径的倒数叫 P 点的曲率。如图 2-3-1,亦可做出 Q 点的曲率圆。曲率半径大, 曲率小,表示曲线弯曲较缓,曲率半径小,曲率大,表示曲线弯 曲厉害。直线可认为是曲率半径为无穷大的曲线。 质点做曲线运动的瞬时速度的方向总是沿该点的切线方向。 如图 2-3-2 所示,质点在△t 时间内沿曲线由 A 点运动到 B 点, 速度由 V 变化到 VB,则其速度增量 ?V 为两者之
A

a1

a2

Pb 2 R1

b1
O2

O1

Q

图 2-3-1
VA △V1 C △VB VB

矢量差, ?V =VB―V ,这个速度增量又可分解成 A 两个分量:在 VB 上取一段 AC 等于 V ,则△V 分 解成△V 1 和△V 2 ,其中△V 1 表示质点由 A 运动到 B 的速度方向上的增量,△V 2 表示速度大小上的增 量。
A

A

VB

△V2

图 2-3-2

法向加速度 a n 表示质点作曲线运动时速度方向改变的快慢, 其大小为在 A 点的曲率圆的 向心加速度:

a n = lim

?V2 ?t →0 ?t

其方向指向 A 点的曲率中心。 切向加速度 aτ 表示质点作曲线运动时速度大小改变的快慢, 方向亦沿切线方向,其大小为

aτ = lim

?V1 V A2 = ?t →0 ?t RA

总加速度 a 方法向加速度和切向加速度的矢量和。 2.3.2、抛物运动是曲线运动的一个重要特例 . . 、 物体以一定的初速度抛出后,若忽略空气阻力,且物体的运动在地球表面附近,它的运 动高度远远小于地球半径,则在运动过程中,其加速度恒为竖直向下的重力加速度。因此, 抛体运动是一种加速度恒定的曲线运动。 根据运动的叠加原理,抛体运动可看成是由两个直线运动叠加而成。常用的处理方法是: 将抛体运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。 如图 2-3-3。取抛物轨迹所在平面为平面,抛出点为坐标原点,水平方向为 x 轴,竖直方
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向为 y 轴。则抛体运动的规律为:

?a x = 0 ? ?a y = ? g ?v x = v0 cosθ ? ?v y = v0 sin θ ? x = v0 cos θt ? ? 1 2 ? y = v 0 sin θt ? 2 gt ?
其轨迹方程为

y = xtgθ ?

g x2 2 2v cos θ
2 o

这是开口向下的抛物线方程。 在抛出点和落地点在同一水平面上的情况下,飞行时间 T,射程 R 和射高 H 分别为

2v sin θ T= 0 g

2 v0 sin 2θ R= g

2 v0 sin 2 θ H= 2g

抛体运动具有对称性,上升时间和下降时间(抛出点与落地点在同一水平面上)相等(一 般地,从某一高度上升到最高点和从最高点下降到同一高度的时间相等) ;上升和下降时经过 同一高度时速度大小相等,速度方向与水平方向的夹角大小相等。 下面介绍一种特殊的抛体运动——平抛运动 平抛运动: 平抛运动 质点只在重力作用下,且具有水平方向的初速度的运动叫平抛运动。它可以看成水平方 向上的匀速运动(速度为 v0)与竖直方向上的自由落体运动的合成。 ①速度:采用水平竖直方向的直角坐标可得: v x = v0

v y = gt ,其合速度的大小为

2 v = v0 + (gt ) 2 , 其 合 速 度 的 方 向 为 ( 设 水 平 方 向 夹 角 为 θ ) 可 见 , 当 t → ∞ 时 , , V → gt , θ → π / 2 , 即表示速度趋近于自由落体的速度。 V0

②位移:仍按上述坐标就有, x = V0 t , y = gt / 2 。 仿上面讨论也可得到同样结论,当时间很长时,平抛运动 趋近于自由落体运动。 ③加速度:采用水平和竖直方向直角坐标系
2

O

x

Vx

an
Vy y g V

有, a x = 0, a y = g ,用自然坐标进行分解,如图 2-3-4 其 法向加速度为 a n = g cos θ , 切向加速度为 aτ = g sin θ , θ为速度与水平向方的夹角,将速度在水平与竖直方向的 坐标系中分解可知:

av

图 2-3-4

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sin θ =

Vy V

=

gt v + g 2t 2
2 0

cos θ =

Vx V0 = V V02 + g 2 t 2 gV0 aτ = g 2t V02 + g 2 t 2

由此可知,其法向加速度和切向加速度分别为:

an =

V02 + g 2 t 2

由上两式可以看出,随着时间的推移,法向加速度逐渐变小趋近于零,切向加速度趋近 于定值 g,这表示越来越接近竖直下抛运动。在生活中也很容易看到,平抛物体的远处时就接 近竖直下落了。 运动的轨迹方程:

y=

g 2 x 2V02 v0
A θ s

B h C

从方程可以看出,此图线是抛物线,过原点,且 V0 越大, 图线张开程度大,即射程大。根据运动的独立性,经常把斜抛 运动分解成水平方向匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛运 动来处理,但有时也可以用其它的分解分法。

为 v0 的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动二个分运 动。 如图 2-3-5 所示, A 点以 v0 的初速度抛出一个小球, 从 在离 A 点水平距离为 s 处有一堵高 度为 h 的墙 BC,要求小球能越过 B 点。 问小球以怎样的角度抛出,才能使 v0 最小? 将斜抛运动看成是 v0 方向的匀速直线运动和另一个自由落体运动的合运动,如图 2-3-6 所示。 在位移三角形 ADB 在用正弦定理 D

r

r 抛体运动另一种常用的分解方法是:分解沿 v0 方向的速度

图 2-3-5

① ④轨迹:由直角坐标的位移公式消去时间参数 t 便可得到直 角坐标系中的平抛运 由①式中第一个等式可得

1 2 gt vt 1 2 = 0 = sin a sin β sin(a + β )

vo t β v0 α ?

B h C

l

A

t=

2v 0 sin a g sin β

图 2-3-6



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将②式代入①式中第二个等式

2v 2 0 sin a l = 2 g sin β sin( a + β ) gl sin 2 β 2 2v 0 = sin(a + β ) sin a gl sin 2 β 2 v0 = ? cos(2a + β ) + cos β
当 ? cos( 2a + β ) 有极大值 1 时,即 2 a + β = π 时, v0 有极小值。 因为 所以

2a + β = π , π 1 a= ? ? 4 2

2a + ? +

π
2



1 ? 2 ? x = v 0 cos at ? 2 g sin ?t ? ? ? y = v sin at ? 1 g cos ?t 2 0 ? 2 ?
当小球越过墙顶时,y 方向的位移为零,由②式可得

t=

2v 0 sin a g cos ?

③式代入式①:我们还可用另一种处理方法 以 AB 方向作为 x 轴(图 2-3-7)这样一取,小球在 x、y 方向上做的都是匀变速运动了,

v0

和 g 都要正交分解到 x、y 方向上去。 小球运动的方程为

1 ? 2 ? x = vox t ? 2 g x t ? ? ?y = v ? 1 g t 2 oy y ? ? 2 2v sin a 1 2v sin a 2 x = v 0 cos a 0 ? g sin ? ( 0 ) g cos ? 2 g cos ?

B

x

=
= =

2v0 sin a (cos a cos ? ? sin a sin ? ) g cos 2 ?
2v sin a cos(a + ? ) g cos ?
2 v0 [sin(2a + ? ) ? sin ? ] g cos 2 ? 2 0 2

y

v0

v0 y g xA

α v0 x ?
C

gy g

图 2-3-7

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2 v0 =

xg cos 2 ? sin(2a + ? ) ? sin ?
2a + ? =

当 sin( 2a + ? ) 最大,即
2 0 2

π
2 时,

a=

π

1 ? ? v 4 2 , 0 有极小值

v = xg cos ? /(1 ? sin ? )

= xg cos 2 ? (1 + sin ? ) /(1 ? sin 2 ? ) = xg (1 + sin ? ) h = xg (1 + ) x = g (h + h 2 + s 2 )
§2.4 质点的圆周运动 刚体平面平行运动与定轴转动 2.4.1、质点的圆周运动 . . 、 (1)匀速圆周运动 如图 2-4-1 所示,质点 P 在半径为 R 的 匀速圆周运动 圆周上运动时,它的位置可用角度θ表示(习惯上以逆时针转 角正,顺时针转角为负) ,转动的快慢用角速度表示:

y

v2 v 1
R


O

?l P
θ x

?θ ω = lim ?t → 0 ?t
质点 P 的速度方向在圆的切线方向,大小为

v = lim

Rθ ?l = lim 0 = ωR ?t →0 ?t ?t →0 ?t

图 2-4-1

ω(或 v)为常量的圆周运动称为匀速圆周运动。这里的“匀速”是指匀角速度或匀速率, 速度的方向时刻在变。因此,匀速圆周运动的质点具有加速度,其加速度沿半径指向圆心, 称为向心加速度(法向加速度) 。

ω n = v 2 / R = ω 2 R = ωv
向心加速度只改变速度的方向,不改变速度的大小。 (2)变速圆周运动 ω(或 v)随时间变化的圆周运动,称为变速圆周运动,描述角速 变速圆周运动 度变化快慢的物理量为角加速度

β = lim
r

?ω ?t → 0 ?t

质点作变速圆周运动时,速度的大小和方向都在变化。将速 度增量 ?v 分解为与 v2 平行的分量 ?v // 和 v2 垂直的分量 ?v1 ,如

r

r

r

r

?v
V2 ∨

r r r 图 2-4-2。 v1 相当于匀速圆周运动个的 ?v , ?v11 的大小为 ?v12 = v 2 ? v1 = ω 2 R ? ω1 R = R?ω
质点 P 的加速度为

V1 V1 ∨
?θ ?θ

R P

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图 2-4-2

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r r = aτ + a n r r 其中 a r , a n 就是切向加速度和法向加速度。

r r r ? v // r ?v⊥ ?v a = lim0 = lim0 + lim0 ?t→ ?t → ?t → ?t ?t ?t

aτr = βR
an = v 2 / R = ω 2 R
β为常量的圆周运动,称为匀变速圆周运动,类似于变速直线运动的规律,有

ω = ω 0 + βt
θ = ω 0 t + βt 2
v0 = ω 0 R v = ωR = v 0 + βRt = v 0 + a r t
(3)圆周运动也可以分解为二个互相垂直方向上的分 运动。参看图 2-4-3 一个质点 A 在 t=0 时刻从 x 正方向开 始沿圆周逆时针方向做匀速圆周运动,在 x 方向上

1 2

y

v vy
vx
O A

v x

ωt

R

x = R cosωt v x = ?v sin ωt = ?ωR sin ωt
a x = ? a cos ωt = ?ω 2 R cos ωt
在 y 方向上:

图 2-4-3

y = R sin ωt = R cos(ωt ?

π
2

)

v y = v cos ωt = ?ωR sin(ωt ?

π
2

)

a y = ? a sin ωt = ?ω 2 R cos(ωt ?

π
2

)
S A

从 x 和 y 方向上的位移、速度和加速度时 间 t 表达的参数方程可以看出: 匀速圆周运动可 以分为两个互相垂直方向上的简谐运动,它们

π

vA

的相位相差 2 2.4.2、刚体的平面平行运动 . . 、 B vA / w 刚体平面平行运动的特征是,刚体上的任 A vB 意质点都作平行于一个固定平面的运动。如圆 S vA 柱沿斜面的滚动,即为平面平行运动。可取刚 (a) (b) 体上任意平行于固定平面的截面作为研究对 图 2-4-4 象。 刚体的平面平行运动,常有两种研究方法: 一种是看成随基点(截面上任意一点都可作为基点)的平动和绕基点的转动的合运动;另一
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种是选取截面上的瞬时转动中心 S (简称瞬心) 为基点。 瞬心即指某瞬间截面上速度为零的点。 这样,刚体的平面平行运动看成仅作绕瞬心的转动。 确定瞬心的方法有两种:如图 2-4-4(a)所示,若已知截面上两点的速度,则与两速度方向 垂直的直线的交点即为瞬心。或如图 2-4-4(b)所示,已知截面转动的角速度及截面上某一点 A 的速度 v A ,则在与速度垂直的直线上,与 A 点距离为 v A / ω 的点即为瞬心。 注意,瞬心的速度为零,加速度不一定为零。 2.4.3、刚体的定轴转动 . . 、 刚体运动时,刚体上或其延展部分有一根不动直线,该直线称为定轴,刚体绕这一轴转 动。刚体作定轴转动时,其上各点都在与轴垂直的平面内作圆周运动,各点作圆周运动的半 径不同,在某一时刻,刚体上所有各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的。而各点的 线位移、线速度和线加速度则随各点离开转轴的垂直距离不同而不同。 2.4.4、一些求曲率半径的特殊方法 . . 、

(1)将椭圆看成是半径 R=A (设 A>B) 的圆在 δ 平面上的投影, 圆平面和 δ 平面的夹角 ? 满足关系式(如图 2-4-5)

x2 y2 + 2 =1 2 B 先看椭圆曲线 A ,要求其两顶点处的曲率半径。介绍以下两种方法:

cos ? =

B B = R A a= v2 A, 从上图中可以看出,
Φ Q p x

设一个质点以速率 v 在圆上做匀速圆周运 动, 则向心加速度 当顶点的投影在椭圆的长轴(x 轴)上的 P 点 时,其速率和加速度分别为:

B v x = v cos ? = v A , v2 ax = A
当质点的投影在椭圆的短轴 轴) (y 上的 Q 点时,其速率和加速度分别为: y

如图 2-4-5

vy = v

v2 a y = a cos Φ = B 2 A 。
2 2

y Q B A P x

因此椭圆曲线在 P、Q 的曲率半径分别为:

ρp =
ρQ =

v x B = ax A

v 2 y A2 = ay B

图 2-4-6

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(2)将椭圆看成是二个简谐运动的合成,可以把椭圆的参数方程(设 A>B) (如图 2-4-6)

可改写为 即可进一步写出 x,y 二个方程的速度 v 和加速度 a:

? x = A cos θ ? ? y = B sin θ

? x = A cos ωt ? ? π ? y = B cos( wt ? 2 ) ?

?v x = ? Aω sin ωt ? 2 ?a x = ? Aω cos wt
0 那么在长轴端点 P 处( ω t = 0 )的曲率半径:

π ? ? v = ? B ω sin( ω t ? 2 ) ? y ? ? a = ? B ω 2 cos( wt ? π ) ? y 2 ?

ρp =

v2 p ap

( Bω ) 2 B 2 = = A Aω 2

在短轴端点 Q 处(

ωt =

π
2 )的曲率半径

ρQ =

2 vQ

aQ

( Aω ) 2 A 2 = = B Bω 2
2

再把抛物线 y=Ax ,要求其任意一点的曲率半径(如图 2-4-7)因为抛物线可以写作参数 方程

? x = v0 t ? ? 1 2 ? y = 2 at ?
a =A 2v o 其中 ,这样就可以导出
对任意一个 t 值: v=
0 a N =acos θ =a 所以这一点的曲率半径

?v x = vo ?a x = 0 和? ? ?v y = at ?a y = a

2 2 2 v x + v y = v 0 + at) ( 2

vx = v

av 0 v 2 + at) ( 2
3

y

a an

vy v

2 2 v 2 (v 0 + a 2 t 2) ρ= = aN av 0

θ
2 3 2 2

at

vx
x

a a x ρ = 1+ 4 x ) / 2 ( v0 v0 将 t= v0 代入,可得 a 2A = 2 v 0 ,所以抛物线 y=Ax 2 上任意一点的曲率半径 因为

图 2-4-7

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3

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2 ρ = 1 + 4 A 2 x 2) / 2 A (

§2.5 几种速度的特殊求法 . 2.5.1、相关的速度 . . 、 当绳端在做既不沿绳方向,又不垂直于绳方向的运动时,一般 v A 要将绳端的运动分解为沿绳方向和垂直于绳方 v // vB α B 向二个分运动。 D C v⊥ m 如图 2-5-1 所示的情况, AB 拉着物体 m 绳 M M w 在水平面上运动,A 端以速度 v 做匀速运动, M ′图 2-5-1 问 m 做什么运动?有的同学会将绳的速度 v 分 α w A β B 解成竖直 α O 分速度 vsina 和水平分速度 vcosa,以为木 l A β B l 块的速度 u = v cos a (u<v).这是错误的。因为 实际上木块并没有一个向上的分速度。应该将 图 2-5-3(a) 绳端 B 实际上的水平速度 v B 分解成沿绳方向 的 分速 v ∥ = v B cos a 和 垂 直于 绳的 分速 v ⊥ = v B sin a ,v∥使绳子缩短,所以 v∥=v,v⊥使绳 子围绕滑轮转动。因此 v B = v / cos a(v B > v) , 而且 v B 随着 a 的增大而越来越大。

vA1
vA

v A2

图 2-5-32 b) vB(

α
B

vB

vB1

图 2-5-2

如图 2-5-2 所示, AB 沿滑下, 杆 A、B 二端的速度 v A 和 v B 也是二个相关的速度。 v A 分 将 解成沿杆方向的分速 v A1 和垂直 度不会发生变化, 所以 v A1 = v B1 , 于杆的分速 v B 2 。由于杆的长 即 v A cos a = v B sin a ,即

v A = tga ? v B

v1

l1

θ
2.5.2、两杆交点的运动 . . 、 二杆的运动,而且相对每一根杆 比较复杂的运动。图 2-5-3(a) 度 ω 绕 A、B 两固定轴在同一竖

v2
图 2-5-4 a) (

l2

两杆的交点同时参与了 还有自己的运动, 因而是一种 中的 AC、BD 两杆均以角速 直面内转动,转动方向如图

示。当 t=0 时, a = β = 60?,试求 t 时刻两棒交点 M 点的 速度和加速度。t=0 时,△ABM 为等边三角形,因此

l1′ O′ O ′′
A

3 l ,图 2-5-3 3 (b) 。二杆旋转过程中, a 角增大的角度一直等于 β 角减
AM=BM= l ,它的外接圆半径 R = OM = 小的角度,所以 M 角的大小始终不变 (等于 60?) 因此 M ,

l1
O

?
B

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l2

图 2-5-4(b)

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点既不能偏向圆内也不能偏向圆外, 只能沿着圆周移动, 因为∠ MOM ′ 和∠ MAM ′ 是对着同 一段圆弧( MM ′ )的圆心角和圆周角,所以∠ MOM ′ =2∠ MAM ′ ,即 M 以 2 ω 的角速度绕 O 点做匀速圆周运动,任意时刻 t 的速度大小恒为

v = R ( 2ω ) =

2 3 ωl 3 4 3 2 ω l 3

向心加速度的大小恒为

a = ( 2ω ) 2 R =

再看图 2-5-4(a) ,一平面内有二根细杆 l1 和 l 2 ,各自以垂直于自己的速度 v1 和 v2 在该平 面内运动,试求交点相对于纸平面的速率及交点相对于每根杆的速率。

r

r

′ 参考图 2-5-4(b) ,经过时间 ?t 之后, l1 移动到了 l1′ 的位置, l 2 移动到了 l 2 的位置, l1′ 和 l 2 的原位置交于 O ′ 点, l1′ 和 l 2′ 交于 O ′′ 点。 OO′ = v1 ?t / sin θ

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O ′O ′′ = v 2 ?t / sin θ 在 ?OO ′O′′ 中:

OO ′′ 2 = OO ′ + O ′O ′′ ? 2OO ′ ? O ′O ′′ cos ? 因为 ? 角和 θ 角互补,所以
cos ? = ? cos θ
2 OO ′′ = v12 + v 2 + 2v1 v 2 cos θ

2

2

?t sin θ

因此两杆交点相对于纸平面的速度

v0 =

OO ′′ ?t

1 sin θ 不难看出,经过 ?t 时间后,原交点在 l1 上的位置移动到了 A 位置,因此交点相对 l1 的
2 = v12 + v 2 + 2v1 v 2 cos θ

位移就是 AO ′′ ,交点相对 l1 的速度就是:

v1′ = ( AO ′ + O ′O ′′) / ?t v ?t ? ? ? v1 ?t ? ctgθ + 2 ? / ?t sin θ ? =?

= (v1 cosθ + v2 ) / sin θ
用同样的方法可以求出交点相对 l 2 的速度

v′ = (v1 + v2 cosθ ) / sin θ 2
因为 ?t 可以取得无限小,因此上述讨论与 v1 , v 2 是否为常量无关。如果 v1 , v 2 是变量, 上述表达式仍然可以表达二杆交点某一时刻的瞬时速度。 如果 v1 和 v2 的方向不是与杆垂直,这个问题应该如何解决?读者可以进行进一步的讨 论。

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