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河北省唐山市玉田县林南仓中学2014-2015学年高二数学上学期期中试题


河北省唐山市玉田县林南仓中学 2014-2015 学年高二数学上学期期 中试题(扫描版)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

一、选择题: 二、

填空题 三、解答题 17.解:

玉田县 2014---2015 学年度第一学期期中考试 高二数学参考答案 CABDB ABDCA DC 13. 2 2 , 14.

2,

15.x+y-2=0,

16. 160 ;

13=0, ?4x ? 3 y+ ? x+y=2, 得 D(-1,3)即 D 到 y 轴的距离是 1. …………2 分 由? 将 y=-1 代入 4 x ? 3 y ? 13 ? 0
得 x=-4,所以 AB=4 且 A(-4,-1)所以 AD=5

…………4 分
2

点 C(2,0)所以 BC=3,CD= 2

π +(1 ? 4) ? 5 π =(41+ 2 )π …………10 分 ∴围成的几何体的表面积 s ?π ? 4 +1? 2 18. 解: (Ⅰ)ⅰ)若所求直线过原点时 k=,∴ y=x,即 x-2y=0; ⅱ)截距不为 0 时,k=-1,∴ y-2=-(x-4) , 即 x+y-6=0.
∴所求直线方程为 x-2y=0 或 x+y-6=0. …………5 分

(Ⅱ)由顶点 C 在直线 3x-y=0 上,可设 C(x0,3x0), 可求直线 AB 的方程为 3x+4y-20=0, …………7 分 则顶点 C 到直线 AB 的距离 d==|3x0-4|, 且|AB|==5; …………10 分 ∴S△ABC=|AB|·d=10,即|3x0-4|=4,∴x0=0 或 x0=, 故顶点 C 的坐标为(0,0)或(,8). …………12 分 19.(本小题满分 12 分) 证明: (1)在 ?ABC 中,∵ AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 , ∴ ?ABC 为直角三角形,∴ AC ? BC …………2 分 又∵ A1 C1 B1

CC1 ? 平面 ABC ,∴ CC1 ? AC , CC1

BC ? C ,

C B

BCC1 ,∴ ∴ AC ? 平面

AC ? BC1 .
(2)设 又 ∴

A

D …………4 分

B1C 与 BC1 交于点 E , BC1 的中点, ABC1 中,DE // AC1 , 则E 为 连结 DE , 则在△

DE ? 面CDB1 , AC1 ? 面CDB1 ,
AC1 // 平面 B1CD .
…………8 分

(3)在 ?ABC 中,过 C 作 CF ? AB , F 为垂足, ∵平面

ABB1 A1 ? 平面 ABC ,且平面 ABB1 A1

ABB1 A1 , 平面 ABC ? AB ,∴ CF ? 平面

CF ?


AC ? BC 3 ? 4 12 ? ? AB 5 5 ,∵ VA1 ?B1CD ? VC ? A1DB1 ,

10



S

DA1B1

?

1 1 A1 B1 ? AA1 ? 5 ? 4 ? ? 10 2 2 ,

1 12 VA1 ? B1CD ? ?10 ? ? 8 3 5 ∴ .
2 2

…………12 分
2

20.解:设经过 A,B,C 三点的圆的方程为(x-a) +(y-b) =r .则…………2 分

? a 2 ? (1 ? b)2 =r 2, ? 2 2 2 ?(2 ? a) ? (1 ? b) =r ? 2 2 2 ?(3 ? a) ? (4 ? b) =r ,…………6 分
解此方程组,得 …………9 分 所以,经过 A、B、C 三点的圆的标准方程是(x-1) +(y-3) =5. …………10 分 把点 D 的坐标(-1,2)代入上面方程的左边,得(-1-1) +(2-3) =5. 所以,点 D 在经过 A,B,C 三点的圆上,所以 A,B,C,D 四点在同一个圆上,圆的方 程为(x-1) +(y-3) =5. …………12 分 21 解.(1)证明:过 B 作 CD 的垂线交 CD 于 F,则 BF ? AD ? 2, EF ? AB ? DE ? 1, FC ? 2 在 Rt ?BFE中,BE= 3 ,Rt ?BFC中,BC= 6 . 在 ?BCE中,因为BE ? BC =9=EC ,故 BE ? BC
2 2 2
2 2 2 2 2 2

BB1 ? 平面ABCD,得BE ? BB1,所以BE ? 平面BB1C1C …………文 6 理 4 分 1 三棱锥E ? A1 B1C1的体积V= AA1 ? S ?A1B1C1= 2 3 (2)


在Rt ?A1 D1C1中,A1C1= A1D12 ? D1C12 =3 2
同理, 因此

,

EC1= EC 2 ? CC12 =3 2 , EA1= AD 2 ? ED 2 ? AA12 =2 3

S?A1C1E ? 3 5 .设点 B1 到平面 EAC 的体积 1 1 的距离为 d,则 三棱锥B 1 ? EAC 1 1 1 10 V= ? d ? S ?A EC = 5d 5d ? 2, d ? 3 5 …………文 12 理 6 分 ,从而
1 1

(3)此问仅理科学生做(文科学生不做) 过 作 ∴

B1 作 B1O⊥平面AC 1 1E于O ,则 B 1O⊥AC 1 1 OH⊥AC 1 1于H ,连结 B1H ,? AC 1 1⊥平面B1OH ,? AC 1 1⊥B 1H ∠B1HO 为所求二面角的平面角。直角梯形 A1B1C1D1 中[来源:Z,xx,k.Com]

A1C1 ? A1 D12 ? C1D12 ? 3 2 1 1 A1 B1 ? A1 D1 ? A1C1 ? B1H 2 2 2 ? B1 H ? 3 S
A1B1C1

?

11

sin ∠B1 HO ?
所以

B1O d 3 10 ? = 3 10 B1 H 2 10 B ? AC ? E 3 1 1 1 的正弦值为 10 即二面角 1

…………理 12 分 22 解: (1)由题设知,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2), …………2 分 于是切线的斜率必存在.设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3 …………4 分,

3 由题意, k ? 1 = 1, 解得 k=0 或- 4 ,
2

| 3k ? 1|

故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. …………6 分 (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为 (x-a) +[y-2(a-2)] =1. 设点 M(x,y),因为 MA=2MO, 所以
2 2

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 ,
2 2

化简得 x ? ( y ? 1) ? 4 , 所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意知,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点, 则 2-1≤CD≤2+1, 即 1≤
2

a 2 ? (2a ? 3) 2

≤3.

由 5a -12a+8≥0,得 a∈R; 由 5a -12a≤0,得 0≤a≤错误!未找到引用源。. 所以圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为[0, 错误!未找到引用源。]. …………12 分
2

12

二、选择题: 二、填空题 三、解答题 17.解:

玉田县 2014---2015 学年度第一学期期中考试 高二数学参考答案 CABDB ABDCA DC 13. 2 2 , 14.

2,

15.x+y-2=0,

16. 160 ;

13=0, ?4x ? 3 y+ ? x+y=2, 得 D(-1,3)即 D 到 y 轴的距离是 1. …………2 分 由? 将 y=-1 代入 4 x ? 3 y ? 13 ? 0
得 x=-4,所以 AB=4 且 A(-4,-1)所以 AD=5

…………4 分
2

点 C(2,0)所以 BC=3,CD= 2

π +(1 ? 4) ? 5 π =(41+ 2 )π …………10 分 ∴围成的几何体的表面积 s ?π ? 4 +1? 2 18. 解: (Ⅰ)ⅰ)若所求直线过原点时 k=,∴ y=x,即 x-2y=0; ⅱ)截距不为 0 时,k=-1,∴ y-2=-(x-4) , 即 x+y-6=0.
∴所求直线方程为 x-2y=0 或 x+y-6=0. …………5 分

(Ⅱ)由顶点 C 在直线 3x-y=0 上,可设 C(x0,3x0), 可求直线 AB 的方程为 3x+4y-20=0, …………7 分 则顶点 C 到直线 AB 的距离 d==|3x0-4|, 且|AB|==5; …………10 分 ∴S△ABC=|AB|·d=10,即|3x0-4|=4,∴x0=0 或 x0=, 故顶点 C 的坐标为(0,0)或(,8). …………12 分 19.(本小题满分 12 分) 证明: (1)在 ?ABC 中,∵ AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 , ∴ ?ABC 为直角三角形,∴ AC ? BC …………2 分 又∵ A1 C1 B1

CC1 ? 平面 ABC ,∴ CC1 ? AC , CC1

BC ? C ,

C B

BCC1 ,∴ ∴ AC ? 平面

AC ? BC1 .
(3)设 又 ∴

A

D …………4 分

B1C 与 BC1 交于点 E , BC1 的中点, ABC1 中,DE // AC1 , 则E 为 连结 DE , 则在△

DE ? 面CDB1 , AC1 ? 面CDB1 ,
AC1 // 平面 B1CD .
…………8 分

(4)在 ?ABC 中,过 C 作 CF ? AB , F 为垂足, ∵平面

ABB1 A1 ? 平面 ABC ,且平面 ABB1 A1

ABB1 A1 , 平面 ABC ? AB ,∴ CF ? 平面

CF ?


AC ? BC 3 ? 4 12 ? ? AB 5 5 ,∵ VA1 ?B1CD ? VC ? A1DB1 ,

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S

DA1B1

?

1 1 A1 B1 ? AA1 ? 5 ? 4 ? ? 10 2 2 ,

1 12 VA1 ? B1CD ? ?10 ? ? 8 3 5 ∴ .
2 2

…………12 分
2

20.解:设经过 A,B,C 三点的圆的方程为(x-a) +(y-b) =r .则…………2 分

? a 2 ? (1 ? b)2 =r 2, ? 2 2 2 ?(2 ? a) ? (1 ? b) =r ? 2 2 2 ?(3 ? a) ? (4 ? b) =r ,…………6 分
解此方程组,得 …………9 分 所以,经过 A、B、C 三点的圆的标准方程是(x-1) +(y-3) =5. …………10 分 把点 D 的坐标(-1,2)代入上面方程的左边,得(-1-1) +(2-3) =5. 所以,点 D 在经过 A,B,C 三点的圆上,所以 A,B,C,D 四点在同一个圆上,圆的方 程为(x-1) +(y-3) =5. …………12 分 21 解.(1)证明:过 B 作 CD 的垂线交 CD 于 F,则 BF ? AD ? 2, EF ? AB ? DE ? 1, FC ? 2 在 Rt ?BFE中,BE= 3 ,Rt ?BFC中,BC= 6 . 在 ?BCE中,因为BE ? BC =9=EC ,故 BE ? BC
2 2 2
2 2 2 2 2 2

BB1 ? 平面ABCD,得BE ? BB1,所以BE ? 平面BB1C1C …………文 6 理 4 分 1 三棱锥E ? A1 B1C1的体积V= AA1 ? S ?A1B1C1= 2 3 (2)


在Rt ?A1 D1C1中,A1C1= A1D12 ? D1C12 =3 2
同理, 因此

,

EC1= EC 2 ? CC12 =3 2 , EA1= AD 2 ? ED 2 ? AA12 =2 3

S?A1C1E ? 3 5 .设点 B1 到平面 EAC 的体积 1 1 的距离为 d,则 三棱锥B 1 ? EAC 1 1 1 10 V= ? d ? S ?A EC = 5d 5d ? 2, d ? 3 5 …………文 12 理 6 分 ,从而
1 1

(3)此问仅理科学生做(文科学生不做) 过 作 ∴

B1 作 B1O⊥平面AC 1 1E于O ,则 B 1O⊥AC 1 1 OH⊥AC 1 1于H ,连结 B1H ,? AC 1 1⊥平面B1OH ,? AC 1 1⊥B 1H ∠B1HO 为所求二面角的平面角。直角梯形 A1B1C1D1 中

A1C1 ? A1 D12 ? C1D12 ? 3 2 1 1 A1 B1 ? A1 D1 ? A1C1 ? B1H 2 2 2 ? B1 H ? 3 S
A1B1C1

?

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sin ∠B1 HO ?
所以

B1O d 3 10 ? = 3 10 B1 H 2 10 B ? AC ? E 3 1 1 1 的正弦值为 10 即二面角 1

…………理 12 分 22 解: (1)由题设知,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2), …………2 分 于是切线的斜率必存在.设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3 …………4 分,

3 由题意, k ? 1 = 1, 解得 k=0 或- 4 ,
2

| 3k ? 1|

故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. …………6 分 (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为 (x-a) +[y-2(a-2)] =1. 设点 M(x,y),因为 MA=2MO, 所以
2 2

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 ,
2 2

化简得 x ? ( y ? 1) ? 4 , 所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意知,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点, 则 2-1≤CD≤2+1, 即 1≤
2

a 2 ? (2a ? 3) 2

≤3.

由 5a -12a+8≥0,得 a∈R; 由 5a -12a≤0,得 0≤a≤错误!未找到引用源。. 所以圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为[0, 错误!未找到引用源。]. …………12 分
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