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《2014届数学一轮高考核动力》(新课标)高考数学(文)一轮强化突破训练(20)


一、选择题

?x+y≤1, ? 1.设变量 x,y 满足?x-y≤1, ?x≥0, ?
A.1,-1 C.1,-2 【答案】B

则 x+2y 的最大值和最小值分别为(

)

B.2,-2 D.2,-1

【解析】作出可行域(如图阴影部分所示),

>设 z=x+2y, 作 l0:x+2y=0,把 l0 向左下方平移到点(0,-1)时 ,

z 有最小值,zmin=0+2×(-1)=-2.
把 l0 向右 上方平移到点(0,1)时,z 有最大值,

zmax=0+2×1=2.
故选择 B.
[来源:学科网 ZXXK]

?x+3y-3≥0, ? 2.若实数 x,y 满足不等式组?2x-y-3≤0, ?x-my+1≥0, ?
( ) A.-2 C.1 【答案】C B.-1 D.2

且 x+y 的最大值为 9,则实数 m=

【解析】如图,设 x+y=9,显然只有在 x+y=9 与直线 2x-y-3=0 的交点处满足要 求,解得此时 x=4,y=5,即 P 点(4,5)在直线 x-my+1=0 上,代入得 m=1.

故选择 C.

?0≤x≤ 2, 3.已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组?y≤2, ?x≤ 2y
y)为 D 上的动点,点 A 的坐标为( 2,1),则 z=OM·OA的最大值为(
→ → )

给定,若 M(x,

A.4 2 C.4 【答案】C

B.3 2 D.3
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

→ → 【解析】本题考查线性规划问题及平面向量的数量积.由=OM·OA= 2x+y 可将其转 化为线性规划问题,再用相关方法解决问题即可.解决线性规划问题,首先作出可行域,若 为封闭区域,则区域中的某个点的坐标使目标函数取得最大或最小值.

?0≤x≤ 2, 由线性约束条件?y≤2, ? x≤ 2y
画出可行域如图所示,

→ → 目标函数 z=OM·OA= 2x+y, 将其化为 y=- 2x+z, 结合图形可知,目标函数的图像过点( 2,2)时,z 最大,将点( 2,2)的坐标代入 z = 2x+y 得 z 的最大值为 4. 故选择 C. 4.若实数 x、y 满足? A.(0,1) C.(1,+∞) 【答案】C 【解析】实数 x、y 满足?
?x-y+1≤0, ? ? ?x>0, ? ?x-y+1≤0, ?x>0, ?

则 的取值范围是( B.(0,1] D.[1,+∞)

y x

)

的相关区域如图中的阴影部分.

y y 表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率,由图可知, 的范围为(1, x x
+∞). 故选择 C.

?y≥x, ? 5.设 m>1,在约束条件?y≤mx, ?x+y≤1 ?
取值范围为( ) A.(1,1+ 2) C.(1,3) 【答案】A

下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的

B.(1+ 2,+∞) D.(3,+∞)

1 z 【解析】根据约束条件画出可行域如图所示,将目标函数化为斜截式为 y=- x+ ,

m

m

结合图 形可以看出当目标函数过 y=mx 与 x+y=1 的交点时取到最大值. 联立?
?y=mx, ? ? ?x+y=1,

得交点坐标为?
2

? 1 , m ?. ? ?m+1 m+1?

1+m 将其代入目标函数得 zmax= . m+1 1+m 由题意可得 <2, m+1 又 m>1,所以 1<m<1+ 2. 故选择 A. 二、填空题 6. 如图, x, )在四边形 ABCD 内部和边界上运动, 点( y 那么 2x-y 的最小值为 .
2

【答案】1 【解析】设目标函数为 z=2x -y,借助平移,显然点(1,1)满足题意,则 2x-y 的最小 值为 1.
? ? ? 1 7.设集合 A=?? x,y? ?y≥ |x-2|?, ? 2 ? ?

B={(x,y)|y≤-|x|+b},A∩B≠?.

(1)b 的取值范围是 9 【答案】[1,+∞), 2

. .

(2)若(x,y)∈A∩B,且 x+2y 的最大值为 9,则 b 的值是

【解析】由图可知,当 y=-x(x>0)往右移动到阴影区域时,才满足条件,所以 b≥1;

9 要使 z=x+2y 取得最大值,则过点(0,b),有 0+2b=9? b= . 2

?y≥x, ? 8.设 m>1,在约束条件?y≤mx, ?x+y≤1 ?
值为 . 【答案】3

下,目标函数 z=x+5y 的最大值为 4,则 m 的

【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影所示,

1 z 把目标函数化为 y=- x+ , 5 5 1 z 显然只有 y =- x+ 在 y 轴上的截距最大时 z 值最大, 5 5 根据图形,目标函数在点 A 处取得最大值, 由?
?y=mx, ? ? ?x+y=1,

得 A?

? 1 , m ?, ? ?1+m 1+m?

1 5m 代入目标函数,即 + =4,解得 m=3. 1+m 1+m 三、解答题
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

?x-2y+7≥0 ? 9.求 z=x +y 的最大值和最小值,使式中的 x,y 满足约束条件?4x-3y-12≤0 ?x+2y-3≥0 ?
2 2

.

?x-2y+7≥0 ? 【解析】已知不等式组为?4x-3y-12≤0 ?x+2y-3≥0 ?
等式组确定可 行域△ABC(如图).

[来源:学科网 ZXXK]

在同一直角坐标系中,作直线 x-2y+7=0,4x-3y-12=0 和 x+2y-3=0,再根据不

?x-2y+7=0 ? 由? ? ?4x-3y-12=0
2 2

解得点 A 的坐标(5,6).
2 2 2

所以(x +y )max=|OA| =5 +6 =61; 因为原点 O 到直线 BC 的距离为 |0+0-3| 3 = 5 5 9 2 2 所以(x +y )min= . 5 10.某公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总 费用不超过 9 万元.甲、 乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟.假 定两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万 元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益 是多少万元? 【解析】 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别 为 x 分钟和 y 分钟,总收益 为 z 元.由题意得

?x+y≤300, ? ?500x+200y≤90 000, ?x≥0,y≥0. ?
目标函数为 z=3 000x+2 000y.

?x+y≤300, ? 二元一次不等式组等价于?5x+2y≤900, ?x≥0,y≥0. ?
作出二元一次不等式组所表示的平面区域.即可行域,如图.

作直线 l:3 000x+2 000y=0, 即 3x+2y=0. 平移直线 l,从图中可知,当直线 l 过 M 时,目标函数取得最大值.
? ?x+y=300, 联立? ? ?5x+2y=900.

解得 x=100,y=200. ∴点 M 的坐标为(100,200), ∴zmax=3 000x+2 000y=700 000(元). 答: 该公司在甲电视台做 100 分钟广告, 在乙电视台做 200 分钟广告, 公司的收益最大, 最大收益是 70 万元. 11.预算用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子,希望使桌椅的总数尽可能 的多,但椅子数不少于桌子数,且不多于桌子数的 1.5 倍,问桌、椅各买多少才行? 【解析】

设桌、椅各买 x 张,y 把,把所给的条件表示成 x,y 的不等式组,再在直角坐标系内 把满足不等式组所在的区域表示出来.设 x+y=a,可借助图像求 a 的最大值.

?y≥0, ? 由题意得?x≤y, ?y≤1.5x, 000. ?50x+20y≤2
x≥0,
?x=y, ? 由? ? ?50x+20y=2 000.

?x=200, ? 7 解得? 200 ?y= 7 . ?

∴点 A 的坐标为?

?200,200?. 7 ? ? 7 ? ?x=25, ? 解得? 75 ?y= 2 . ?

? ?y=1.5x, 由? ? ?50x+20y=2 000.

75? ? ∴点 B 的坐标为?25, ?. 2? ? 满足以上不等式组所表示的区域如图中 A? 形区域 E(包括边界和内部). 75 直线 x+y=a 过 E 内的点 B 时,a 最大.这时 x=25,y= ,由于 y 取整数,故 y=37. 2 所以,买桌子 25 张,椅子 37 把是最优选择. 答:买桌子 25 张,椅子 37 把. 12.设函数 f(θ )= 3sin θ +cos θ ,其中,角 θ 的顶点与坐标原点重合,始边与

?200,200?,B?25,75?, (0,0)为顶点的三角 O 7 ? ? 2? ? 7 ? ? ?

x 轴非负半轴重合,终边经过点 P(x,y),且 0≤θ ≤π .

3? ?1 (1)若点 P 的坐标为? , ?,求 f(θ )的值; ?2 2 ?

?x+y≥1, ? (2)若点 P(x,y)为平面区域 Ω :?x≤1, ?y≤1 ?
范围,并求函数 f(θ )的最小值和最大值. 【解析】(1)由点 P 的坐标和三角函数的定义

上的一个动点,试确定角 θ 的取值

?sin θ = 23, ? 可得? 1 ?cos θ =2. ?
于是 f(θ )= 3sin θ +cos θ = 3× 3 1 + =2. 2 2
[来源:学。科。网 Z。

(2)作出平面区域 Ω (即三角区域 ABC)如图所示,其中 A(1,0),B(1,1),C(0,1).
X。X。K]

π 于是 0≤θ ≤ . 2

π? ? 又 f(θ )= 3sin θ +cos θ =2sin?θ + ?, 6? ? 且 π π 2π ≤θ + ≤ , 6 6 3

π π π 故当 θ + = ,即 θ = 时,f(θ )取得最大值,且最大值等于 2; 6 2 3 π π 当 θ + = ,即 θ =0 时,f(θ )取得最小值,且最小值等于 1. 6 6


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