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陕西省西安市第八十三中学2016届高三数学上学期期中试题 理


西安市第八十三中学 2016 届高三第三次阶段暨期中考试数学(理)试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
x 1.已知集合 M ? y y ? 2 , x ? 0 , N ? x y ? lg(2x ? x 2 ) ,则 M ? N 为(

(A) ?1,

2 ? (B) ?1,?? ? (C) ?2,?? ? 2.下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是( ) (A) y ?

?

?

?

?



(D) ?1,?? ? (D) y ? log0.5 ( x ? 1) ) (D) 176

x ?1

(B) y ? ( x ?1)2

(C) y ? 2? x

3.在等差数列{an}中,已知 a4 ? a8 ? 16 ,则该数列前 11 项和 S11=( (A) 58 4.下列判断正确的是( (B) 88 ) (C) 143

(A) 若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“ p 且 q ”为真命题 (B) 命题“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ”的否命题为“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ”

? 1 ”是“ ? ? ”的充分不必要条件 6 2 x x (D) 命题“对任意 x ? R, 2 ? 0 成立”的否定是“存在 x0 ? R ,使 2 0 ? 0 成立”. ?? ? ?? ? ?? ? 5.已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? ,若 m ? n ? m ? n ,则 ? = ( )
(C)“ sin ? ?

?

? ?

?

(B) ?3 (C) ?2 ?log3x x>0 ? 1 6.已知函数 f(x)=? x ,则 f(f( ))=( ) 9 ?2 x≤0 ? (A) 4 (B) 1 4 (C) -4

(A) ?4

(D) -1

1 (D) - 4

7.一质点受到同一平面上的三个力 F1 , F2 , F3 (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知 F1 , F2 成 120 ? 角,且 F1 , F2 的大小分别为 1 和 2,则 F3 的大小为( ) (A) 1 (B) 2 (C) 2 3 (D) 3 8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别 为 v甲和v乙 (如图所示) .那么对于图中给定的 t0和t1 ,下列判断中一定正确的是( (A) t1 时刻后,甲车在乙车后面 (B) 在 t 0 、 t1 时刻,甲车均在乙车前面 (C) 在 t 0 时刻,两车的位置相同 (D) t 0 时刻后,乙车在甲车前面 9. 将函数 y ? cos( x ? )

?
3

) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 再向左平移
) (C)

? 个单位长 6

度,所得函数图象其中的一条对称轴为( (A)

? 9

(B)

? 8

? 2

(D)

?

10.定义行列式运算:?

3 ?a1 a2? ?=a1a4-a2a3,将函数 f(x)= ?a3 a4? 1
)

sin ?x

5π (ω >0)的图像向左平移 个单 6 cos?x

位,所得图像对应的函数为偶函数,则 ω 的最小值是( 1 11 (B) 1 (A) (C) 5 5

(D) 2
1

11.已知函数 f ? x ? ? ? (A) 5

? ? ln x , x ? 0 ? ? 0, x ? 0
(B) 6

,则方程 f

2

? x? ? f ? x ? ? 0 的不相等的实根个数为(
(C) 7 (D) 8



12.下列命题:①已知 A 、 B 、 C 是三角形 ABC 的内角,则 A ? B 是 sin A ? sin B 的充要条件;②设 a ,

b 为向量,如果 | a ? b |?| a ? b | ,则 a ? b ;③设 a ,b 为向量, 则“ | a ? b |?| a || b | ”是“ a // b ”的充分
不必要条件;④设 a , b 为向量, “ a ? 2b ”是“ a 与 b 共线”的充要条件,正确的是( (A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ②④ 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 13.已知 tan( ? ? ? ) ? 14.已知函数 f ( x) ? ? )

? 2 ? 1 , tan( ? ? ) ? ,则 tan(? ? ) =________. 4 3 4 4

? ? x ? 1, (?1 ? x ? 0) , 则 2 ? ? 1 ? x , (0 ? x ? 1)

?

1

?1

f ( x)dx ? ________.

→ → 15. 已知矩形 ABCD 的边 AB 长为 2, 边 AD 长为 3 , 点 E 是 AB 边上的动点, 则 DE·DC 的最大值为________. 16 . 设 曲 线 y ? x n?1 (n ? N ? ) 在 点 (1,1) 处 的 切 线 与 x 轴 的 交 点 的 横 坐 标 为 xn , 令 a n ?

xn ,则 n2

a1 ? a2 ?? ? a2 0 1的值为 ________. 5
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)若向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? ( 3, ?1) . (1)若 a ? b, 且 ? ? (0,

?

?

) ,求 ? 的值; 2 ? ? (2)若 ? ? [0, ? ] ,求 | 2a ? b | 的最大值. * 18.(本小题满分 12 分)已知等差数列 ?a n ? 满足:an?1 ? an (n ? N ) ,a1 ? 1 ,该数列的前三项分别加上 1,
1,3 后成等比数列, an ? 2log 2 bn ? ?1. (Ⅰ)分别求数列 ?a n ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)求证:数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Tn ? 3 . 19 . (本小题满分 12 分)在锐角 ?ABC 中, a , b , c 分别为内角 A , B , C 所对的边,且满足

?

3a ? 2b sin A ? 0 .
(1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 5 ,且 a ? c , b ?

??? ? ??? ? 7 ,求 AB ? AC 的值.

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? 2 cos ? ?? ? x ? ? ? ? ? (? ? 0, 0 ? ? ? ? ). (1)若函数 f ( x ) 图像过点(0,-2)且图像上两个对称中心 A( x1 ,0) 与 B( x2 ,0) 间最短距离为

? ,求函数 2

f ( x) 解析式;
2

(2)若 ? ?

?
2

,函数 f ( x ) 在[-

? 2?
3 , 3

]上单调递减,求 ? 的取值范围;

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ?=x-ln( x+a ( ) a ? R). (1) 求函数 f ? x ? 的单调区间;

1 处取得极值时,若关于 x 的方程 f ( x) ? 2 x ? x ? b在区间[ , 2] 上恰有两个不相等 (2) 当 f ( x) 在 x=
2

1 2

的实数根,求实数 b 的取值范围; (3) 求证:当 n ? 2, n ? R? 时, ?1 ?

? ?

1 ?? 1? ? 1? 1 ? 2 ?...... ?1 ? 2 ? ? e . 2 ?? 2 ?? 3 ? ? n ?

请考生从 22、23、24 题中任选一题做答.多答按所答的首题进行评分. 22.(本题满分 10 分) 选修 4—1:几何问题选讲 如图,已知 AB 是⊙O 的直径,弦 CD 与 AB 垂直, 垂足为 M,E 是 CD 延长线上的一点,且 AB=10,CD=8, 3DE=4OM,过 F 点作⊙O 的切线 EF,BF 交 CD 于 G. (Ⅰ)求 EG 的长; (Ⅱ)连接 FD,判断 FD 与 AB 是否平行,为什么? 23. (本题满分 10 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点 A 、B 的极坐标分 别 为

(

?
3

、 1 (3 ,

2? ? x ? r cos ? , . (? 为参数) , ) ,曲线 ) C 的参数方程为 ? 3 ? y ? r sin ?

(Ⅰ)求直线 AB 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 AB 和曲线 C 只有一个交点,求 r 的值. 24.(本题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x | , g ( x) ? ? | x ? 4 | ?m (Ⅰ)解关于 x 的不等式 g[ f ( x)] ? 2 ? m ? 0 ; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图像恒在函数 g ( x) 图像的上方,求实数 m 的取值范围. 西安市第八十三中学 2016 届高三年级第三次阶段暨期中考试数学(理)答案 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B D B B D B 9 C 10 B 11 C 12 A

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应的位置上. 13.

5 ; 14

14.

1 ? ? 2 4 ;

15.4;

16.

2015 2016

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 【解析】 (1)由 a ? b, 得 a ? b ? 0 , 即: 3 cos? ? sin ? ? 0 ,? tan? ? ????????2 分

3

??????3 分
3

? ? ???????5 分 ? ? ? (0, ) ? ? ? 2 3 (2)? | a |? 1, | b |? 2 ? ? ? ? ? ? | 2a ? b |2 ? 4 | a |2 ? | b |2 ?4a ? b = 4 ? 4 ? 4( 3 cos? ? sin ? ) ? 8 ? 8cos(? ? ) ?8 分 6 ? ? 7? ? 5? ?? ?[0, ? ] ?? ? ? [ , ] ?当? ? =?,即? = 时 6 6 6 6 6 ? ?2 ? ? ? | 2a ? b | max ? 16 故 | 2a ? b | 的最大值为 4. ????????10 分
18.(本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)设 d 为等差数列 ?a n ? 的公差,且 d ? 0 由 a1 ? 1, a2 ? 1 ? d , a3 ? 1 ? 2d , 分别加上 1,1,3 成等比数列, 得 (2 ? d ) ? 2(4 ? 2d ),
2

d ? 0 ,所以 d ? 2 ,所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 , 又因为 an ? ?1 ? 2log 2 bn ,所以 log2 bn ? ?n
即 bn ?

1 . 2n

.............................6 分

1 3 5 2n ? 1 ? 2 ? 3 ??? ,① 2 2 2 2n 1 1 3 5 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 . ② ①—②,得 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2n ? 1 T n ? ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? n?1 . ..................10 分 2 2 2 2 2 2 1 1 ? n ?1 2 ? 2n ? 1 ? 3 ? 1 ? 2n ? 1 ? 3 ? 2n ? 3 ? 3. ...........12 分 ?Tn ? 1 ? 1 2n 2n ? 2 2n 2n 1? 2
(Ⅱ)Tn ? 19. (本小题满分 12 分) 【解析】Ⅰ)由正弦定理得

a b ? sin A sin B

因为 3a ? 2b sin A ? 0 所以 3 sin A ? 2sin B sin A ? 0 ,?????3 分 因为 A 为锐角 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 又 B 为锐角, 则 B ? (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, B ?

? ?
3

3 . ??????????4 分 2

.

??? 6 分

3

.因为 b ?
2 2

7,

根据余弦定理,得 7 ? a ? c ? 2ac cos 整理,得 (a ? c) ? 3ac ? 7 .
2

?
3

, ??????????8 分

由已知 a ? c ? 5 ,则 ac ? 6 . 又 a ? c ,可得 a ? 3 , c ? 2 . 于是 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 7 ? 4 ? 9 7 ,??????????10 分 ? ? 2bc 14 4 7
4

??? ? ???? ??? ? ???? 7 AB ? AC ? AB ? AC cos A ? cb cos A ? 2 ? 7 ? ?1 14 所以 .
20. (本小题满分 12 分) . 【解析】 解: (1) x1 ? x2

? 12 分

T , T ? ? , ? ? 2 ,?????2 分 2 2 f (0) ? 2cos 2? ? ?2 , cos 2? ? ?1 , 0 ? ? ? ? , 0 ? 2? ? 2? ,
min

?

?

?

所以

2? ? ? , ? ?

?
2



?????5 分 ?????6 分

f ( x) ? 2 cos[2( x ? )] ? ?2sin 2 x 2 ? ? ? 7? ? ? ? 2? ? (2) x ? ? ? , , x ? ? ? , ? ,因为? ? 0 ? 2 ?6 6 ? ? 3 3 ?

?

? ?? ? 2 k? ? 12k ? 6 ? 6 (k ? N ) , 又k ? N ?时, 12k ? ? ? 无解, ? 7?? 7 ? 根据题意有: ? 2 k? ? ? ? ? 6 6 可得0 ? ? ? ??12分 7
21. (本小题满分 14 分) 【解析】 (1)由已知由函数 f ? x ? 的定义域为 x ? ?a , f ?? x ? ? 1 ?

1 x ? a ?1 ? , x?a x?a

??????????1 分

? ?a ? ?a ? 1 , ? 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? ?a ? 1 , 由 f ?( x) ? 0, 得 ? a ? x ? ?a ? 1 , ??????????3 分 所以函数 f ( x) 的减区间为 ?? a,?a ? 1? ,增区间为 ?? a ? 1,??? . ?4 分 (II)由题意,得 f ??1? ? 0 ,? a=0 . ??5 分 ? 由(Ⅰ)知 f(x)=x-lnx,
∴f(x)+2x=x +b ,即 x-lnx+2x=x +b ,? x -3x+lnx+b=0, 2 设 g ?x ? =x -3x+lnx+b(x>0), ????????6 分 2 1 2x -3x+1 (2x-1)(x-1) 则 g ?? x ? =2x-3+ = = , x x x
2 2 2

当 x ? ? , 2 ? 变化时, g ?? x ? , g ?x ? 的变化情况如下表: 2 x 1 2 0 5 b- -ln2 4
2

?1 ?

? ?

1 ( ,1) 2 - ↘

1 0 b- 2

(1,2) + ↗

2

g ??x ? g ?x ?

b-2+ln2

??????????7 分 1 ∵方程 f(x)+2x=x +b 在[ ,2]上恰有两个不相等的实数根, 2

5

1 )≥0 ?g(2 ?? g(1)<0 ?g(2)≥0

,?

-ln2≥0 ?b-5 4 ?b-2<0 , ?b-2+ln2≥0

??????????8 分

5 ?5 ? ? 4+ln2≤b<2,即 b ? ? ln 2, 2 ? . ?4 ?

??9 分

(III)由(I) 和(II)可知当 a ? 0, x ? ? , ?? ? 时, f ( x) ? f (1) ,即 ln x ? x ? 1 ,

? 当 x ? 1 时, ln x ? x ? 1 .??? 10 分 1 1? 1 ? 令 x ? 1 ? 2 ( n ? 2, n ? N* ),则 ln?1 ? 2 ? ? 2 . ??? 12 分 n ? n ? n 所以当 n ? 2, n ? N* 时, 1? 1? 1? 1 1 1 ? ? ? ln?1 ? 2 ? ? ln?1 ? 2 ? ? .......? ln?1 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ......? 2 n ? 2 ? ? 3 ? ? n ? 2 3 1 1 1 1 ? ? ? ......? ? 1 ? ? 1, ??? 13 分 1? 2 2 ? 3 n ? ?n ? 1? n 1 ?? 1? 1? ? ? 即 ln?1 ? 2 ??1 ? 2 ?....... ?1 ? 2 ? ? 1 , ? 2 ?? 3 ? ? n ? 1 ?? 1? ? 1? ? ???????????14 分 ? ?1 ? 2 ??1 ? 2 ?...... ?1 ? 2 ? ? e . ? 2 ?? 3 ? ? n ?

?1 ?2

? ?

22. (本题满分 10 分) 选修 4—1:几何问题选讲 【解析】 (Ⅰ)连接 AF,OF,,则 A,F,G,M 共园,因为 EF?OF, ∵∠FGE=∠BAF 又∠EFG=∠BAF , ∴∠EFG=∠FGE ,有 EF=EG 由 AB=10,CD=8 知 OM=3 ∴ED= ????????.3 分

4 OM=4 3
?????????????.5 分

EF 2 ? ED . EC ? 48

∴EF=EG= 4 3

(Ⅱ)连接 AD, ∠BAD=∠BFD 及(Ⅰ)知 GM=EM-EG=8- 4 3 ∴tan∠MBG=

MG MD 4 1 ? 4 ? 2 3 , tan∠BAD= ? ? ? tan∠MBG MB MA 8 2
????????????????.10 分

∴∠BAD≠∠MBG,∠MBF≠∠BFD ∴ FD 与 AB 不平行 23. (本题满分 10 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 【解析】 (Ⅰ)∵点 A 、 B 的极坐标分别为 (1, ∴点 A 、 B 的直角坐标分别为 (

?
3

) 、 (3 ,

2? ), 3

1 3 3 3 3 , ) 、 (? , ) , ········· 3 分 2 2 2 2

∴直线 AB 的直角坐标方程为 2 3x ? 4 y ? 3 3 ? 0 . ·········· 5 分 ( Ⅱ ) 由 曲 线 C 的 参 数 方 程 ?

?s , ?x ? r c o (?为参数) 化 为 普 通 方 程 为 ? y ? r s i? n
6

x2 ? y 2 ? r 2

?????????????????????8 分

∵直线 AB 和曲线 C 只有一个交点, ∴半径 r ?

? 3 21 . ················ 10 分 14 (2 3) ? 4
2 2

3 3

24.(本题满分 10 分) 【解析】 (Ⅰ)由 g[ f ( x)] ? 2 ? m ? 0 得 || x | ?4 |? 2 ,??2 ?| x | ?4 ? 2 ? 2 ?| x |? 6 故不等式的解集为 [?6, ?2] ? [2,6] ????5 分 (Ⅱ)∵函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方 ∴ f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 m ?| x ? 4 | ? | x | 恒成立 ∵ | x ? 4 | ? | x | ? | ( x ? 4) ? x |? 4 , ∴ m 的取值范围为 m ? 4 . ????????????????10 分 ??????8 分

7


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