tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

1.1.1集合的含义与表示


第 1 课时 集合的含义与表示
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)初步理解集合的含义,知道常用数集及其记法. (2)初步了解“属于”关系的意义.理解集合相等的含义. (3)初步了解有限集、无限集的意义,并能恰当地应用列举法或描述 法表示集合. 2.过程与方法 (1)通过实例,初步体会元素与集合的―属于‖关系,从观察分析集合 的元素入手,正确地理解集合. (2) 观察

关于集合的几组实例, 并通过自己动手举出各种集合的例子, 初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义. (3)学会借助实例分析、探究数学问题(如集合中元素的确定性、互 异性) . (4)通过实例体会有限集与无限集,理解列举法和描述法的含义,学 会用恰当的形式表示给定集合掌握集合表示的方法. 3.情感、态度与价值观 (1)了解集合的含义,体会元素与集合的―属于‖关系. (2)在学习运用集合语言的过程中,增强学生认识事物的能力.初步 培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度. (二)教学重点、难点 重点是集合的概念及集合的表示.难点是集合的特征性质和概念以及 运用特征性质描述法正确地表示一些简单集合. (三)教学方法 尝试指导与合作交流相结合.通过提出问题、观察实例,引导学生理 解集合的概念,分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求,并能依照 要求举出符合条件的例子,加深对概念的理解、性质的掌握.通过命题表 示集合,培养运用数学符合的意识.

教学环节 提出 问题

教学内容 一个百货商店,第一批进货是帽子、皮

师生互动

设计意图

学生回答(不能,应为7种),设疑激趣,

鞋、热水瓶、闹钟共计4个品种,第二批 然后教师和学生共同分析原因:由 进货是收音机、皮鞋、尼龙袜、茶杯、 于两次进货共同的品种有两种,故 导入课题.

闹钟共计5个品种,问一共进了多少品种 应为4 +5 – 2 = 7种.从而指出: 的货?能否回答一共进了4 + 5 = 9种呢? ??这好像涉及了另一种新的运 算.?? 引导学生回顾,初中代数中不 等 式的 解法 一节 中提 到的 有关 知 识: 复习 引入 ①初中代数中涉及“集合”的提法. ②初中几何中涉及“集合”的提法. 一般地,一个含有未知数的不 等式的所有解,组成这个不等式的 解的集合,简称为这个不等式的解 集. 几何中,圆的概念是用集合描 述的. 第一组实例(幻灯片一): (1)“小于l0”的自然数0,1,2, 3,??,9. (2)满足3x – 2 >x + 3的全体实 数. (3)所有直角三角形. 集合)有什么特点?请大家讨论. 学生讨论交流,得出集合概念 述性)概念 通过实例, 引导学生 经历并体 教师提问:①以上各例(构成 会集合(描 通 过 复 习回顾,引 出集合的 概念.

概念 形成

(4)到两定点距离的和等于两定点 的要点,然后教师肯定或补充. 间的距离的点. ②我们能否给出集合一个大体 形成的过 (5)高一(1)班全体同学. 成员. 1.集合: 一般地,把一些能够确定的不同的 这些对象的全体构成的集合(或集). 2.集合的元素(或成员): 即构成集合的每个对象(或成员), 第二组实例(幻灯片二): 教师要求学生看第二组实例, 素吗?②各个集合的元素与集合之 是这个集合的元素吗? 学生讨论交流,弄清元素与集 引入集合 语言描述 集合. (1)参加亚特兰大奥运会的所有中 并提问:①你能指出各个集合的元 描述???学生思考后回答,然后教 程,引导学 ③上述六个例子中集合的元素 生 进 一 步 各是什么? 明确集合 素的概念, 会用自然 语言描述 集合. ④请同学们自己举一些集合的 及 集 合 元 (6) 参与中国加入WTO谈判的中方 师总结.

对象看成一个整体,就说这个整体是由 例子.

概念 深化

国代表团的成员构成的集合. 合. ( 3 )平行四边形的全体构成的集

(2) 方程x2 = 1的解的全体构成的集 间是什么关系?③例 (2) 中数0, –2

合. 的点的全体构成的集合. 3.元素与集合的关系: 教学环节 教学内容

合之间是从属关系,即“属于”或

(4)平面上与一定点O的距离等于r “不属于”关系.

师生互动 师生合作应用定义表示集合. 例1 解答:(1)设小于10的所 有自然数组成的集合为A,那么

设计意图

列举法: 并用花括号“{}”括起来表示集合的方 法叫做列举法. 例1 用列举法表示下列集合: (1) 小于10的所有自然数组成的集 合; (2)方程x = x的所有实数根组成 的集合; (3)由1~20以内的所有质数组成 的集合. 应用 举例 描述法: 定义:用集合所含元素的共同特征 19}.
2

A = {0,1,2,3,4,5,6,7, 由于元素完全相同的两个集合 相等,而与列举的顺序无关,因此 集合A可以有不同的列举法. 例如: A = {9,8,7,6,5,4,3,2, 1,0}. (2)设方程x2 = x 的所有实数 根组成的集合为B,那么B = {0,1}. (3)设由1~ 20以内的所有质 数组成的集合为C,那么 C = {2,3,5,7,11,13,17,

定义: 把集合的元素一一列举出来, 8,9}.

表示集合的方法称为描述法 . 具体方法 例2 解答:(1)设方程x2 – 2 = 是:在花括号内先写上表示这个集合元 0的实数根为 x, 并且满足条件x2 – 2 素的一般符号及取值(或变化)范围, = 0,因此,用描述法表示为 再画一条竖线,在竖线后写出这个集合 中元素所具有的共同特征. 例2 试分别用列举法和描述法表
2

A = {x∈R| x2 –2 = 0}. 方程 x2 –2 = 0 有两个实数根
2 , ? 2 ,因此,用列举法表示为

示下列集合: (1)方程x –2 = 0的所有实数根组 成的集合; 成的集合.

A = { 2 , ? 2 }. (2)设大于10小于20的整数为 x,它满足条件x∈Z,且10<x<20. B = {x∈Z | 10<x<20}. 大于10小于20的整数有11,12, 13,14,15,16,17,18,19,因 此,用列举法表示为

(2) 由大于10小于20的所有整数组 因此,用描述法表示为

B = {11,12,13,14,15,16, 17,18,19}.

教学环节

教学内容 例3 已知由l,x,x ,三个实数构成 一个集合,求x应满足的条件. 解:根据集合元素的互异性,
?x ? 1 ? 得 ?x 2 ? 1 ? 2 ?x ? x
2

师生互动

设计意图

学生分析求解, 教师板书. 通过应 用,进一步

应用 举例

所以x∈R且x≠±1,x≠0.

幻灯片五(练习答案), 理解集合的 课堂练习:教材第5页练习A1、2、3. 反馈矫正. 有关概念、 例2 用∈、 ? 填空. 性质. ①? ③ 3 ⑤0 例4 集合: (1) 由方程x2 – 9 = 0的所有实数根组 成的集合; ( 2 )由小于 8 的所有素数组成的集 合; (3)一次函数y = x + 3与 y = –2x + 6 的图象的交点组成的集合; (4)不等式4x – 5<3的解集. Q;② 3 R;④0 N*;⑥0 Z; N; Z.

试选择适当的方法表示下列 生:独立完成;题:点评 说明. 例4 解答:(1){3,–3}; (2){2,3,5,7}; (3){(1,4)}; (4){x| x<2}.

①请同学们回顾总结,本节课学过的 集合的概念等有关知识; 归纳 总结 ②通过回顾本节课的探索学习过程,

引导学生学 会自己总结; 让学

师生共同总结——交流— 生进一步 (回 请同学们体会集合等有关知识是怎样形 —完善. 顾)体 成、发展和完善的. 会知识的形 ③通过回顾学习过程比较列举法和 成、发展、完 描述法. 归纳适用题型. 善的过程. 巩固深化; 预 习下一节内 容, 培养自学 能力.

课后 作业

1.1 第一课时习案

由学生独立完成.

备选例题
例 1(1)利用列举法表法下列集合:①{15 的正约数};②不大于 10 的非负偶数集. (2)用描述法表示下列集合:①正偶数集; ②{1,–3,5,–7,?, –39,41}. 【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用. 【解析】 (1)①{1,3,5,15} ②{0,2,4,6,8,10} (2)①{x | x = 2n,n∈N*} ②{x | x = (–1) n–1?(2n –1),n∈N*且 n≤21}. 【评析】 (1)题需把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示 集合,多用于集合中的元素有有限个的情况. (2)题是将元素的公共属性描述出来,多用于集合中的元素有无限 多个的无限集或元素个数较多的有限集. 例 2 用列举法把下列集合表示出来: (1)A = {x∈N | (2)B = {
9 ∈N}; 9? x

9 ∈N | x∈N }; 9? x

(3)C = { y = y = – x2 + 6,x∈N ,y∈N }; (4)D = {(x,y) | y = –x2 +6,x∈N };

(5)E = {x |

p = x,p + q = 5,p∈N ,q∈N*}. q

【分析】先看五个集合各自的特点:集合 A 的元素是自然数 x,它必 须满足条件
9 9 也是自然数;集合 B 中的元素是自然数 ,它必须满 9? x 9? x

足条件 x 也是自然数;集合 C 中的元素是自然数 y,它实际上是二次函数 y = – x2 + 6 (x∈N )的函数值;集合 D 中的元素是点,这些点必须在二次函 数 y = – x2 + 6 (x∈N )的图象上;集合 E 中的元素是 x,它必须满足的条件 p 是 x = ,其中 p + q = 5,且 p∈N,q∈N*. q 【解析】 (1)当 x = 0,6,8 这三个自然数时, 然数. ∴ A = {0,6,9} (2)由(1)知,B = {1,3,9}. (3)由 y = – x2 + 6,x∈N,y∈N 知 y≤6. ∴ x = 0,1,2 时,y = 6,5,2 符合题意. ∴ C = {2,5,6}. (4)点 {x,y}满足条件 y = – x2 + 6,x∈N,y∈N,则有:
? x ? 0, ? x ? 1, ? x ? 2, ? ? ? ? y ? 6, ? y ? 5, ? y ? 2.

9 =1,3,9 也是自 9? x

∴ D = {(0,6) (1,5) (2,2) } (5)依题意知 p + q = 5,p∈N,q∈N*,则
? p ? 0, ? p ? 1, ? p ? 2, ? p ? 3, ? p ? 4, ? ? ? ? ? ?q ? 5, ?q ? 4, ?q ? 3, ?q ? 2, ?q ? 1.

x 要满足条件 x =

P , q

1 3 2 ∴E = {0, , , ,4}. 4 2 3

【评析】 用描述法表示的集合, 要特别注意这个集合中的元素是什么, 它应该符合什么条件,从而准确理解集合的意义. 例 3 已知–3∈A = {a –3,2a – 1,a2 + 1},求 a 的值及对应的集合 A. –3∈A,可知–3 是集合的一个元素,则可能 a –3 = –3,或 2a – 1 = –3, 求出 a,再代入 A,求出集合 A. 【解析】由–3∈A,可知,a –3 = –3 或 2a –1 = –3,当 a –3 = –3,即 a

= 0 时,A = {–3,–1,1} 当 2a – 1 = –3,即 a = –1 时,A = {– 4,–3,2}. 【评析】 元素与集合的关系是确定的, –3∈A, 则必有一个式子的值为 –3, 以此展开讨论,便可求得 a.

第 2 课时 集合间的基本关系
(一)教学目标; 1.知识与技能 (1)理解集合的包含和相等的关系. (2)了解使用 Venn 图表示集合及其关系. (3)掌握包含和相等的有关术语、符号,并会使用它们表达集合之 间的关系. 2.过程与方法 (1)通过类比两个实数之间的大小关系,探究两个集合之间的关系. (2)通过实例分析,获知两个集合间的包含与相等关系,然后给出 定义. (3)从自然语言,符号语言,图形语言三个方面理解包含关系及相 关的概念. 3.情感、态度与价值观 应用类比思想,在探究两个集合的包含和相等关系的过程中,培养学 习的辨证思想,提高学生用数学的思维方式去认识世界,尝试解决问题的 能力. (二)教学重点与难点 重点:子集的概念;难点:元素与子集,即属于与包含之间的区别. (三)教学方法 在从实践到理论,从具体到抽象,从特殊到一般的原则下,一方面注 意利用生活实例,引入集合的包含关系. 从而形成子集、真子集、相等集 合等概念. 另一方面注意几何直观的应用, 即 Venn 图形象直观地表示、 理 解集合的包含关系,子集、真子集、集合相等概念及有关性质. (四)教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 类比生疑, 引入课题

思考:实数有相关系,大小关系,类比实数 师:对两个数 a、b,应有 a>b 或 a = b 创设情境提 之间的关系, 联想集合之间是否具备类似的 或 a<b. 出问题 关系. 而对于两个集合 A、 B 它们也存在 A 包

含 B, 或 B 包含 A, 或 A 与 B 相等的关 系. 分析示例: 示例 1:考察下列三组集合,并说明两 集合内存在怎样的关系 (1)A = {1,2,3} 生:实例(1) 、 (2)的共同特点是 A B = {1,2,3,4,5} 的每一个元素都是 B 的元素. (2)A = {新华中学高(一)6 班的全体女 师:具备(1) 、 (2)的两个集合之间关 生} 系的称 A 是 B 的子集,那么 A 是 B 的 B = {新华中学高(一)6 班的全体学 子集怎样定义呢? 生} 学生合作:讨论归纳子集的共性. (3)C = {x | x 是两条边相等的三角形} 生:C 是 D 的子集,同时 D 是 C 的子 集. D = {x | x 是等腰三角形} 师:类似(3)的两个集合称为相等集 1.子集: 合. 一般地,对于两个集合 A、B,如果 A 中任意一个元素都是 B 的元素,称集合 A 师生合作得出子集、相等两概念的数 是集合 B 的子集,记作 A ? B ,读作: “A 学定义. 含于 B” (或 B 包含 A) 2.集合相等: 若 A ? B ,且 B ? A ,则 A=B. 示例 1:考察下列各组集合,并指明两集合 的关系: (1)A = Z,B = N; (2)A = {长方形},B = {平行四边形}; (3)A={x| x2–3x+2=0},B ={1,2}. 1.Venn 图 用平面上封闭曲线的内部代表集合. 如果 A ? B ,则 Venn 图表示为:

概念形成

通过实例 的共性探究、 感 知子集、 相等概 念, 通过归纳共 性,形成子集、 相等的概念. 初步了解 子集、 相等两个 概念.

概念 深化

再次感知子集 相等关系, 加深 师:进一步考察(1) 、 (2) A 对概念的理解, B 不难发现:A 的任意元素都在 B 中,而 并利用韦恩图 B 中存在元素不在 A 中, 具有这种关系 从 “形” 的角度 2.真子集 时,称 A 是 B 的真子集. 理解包含关系, 如果集合 A ? B ,但存在元素 x∈B,且 示例 3 学生思考并回答. 层层递进形成 x ? A,称 A 是 B 的真子集,记作 A 生: (1)直线 x+y=2 上的所有点 真子集、 空集的 B (或 B A). (2)没有元素 概念. ? ? 示例 . 并指出集合中的元 ≠ 3 考察下列集合 ≠ 素是什么? 师:对于类似(2)的集合称这样的集 合为空集. (1)A = {(x,y) | x + y =2}. 师生合作归纳空集的定义. (2)B = {x | x2 + 1 = 0,x∈R}. 3.空集 称不含任何元素的集合为空集,记作 ? . 规定: 空集是任何集合的子集; 空集是任何 非空集合的真子集. 一般结论: ① A ? A. ②若 A ? B , B ? C ,则 A ? C . 师:若 a≤a,类比 A ? A . 若 a≤b,b≤c,则 a≤c 类比. 若 A ? B , B ? C ,则 A ? C . 升华并体会类 比数学思想的 意义.

示例 1 学生思考并回答. 生: (1 ) A ? B (2) A ? B (3)A = B

能力 提升

③A = B ? A ? B ,且 B ? A .

师生合作完成: (1)对于集合 A,显然 A 中的任何元 素都在 A 中,故 A ? A . (2)已知集合 A ? B ,同时 B ? C , 即任意 x∈A ? x∈B ? x∈C,故 A?C.

应用 举例

例 1(1)写出集合{a、b}的所有子集; 学习练习求解,老师点评总结. 通过练习加 (2)写出集合{a、b、c}的所有子集; 师:根据问题(1) 、 (2 ) 、 (3) ,子集个 深对子集、 真子 (3)写出集合{a、b、c、d}的所有子集; 数的探究,提出问题: 集概念的理解. 一般地:集合 A 含有 n 个元素 已知 A = {a1,a2,a3?an},求 A 的子 培养学生归 则 A 的子集共有 2n 个. 集共有多少个? 纳能力. n A 的真子集共有 2 – 1 个. 子集: A ? B ? 任意 x∈A ? x∈B 真子集:A B ? 任意 x∈A ? x∈B,但 ? 存在 ≠ x0∈B,且 x0 ? A. 引导学生整理 师生合作共同归纳—总结—交流—完 集合相等:A = B ? A ? B 且 B ? A 知识, 体会知识 善. 空集( ? ) :不含任何元素的集合 的生成,发展、 师: 请同学合作交流整理本节知识体系 性质:① ? ? A ,若 A 非空,则 ? A. 完善的过程. ? A ? A ② . ≠ ③ A? B,B?C ? A?C . 1.1 第二课时习案 学生独立完成 巩固基础 提升能力

归纳 总结

课后 作业

备选训练题
例 1 能满足关系{a,b} ? {a,b,c,d,e}的集合的数目是( A ) A.8 个 D.3 个 【解析】由关系式知集合 A 中必须含有元素 a,b,且为{a,b,c,d, e}的子集,所以 A 中元素就是在 a,b 元素基础上,把{c,d,e}的子集中 元素加上即可,故 A = {a,b},A = {a,b,c},A = {a,b,d},A = {a,b, e},A = {a,b,c,d},A = {a,b,c,e},A = {a,b,d,e},A = {a,b, c,d,e},共 8 个,故应选 A. 例 2 已知 A = {0,1}且 B = {x | x ? A },求 B. 【解析】集合 A 的子集共有 4 个,它们分别是: ? ,{0},{1},{0, 1}. 由题意可知 B = { ? ,{0},{1},{0,1}}. 例 3 设集合 A = {x – y,x + y,xy},B = {x2 + y2,x2 – y2,0},且 A = B,求实数 x 和 y 的值及集合 A、B. 【解析】∵A = B,0∈B,∴0∈A. 若 x + y = 0 或 x – y = 0,则 x2 – y2 = 0,这样集合 B = {x2 + y2,0,0}, B .6 个 C .4 个

根据集合元素的互异性知:x + y≠0,x – y≠0.
? xy ? 0 ? ∴ ? x ? y ? x2 ? y2 ? 2 2 ?x ? y ? x ? y ? xy ? 0 ? 或 ? x ? y ? x2 ? y2 ? 2 2 ?x ? y ? x ? y

(I)

(II) 由(I)得: ?
?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 1 或? 或? ?y ? 0 ?y ?1 ?y ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 1 或? 或? ? y ? 0 ? y ? ?1 ? y ? 0

由(II)得: ?

∴当 x = 0,y = 0 时,x – y = 0,故舍去. 当 x = 1,y = 0 时,x – y = x + y = 1,故也舍去. ∴?
?x ? 0 ?x ? 0 或? , ? y ? 1 ? y ? ?1

∴A = B = {0,1,–1}. 例 4 设 A = {x | x2 – 8x + 15 = 0},B = {x | ax – 1 = 0},若 B ? A ,求 实数 a 组成的集合,并写出它的所有非空真子集. 【解析】A = {3,5},∵ B ? A ,所以 (1)若 B = ? ,则 a = 0; (2)若 B≠ ? ,则 a≠0,这时有
1 1 1 1 ? 3 或 ? 5 ,即 a = 或 a = . a a 3 5

1 1 综上所述,由实数 a 组成的集合为 {0, , } . 5 3

1 1 1 1 1 1 其所有的非空真子集为:{0}, { },{ },{0, },{0, },{ , } 共 6 个. 5 3 5 3 5 3

第 3 课时 集合的并集和交集
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集 和交集. (2)能使用 Venn 图表示集合的并集和交集运算结果,体会直观图对 理解抽象概念的作用。 (3)掌握的关的术语和符号,并会用它们正确进行集合的并集与交 集运算。 2.过程与方法 通过对实例的分析、思考,获得并集与交集运算的法则,感知并集和 交集运算的实质与内涵, 增强学生发现问题, 研究问题的创新意识和能力. 3.情感、态度与价值观 通过集合的并集与交集运算法则的发现、完善,增强学生运用数学知 识和数学思想认识客观事物,发现客观规律的兴趣与能力,从而体会数学 的应用价值. (二)教学重点与难点 重点:交集、并集运算的含义,识记与运用. 难点:弄清交集、并集的含义,认识符号之间的区别与联系 (三)教学方法 在思考中感知知识,在合作交流中形成知识,在独立钻研和探究中提 升思维能力,尝试实践与交流相结合. (四)教学过程
教 学 环 节 教学内容 师生互动 设计意图

提 思考:观察下列各组集合,联想实 师:两数存在大小关系,两集合存 出 数加法运算,探究集合能否进行类 在包含、相等关系;实数能进行加 问 似“加法”运算. 减运算, 探究集合是否有相应运算. 生疑析 题 (1)A = {1,3,5},B = {2,4,6}, 生: 集合 A 与 B 的元素合并构成 C. 疑, 引 C = {1,2,3,4,5,6} 师:由集合 A、B 元素组合为 C,这 导入新知 入 (2)A = {x | x 是有理数}, 种形式的组合就是为集合的并集运 新 B = {x | x 是无理数}, 算. 知 C = {x | x 是实数}. 形 思考:并集运算. 师:请同学们将上述两组实例的共 在老师指 成 集合 C 是由所有属于集合 A 或属于 同规律用数学语言表达出来. 导下,学

概 集合 B 的元素组成的,称 C 为 A 和 学生合作交流:归纳→回答→补充 念 B 的并集. 或修正→完善→得出并集的定义. 定义:由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合. 称为集合 A 与 B 的并集;记作:A∪B;读作 A 并 B, 即 A∪B = {x | x∈A, 或 x∈B}, Venn 图表示为: A B 例 1 解: A∪B = {4, 5, 6, 8}∪{3, 5, 7, 8} = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. 例 2 解: A∪B = {x |–1<x<2}∪{x|1 <x<3} = {x = –1<x<3}.

生通过合 作交流, 探究问题 共性,感 知并集概 念,从而 初步理解 并集的含 义.

应 用 举 例

学生尝试 求解,老 师适时适 师:求并集时,两集合的相同元素 当指导, 例 2 设集合 A = {x | –1<x<2}, 如何在并集中表示. 评析. 集合 B = {x | 1<x<3},求 A∪B. 生:遵循集合元素的互异性. 固化概念 师:涉及不等式型集合问题. 提升能力 注意利用数轴,运用数形结合 思想求解. 生:在数轴上画出两集合,然后合 并所有区间. 同时注意集合元 素的互异性. 例 1 设 A = {4,5,6,8},B = {3,5,7,8},求 A∪B.

–1

0

1 2 3

x

探 究 性 质

①A∪A = A, ②A∪ ? = A, ③A∪B = B∪A, ④ A ? A ∪B, B ? A ∪B.

老师要求学生对性质进行合理解 释.

培养学生 数学思维 能力.

形 成 概 念

自学提要: ①由两集合的所有元素合并可得两 集合的并集,而由两集合的公共元 自学辅 素组成的集合又会是两集合的一种 老师给出自学提要,学生在老师的 导,合作 引导下自我学习交集知识,自我体 怎样的运算? 交流,探 ②交集运算具有的运算性质呢? 会交集运算的含义. 并总结交集的 究交集运 性质. 交集的定义. 算. 培养 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有 生:①A∩A = A; 学生的自 元素组成的集合,称为 A 与 B 的交 ②A∩ ? = ? ; 学能力, 集;记作 A∩B,读作 A 交 B. ③A∩B = B∩A; 为终身发 即 A∩B = {x | x∈A 且 x∈B} ④A∩ B ? A ,A∩ B ? B . 展培养基 Venn 图表示 师:适当阐述上述性质. 本素质. A B A∩ B

应 用 举

例 1 (1)A = {2,4,6,8, 10}, B = {3,5,8,12},C = {8}.

学生上台板演,老师点评、总结. 例 1 解: (1)∵A∩B = {8}, ∴A∩B = C.

提升学生 的动手实 践能力.



(2)新华中学开运动会,设 (2)A∩B 就是新华中学高一年级 A = {x | x 是新华中学高一年级 中那些既参加百米赛跑又参加跳高 参加百米赛跑的同学}, 比赛的同学组成的集合. 所以,A∩ B = {x | x 是新华中学高一年级 B = {x | x 是新华中学高一年级既参 参加跳高比赛的同学},求 A∩B. 加百米赛跑又参加跳高比赛的同 例 2 设平面内直线 l1 上点的 学}. 集合为 L1, 直线 l2 上点的集合为 L2, 例 2 解:平面内直线 l1,l2 可能有 试用集合的运算表示 l1, l2 的位置关 三种位置关系,即相交于一点,平 系. 行或重合. (1)直线 l1,l2 相交于一点 P 可表 示为 L1∩L2 = {点 P}; (2)直线 l1,l2 平行可表示为 L1∩L2 = ? ; (3)直线 l1,l2 重合可表示为 L1∩L2 = L1 = L2. 并集:A∪B = {x | x∈A 或 x∈B} 交集:A∩B = {x | x∈A 且 x∈B} 性质:①A∩A = A,A∪A = A, ②A∩ ? = ? ,A∪ ? = A, ③A∩B = B∩A,A∪B = B∪A. 1.1 第三课时 习案 学生合作交流:回顾→反思→总理 归纳知 →小结 识、构建 老师点评、阐述 知识网络 巩固知 识,提升 能力,反 思升华

归 纳 总 结 课 后 作 业

学生独立完成

备选例题
例 1 已知集合 A = {–1,a2 + 1,a2 – 3},B = {– 4,a – 1,a + 1},且 A∩B = {–2},求 a 的值. 【解析】法一:∵A∩B = {–2},∴–2∈B, ∴a – 1 = –2 或 a + 1 = –2, 解得 a = –1 或 a = –3, 当 a = –1 时,A = {–1,2,–2},B = {– 4,–2,0},A∩B = {–2}. 当 a = –3 时,A = {–1,10,6},A 不合要求,a = –3 舍去 ∴a = –1. 法二:∵A∩B = {–2},∴–2∈A, 又∵a2 + 1≥1,∴a2 – 3 = –2, 解得 a =±1, 当 a = 1 时,A = {–1,2,–2},B = {– 4,0,2},A∩B≠{–2}. 当 a = –1 时,A = {–1,2,–2},B = {– 4,–2,0},A∩B ={–2},∴a = –1. 例 2 集合 A = {x | –1<x<1},B = {x | x<a}, (1)若 A∩B = ? ,求 a 的取值范围; (2)若 A∪B = {x | x<1},求 a 的取值范围.

【解析】 (1)如下图所示:A = {x | –1<x<1},B = {x | x<a},且 A ∩B= ? ,

∴数轴上点 x = a 在 x = – 1 左侧. ∴a≤–1. (2)如右图所示:A = {x | –1<x<1},B = {x | x<a} 且 A∪B = {x | x<1}, ∴数轴上点 x = a 在 x = –1 和 x = 1 之间. ∴–1<a≤1.
? C = {x | x2 + 2x – 8 = 0},求 a 取何实数时, A∩B ≠

例 3 已知集合 A = {x | x2 – ax + a2 – 19 = 0}, B = {x | x2 – 5x + 6 = 0},
? 与 A∩C = ? 同时成

立? 【解析】 B = {x | x2 – 5x + 6 = 0} = {2, 3}, C = {x | x2 + 2x – 8 = 0} = {2, – 4}. 由 A∩B ? ? 和 A∩C = ? 同时成立可知, 3 是方程 x2 – ax + a2 – 19 = 0 ≠ 的解. 将 3 代入方程得 a2 – 3a – 10 = 0,解得 a = 5 或 a = –2. 当 a = 5 时,A = {x | x2 – 5x + 6 = 0} = {2,3},此时 A∩C = {2},与题 设 A∩C = ? 相矛盾,故不适合. 当 a = –2 时,A = {x | x2 + 2x – 15 = 0} = {3,5},此时 A∩B ?? 与 A ≠ ∩C = ? ,同时成立,∴满足条件的实数 a = –2. 例 4 设集合 A = {x2,2x – 1,– 4},B = {x – 5,1 – x,9},若 A∩B = {9},求 A∪B. 【解析】由 9∈A,可得 x2 = 9 或 2x – 1 = 9,解得 x =±3 或 x = 5. 当 x = 3 时,A = {9,5,– 4},B = {–2,–2,9},B 中元素违背了互 异性,舍去. 当 x = –3 时,A = {9,–7,– 4},B = {–8,4,9},A∩B = {9}满足题 意,故 A∪B = {–7,– 4,–8,4,9}. 当 x = 5 时,A = {25,9,– 4},B = {0,– 4,9},此时 A∩B = {– 4, 9}与 A∩B = {9}矛盾,故舍去. 综上所述,x = –3 且 A∪B = {–8,– 4,4,–7,9}.

第 4 课时 集合的全集与补集

(一)教学目标 1.知识与技能 (1)了解全集的意义. (2)理解补集的含义,会求给定子集的补集. 2.过程与方法 通过示例认识全集,类比实数的减法运算认识补集,加深对补集概念 的理解,完善集合运算体系,提高思维能力. 3.情感、态度与价值观 通过补集概念的形成与发展、理解与掌握,感知事物具有相对性,渗 透相对的辨证观点. (二)教学重点与难点 重点:补集概念的理解;难点:有关补集的综合运算. (三)教学方法 通过示例,尝试发现式学习法;通过示例的分析、探究,培养发现探索 一般性规律的能力. (四)教学过程

教学环节 提出问题 内.

教学内容

师生互动

设计意图 挖掘旧知, 导 入新知,激发 学习兴趣.

示例 1:数集的拓展 示例 2:方程(x – 2) (x2 – 3) = 0 的解 学生思考讨论.

导入课题 集 . ①在有理数范围内,②在实数范围 1.全集的定义. 如果一个集合含有我们所研究问题 中涉及的所有元素,称这个集合为全集, 记作 U. 示例 3:A = {全班参加数学兴趣小 形成概念 组的同学}, B = {全班设有参加数学兴趣 小组的同学}, U = {全班同学}, 问 U、 A、 B 三个集关系如何. 2.补集的定义 补集:对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合 师:教学学科中许多时候,许 多问 题都是在某一范围内进行研究. 如实例 1 是在实数集范围内不 断扩大数集. 实例 2: ①在有理 数范围内求解;②在实数范围 内求解 . 类似这些给定的集合 就是全集. 师生合作,分析示例 生:①U = A∪B, ②U 中元素减去 A 中元素就构 成 B.

合作交流, 探 究新知,了解 全集、 补集的 含义.

称为集合 A 相对于全集 U 的补集,记作 师:类似②这种运算得到的集合 B
? UA . 即 ? UA = {x | x∈U,且 x ? A },

称为集合 A 的补集,生师合作 交流探究补集的概念.

Venn 图表示
? UA
A

U

学生先尝试求解,老师指导、点评. 例 1 解:根据题意可知,U = {1,2, 例 1 设 U = {x | x 是小于 9 的正整 3, 4, 5, 6, 7, 8}, 所以 数},A = {1,2,3},B = {3,4,5,6},5, 6, 7, 8}, 应用举例 求 ? UA, ? UB. 深化概念 例2
? UA = {4,

加深对补集 概念的理解, A 初步学会求 集合的补集.

? UB = {1, 2, 7, 8}. 设全集 U = {x | x 是三角形}, 例 2 解: 根据三角形的分类可知

A = {x|x 是锐角三角形},B = {x | x 是钝 ∩B = ? , 角三角形}. 求 A∩B, ? U (A∪B). A∪B = {x | x 是锐角三角形或钝角 三角形},
? U (A∪B) = {x | x 是直角三角形}.

师:提出问题 生:合作交流,探讨 师生:学生说明性质①、②成立的 补集的性质: ①A∪( ? UA) = U, ②A∩( ? UA) = ? . 理由,老师点评、阐述. 师:变式练习:求 A∪B,求 ? U (A ∪ B) 并比较与 ( ? UA) ∩ ( ? UB) 的结 果.

能力提升. 探 解:因为 ? UA = {1, 3, 6, 7}, ? UB = 练习 1: 已知全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, 究补集的性 性质探究 {2, 4, 6},所以 A∩( ? UB) = {2, 4}, A={2, 4, 5},B = {1, 3, 5, 7},求 A∩ 质,提高学生 ( ? UB),( ? UA)∩( ? UB). 总结: ( ? UA)∩( ? UB) = ? U (A∪B), ( ? UA)∪( ? UB) = ? U (A∩B). ( ? UA)∩( ? UB) = {6}. 的归纳能力.

应用举例 例 2 填空

师生合作分析例题.

进一步深化

(1)若 S = {2,3,4},A = {4,3},则 例 2(1) :主要是比较 A 及 S 的区 理解补集的 概念. 掌握补 别,从而求 ? SA . . ? SA = (2) 若 S = {三角形}, B = {锐角三角形},例 2(2) :由三角形的分类找 B 的 集的求法. 则 ? SB = . 补集. :运用空集的定义. (3) 若 S = {1, 2, 4, 8}, A =?, 则 ? SA 例 2(3) = . 例 2(4) :利用集合元素的特征. (4)若 U = {1,3,a2 + 3a + 1},A = {1,综合应用并集、补集知识求解. 3}, ? UA = {5},则 a . 例2 (7) : 解答过程中渗透分类讨论 例 2(1)解: ? SA = {2} 例 2(2)解:? SB = {直角三角形或 例 2(3)解: ? SA = S a = – 4 或 1. 例2 (5) 解: 利用韦恩图由 A 设 ? UA 先求 U = {–1,0,1,2,4},再求 B = {1,4}. 例 2(6)解:由题 m2 + 2m – 3 = 5 且|m + 1| = 3, 解之 m = – 4 或 m = 2. 例 2(7)解:将 x = 1、2、3、4 代 入 x2 – 5x + m = 0 中, m = 4 或 m = 6, 当 m = 4 时,x2 – 5x + 4 = 0,即 A = {1,4}, 又当 m = 6 时,x2 – 5x + 6 = 0,即 A = {2,3}. 故满足条件:? UA = {1,4},m = 4; ? UB = {2,3},m = 6. 1.全集的概念,补集的概念. 2. ? UA ={x | x∈U,且 x ? A }. 3.补集的性质: ①( ? UA)∪A = U,( ? UA)∩A = ? , ② ? U ? = U , ? UU = ? , ③( ? UA)∩( ? UB) = ? U (A∪B), 师生合作交流,共同归纳、总结, 逐步完善. 引导学生自 我回顾、反 思、归纳、总 结,形成知识 体系. (5)已知 A = {0,2,4}, ? UA = {–1, 思想. 1}, ? UB = {–1,0,2},求 B = .
2

(6)设全集 U = {2,3,m + 2m – 3}, 钝角三角形} A = {|m + 1| ,2}, ? UA = {5},求 m. x2 – 5x + m = 0,x∈U},求 ? UA、m. (7)设全集 U = {1,2,3,4},A = {x | 例 2(4)解:a2 + 3a + 1 = 5,

归纳总结

( ? UA)∪( ? UB) = ? U (A∩B) 课后作业 1.1 第四课时习案 学生独立完成 巩固基础、 提 升能力

备选例题
例 1 已知 A = {0,2,4,6}, ? SA = {–1,–3,1,3}, ? SB = {–1, 0,2},用列举法写出集合 B. 【解析】∵A = {0,2,4,6}, ? SA = {–1,–3,1,3}, ∴S = {–3,–1,0,1,2,3,4,6} 而 ? SB = {–1,0,2},∴B = ? S ( ? SB) = {–3,1,3,4,6}. 例 2 已知全集 S = {1,3,x3 + 3x2 + 2x},A = {1,|2x – 1|},如果 ? SA = {0},则这样的实数 x 是否存在?若存在,求出 x;若不存在,请说明理 由. 【解析】∵ ? SA = {0},∴0∈S,但 0 ? A,∴x3 + 3x2 + 2x = 0,x(x + 1) (x + 2) = 0, 即 x1 = 0,x2 = –1,x3 = –2. 当 x = 0 时,|2x – 1| = 1,A 中已有元素 1,不满足集合的性质; 当 x= –1 时,|2x – 1| = 3,3∈S; 当 x = –2 时,|2x – 1| = 5,但 5 ? S. ∴实数 x 的值存在,它只能是–1. 例 3 已知集合 S = {x | 1<x≤7},A = {x | 2≤x<5},B = {x | 3≤x< 7}. 求: (1)( ? SA)∩( ? SB); (2) ? S (A∪B); (3)( ? SA)∪( ? SB); (4) ? S (A ∩B). 【解析】如图所示,可得

A∩B = {x | 3≤x<5},A∪B = {x | 2≤x<7},
? SA = {x | 1<x<2,或 5≤x≤7}, ? SB = {x | 1<x<3}∪{7}. 由此可得: (1)( ? SA)∩( ? SB) = {x | 1<x<2}∪{7};

(2) ? S (A∪B) = {x | 1<x<2}∪{7}; (3) ( ? SA)∪( ? SB) = {x | 1<x<3}∪{x |5≤x≤7} = {x | 1<x<3, 或5 ≤x≤7}; (4)? S (A∩B) = {x | 1<x<3}∪{x | 5≤x≤7} = {x | 1<x<3, 或 5≤x ≤7}. 例 4 若集合 S = {小于 10 的正整数}, A ? S ,B ? S , 且( ? SA)∩B =

{1,9},A∩B = {2},( ? SA)∩( ? SB) = {4,6,8},求 A 和 B. 【解析】由( ? SA)∩B = {1,9}可知 1,9 ? A,但 1,9∈B, 由 A∩B = {2}知,2∈A,2∈B. 由( ? SA)∩( ? SB) = {4,6,8}知 4,6,8 ? A,且 4,6,8 ? B 下列考虑 3,5,7 是否在 A,B 中: 若 3∈B,则因 3 ? A∩B,得 3 ? A. 于是 3∈ ? SA,所以 3∈( ? SA)∩B, 这与( ? SA)∩B = {1,9}相矛盾. 故 3 ? B,即 3∈( ? SB),又∵3 ? ( ? SA)∩( ? SB), ∴3 ? ( ? SA),从而 3∈A;同理可得:5∈A,5 ? B;7∈A,7 ? B. 故 A = {2,3,5,7},B = {1,2,9}. 评注:此题 Venn 图求解更易.

1.2.1 函数的概念
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解函数的概念;体会随着数学的发展,函数的概念不断被精 炼、深化、丰富.

(2)初步了解函数的定义域、值域、对应法则的含义. 2.过程与方法 (1)回顾初中阶段函数的定义,通过实例深化函数的定义. (2)通过实例感知函数的定义域、值域,对应法则是构成函数的三 要素,将抽象的概念通过实例具体化. 3.情感、态度与价值观 在函数概念深化的过程中,体会数学形成和发展的一般规律;由函数 所揭示的因果关系,培养学生的辨证思想. (二)教学重点与难点 重点:理解函数的概念;难点:理解函数符号 y = f (x)的含义. (三)教学方法 回顾旧知,通过分析探究实例,深化函数的概念;体会函数符号的含 义. 在自我探索、合作交流中理解函数的概念;尝试自学辅导法. (四)教学过程 教学环节 教学内容 函数的概念: (初中)在一个变化过程 回顾复习 中有两个变量 x 和 y,如果对于 x 的每 提出问题 一个值, y 都有唯一的值与对应. 那么就 说 y 是 x 的函数,其中 x 叫做自变量. 师生互动 师:初中学习了函数,其含 义是什么. 生: 回忆并口述初中函数的 定义.(师生共同完善、 概念) 由旧知引入 函数的概念. 设计意图

示例分析 示例 1:一枚炮弹发射后,经过 26s 落 到地面击中目标. 炮弹的射高 为 845m,且炮弹距地面的高度 h (单位: m)随时间 t (单位:s)变化的规律是 h = 130t – 5t2. 形成概念 示例 2:近几十年来,大气层中的臭氧 迅速减少, 因而出现了臭氧层空沿问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层 空洞的面积从 1979~2001 年的变化情 况.


老师引导、分析三个示例, 利用示例,探 师生合作交流揭示三个示 究规律, 形成 例中的自变量以及自变量 并 深 化 函 数 的变化范围, 自变量与因变 的概念. 量之间的对应关系.

示例 3 国际上常用恩格尔系数 反映 一个国家人民生活质量的高低,恩格尔 系数越低,生活质量越高,下表中恩格 尔系数随时间(年)变化的情况表明, “八五”计划以来,我国城镇居民的生 活质量发生了显著变化.
“八五”计划以来我国城镇居民 恩格尔系数变化情况 时间 (年) 城镇居 民家庭 恩格尔 系数(%) 时间 (年) 城镇居 民家庭 恩格尔 系数(%) 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9 1997 1998 1999 2000 2001 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 1991 1992 1993 1994 1995 1996



师生共同探究利用集合与 体 会 函 数 新 对应的语言描述变量之间 定 义 的 精 确 的因果关系. 性及实质.

函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照 某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯 一确定的数 f (x)和它对应,那么就称 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 (function),记作 y = f (x),x∈A. 其中, x 叫做自变量,x 的取值范围

A 叫做函数的定义域(domain); 与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集 合{f (x) | x∈A}叫做函数的值域(range). 显然,值域是集合 B 的子集. 下列例 1、例 2、例 3 是否满足函 数定义 例 1 若物体以速度 v 作匀速直线 运动,则物体通过的距离 S 与经过的时 间 t 的关系是 S = vt. 例 2
水深 h(米) 存水量

老师引导学生分析例 1、 例 2、 例 3 是否满函数的 定义. 并指明对应法则和定 义域. 例 1 的对应法则 f:t→ s = Vt,定义域 t∈[0, +∞). 例 2 的对应法则一个表

某水库的存水量 Q 与水深

h(指最深处的水深)如下表:
0 5 10 15 20 25

通过三个实 格 h→Q,定义域 h∈{0, 5, 例反映函数 Q(立方) 10, 15, 20, 25}. 应用举例 的三种表示 例 3 设时间为 t,气温为 T(℃), 例 3 的对应法则 f:一 形式. 自动测温仪测得某地某日从凌晨 0 点到 条曲线, t∈[0, 24]. 对任意 半夜 24 点的温度曲线如下图. t,过 t 作 t 轴的垂线与曲线
0 20 40 90 160 275 ℃ 20 15 10 5 0 6 12 18 24

交于一点 P (t, T),即 t→T.

表示函数的方法: 1 .解析式:把常量和表示自变量 的字母用一系列运算符号连接起来,得 深化概念 到的式子叫做解析式. 变量之间的对应关系. 之间的对应关系. 师: 请同学另举例说明 函数用图象法和列表法表 生: 平方表、 平方根表、 车次表、股市走势图. 归纳总结函 数的三种常 见表示法.

2 .列表法:列出表格来表示两个 示的. 3 .图象法:用图象表示两个变量 三角函数表、 火车站的时间

1.函数的概念; 归纳总结 2.函数的三要素; 3.函数的表达式. 课后作业 1.2 第一课时习案

师生共同回顾总结, 并简要 总结知识,形 阐述. 独立完成 成系统 巩固知识

1.2.2 函数的三要素
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)了解函数三要素的含义,掌握根据函数的三要素判定两个函数 是否为同一个函数的方法. (2)会求简单函数的定义域和函数值. 2.过程与方法 通过示例分析,让学生掌握求函数定义域的基本题型及方法,进一步 加深对函数概念的理解.通过求出函数的函数值,加深对应法则的认识. 3.情感、态度与价值观 通过动手实践研究数学问题,提高分析问题,解决问题能力;体会成 功地解答数学问题的学习乐趣,培养钻研精神. (二)教学重点与难点 重点:掌握函数定义域的题型及求法. 难点:理解函数由定义域与对应法则确定函数这一基本原则. (三)教学方法 启发式教学, 在老师引导, 学生在合作的状态下理解知识、 应用知识,

提升学生应用知识和基本技能探究解决问题的能力. (四)教学过程 教学环节 2.示例剖析 例 1
1 . x?2

教学内容 1.回顾函数的定义.

师生互动 1.老师引导学生分析例 1 函数 解析式的结构特征 . 结合函数的定

设计意图

已知函数 f (x) = x ? 3 + 义,感知函数定义域即使解析式有 意义的自变量的取值范围. 2.分析例 2 的题型特点,结合 函数的定义,阐明确定函数的因素 为定义域和对应法则,并了解值域 由这二要素决定. 例 1 解: 使根式 x ? 3 有意义的 实数 x 的集合是{x | x≥–3},使分式
1 有意义的实数 x 的集合是{x | x x?2

(1)求函数的定义域;
2 (2)求 f (–3), f ( ) 的值; 3

(3)当 a>0 时,求 f (a),f (a – 1)的值. 例 2 下列函数中哪个与函数 y = x 相等? (1) y ? ( x )2 ; 复习回顾 范例分析 强化概念 (2) y ? 3 x3 ; (3) y ? x 2 ; (4) y ?
x2 . x

≠–2}. 所以,这个函数的定义域就 从回顾概 是 {x | x≥–3}∩{x|x≠–2}
1 = –1; ?3 ? 2

念入手, 引 入求定义 域的思考 方法及求 定义域的 基本原则.

={x|x≥–3,且 x≠–2}. (2) f (?3) ? ?3 ? 3 ?

2 11 3 1 2 ?3 + ? = f ( )= 2 3 3 8 3 ?2 3 3 33

2.函数定义的理解.

= ? . 8 3 由函数的定义可知, 一个函数的构成 要素为:定义域、对应关系和值域 . (3) 因为 a>0, 所以 f (a), f (a – 1) 由于值域是由定义域和对应关系决 有意义. 定的, 所以, 如果两个函数的定义域 相同, 并且对应关系完全一致, 我们 就称这两个函数相等. 3.区间的概念: [a,b]表示; (2)不等式 a<x<b,用开区间
f (a) ? a ? 3 ? 1 ; a?2

f (a–1) = a ? 1 ? 3 +

1 1 = a?2 + . a ?1 (1)不等式 a≤x≤b,用闭区间 ( a ? 1) ? 2

例 2 解: (1) y ? ( x )2 = x (x

(a, b)表示;

≥0),这个函数与函数 y = x (x∈R)

(3)不等式 a≤x<b (或 a<x≤ 虽然对应关系相同,但是定义域不 b)用半开半闭区间[a,b](或(a,b])表 相同. 所以,这个函数与函数 y = x 示; (4)x≥a,x>a,x≤ b ,x<b 分别表示为[a,+∞),(a, +∞),(–∞, b],(–∞, b). (x∈R)不相等. (2) y ? 3 x3 ? x (x∈R),这个函数 与函数 y = x(x∈R)不仅对应关系相 同,而且定义域也相同 . 所以,这 个函数与函数 y = x(x∈R)相等. ( 3 ) y ? x2 ?| x | = ?
? x, x ? 0, 这 ?? x, x ? 0.

个函数与函数 y = x(x∈R)的定义域 都是实数集 R,但是当 x<0 时, 它 的对应关系与函数 y = x(x∈R)不相 同. 所以,这个函数与函数 y = x(x ∈R)不相等. (4) y ?
x2 的定义域是{x | x≠0}, x

与函数 y = x (x∈R)的对应关系相 同但定义域不相同 . 所以,这个函 数与函数 y = x(x∈R)不相等. 训练题 1:求下列函数的定义域. (1) f ( x) ?
1 ; x?2

学生合作交流完成训练题 1 并 说明解法原理. 老师点评学生的解法及总结、 题型. 师生合作小结求定义域的方法 固化定义 及求解步骤.
1 有意义, x?2

(2) f ( x) ? 3x ? 2 ; (3) f ( x) ? x ? 1 ? 应用举例
1 . 2? x

域的求法 理.

训练题 1 解: (1)x – 2≠0,即 及求解原 x≠2 时,

小结:从上例可以看出,求用解 析式 y = f (x)表示的函数的定义域, 常 有以下几种情况:

∴这个函数的定义域是{x | x≠ 强化函数 值的基本 (2)3x + 2≥0,即 x≥ ? 求法、 加深 2 时, 3 对函数三

1 .函数的定义域即使函数解析 2}. 式有意义的实数集. 2.已知函数 y = f (x) (1) 若 f (x)为整式, 则定义域为

3 x ? 2 有意义,∴函数 y = 3 x ? 2 要素含义

R.

2 的定义域是 [ ? ,+∞). 3 (2) 若 f (x)为分式, 则定义域是

的理解.

使分母不为零的实数的集合; (3) 若 f (x)是偶次根式, 那么函 零的实数的集合; (4) 若 f (x)是由几个部分的数学 各部分式子都有意义的实数的集合 (即使每个部分有意义的实数的集 合的交集) ; (5)若 f (x)是由实际问题列出 的,那么函数的定义域是使解析式本 身有意义且符合实际意义的实数的 集合. 求 f (1),f (a),f (m + n),f [f (x)]. (2) ①已知 f (x) = x + 1, 则 f (3x + 2) = = ;
3 2

(3) ?

?x ?1 ? 0 ? x ? ?1 ?? ,∴ ?2 ? x ? 0 ? x ? 2

数的定义域是根号内的式子不小于 这个函数的定义域是 {x | x≥–1}∩ {x | x≠2} = [–1,2)∪(2,+∞). 注意:函数的定义域常用二种

式子构成的,那么函数的定义域是使 方法表示:集合、区间.

学生自主完成训练题 2,体会 训练题 2 解: (1)f (1) = 2?1+3=5. f (a) = 2?a + 3 = 2a + 3. f (m + n) = 2?(m + n) + 3 = 2 (m+n) + 3. f [f (x)] = 2?f (x) + 3 = 2 (2x + 3) + 3 = 4 x + 9. (2)①9x2 + 12x + 5;②–2x3–1. (3) ? ?1 ; (4)D. .

训练题 2: (1) 已知 f (x) = 2x + 3, 求函数值与对应法则之间的关系.

②已知 f (x) = 2x – 1,则 f (–x) . (3)已知函数
? x ? 1, ( x ? 0) ? ( x ? 0) , f (x) = ?? , ?0, ( x ? 0) ?

则 f {f [f (–1)]} = (4)在函数

? x ? 2, ( x ? ?1) ? ( ?1 ? x ? 2) 中,若 f (x) = ? x 2 , ? 2 x, ( x ? 2) ?

f (x) = 3,则 x 的值是( A.1 C.± 3


3 2

B.1 或 D. 3

1 .求函数定义域的原理:使函 归纳总结 数解析式有意义的自变量取值范围. 2.求函数值的方法:代入法. 课后作业 1.2 第二课时习案 学生独立完成 师生合作归纳小结

训练归纳 概括能力 固化技能

1.2.3 函数的表示法(一)
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)了解函数的三种表示法的各自优点,掌握用三种不同形式表示 函数. (2)提高在不同情境中用不同形式表示函数的能力. 2.过程与方法 通过示例的分析和求解,明确函数三种不同表示法的优点,从而培养 学生恰当选用函数的表示形式表示函数的能力. 3.情感、态度与价值观 在恰当应用不同形式表示函数的过程,感受数与形结合的动态美,体会 应用辨证思维的乐趣. (二)教学重点与难点 重点: 选用恰当形式表示函数; 难点: 体会函数三种表示形式的优点. (三)教学方法 尝试指导与合作交流相结合,通过示例的探究,使学生感知“三种形 式”的各自优点. 从而培养学生恰当选用不同形式表示不同情境下的函数 的能力.

教学环节

教学内容 1.回顾函数的有关概念. 2.函数的表示方法. 解析式:用数学表达式表示两个变量之

师生互动

设计意图

师: 函数的概念中的关键词是什么? 将新、旧知 生: 集合 A 中任何一个元素在 B 中都 识有机整 有唯一元素与之对应. 师生:共同回顾函数三种表示形式. 合

复习回顾

间的对应关系.

引入课题 图象法:用图象表示两个变量之间的对 应关系. 列表法:列出表格来表示两个变量之间 的对应关系.

例 1 某种笔记本的单价是 5 元, 师:同一函数用三种形式表示,它们 买 x (x∈{1, 2, 3, 4, 5})个笔记本需要 y 各自有何特点. 元. 试用函数的三种表示法表示函数 y 师生合作总结三种形式的特点即优 = f (x). {1,2,3,4,5}. y = 5x, x∈{1, 2, 3, 4, 5}. 点. 三种形式表示的函数 工厂生产图——图象法; (3)银行利 解析:这个函数的定义域是数集 师: 举例说明在我们的日常生活中用 用解析法可将函数 y = f (x)表示为 生: (1) 年级日誌表——列表法; (2) 用列表法可将函数 y = f (x)表示为 率表——列表法; (4)医务室的各年 2 3 4 5 笔记本数 x 1 级身高统计图——不是图象法.
钱数 y 5 10 15 20 25

一元一次函数 图象—图象法

用图象法可将函数 y = f (x)表示为 一元二次函数 解析式—解析法 反比例函数 下图. 师: 是否所有函数均能用三种方法表 示呢?自示例 2 生:例 2 不方便使用解析法表示. 例 2 解析: 从表中可以知道每 示例剖析 位同学在每次测试中的成绩,但不 太容易分析每位同学的成绩变化情 况. 如果将“成绩”与“测试序号” 之间的关系用函数图象表示出来, 如下图,那么就能比较直观地看到 成绩变化的情况 . 这对我们的分析 知识总结: ①解析法的优点: (1)简明,全面 地概括了变量间的关系; (2) 通过解析 式能求出任意一个自变量的值所对应 的函数值. ②图象法的优点: 直观形象地表示 自变量的变化, 相应的函数值变化的趋 势, 有利于通过图象来研究函数的某些 性质. 从上图我们看到, 王伟同学的数学学 学习 ③列表法的优点: 不需计算便可以 习成绩始终高于班级平均水平, 直接看出自变量的值相对应的函数值. 情况比较稳定而且成绩优秀 . 张城 例 2 总是在班级 下表是某校高一(1)班三 同学的数学成绩不稳定, 平均水平上下波动, 而且波动幅度较 很有帮助. 通过范例 分析体会 三种表示 法的优点, 感知不是 所有函数 均能用三 种形式表 示.

成绩 姓名

测试 序号

名同学在高一学年度六次数学测试的 大 . 赵磊同学的数学学习成绩低于 成绩及班级平均分表.
第 1 次 王 张 赵 伟 城 磊 98 90 68 第 2 次 87 76 65 第 3 次 91 88 73 第 4 次 92 75 72 第 5 次 88 86 75 第 6 次 95 80 82

班级平均水平, 但他的成绩曲线呈上 升趋势, 表明他的数学成绩在稳步提 高.

师生合作总结三种方法的优点.

班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6

请你对这三位同学在高一学年度 的数学学习情况做一个分析. 例 3 画出函数 y = |x|的图象. 师生合作、讨论、探究函数的图象法 例 4 某中学高一年级学生李鹏, 与解析法的互相转化途径, 并能利用 对某蔬菜基地的收益作了调查,该蔬菜 图象求值域. 基地种植西红柿,由历年市场行情得 知,从 2 月 1 日起的 300 天内,西红柿 市场销售与上市时间的关系用图一的 一条折线表示;西红柿的种植成本与上 市时间的关系用图二的抛物线段表示, 示. 试解答下列问题. 例 3 解:由绝对值的概念,我们 有y??
? x, x ? 0, ?? x, x ? 0.

所以,函数 y = |x|的图象如图所 能力提升 (表示法的 转化及函 数图象的 应用) 培养 形与数的 转化能力 例 4 解: (1)由图一可得市场售 和数形结 合思想应 用意识.

应用举例 (注:市场售价和种植成本的单 位:元/102kg,时间单位:天) 接函数关系 P = f (t). 写出图二表示的 ( 2)认定市场售价减去种植成本 最大?

( 1)写出图一表示的市场售价间 价间接函数关系为,
?300 ? t , (0 ? t ? 200) f (t) = ? 种植成本与时间的函数关系式 Q = g (t). ?2t ? 300, (200 ? t ? 300)

由图二可得种植成本间接函数
1 (t – 150)2 + 100,(0≤t 200

为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益 关系式为 g (t) = ≤300) (2)设 t 时刻的纯收益为 h (t),

则由题意得: h (t) = f (t) – g (t). 即 h (t) =
? 1 2 1 175 ? t ? t? , (0 ? t ? 200) ? ? 200 2 2 ? ?? 1 t 2 ? 2 t ? 1025 , (200 ? t ? 300) ? 7 2 ? 200

当 0≤t≤200 时, 得 h (t) = ? (t – 50)2 + 100.

1 200

∴当 t = 50 时, h(t)取得在 t∈[0, 200]上的最大值 100; 当 200 < t ≤ 300 时,得 h (t) =?
1 (t – 350)2 + 100. 200

∴当 t = 300 时,h (t)取得在 t∈ (200, 300]上的最大值 87.5. 综上所述由 100>87.5 可知, h(t) 在 t∈[0, 300]上可以取得最大值是 100,此时 t = 50,即从 2 月 1 日开 始的第 50 天时, 上市的西红柿收益 最大. 映射的定义:设 A,B 是两个非空 的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有惟一确定的元素 y 与之 A 到集合 B 的一个映射. 形成映射 的概念 合 A 到 B 的映射? 师:讲授映射的定义. 生:由映射观点定义函数. 师生合作解答例 5. 例 5 解析: (1)按照建立数轴的方 惟一的实数与之对应, 所以这个对应 的含义.

对应,那么就称对应 f:A→B 为从集合 法可知,数轴上的任意一个点,都有 了解映射 例 5 以下给出的对应是不是从集 f: A→B 是从集合 A 到 B 的一个映射. 通过例题 (2)按照建立平面直角坐标系的 分析加深 的理解. (1)集合 A = {P | P 是数轴上的 方法可知, 平面直角坐标系中的任意 映射概念 点},集合 B = R,对应关系 f:数轴上 一个点, 都有惟一的一个实数对与之 的点与它所代表的实数对应; 标系中的点,集合 B = {(x | y) | x∈R,y 对应,所以这个对应 f:A→B 是从集 (3)由于每一个三角形只有一个 (2)集合 A = {P | P 是平面直角坐 合 A 到 B 的一个映射. ∈R},对应关系 f:平面直角坐标系中 内切圆与之对应, 所以这个对应 f: A

的点与它的坐标对应; (3)集合 A = {x | x 是三角形},集 三角形都对应它的内切圆; 班级},集合 B = {x | x 是新华中学的学 生},对应关系 f:每一个班级都对应班 里的学生. 1 .函数的表示法:解析式、图象 法、列表法. 2 .解析式与图象法能进行相互转 归纳 总结 化. 用、图象法和列表法直观、直接、方便 函数与映射的关系:函数是实数集 到实数集的特殊映射. 课后作业 1.2 第三课时习案

→B 是从集合 A 到 B 的一个映射. (4)新华中学的每一个班级里的 的学生不止一个, 所以这个对应 f: A

合 B = {x | x 是圆},对应关系 f:每一个 学生都不止一个, 即与一个班级对应 (4)集合 A = {x | x 是新华中学的 →B 不是从集合 A 到 B 的一上映射.

反思总结 师生合作完成 提升对函 数表示的 理解与掌 握

3 .优点:解析式简明、全面、实 学生回顾总结, 老师引导点评、 阐述.

学生独立完成

巩固知识, 提升能力

(四)教学过程

1.2.4 函数的表示法(二)
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)能根据不同情境,选用恰当的方法,求出已知函数的解析式; (2)会利用函数的图象求函数值域. 2.过程与方法 (1)经历在分析、求解求有关函数的解析式的过程,熟练掌握求解 析式的基本题型及方法; (2)在运用函数图象求函数值域的过程,体会数形结合思想. 3.情感、态度与价值观 在学习过程中进一步体会发现规律,应用规律的学习乐趣,从而提高 学习数学的兴趣,提高学生的求知欲. (二)教学重点与难点

重点:求函数解析式的基本题型及方法. 难点:函数图象的应用. (三)教学方法 指导启发式学习法,通过自我尝试与实践,获得知识,形成技能,通 过老师的合理恰当的指导启发,克服学习障碍;学会突破难点,调整和寻 找最佳解题方案.

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

师生合作总结上节课的基本知识 函数的表示法有三种:解析式、 及基本方法. 复习回顾 图象法、 列表法; 它们之间可相 复习回顾、 重新体会对于特殊函数可进行三 整合知识 互转化, 常见形式有: 解析式 ? 整合知识 种形式之间的互相转化. 图象法,解析式 ? 列表法. 师:分析实现不同形式的转化的意义. 例 1 (1)已知 f (x)是一 次函数,且 f [f (x)] = 4x – 1,求 f (x)及 f (2); 学习尝试练习求解,老师指导、点 评 . 师生合作归纳题型特点及适用方

法. 1 x (2) 已知 f (1 ? ) ? , 2 x 1? x 例 1 解: (1)设 f (x) = ax + b (a≠ 0). 求 f (x)的解析式; 则 f [f (x)] = f (ax + b) = a (ax + b) + b = 1 (3)已知 2 f ( ) ? f (x) = x 2 x a x + ab + b. (x≠0),求 f (x)的解析式; 进入课题 (求函数解 析式) (4) 已知 3f (x ) + f (–x ) =
5 5

又 f [f (x)] = 4x – 1, ∴a2x + ab + b = 4x – 1.
?a ? 2, ?a ? 4, ? 即? ?? 1 b?? , ?ab ? b ? ?1, ? 3 ?
2

掌握求函 数解析式 的基本类 型及对应 方法.

4x,求 f (x)的解析式.

或?

? a ? ?2, ?b ? 1.

1 ∴f (x) = 2x – ,或 f (x) = –2x + 1. 3

则 f (2) ?

11 ,或 f (2) = –3. 3

1 (2)解法一:∵ f (1 ? ) x

=

1 x = 2 1 1? x ?x x

=

1 1 1 (1 ? ) ? 1 ? [ ] 1 x ? 1 ?1 x
1 x ?1 ? 1 x ?1



∴f (x) =

=

x ?1 x ?1 = 2 . 2 ( x ? 1) ? 1 x ? 2 x

解法二:设 t = 1+

1 1 ,则 x ? . x t ?1

1 x 又 f (1 ? ) ? , x 1 ? x2
1 ∴ f (t ) ? t ? 1 1 2 1? ( ) t ?1

=

t ?1 t ?1 = 2 , 2 (t ? 1) ? 1 t ? 2t

∴ f ( x) ?

x ?1 . x ? 2x
2

1 (3) 令 x = a (a≠0),则 2 f ( ) + f (a) = a

a; 令x=
1 (a≠0),则 a

1 1 2 f (a) + f ( ) ? . a a

联立上述两式得 f (a) = ∴f (x) =
2 x ? (x≠0). 3x 3

2 a ? . 3a 3

(4)令 x = a,或 x = –a,分别可得
5 5 ? ?3 f (a ) ? f (?a ) ? 4a, ? 5 5 ? ?3 f (?a ) ? f (a ) ? ?4a.

解之得 f (a5) = 2a. 例 2 设 f (x)是 R 上的函数, 又令 a5 = t, 且满足 f (0) = 1,并且对任意实 ∴ a ? 5 t , 数 x, y, 有 f (x – y) = f (x) – y (2x ∴f (t) = 2 5 t , – y + 1),求 f (x)的表达式. ∴f (x) = 2 5 x . 例 2 解: 法一: 由 f (0) = 1, f (x – y) = f (x) – y(2x+y+1). 设 x=y,得 f (0)= f (x)–x (2x–x+1). ∵f (0) = 1,∴f (x)–x (2x–x+1) = 1, ∴f (x) = x2 + x + 1. 法二:令 x = 0,得 f (0–y) = f (0) – y (–y + 1), 即 f (–y) = 1 – y (–y + 1). 例 3 已知 f (x)为二次函数, 且 又令–y = x 代入上式得 2 f (x) = 1– (–x) (x + 1) = 1 + x (x + 1) = x2 f (x+1)+f (x–1) = 2x –4x, 求 f (x)的表达式. (1)待定系数法 (2)换元法 (3)配方法 (4)函数方程法. + x + 1. 例 3 解:设 f (x)=ax2+bx+c (a≠0), 则 f (x+1) + f (x – 1) = a (x+1)2 + b (x + 1) + c + a (x – 1) + c + a (x – 1)2 + b (x – 1) + c = 2ax2 + 2bx + 2a + 2c = 2x2 – 4x.
? 2a ? 2, ? a ? 1, ? ? ∴ ? 2b ? ?4, ? ?b ? ?2, ? 2a ? 2c ? 0, ?c ? ?1. ? ?

小结:求解析式的基本方法: 即 f (x) = x2 + x + 1.

∴f (x) = x2 – 2x – 1. 师生合作解析例 3、例 4. 应用举例 (函数应用 问题) 师:反映实际问题的函数定义域怎样确 定? 生:解析式有意义和实际问题自身条件 确定. 例 4 解: 矩形的长 AB = 2x, 宽为 a, 培养学生 应用数学 知识, 解决 实际问题 的能力.

例 4 用长为 l 的铁丝变成 则有 2x + 2a + ? x = l,
l ? ∴a ? ? x?x . 2 2 架如图所示,若矩形底边长为

下部为矩形, 上部为半圆形的框

2x,求此框架围成的面积 y 与 x 半圆的直径为 2x,半径为 x,所以 的函数关系式,并指出其定义 域. D 2x A B C
y?

? x2

l ? ? ( ? x ? x) ?2x 2 2 2

? = ?(2 ? ) x2 ? lx , 2
由实际意义得 ?2
l . 2??
?l ? ? ? x ? x ? 0, ? 0<x 2 ? ? x ? 0,



? 即 y ? ?(2 ? ) x2 ? lx ,定义域为 2
(0m 1 ). 2 ??

例 5 解:设票价为 y,里程为 x, 由题意可知, 自变量 x 的取值范围是(0, 例 5 某市“招手即停”公 20]. 共汽车的票价按下列规则制定: 由“招手即停”公共汽车票价的制 (1)5 公里以内(含 5 公 定规则,可得到以下函数解析式: 里) ,票价 2 元; ? 2, 0 ? x ? 5, ?3, 5 ? x ? 10, (2) 5 公里以上, 每增加 5 ? y ?? 公里,票价增加 1 元(不足 5 ? 4,10 ? x ? 15, ? 公里的按 5 公里计算). ?5,15 ? x ? 20. 如果某条线路的总里程为 20 公 根据这个函数解析式,可画出函数图 里, 请根据题意, 写出票价与里 象,如下图. 程之间的函数解析式, 并画出函 数的图象. 我们把像例 4 这样的函数 称为分段函数 .即在函数的定义 域内, 对于自变量 x 的值的不同 取值区间,有着不同的对应法 则,这样的函数通常叫分段函 数. 生活中, 有很多可以用分段

函数描述的实际问题, 如出租车 的计费、个人所得税纳税额等 等.

1.求函数解析式的方法: 换元法、 配方法、 待定系数 归纳总结 法、赋值法. 关键找具有因果关系的两个变 量的联系式. 课后作业 1.2 第四课时习案 学生独立完成 巩固基础、 提高能力 师生合作总结. 整合知识 形成技能. 2. 求实际问题函数解析式,学生整理、小结,老师点评、归纳.

(四)教学过程

1.3.1 函数的单调性
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征. (2)能利用函数图象划分函数的单调区间,并能利用定义进行证明. 2.过程与方法 由一元一次函数、一元二次函数的图象,让学生从图象获得“上升” “下降” 的整体认识. 利用函数对应的表格, 用自然语言描述图象特征 “上 升” “下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义, 从而构造函数单调性的概念. 3.情感、态度与价格观 在形与数的结合中感知数学的内在美,在图形语言、自然语言、数学 语言的转化中感知数学的严谨美. (二)教学重点和难点 重点:理解增函数、减函数的概念;难点:单调性概念的形成与应用. (三)教学方法 讨论式教学法. 在老师的引导下,学生在回顾旧知,细心观察、认真 分析、严谨论证的学习过程中生疑与析疑,合作与交流,归纳与总结的过 程中获得新知,从而形成概念,掌握方法. (四)教学过程 教学 环节

教学内容 观察一次函数 f (x) = x 的图象: y

师生互动 师:引导学生观察图象的升降. 的直观认识.

设计意图 在 函 观察中获

生 : 看 图 . 并 说 出 自 己 对 图 象 数图象的 师:函数值是由自变量的增大而增 取 函 数 单

提出 问题

1 O 1 x

大,或由自变量的增大而减小,这种 调 性 的 直 变化规律即函数的单调性. 观认识.

函数 f (x) = x 的图象特征由左到右 是上升的. 观察二次函数 f (x) = x2 的图象: y 师:不同函数,其图象上升、下降规 律不同 . 且同一函数在不同区间上 O
2

体 会 在不同区

x

的变化规律也不同. 这是“形”的方 同 一 函 数 面,从“数”的方面如何反映.

函数 f (x) = x 在 y 轴左侧是下降的,生:函数作图时列表描点过程中,从 间 上 的 变 列表的数据变化可知自变量由 – 4 化差异. 在 y 轴右侧是上升的. 引入深 题 列表:
x f (x) =x2 ? – 4 –3 –2 –1 16 9 4 1 0 0

到 0 变化,函数值随着变小;而自变 的变大而变大.

引导学 变” 过渡到

量由 0 到 4 变化, 函数值随着自变量 生 从 “ 形 师:表格数值变化的一般规随是:自 “数变” . 变量 x 增大,函数值 y 也增大,函数 从 定 性 分 图象上升,称函数为增函数;自变量 析 到 定 量

1 1

2 4

3 9

4 16

? ?

x 增大,函数值 y 反而减少,函数图 分析. x∈(–∞,0]时,x 增大,f (x)减少, 象下降. 称函数为减函数. 图象下降. x∈(0,+∞)时,x 增大,f (x)也增大, 图象上升.

函数单调性的概念 一般地,设函数 f (x)的定义域为 I: 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上 的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f (x1)<f (x2),那么就说函数 f (x) 在 区 间 D 上 是 增 函 数 ( increasing function) ; y y=f (x) f (x2) f (x1) 形成概 念 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 O x1 x2 x 师:增函数、减函数的函数值随自变 量的变化而变化怎么用数学符号表 示呢? 由实例探 师生合作:
2

究规律从

对于函数 f (x) = x 在区间(0,+ 而 获 得 定 ∞)上. 任取 x1、 x2. 若 x1<x2, 则 f (x1) 义 的 数 学

<f (x2),即 x12<x22. 符号表示. 任意两个自变量的值 x1、 x2, 当 x1<x2 时, 2 师:称 f (x) = x 在(0,+∞)上为增函 都有 f (x1)>f (x2), 那么就说函数 f (x)在区 数. 间 D 上是减函数(decreasing function). y y=f (x) f (x1) f (x ) 2 x1 x2 x

O

例 1 如图是定义在区间[–5,5]上的 师: 投影例1. 函数 y = f (x),根据图象说出函数的单调 生:合作交流完成例 1. 数还是减函数? 应用 举例 成. 1 题、第 2 题. 师:投影训练题 1

掌 握 利用图象 单调区间 的方法. 性证明步

区间,以及在每一单调区间上,它是增函 师: 引导学生完成教材 P36 练习的第 划 分 函 数

生:学生通过合作交流自主完 掌 握 单 调 例1 【解】 : y= f (x)的单调区间有 骤及原理 . [–5,–2) ,[–2,1) ,[1,3) ,[3,5]. 内化定义, 训练题 1: 其中 y = f (x) 在区间[–5, –2) , [1, 3)强 化 划 分 上是减函数,在区间[–2,1) ,[3,5] 单 调 区 间

(1)请根据下图描述某装配线的生 上是增函数. 产率与生产线上工人数量间的关系. 训练题 1 答案: (1)在一定范 围内, 生产效率随着工人数的增加而 提高,当工人数达到某个数量时,生 产效率达到最大值, 而超过这个数量 时, 生产效率又随着工人的增加而降 低. 由此可见,并非是工人越多,生 产效率就越高. (2)整个上午(8∶00~12∶00)天 气越来越暖, 中午时分 (12∶00~13∶00) 一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多 . 暴 风雨过后, 天气转暖, 直到太阳落山 (18∶ 00)才又开始转凉. 画出这一天 8∶00~ 能的图象,并说出所画函数的单调区间 . 增区间为[8,12],[13,18];减 20∶00 期间气温作为时间函数的一个可 区间为:[12,13],[18,20]. (2)

的方法.

(3) 函数在[–1, 0]上是减函数, 在[0,2]上是增函数,在 [2,4]上是

(3)根据下图说出函数单调区间, 减函数,在[4,5]是增函数. 以及在每一单调区间上, 函数是增函数还 是减函数. 师:打出例 2,请学生阐明应用 定义证明(判定)并总结证明单调性 的基本步骤. 生:学生代表板书证明过程,教师点 评. 例 2 分析:按题意,只要证明 例 2
p? k 在区间(0,+∞)上是减 V

物理学中的玻意耳定律

函数 p ?

函数即可. k (k 为正常数) 告诉我们,对于一定 V 证明:根据单调性的定义,设 两个实数,且 V1<V2,即
p (V1 ) ? p (V2 ) ?

量的气体,当其体积 V 减小时,压强 p 将 V1,V2 是定义域(0,+∞)上的任意 增大. 试用函数的单调性证明之. 训练题 2: 证明函数 f (x) = –2x +1 在 R 上是减函数. >0. 由 V1<V2,得 V2 – V1>0. 又 k>0,于是 强化记题
V ?V 步 骤 与 格 k k ? ?k 2 1 . V1 V2 V1V2 式.

由 V1,V2∈(0,+∞),得 V1V2

p (V1) – p (V2)>0, 即 p (V1) >p (V2). 所以, 函数 p ?
k , V?(0, +∞) V

是减函数,也就是说,当体积 V 减 小时,压强 p 将增大. 师:投影训练题 2 生:自主完成 训练题 2 证明: 任取 x1, x2∈R, 且 x1<x2, 因为 f (x1) – f (x2) =2 (x2 –x1)>0, 即 f (x1)>f (x2), 所以 f (x) = –2x +1 在 R 上是减函数. 1 °体会函数单调性概念的形成过 归纳 小结 程. 2°单调性定义. 3°利用图象划分单调区间. 4°利用定义证明单调性步骤. 课后 练习 1.3 第一课时 习案 学生独立完成 师生合作: 回顾单调性概念的形式与 发展. 师:阐述单调性的意义与作用. 反思回顾 整理知 识, 提升能 力. 巩固知识 培养能力

1.3.2 函数的最大(小)值
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. (2)理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数. 体会求函 数最值是函数单调性的应用之一. 2.过程与方法 借助函数的单调性,结合函数图象,形成函数最值的概念. 培养应用 函数的单调性求解函数最值问题. 3.情感、态度与价值观 在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想,感知数学问题求 解途径与方法,探究的基本技巧,享受成功的快乐.

(二)教学重点与难点 重点:应用函数单调性求函数最值;难点:理解函数最值可取性的意 义. (三)过程与方法 合作讨论式教学法. 通过师生合作、讨论,在示例分析、探究的过程 中,获得最值的概念. 从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法. (四)教学过程 教学环节 教学内容 1.函数 f (x) = x . 在( – ∞,0)上是 减函数,在[0,+∞)上是增函 数. 当 x≤0 时,f (x)≥f (0), x 师生合作回顾增函数、 减函数的定义及图 象特征; 应用单
2

师生互动

设计意图

≥0 时, f (x)≥f (0). 调性的定义 师生合作定性分析函数 f (x)的图象特征, 从而 x?R. 都有 f (x) ≥f (0). 和函数图象 提出问题 通过图象观察, 明确函数图象在整个定义 因此 x = 0 时,f (0)是函数值中 感知函数的 域上有最低点和最高点, 从而认识到最低 的最小值. 最小值和最 点和最高点的函数值是函数的最小值和 2 2.函数 f (x) = –x 同理可知 x?R. 大值. 最大值. 都有 f (x)≤f (0). 即 x = 0 时, f (0)是函数值中的最大值. 函数最大值概念: 一般地,设函数 y = f (x)的定义域 为 I. 如果存在实数 M 满足: 师:对于函数 y = f (x)、f (x0)为其最大值. 即 f (x0)≤ f (x)意味着什么? 由实例 共性抽象获 得最大值概 念.

形成概念 (1)对于任意 x 都有 f (x) ≤M. 生:f (x0)为函数的最大值,必须满足: (2)存在 x0?I,使得 f (x0) = M. ①x0?定义域; 那么,称 M 是函数 y = f (x) 的最 ②f (x0) ?值域; 大值. 函数最小值概念. 一般地:设函数 y = f (x)的定义域 师:怎样理解最大值. ③f (x0)是整个定义域上函数值最大的.

为 I,如果存在实数 M,满足: 生: 最大值是特别的函数值, 具备存在性、 由最大值定 (1)对于任意 x?I,都有 f (x)≥ 确定性. 形成概念 义类比最小 M. 师:函数最小值怎样定义? 值定义. (2)存在 x0?I,使得 f (x0) = M. 师生合作,学生口述,老师评析并板 那么,称 M 是函数 y = f (x)的最小 书定义. 值. 应用举例 例 1 “菊花”烟花是最壮观 师生合作讨论例 1、 例 2 的解法思想, 自学与指导

的烟花之一 . 制造时一般是期望 并由学生独立完成训练题 1、2、3. 老师 相结合, 提高 在它达到最高点时爆裂 . 如果烟 点评. 阐述解题思想,板书解题过程. 花距地面的高度 h m 与时间 t s 之 例 1 解:作出函数 h(t) = – 4.9t +
2

学生的学习 能力. 讲练结

间的关系为 h (t) = – 4.9t 2 + 14.7t 14.7t + 18 的图象(如图). 显然,函数图象

+ 18, 那么烟花冲出后什么时候是 的顶点就是烟花上升的最高点, 顶点的横 合 , 形 成 技 它爆裂的最佳时刻?这时距地面 坐标就是烟花爆裂的最佳时刻, 纵坐标就 能固化技能 . 的高度是多少(精确到 1m)? 训练题 1: 已知函数 f (x) = x – 2x – 3, 若 x?[t,t +2]时,求函数 f (x)的 最值. 例 = 2 已 知 函 数 y 由二次函数的知识,对于函数 h (t) = 2 (x?[2,6]),求函数的最大 x ?1 – 4.9t 2 + 14.7t +18,我们有: 当 t =? 值 h=
4 ? (?4.9) ?18 ? 14.7 ≈29. 4 ? (?4.9)
2

是这时距地面的高度.

深化概念能 力培养

2

值和最小值.

14.7 =1.5 时, 函数有最大 2 ? ( ?4.9)

进一步 固化求最值 的方法及步

于是,烟花冲出后 1.5 s 是它爆裂的 骤. 最佳时刻,这时距地面的高度约为 29m. 训练题 2:设 f (x)是定义在区 间[–6, 11]上的函数. 如果 f (x) 在 区间[–6,–2]上递减,在区间[–2, 11]上递增,画出 f (x) 的一个大致 的图象,从图象上可以发现 f (–2) 是函数 f (x)的一个 . 训练题 3:甲、乙两地相距 s km, 汽车从甲地匀速行驶到乙地, 位:元)由可变部分和固 定部 师:投影训练题 1、2. 生:学生相互讨论合作交流完成. 训练题 1 解:∵对称轴 x = 1, (1)当 1≥t +2 即 t≤–1 时, f (x)max = f (t) = t 2 –2t –3, f (x)min = f (t +2) = t 2 +2t –3. (2)当 (1)以上实

际问题考查 t ?t ?2 ≤1<t +2,即–1<t 2 了学生灵活 应用数学知
2

已知汽车每小时的运输成本 ( 单 ≤0 时, 分组成, 可变部分与速度 x (km / h) 的平方成正比,比例系数为 a,固 定部分为 b 元, 请问, 是不是汽车 的行驶速度越快,其全程成本越 f (x)max = f (t) = t –2t–3, f (x)min= f (1) = – 4. (3)当 t≤1<

识于实践的 能力,可见

“逐渐增强 t ?t ?2 ,即 0<t≤1, 2 函数的应用 意识”应及

小?如果不是, 那么为了使全程运 输成本最小, 汽车应以多大的速度 行驶?

f (x)max = f (t +2) = t 2 + 2t – 3, f (x)min = f (1) = – 4. (4)当 1<t,即 t>1 时, f (x)max = f (t +2) = t 2 +2t –3, f (x)min = f (t) = t –2t –3.
2

早实现. (2)对函数 关系式的处 理需要有扎 实的基本功

设函数最大值记为 g(t),最小值记为 才 能 顺 利 完 ? (t)时,则有 成,可见从
?t 2 ? 2t ? 3, (t ? 0) ? g (t) = ? 2 ? ?t ? 2t ? 3, (t ? 0)
?t 2 ? 2t ? 3, (t ? ?1) ? ? (t ) ? ??4, (?1 ? t ? 1) ?2 ?t ? 2t ? 3, (t ? 1)

不同角度不 同方向去思 考问题在教 学中尤为重 要,并且应 指导学生养 成多分析失

例 2 分析:由函数 y = 6])的图象可知,函数 y =

败原因,多 2 (x?[2, x ?1 总结成功经

验的好习惯. 2 在区间[2, x ?1
2 在区间[2, x ?1

6]上递减. 所以,函数 y =

6] 的两个端点上分别取得最大值和最小 值. 解:设 x1,x2 是区间[2,6]上的任意 两个实数,且 x1<x2,则 f (x1) – f (x2) = = =
2 2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 2[( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 2( x2 ? x1 ) . ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

由 2≤x1<x2≤6, 得 x2 –x1>0, (x1–1) (x2–1)>0, 于是 即 f (x1) – f (x2)>0, f (x1)>f (x2).

所以,函数 y =

2 是区间[2,6]上 x ?1 2 在区间[2, x ?1

是减函数. 因此, 函数 y =

6] 的两个端点上分别取得最大值与最小 值,即在 x =2 时取得的最大值,最大值 是 2,在 x = 6 时的最小值,最小值是 0.4. 训练题 2 答案:最小值. 训练题 3 分析:根据汽车运输成本 y 元与行驶速度 x km / h 之间的关系,建立 函数模型,结合函数式的特点,运用函数 有关知识去解决. 解:设汽车运输成本为 y 元,依题意 得汽车运输成本 y 与汽车行驶速度 x 之间 的关系为: y = b?
s s + ax2? . x x
b ) . (其中 x ?(0,+ x

∴y = s (a x +

∞). 即将此时的问题转化成: “函数 y = s(ax +
b )是否随着 x 的不断增大而减小? x
b )[x ?(0,+∞),a>0,b x

当 x 取何值时,y 取最小值?”下面讨论 函数 y = s (ax +

>0]在其定义域内的单调性. 设 x1,x2 ?(0,+∞),且 x1<x2,则 f (x1) – f (x2) = s[(ax1 +
b b )– (ax2 + )] x1 x2 b ( x2 ? x1 ) ] x1 x2

= s[a (x1– x2) + =

s ( x1 ? x2 )(ax1 x2 ? b) x1 x2

b as( x1 ? x2 )( x1 x2 ? ) a = x1 x2

∵x1,x2>0,且 x1<x2 ∴x1x2>0,a (x1 – x2)<0 ∴当 x1,x2 ?(0, <
b )时,x1,x2 a

b b ,x1x2 – <0,∴f (x1)>f (x2), a a

当 x1, x2 ?[ x1x2 –

b b , +∞]时, x1x2> , a a

b >0,∴f (x1)< f (x2). a b ) (a x

综上所述, 我们看到函数 y = s(ax +

>0,b>0)并不是整个区间(0,+∞)上 是随着 x 的不断增大而减小的,而且由 上述分析可看出当 x =
b 时,y 取得最 a

小值即 y min =2s ab . 那么,在这个实际 问题当中可回答为:并不是汽车的行驶 速度越快,其全程运输成本越小;并且 为了使全程运输成本最小,汽车应以 x = 1.最值的概念 归纳总结 2.应用图象和单调性求最值的一 师生交流合作总结、归纳. 般步骤. 课后作业 1.3 第二课时 习案 学生独立完成
b km / h 的速度行驶. a

培养学生的 概括能力 能力培养

1.3.3 函数的奇偶性
(一)教学目标 1.知识与技能:

使学生理解奇函数、 偶函数的概念, 学会运用定义判断函数的奇偶性. 2.过程与方法: 通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力. 3.情感、态度与价值观: 通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分 组讨论,培养学生主动交流的合作精神,使学生学会认识事物的特殊性和 一般性之间的关系,培养学生善于探索的思维品质. (二)教学重点与难点 重点:函数的奇偶性的概念; 难点:函数奇偶性的判断. (三)教学方法 应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法,通过设置问题引导学 生观察分析归纳,形成概念,使学生在独立思考的基础上进行合作交流, 在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解. 对 于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理,使学生边学边练,及时巩 固.

教学 环节 复习

教学内容 复习在初中学习的轴对称图 1. 要求学生同桌两人分别画
3 2

师生互动 教师提出问题, 学生回答. 1 .教师指导,学生

设计意图 为学生认识奇、偶函 数的图象特征做好准备. 1 .要求学生动手作

引入 形和中心对称图形的定义

出函数 f (x) =x 与 g (x) = x 的图 作图,学生作完图后教师 图 以锻炼学 生的动手 实 象. 提问:观察我们画出的两 践能力,为下一步问题的 2.多媒体屏幕上展示函数 个函数的图象,分别具有 提出做好准备. 并通过问 f (x) =x3 和函数 g (x) = x2 的图象, 怎样的对称性? 并让学生分别求出 x =±3, x =±
3

题 来引导学 生从形的 角

学生回答: f (x) =x 度 认识两个 函数各自 的

概念 关 于 原 点 成 中 心 对 称 图 特征. 1 2,x =± ,? 的函数值,同时 2 形成 形;g (x) = x2 关于 y 轴成 2 .通过特殊值让学 令两个函数图象上对应的点在两 轴对称图形. 个函数图象上闪现,让学生发现 上具有的特性: 生 认识两个 函数各自 对 2 .老师边让学生计 称性实质:是自变量互为 课 件 , 引 导 学 生 发 现 规 反数和相等这两种关系. 3 .通过引例使学生

两个函数的对称性反映到函数值 算相应的函数值,边操作 相反数时,函数值互为相 f (–x) = – f (x),g (–x) = g (x). 然 律,总结规律,然后要求

后通过解析式给出证明,进一步 学生给出证明;学生通过 对 奇函数和 偶函数的 形

说明这两个特性对定义域内的任 观 察 和 运 算 逐 步 发 现 两 和 数的特征 有了初步 的 意一个 x 都成立. 3.奇函数、偶函数的定义: f (–x) = – f (x), 奇函数: 设函数 y = f (x)的定 义域为 D,如果对 D 内的任意一 个 x,都有 f (–x) = – f (x), g (–x) = – g (x). 3.教师引导归纳:这 时我们称函数 f (x) = x3 这 样的函数为奇函数,像函 个函数具有的不同特征: 认识,此时再让学生给奇 函 数和偶函 数下定义 应 是水到渠成.

则这个函数叫奇函数. 数 g (x) = x2 这样的函数为 偶函数:设函数 y = g (x)的 偶函数,请同学们根据对 定义域为 D,如果对 D 内的任意 奇 函 数 和 偶 函 数 的 初 步 一个 x,都有 g (– x) = – g (x), 则这个函数叫做偶函数. 认识加以推广,给奇函数 和偶函数分别下一个定 义. 学生讨论后回答,然 后老师引导使定义完善 . 在屏幕展示奇函数和偶 函数的定义. 老师:根据定义,哪 些同学能举出另外一些 奇函数和偶函数的例 子? 学生:f (x) =
1 x, 2

f (x) = –x6 – 4x4,?. (1)强调定义中“任意”二 上的一个整体性质,它不同于函 数的单调性 . 概念 深化 域的特征是关于原点对称. 对称性: 教师设计以下问题 通过对三个问题的 探讨,引导学生认识到: 字,说明函数的奇偶性在定义域 组织学生讨论思考回答.

问题 1:奇函数、偶 (1)函数的奇偶性 是函 函数的定义中有“任意” 数 在定义域 上的一个 整 是 怎 样 的 一 个 性 质 ? 与 ( 2 )函数的定义域关于 原 点对称是 一个函数 为 问题 2:–x 与 x 在几 奇 函数或偶 函数的必 要 ( 3 )奇函数的图象

(2) 奇函数与偶函数的定义 二字,说明函数的奇偶性 体性质, 它不同于单调性. (3) 奇函数与偶函数图象的 单调性有何区别?

如果一个函数是奇函数,则 何 上 有 何 关 系 ? 具 有 奇 条件. 这个函数的图象以坐标原点为对 偶 性 的 函 数 的 定 义 域 有

称中心的中心对称图形 . 反之, 何特征? 如果一个函数的图象是以坐标原
3

关于原点对称,偶函数的

问题 3: 结合函数 f (x) 图象关于 y 轴对称.

点为对称中心的中心对称图形, =x 的图象回答以下问题: 则这个函数是奇函数. 如果一个函数是偶函数,则 ( 1 )对于任意一个 它的图形是以 y 轴为对称轴的轴 奇函数 f (x),图象上的点 对称图形;反之,如果一个函数 P (x,f (x))关于原点对称 的图象关于 y 轴对称,则这个函 点 P′的坐标是什么?点 数是偶函数. P′是否也在函数 f (x)的 图象上?由此可得到怎 样的结论. ( 2 )如果一个函数 的图象是以坐标原点为 对称中心的中心对称图 形,能否判断它的奇偶 性? 学生通过回答问题 3 可以把奇函数图象的性 质总结出来,然后老师让 学生自己研究一下偶函 数图象的性质. 例 1 判断下列函数的奇偶 性; (1)f (x) = x + x +x ; (2)f (x) = x +1; (3)f (x) = x + 1;
2 2 3 5

1.选例 1 的第(1) 步骤,其他例题让几个学

1.通过例 1 解决如 ①根据定义判断一

小 题 板 书 来 示 范 解 题 的 下问题: 生板演,其余学生在下面 个 函数是奇 函数还是 偶 自己完成,针对板演的同 函数的方法和步骤是:第 题 进 行 学 生 做 好 总 结 归 域是否关于原点对称;第

(4)f (x) = x ,x∈[–1,3];学 所 出 现 的 步 骤 上 的 问 一 步先判断 函数的定 义 应用 举例 (5)f (x) = 0. 学生练习: 偶性: (1) f (x) = x + x ; (2) f (x) = – x ; (3) h (x) = x +1;
3 2 3

纳.

二步判断 f (–x) = f (x)还 2.例 2 可让学生来 是判断 f (–x) = – f (x). ②通过例 1 中的第

判断下列函数的是否具有奇 设 计 如 何 研 究 函 数 的 性

质和图象的方案,并根据 ( 3 )小题说明判断函数 学生提供的方案,点评方 既 不是奇函 数也不是 偶 案的可行性,并比较哪种 函数. 方案简单. ③ 例 1 中的第(4)

(4) k (x) =

3.做完例 1 和例 2 小 题说明判 断函数的 奇 1 ,x[–1,2]; x2 ? 1 后要求学生做练习,及时 偶 性先要看 一下定义 域 巩 固 . 在 学 生 练 习 过 程 是否关于原点对称. 中,教师做好巡视指导. 例 1 解答案 (1)奇函数 (2)偶函数
1 的性质 x2

(5) f (x) = (x + 1) (x – 1); (6) g (x) = x (x + 1); (7) h (x) = x + 3 x ; (8) k (x) =
1 . x ?1
2

④ f (x) = 0 既不奇函 数 又是偶函 数的函数 是 函数值为 0 的常值函数. 前 提是定义 域关于原 点

(3)非奇非偶函数 对称. (4)非奇非偶函数 ⑤总结:对于一个函 (5)既奇又偶函数 数来说,它的奇偶性有四 学生练习答案 (1)奇函数 (2)偶函数 种可能:是奇函数但不是 偶函数;是偶函数但不是 奇函数;既是奇函数又是

例 2 研究函数 y = 并作出它的图象. 学生练习:

1.判断下列论断是否正确: (1) 如果一个函数的定义 域关于坐标原点对原对称,则这 个函数关于原点对称;则这个函 数为奇函数; ( 2 )如果一个函数为偶函 数,则它的定义关于坐标原点对 称, (3) 如果一个函数定义域关 于坐标原点对称,则这个函数为 偶函数; (4) 如果一个函数的图象关 于 y 轴对称,则这个函数为偶函 数. 2.如果 f (0) = a≠0,函数 f (x) 可以是奇函数吗?可以是偶 函数吗?为什么? 3.如果函数 f (x)、 g (x)为定义 域相同的偶函数,试问 F (x) =f (x) + g (x)是不是偶函数?是不是 奇函数?为什么? 4. 如图, 给出了奇函数 y = f (x)的局总图象,求 f (– 4).

(3)非奇非偶函数 偶函数;既不是奇函数也 (4)非奇非偶函数 不是偶函数. (5)偶函数 (7)奇函数 (8)偶函数 学生练习 1. (1)错 (2)错 (3)错 (4)对 可以是偶函数 3.偶函数 ∵f (–x ) = f (x) g (–x) = g (x) ∴F (–x) = F (x) 4. f (–4) = – f (4) = –2. 5.∵f (–3)>f (–1) 又 f (–3) = f (3) f (–1) = f (1) ∴f (3)>f (1) 2.对于例 2 主要让 奇 偶性后为 研究函数 的 性质带来的方便. 在此问 函数的定义域,这是研究 函数性质的基础,然后判 断函数图象的对称性,再 根据奇、偶函数在 y 轴一 侧 的图象和 性质就可 以 性质. (6)非奇非偶函数 学 生体会学 习了函数 的

例 2 偶函数(图略) 题 的处理上 要先求一 下

2 .不能为奇函数但 知 道在另一 侧的图象 和

y 2

O

4

x

5. 如图, 给出了偶函数 y = f (x)的局部图象,试比较 f (1)与 f (3) 的大小. y 2

–3

–1 O

x 关注学生的自主体 验,反思和发表本堂课的 体验和收获. 通过分层作业使学 生 进一步巩 固本节课 所

归纳

从知识、方法两个方面来对

让学生谈本节课的 收获,并进行反思.

总结 本节课的内容进行归纳总结.

布置 作业

1.3 第三课时 习案.

学生独立完成

学内容. 并为学有余力和 学 习兴趣浓 厚的学生 提 供进一步学习的机会.

(四)教学过程

]2.1.1 指数与指数幂的运算(一)
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解 n 次方根与根式的概念; (2)正确运用根式运算性质化简、求值; (3)了解分类讨论思想在解题中的应用. 2.过程与方法 通过与初中所学的知识(平方根、立方根)进行类比,得出 n 次方根

的概念,进而学习根式的性质. 3.情感、态度与价值观 (1)通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯; (2)培养学生认识、接受新事物的能力. (二)教学重点、难点 1.教学重点: (1)根式概念的理解; (2)掌握并运用根式的运算性质. 2.教学难点:根式概念的理解. (三)教学方法 本节概念性较强, 为突破根式概念的理解这一难点, 使学生易于接受, 故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手,由特殊逐渐地过渡 到一般的 n 次方根的概念,在得出根式概念后,要引导学生注意它与 n 次 方根的关系,并强调说明根式是 n 次方根的一种表示形式,加强学生对概 念的理解,并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用类比发现, 学生合作交流,自主探索的教学方法. (四)教学过程 教学 教学内容 师生互动 设计 意图 环节 提出
53).

先让我们一起来看两个问题(见教材 P52—

老师提出问题, 学生思考回答.

由 实 际问 题 引

问题

1 1 1 在问题 2 中,我们已经知道 , ( )2 , ( )3 , ? 2 2 2
1 1 1 是正整数指数幂,它们的值分别为 , , , ? . 2 4 8

入 ,激

1 1 1 那么,( ) 5730 , ( ) 5730 , ( ) 2 2 2

6000

10000

100000 5730

的意义是什么呢?

发 学生 的 学习 积 性. 极

这正是我们将要学习的知识. 下面,我们一起将指数的取值范围从整数 推广到实数.为此,需要先学习根式的知识.

复习

什么是平方根?什么是立方根?一个数的 平方根有几个,立方根呢?

师生共同回顾初中所 学过的平方根、立方根的 定义.

学 习 新 知 前 的 简 单 复 习, 不 仅 能 唤 起 学 生 的 记 忆, 而 且 为 学 习 新 课 作 好 了 知 识 上 的 准

引入

归纳:在初中的时候我们已经知道:若
3 x2 ? a , 则 x 叫做 a 的平方根.同理, 若x ?a,

则 x 叫做 a 的立方根. 根据平方根、立方根的定义,正实数的平 方根有两个,它们互为相反数,如 4 的平方根 为 ?2 ,负数没有平方根,一个数的立方根只有 一个,如―8 的立方根为―2;零的平方根、立 方根均为零.

备. 形成 类比平方根、立方根的概念,归纳出 n 次 方根的概念. 概念 n 次方根:一般地,若 x ? a ,则 x 叫做 a
n

老师点拨指导,由学 生观察、归纳、概括出 n 次方根的概念.

由 特 殊 到 一 般, 培 养 学

的 n 次方根(throot) ,其中 n >1,且 n∈N ,



当 n 为偶数时,正数 a 的 n 次方根中,正 数用 n a 表示,如果是负数,用 ? n a 表示. 当 n 为奇数时,a 的 n 次方根用符号 n a 表 示,
n

生 的 观察、 归纳、 概 括 的 能

a 为被开 a 叫做根式.其中 n 称为根指数,

力.

方数.

深化 概念

类比平方根、立方根,猜想:当 n 为偶数 时,一个数的 n 次方根有多少个?当 n 为奇数 时呢?
n ? ?n为奇数, a的n次方根有一个,为 a a为正数:? n ? ?n为偶数, a的n次方根有两个,为 ? a

让学生对 n 为奇偶数 进行充分讨论.通过探究得 到: n 为奇数, n an ? a ; n 为偶数,

通 过分 n 为 奇 数 和 偶 数 两 种 情 况 讨论,

? ?n为奇数, a的n次方根只有一个,为n a a为负数:? ? ?n为偶数, a的n次方根不存在.

?a, a ? 0 n n . a ?| a |? ? ??a, a ? 0

零的 n 次方根为零,记为 n 0 ? 0 举例:16 的次方根为 ?2 , 举出实例,加深理解.

掌握 n

?27的5次方根为5 ?27 等等,而 ?27 的 4
次方根不存在. 小结:一个数到底有没有 n 次方根,我们 一定先考虑被开方数到底是正数还是负数,还 要分清 n 为奇数和偶数两种情况. 根据 n 次方根的意义,可得:

次 方 根 概 念, 培 养 学 生 掌 握 知 识 的 准 确 性、 全 面性, 同 时

( a) ? a
n n

( n a )n ? a 肯定成立,n an 表示 an 的 n 次
方根,等式 n an ? a 一定成立吗?如果不一定 成立,那么 a 等于什么? 让学生注意讨论,n 为奇偶数和 a 的符号, 充分让学生分组讨论. 通过探究得到:n 为奇数, n an ? a n 为偶数,
n

n

n

培 养 学 生 的 分 类 讨 论 的 能力

?a, a ? 0 a n ?| a |? ? ??a, a ? 0

如 3 ( ?3)3 ? 3 ?27 ? ?3,
4

(?8) 4 ?| ?8 |? 8
n

小结:当 n 为偶数时, an 化简得到结果 先取绝对值,再在绝对值算具体的值,这样就

避免出现错误.

应用 举例

例题:求下列各式的值

学生思考,口答,教 师版演、点评. 例题分析:当 n 为偶 数时,应先写 n a n ?| a | , 通 过 例 题 的 解 答, 进 一 步 理 解 根 式

(1)
(2)

3

(?8)3
( ?10) 2

(3)
(4)

4

(3 ? ? )

4

然后再去绝对值.

( a ? b) 2
n

(1) 解:
8;

3

(?8)3 = —

思考: a n ? ( n a )n 是否成立,举例说明. 课堂练习:1. 求出下列各式的值

(2)
10|=10;

( ?10)

2

=| —

的 概 念、 性

(1) 7 (?2) 7

; ;

(2) 3 (3a ? 3)3 ( a ? 1)

(3)

4

(3 ? ? ) 4


质.

(3) (3a ? 3) 4 .
4

=? ? 3

2.若 a ? 2a ? 1 ? a ? 1,
2

(4)
a ?b

( a ? b) 2

=

求a的取值范围 .
3.计算 3 (?8) ? 4 (3 ? 2) ? 3 (2 ? 3)
3 4 3

课堂练习 1.解: (1)—7; (2) 3a ? 3 ; (3) | 3a ? 3|

=?

? ?3a ? 3 a ? 1 . ? ?3 ? 3a a ? 1

2.解: a ? 1 . 3. 解 : 原 式 = — 8+1+ 3 ? 2 = ?9 ? 3 . 归纳 总结 1 .根式的概念:若 n >1 且 n ? N ,则
*

先让学生独自回忆, 然后师生共同总结. 通 过 小 结

x是a的n次方根 .

n为奇数时,x= n a ,

使 学 生 加 强 对 知 识 的 记 忆, 加 深 对 数 学 思 想 方 法 的 理 解, 养 成 总 结 的 好 习 惯.

n 为偶数时, x ? ? n a ;
n 2.掌握两个公式: n为奇数时,( n a ) ,

?a (a ? 0) n为偶数时,n a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)

课后 作业

作业:2.1 第一课时 习案

学生独立完成

巩 固 新知 提 升 能力

]2.1.1 指数与指数幂的运算(二)
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解分数指数幂的概念; (2)掌握分数指数幂和根式之间的互化; (3)掌握分数指数幂的运算性质; (4)培养学生观察分析、抽象等的能力. 2.过程与方法 通过与初中所学的知识进行类比,得出分数指数幂的概念,和指数幂 的性质. 3.情感、态度与价值观 (1)培养学生观察分析,抽象的能力,渗透―转化‖的数学思想; (2)通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯; (3)让学生体验数学的简洁美和统一美. (二)教学重点、难点 1.教学重点: (1)分数指数幂的理解; (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质; 2.教学难点:分数指数幂概念的理解 (三)教学方法

发现教学法 1.经历由利用根式的运算性质对根式的化简,注意发现并归纳其变 形特点,进而由特殊情形归纳出一般规律. 2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后, 进一步推广到实数范围内. 由此让学生体会发现规律,并由特殊推广到一般的研究方法. (四)教学过程 教学 教学内容 师生互动 设计意图

环节 提出 回顾初中时的整数指数幂及运算性质. 老师提问, 学生回答. 学 习 新知前的 简 单 复 习,不仅

a ? a ? a ? a ??? a, a ? 1 (a ? 0)
n 0

,

问题

00 无意义
a?n 1 ? n a ( a ? 0)

能唤起学 生 的 记 忆,而且

am ? an ? am?n ; (am )n ? amn (an )m ? amn , (ab)n ? anbn
什么叫实数? 有理数,无理数统称实数.

为学习新 课作好了 知识上的 准备.

复习

观察以下式子,并总结出规律: a >0 ①
5

老师引导学生“当根 式的被开方数的指数能 被根指数整除时,根式可

数 学 中引进一 个新的概

a10 ? 5 (a 2 )5 ? a 2 ? a 5 a ? (a ) ? a ? a
8 4 2 4 8 2

10

引入 ②



4

a12 ? 4 (a3 )4 ? a3 ? a 4
10
5

12

以写成分数作为指数的 形式, (分数指数幂形 式) ”联想“根式的被开 方数不能被根指数整除 时,根式是否也可以写成 分数指数幂的形式. ”.从 而推广到正数的分数指 数幂的意义.

念或法则 时,总希 望它与已 有的概念 或法则是 相容的.

④ 5 a10 ? (a 2 )5 ? a 2 ? a 5

小结: 当根式的被开方数的指数能被根 指数整除时, 根式可以写成分数作为指数的 形式, (分数指数幂形式). 根式的被开方数不能被根指数整除时, 根式是否也可以写成分数指数幂的形式 . 如:
3

a 2 ? a 3 ? (a ? 0)
b ? b 2 ? (b ? 0)
1

2

4

c5 ? c 4 ? (c ? 0)
m n m *

5

即: a ? a n (a ? 0, n ? N , n ? 1)

形成

为此, 我们规定正数的分数指数幂的意 义为:

学生计算、构造、猜想, 允许交流讨论,汇报结 论.教师巡视指导.

让 学 生经历从 “特殊一 一般”, “归纳一

概念

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * )
正数的定负分数指数幂的意义与负整 数幂的意义相同. 即: a
? m n

m

?

1 a
m n

猜想”,

(a ? 0, m, n ? N )
*

是培养学 生“合情

规定:0 的正分数指数幂等于 0,0 的

负分数指数幂无意义. 说明:规定好分数指数幂后,根式与分 数指数幂是可以互换的, 分数指数幂只是根 式的一种新的写法,而不是

推理”能 力的有效 方式,同 时学生也 经历了指 数幂的再 发 现 过 程,有利 于培养学 生的创造 能力.

a ? a ? a ??? a (a ? 0)

n m

1 m

1 m

1 m

深化 概念

由于整数指数幂,分数指数幂都有意 义,因此,有理数指数幂是有意义的,整数 指数幂的运算性质, 可以推广到有理数指数 幂,即: (1) ar ? a s ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) (2) (a ) ? a (a ? 0, r, s ? Q)
r S rs

让学生讨论、研究, 通 过 本 环 教师引导. 节 的 教 学,进一 步体会上 一环节的 设 计 意 图.



3



(a ? b)r ? ar br (Q ? 0, b ? 0, r ? Q)
若 a >0,P 是一个无理数,则 P 该如 何理解?为了解决这个问题, 引导学生先阅 读课本 P57——P58.

即: 2 的不足近似值, 从由小于 2 的 方向逼近

2 , 2 的过剩近似值从大于

2 的方向逼近 2 .
所以,当 2 不足近似值从小于 2 的 方向逼近时, 5 向逼近 5 . 当 2 的过剩似值从大于 2 的方向逼 近 2 时, 5
2 2 2 2

的近似值从小于 5

2

的方

的近似值从大于 5

2

的方向

逼近 5 ,(如课本图所示) 所以, 5 是一个确定的实数. 一般来说,无理数指数幂
2

a p (a ? 0, p是一个无理数) 是一个确定的
实数, 有理数指数幂的性质同样适用于无理 数指数幂.无理指数幂的意义,是用有理指 数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼 近以确定大小. 思考: 2 的含义是什么? 由以上分析,可知道,有理数指数幂, 无理数指数幂有意义,且它们运算性质相
3

同,实数指数幂有意义,也有相同的运算性 质,即:

ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r ? R, s ? R) (ar )s ? ars (a ? 0, r ? R, s ? R) (a ? b)r ? ar br (a ? 0, r ? R)

应用 举例

例题 例 1(P56,例 2)求值

学生思考,口答,教 师板演、点评. 例 1 解: ① 8 ? (2 )
2 3 2 3 3

通 过 这二个例 题 的 解 答,巩固 所学的分

1 ?5 16 ? 3 8 ; 25 ; ( ) ; ( ) 4 . 2 81
? 1 2

2 3

例 2(P56,例 3)用分数指数幂的形式 表或下列各式( a >0)

?2
a3

3?

2 3

?2 ?4;
2

数指数幂 与根式的 互化,以



a . a ;a ? a ;
3

2

3

2

a .

分析:先把根式化为分数指数幂,再由 运算性质来运算. 解: a . a ? a ? a ? a
3 3
2 3

25

1 ? 2

? (5 )
?5

1 ? 2 2

1 2?( ? ) 2

1 2

1 3? 2

?a ;
?a ;
8 3

7 2

及分数指 1 ?5 ? ; 5 数幂的求
?1



值,提高 运 算 能 力.

a2 ? 3 a2 ? a2 ? a ? a

2 2? 3

1 ( ) ?5 ? (2 ?1 ) ?5 2

a

3

a ? a ? a ? a ? (a ) ? a .

1 3

4 3

4 1 3 2

2 3

?2

?1?( ?5)

? 32 ;



课堂练习:P59 练习 第 1,2,3,4 题 补充练习:

16 ? 3 2 4?( ? 3 ) ( ) 4 ?( ) 4 81 3

1 (2n?1 )4 ? ( )2 n?1 2 1. 计算: 的结果; n ?2 48
2. 若 a3 ? 3,

2 27 ? ( ) ?3 ? . 3 8
例 2 分析:先把根式 化为分数指数幂,再由运 算性质来运算. 解:a . a ? a ? a
3 3 1 2

a10 ? 384,

求a3 ? [(

a10 1 ) 7 ]n?3的值 . a3

?a
2

3?

1 2

?a ;
2 2 2 3

7 2

a ? a ? a ?a
3

?a

2?

2 3

?a ;
1 3 4 3

8 3

a3

a ? a?a ? a
4 1 2

? (a 3 ) 2 ? a 3 .
练习答案: 1. = 解 : 原 式

24 n ? 4 ? 2?2 n ?1 22 n ? 2?6
= 2 =512; 2. 解 :
1
9

原 式

= 3 ? [(128) 7 ]n?3 = 3? 2 归纳 总结 1.分数指数是根式的另一种写法. 2.无理数指数幂表示一个确定的实数.
n ?3

. 巩 固 本节学习

先让学生独自回忆, 然后师生共同总结.

3.掌握好分数指数幂的运算性质,其 与整数指数幂的运算性质是一致的.

成果,使 学生逐步 养成爱总 结、会总 结的习惯 和能力.

课后 作业

作业:2.1 第二课时 习案

学生独立完成

巩固新知 提升能力

2.1.1 指数与指数幂的运算(三)
(一)教学目标 1.知识与技能: 能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简,求值. 2.过程与方法: 通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质. 3.情感、态度、价值观 (1)培养学生观察、分析问题的能力; (2)培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. (二)教学重点、难点 1.重点:运用有理指数幂性质进行化简,求值. 2.难点:有理指数幂性质的灵活应用. (三)教学方法 1.启发学生认识根式与分数指数幂实质是相同的 .并能熟练应用有理 指数幂的运算性质对根式与分数指数幂进行互化.

2.引导学生在化简求值的过程中,注意将根式转化为分数指数幂的形 式和积累一些常用技巧.如凑完全平方、分解因式、化小数为分数等等.另 外, 在运用有理指数幂的运算性质化简变形时, 应注意根据底数进行分类, 以精简解题的过程. (四)教学过程 教 学 教学内容 师生互动 设计意 图

环 节 复 习 复习 1.分数指数幂的概念. 师:提出问题 生:复习回顾 师:总结完善 习 复 旧

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * )
引 入

m

知,为 新课作

a

?

m n

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N )
*

铺垫.

2.分数指数幂的运算性质.

ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r ? R, s ? R) (ar )s ? ars (a ? 0, r ? R, s ? R) (a ? b)r ? ar br (a ? 0, r ? R)
应 用 例 1. (P56, 例 4) 计算下列各式 (式 中字母都是正数) ( 1 ) 学生思考,口答,教师板演、点 评. 例 1 (先由学生观察以上两个 通

举 例

(2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 )
1

2

1

1

1

1

5

式子的特征, 然后分析、 提问、 解答) 过这二 分析: 四则运算的顺序是先算乘 方,再算乘除,最后算加减,有括号 的先算括号的 . 整数幂的运算性质 及运算规律扩充到分数指数幂后, 其 运算顺序仍符合我们以前的四则运 算顺序. 我们看到(1)小题是单项式的 乘除运算; (2) 小题是乘方形式的运 算,它们应让如何计算呢? 其实,第(1)小题是单项式的 乘除法, 可以用单项式的运算顺序进 行. 第(2)小题是乘方运算,可先 按积的乘方计算, 再按幂的乘方进行 计算. 解: (1)原式 = [2 ? (?6) ? (?3)]a 3 = 4ab =4 a
1 8
0

(2) (m 4 n 8 )8

?

3

个例题 的 解

答,巩 固所学 的分数 指数幂 与根式 的 互

化,以 及分数 指数幂 的 求

值,提 高运算 能力.

2 1 1 ? ? 2 6

b2

1 1 5 ? ? 3 6

(2)原式= (m 4 ) (n 8 ) =m n
2 ?3

?

3 8

例 2 分析:在第(1)小题中, 例 2. (P57 例 5)计算下列各式 (1) ( 3 25 ? 125) ? 4 25 (2) 只含有根式, 且不是同类根式, 比较 难计算, 但把根式先化为分数指数幂 再计算,这样就简便多了,同样,第

a2 a.3 a2

(a >0)

(2)小题也是先把根式转化为分数 指数幂后再由运算法则计算. 解: (1)原式=

(253 ?1252 ) ? 254
= (5 3 ? 5 2 ) ? 5 2 = 5
2 1 ? 3 2 1 6

1

1

1

2

3

1

?5

3 1 ? 2 2

= 5 ?5 =
6

5 ?5

(2)原式 =

a2 a ?a
5

1 2

2 3

?a

1 2 2? ? 2 3

? a 6 ? 6 a5 .
小结: 运算的结果不强求统一用 哪一种形式表示, 但不能同时含有根 号和分数指数, 也不能既有分母, 又 含有负指数. 课堂练习: 练习答案:

化简: (1) ( 9) ( 10 ) ? 1002 ;
3 ? 2 3 9 2 2
5

解(1)原式= 3 =3
? 2 3

?

2 3

?10 ?10
3

?

2 5

?10 ;

11 5

(2) 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 2 ; (3)
a a

(2)原式= 1 ? 2 ?(?1 ? 2) =2;
1 1 1

a a .

(3)原式= ((a(a 2 )) a ) a = (a ) = a
3 1 2 a2
3 2 a2

.

强 化解题 技巧.

归 纳 总 结

1. 熟练掌握有理指数幂的运算法 则,化简的基础. 2.含有根式的式子化简,一般要先 把根式转化为分数指数幂后再计 算.

先让学生回顾反思, 然后师生共 同总结,完善.

巩 固本节 学习成 果,形 成知识 体系.

课 后 作 业

作业:2.1 第三课时 习案

学生独立完成

巩固新 知 提升能 力

2.1.2 指数函数及其性质(一)
(一)教学目标 1.知识与技能

了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念,掌握指数函数 的图象. 2.过程与方法 能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索指数函数图象 特征. 3.情感、态度与价值观 在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模 型,激发学生学习数学的兴趣,努力培养学生的创新意识. (二)教学重点、难点 1.教学重点:指数函数的概念和图象. 2.教学难点:指数函数的概念和图象. (三)教学方法 采用观察、分析、归纳、抽象、概括,自主探究,合作交流的教学方 法,通过各种教学媒体(如计算机或计算器) ,调动学生参与课堂教学的 主动性和积极性. (四)教学过程 教学 教学内容 环节 1. 在本章的开头, 问题 (1) 中时间 x 与 GDP 复习 值中的 y ? 1.073 ( x ? x ? 20)
x

师生互动

设计意图

由 实 际问题引 学生思考回答函数的 入, 不仅能 特征. 激发学生 的学习兴

引入 与问题(2)中时间t

和C-14含量P的对应关系

1 5 P=[( ) 30 ]t , 2
请问这两个函数有什么共同特征. 2. 这两个函数有什么共同特征

1

趣, 而且可 以培养学 生解决实 际问题的 能力.

1 t 1 1 把P=[( )5730 ]变成P ? [( ) 5730 ]t ,从而得出这 2 2
两个关系式中的底数是一个正数,自变量为指数, 即都可以用 y ? a x ( a >0且 a ≠1来表示). 形 成 概念 指数函数的定义 一般地,函数 y ? a x ( a >0 且 a ≠1)叫做 指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 回答:在下列的关系式中,哪些不是指数函

由 特 殊到一般, 培养学生 的观察、 归 纳、 概括的 学生独立思考,交流 能力.

数,为什么? (1) y ? 2
x?2

讨论,教师巡视,并注意 个别指导,

(2) y ? (?2) x (3) y ? ?2x (4) y ? ? (5) y ? x
x

学生探讨分析,教师 点拨指导. 使 学 生进一步

2

(6) y ? 4x (7) y ? x
x

2

理解指数 函数的概 念.

(8) y ? (a ?1) x 理 解 概念

( a >1,且 a ? 2 )

小结:根据指数函数的定义来判断说明:因 为 a >0,x 是任意一个实数时,a 是一个确定的 实数,所以函数的定义域为实数集 R.
x

?当x ? 0时,a x等于0 ? 若a ? 0, ? x ? ?当x ? 0时,a 无意义
若 a <0,

1 1 如 y ? (?2) x , 先时,对于x= , x ? 等等,在实 6 8
数范围内的函数值不存在. 若 a =1, y ? 1 ? 1, 是一个常量,没有研究
x

的意义,只有满足

y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的形式才能称为指数函
数, a为常数,
1

如: y=2-3 ,y=2 x , y ? x ,
x x

y ? 3x?5 , y ? 3x ? 1等等,不符合 y ? a x (a ? 0且a ? 1)的形式,
所以不是指数函数 .
深化 我们在学习函数的单调性的时候,主要是根 学生列表计算, 描点、 通 过

概念 据函数的图象, 即用数形结合的方法来研究. 下面 作图. 我们通过

列表、 计算 使学生体

先来研究 y ? a x ( a >1)的图象, 用计算机完成以下表格,并且用计算机画出 函数 y ? 2x 的图象

教师动画演示.

会、 感受指 数函数图 象的化趋

学生观察、归纳、总结, 势, 通过描

x
y ? 2x

?3.00
1 ?8

?2.50

?2.00
1 4

?1.50

教师诱导、点评.

点, 作图培 养学生的 动手实践

?1.00
1 2

0.00
1

0.50

1.00
2

1.50

2.00
4

能力.

再研究先来研究 y ? a x (0< a <1)的图象,

不同情况 进行对照, 使学生再 次经历从

1 x 用计算机完成以下表格并绘出函数 y ? ( ) 2
的图象.

x
1 y ? ( )x 2

?2.50 ?2.00 ?1.50 ?1.00 0.00
1 4 1 2

特殊到一 般, 由具体 到抽象的 思 维 过

1

1.00 1.50 2.00 2.50
程. 培养学 2 4 生的归纳 概括能力.

从图中我们看出

1 y ? 2 x 与y ? ( ) x的图象有什么关系? 2
通过图象看出

1 y ? 2 x 与y ? ( ) x的图象关于y轴对称, 实 2
质是 y ? 2x 上的 点(-x, y )

1 与y =( )x上点(-x, y )关于y轴对称. 2 1 x x 讨论: y ? 2 与y ? ( ) 的图象关于 y 轴对 2
称,所以这两个函数是偶函数,对吗? ②利用电脑软件画出

1 1 y ? 5 x , y ? 3x , y ? ( ) x , y ? ( ) x 的 函 数 图 3 5
象.

0

8

6

4

2

-10

-5

5

10

-2

-4

-6

-8

问题:从画出的图象中,你能发现函数的图 象与底数间有什么样的规律. 从图上看 y ? a x ( a >1)与 y ? a ? x 两函数图 象的特征——关于 y 轴对称.

学生思考、解答、交 流,教师巡视,注意个别 指导,发现带有普遍性的 问题,应及时提到全体学 巩固所学 例 1: (P66 例 6) 已知指数函数 f ( x) ? a x( a 应用 > 0 且 a ≠1 ) 的 图 象 过 点 ( 3 , π ) ,求 举例 f (0), f (1), f (?3)的值. 生面前供大家讨论. 知识, 培养 例 1 分析:要求 学生的数

f (0), f (1), f (?3)的值,

形结合思
1

和创 只需求出a, 得出f(想 x)=( ? 3新 )x , 能力. 再把 0, 1, 3 分别代入 x , 即 可 求 得

f (0), f (1), f (?3).
解:将点( 3 , π ) ,

代入 f ( x) ? a x 得到 f (3) ? ? , 即a ?? ,
3

解得: a ? ? 3 ,于是

1

f ( x) ? ? ,
所以 f (0) ? ? 0 ? 1 ,

x 3

f (0) ? ? ? 3 ? ,
f (?3) ? ? ?1 ?
1、理解指数函数 y ? a x (a ? 0),

1 3

1

?

. 通 过 师生的合

注意a ? 1与0 ? a ? 1两种情况

作总结, 使学生对 本节课所

归纳 总结 2、解题利用指数函数的图象,可有利于清晰 地分析题目,培养数型结合与分类讨论的数学思 想 .

学生先自回顾反思, 学知识的 教师点评完善. 结构有一 个明晰的 认识,形 成知识体 系.

课后 作业:2.1 第四课时 习案 作业

学生独立完成

巩固新知 提升能力

2.1.2 指数函数及其性质(二)
(一)教学目标 1.知识与技能: (1)理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的 性质. (2)体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想; 2.过程与方法: 展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质. 3.情感、态度与价值观 (1)让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理. (2)培养学生观察问题,分析问题的能力. (二)教学重点、难点 1.教学重点:指数函数的概念和性质及其应用. 2.教学难点:指数函数性质的归纳,概括及其应用. (三)教学方法 采用观察、分析、归纳、抽象、概括,自主探究,合作交流的教学方 法,利用多媒体教学,使学生通过观察图象,总结出指数函数的性质,调 动学生参与课堂教学的主动性和积极性.从而培养学生的观察能力,概括 能力. (四)教学过程

教学

教学内容

师生互动

设计意图

环节 复习 复习指数函数的概念和图象. 1.指数函数的定义 引入 一般地,函数 y ? a x ( a >0 且 a ≠1)叫做指数 函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 2.指数函数的图象 生:复习回顾 师:总结完善 复习旧 知,为新课 作铺垫.

问题:根据函数的图象研究函数的定义域、 值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶 性. 形成 图象特征 师: 引导学生观察指 0< a <1 数函数的图象, 归纳 出图象的特征. 生:从渐进线、对称 轴、特殊点、图象的 升 降 等方 面观 察指 数函数的图象, 归纳 出图象的特征. 师:帮助学生完善. 通过分 析图象,得 到图象特 征,为进一 步 得到指 数函数的性 质作准备.

a >1
概念

向 x 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右, 图象逐渐上升 自左向右, 图象逐渐下降

在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 概念

在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1 生: 从定义域、 值域、 获得指数函 0< a <1 定点、单调性、范围 等 方 面研 究指 数函 数的性质. 师:帮助学生完善. 数的性质.

函数性质

a >1
深化

函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 R+

a 0 =1
增函数 减函数

x >0, a x >1 x <0, a x <1

x >0, a x <1 x <0, a x >1
明确底数是

问题:指数函数 y ? a ( a >0 且 a ≠1) ,
x

确定指数函 师: 画出几个提出问 数的要素.

当底数越大时,函数图象间有什么样的关系.

题. 生:画出几个底数不 同的指数函数图象, 得 到 指 数 函 数

y ? ax ( a > 0 且
,当底数越大 a ≠1 )

时,在第一象限的函 数图象越高. (底大图高) 应用 举例 例 1 求下列函数的定义域、值域 (1) y ? 0.3 (2) y ? 3
1 x ?1

例 1 分析: 此题 要 利 用指 数函 数的 定义域、值域,并结 合指数函数的图象. 解 :( 1 ) 由

掌握指 数函数的应 用.

5 x?1

x ?1 ? 0 得 x ? 1
课堂练习(P64 2) 所以函数定义 域为

{x | x ? 1} .


1 ?0 得 x ?1

y ? 1,
所以函数值域 为

{ y | y ? 0且y ? 1}
. ( 例2 (P62 例 7) 比较下列各题中的个值的大 小 (1)1.72.5 与 1.73 2 ) 由

5x ? 1 ? 0 得 x ?

1 5

所以函数定义 域为

( 2 ) 0.8?0.1

与 0.8

?0.2

1 {x | x ? } . 5


( 3 ) 1.70.3 与

0.93.1

5x ? 1 ? 0

得 y ? 1, 所以函数值域 为

{ y | y ? 1} .

例 2 解法 1: 用数形结合的方法, 如第(1)小题,用 图 形 计算 器或 计算 机 画 出 y ? 1.7 的
x

图象, 在图象上找出 横坐标分别为 2.5, 3 的点,显然,图象上 横坐标就为 3 的点 在横坐标为 2.5 的点 的 上 方 , 所 以

1.72.5 ? 1.73 .
解法 2:用计 算器直接计算:

1.72.5 ? 3.77 1.73 ? 4.91
课堂练习: 1. 已 知 a ? 0.8 , b ? 0.8 , c ? 1.2 ,
0.7 0.9 0.8







1.72.5 ? 1.73
解法 3:由函 数的单调性考虑

按大小顺序排列 a, b, c ; 2. 比较 a 与a 的大小( a >0 且 a ≠0).
1 3 1 2

因为指数函数

y ? 1.7 x 在 R 上是
增函数,且 2.5<3, 所以, 1.7
2.5

? 1.73

仿照以上方法 例 3(P63 例 8)截止到 1999 年底,我们 人口哟 13 亿,如果今后,能将人口年平均均增 长率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口 数最多为多少(精确到亿)? 可以解决第(2)小 题 . 注:在第(3) 小题中, 可以用解法 1,解法 2 解决,但 解法 3 不适合 . 由 于

1.70.3=0.93.1 不 能 直 接 看 成某 个函 数的 两个值,因此,在这 两个数值间找到 1,

把这两数值分别与 1 比较大小, 进而比较 1.70.3 与 0.93.1 的大 小 . 练习答案 1.

1.20.8 ? 0.80.7 ? 0.80.9
; 2. 当 a ? 1 时, 则 a <a . 当 0 ? a ? 1 时, 则a ? a .
1 3 1 2 1 3 1 2

分析:可以先 考 试 一年 一年 增长 的情况, 再从中发现 规 律 ,最 后解 决问 题: 1999 年 底

人口约为 13 亿 经 过 1 年

人口约为 13 (1+1%)

亿 经 过 2 年

人口约为 13 (1+1%) ( 1+1% )

=13(1+1%)2 亿 经 过 人 口 约 3 年 为

13(1+1%)2(1+1%)=1 3(1+1%)3 亿 经 过 x 年 人 口 约 为

13(1+1%) x 亿 经 过 20 年 人 口 约 为

13(1+1%)20 亿 解:设今后人 口 年 平均 增长 率为 1% ,经过 x 年后, 我国人口数为 y 亿, 则

y ? 13(1 ? 1%) x
当 x =20 时 ,

y ? 13(1 ? 1%)20 ? 16(亿)

答:经过 20 年 后, 我国人口数最多 为 16 亿. 小结: 类似上面 此题,设原值为 N, 平均增长率为 P,则 对于经过时间 x 后 总 量

y ? N (1 ? p) x , 像y ? N (1 ? p) x 等形如y ? k
, a >0 且 a ≠1)的 函 数 称为 指数 型函 数 .

归纳 总结

本节课研究了指数函数性质及其应用,关 键是要记住 a >1 或 0< a <1 时 y ? a 的图
x

学生先自回顾 形成知识 反思,教师点评完 体系. 善.

象,在此基础上研究其性质 . 本节课还涉及到指数型函数的应用,形如

y ? ka x (a>0 且 a ≠1).
课后 作业 作业:2.1 第五课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力

2.1.2 指数函数及其性质(三)
(一)教学目标 1.知识与技能: (1)熟练掌握指数函数概念、图象、性质; (2)掌握指数形式的函数定义域、值域的求法,以及单调性、奇偶 性判断; (3)培养学生数学应用意识 2.过程与方法: (1)让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理; (2)培养学生观察问题,分析问题的能力. 3.情感、态度与价值观 (1) 认识从特殊到一般的研究方法. (2) 了解数学在生产实际中的应用. (二)教学重点、难点 1.教学重点:指数形式的函数图象、性质的应用. 2.教学难点:判断单调性. (三)教学方法 启发学生运用证明函数单调性的基本步骤对指数形式的复合函数的 单调性进行证明,但应在变形这一关键步骤帮助学生总结、归纳有关指数 形式的函数变形技巧,以利于下一步判断. (四)教学过程

教学

教学内容

师生互动

设计意图

环节 复习 回顾 1.指数函数的定义、图象、性质. 引入 2.函数的单调性、奇偶性的定义, 及其判定方法. 3. 复合函数单调性的判定方法. 老师提问 学生回答 复合函数 y=f[g(x) ] 是由函数 u=g (x) 和 y=f (u)构成的,函数 u=g ( x )的值域应是函数 y=f( u )的定义域的子 集 . 在复合函数 y=f [ g (x) ]中,x 是自变量, u 是中间变量.当 u=g (x) 和 y=f(u)在给定区间 上增减性相同时,复合 函数 y=f[g(x) ]是增函数; 增减性相反时, y=f[ g (x) ]是减函数. 为学 习新课作 好了知识 上的准备.

应用

例 1 当 a>1 时,判断函数 y=

例1 师:你觉得应该如何去 判断一个函数的奇偶 性?

掌握指数 形式函数 奇偶性的 判断.

举例

ax ?1 是奇函数. ax ?1

(生口答,师生共同归 纳总结) 方法引导:判断一个函 数奇偶性的一般方法和 步骤是: (1)求出定义域,判断 定义域是否关于原点对 称. (2) 若定义域关于原点 不对称,则该函数是非 奇非偶函数. (3) 若所讨论的函数的 定义域关于原点对称, 进而讨论 f(-x)和 f (x)之间的关系. 若 f(-x)=f(x) ,则 函数 f(x)是定义域上 的偶函数;若 f(-x)= -f(x) ,则函数 f(x) 是定义域上的奇函数; 若 f(-x)=f(x)且 f (-x)=-f(x) ,则函 数 f(x)在定义域上既

是奇函数又是偶函数. 师:请同学们根据以上 方法和步骤,完成例题 1. (生完成引发的训练 题,通过实物投影仪, 交流各自的解答,并组 织学生评析,师最后投 影显示规范的解答过 例 2 求函数 y=( 区间,并证明之.

1 x 2 ?2 x ) 的单调 2

程,规范学生的解题) 证明:由 ax - 1≠0 ,得 x≠0, 故 函 数 定 义 域 为 {x|x≠0},易判断其定义 域关于原点对称. 又 f(-x) =

掌握指数 形式函数 单调性的 判断.

a ? x ? 1 (a ? x ? 1)a x = a ? x ? 1 (a ? x ? 1)a x

=

1? ax 1? ax

=-f(x) , ∴f(-x)=-f(x).

∴ 函数 y= 函数. 例2

ax ?1 是奇 ax ?1

师:证明函数单调性的 方法是什么? (生口答,师生共同归 纳总结) 方法引导: (1)在区间 D 上任取 x1<x2.(2)作 差判断 f(x1)与 f(x2) 的大小:化成因式的乘 积,从 x1<x2 出发去判 断.(3)下结论:如果 f (x1)<f(x2) ,则函数 f(x)在区间 D 上是增 函数;如果 f( x1 )> f (x2) ,则函数 f(x)在 区间 D 上是减函数. 解:在 R 上任取 x1、x2, 且 x1<x2,



y2 y1

1 2 ( ) x2 ? 2 x2 = 2 = 1 2 ( ) x1 ? 2 x1 2

2 2 1 ) x1 ? x1 ?2 x2 ?2 x1 = 2 1 ( ) ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ?2) . 2



∵x1<x2,∴x2-x1>0. 当 x1、x2∈(-∞,1] 时, x1+x2-2<0.这时 (x2 -x1) (x2+x1-2)<0, 即

y2 >1. y1

∴y2>y1, 函数在 (-∞, 1]上单调递增. 当 x1、 x2∈ [1, +∞) 时, x1+x2-2>0,这时(x2 -x1) (x2+x1-2)>0, 即

y2 <1. y1

∴y2<y1, 函数在 [1, +∞ 上单调递减. 综上,函数 y 在(-∞, 1]上单调递增,在[1, +∞)上单调递减. 合作探究:在填空、选 择题中用上述方法就比较麻 烦,因此我们可以考虑用复 合函数的单调性来解题.

解法二、 (用复合函数的 单调性) : 设: u ? x 2 ? 2x

课堂练习 1. 求函数 y=3 ? x 和值域.
2

?1? 则: y ? ? ? ? 2?
? 2 x ?3

u

的单调区间

对任意的 1 ? x1 ? x2 , 有 u1 ? u 2 ,

?1? 又∵ y ? ? ? 是减函 ? 2?
数 ∴

u

y1 ? y 2
x2 ?2 x



?1? y ?? ? ?2?



[1,??) 是减函数
对任意的 x1 ? x2 ? 1 , 有 u1 ? u 2 , 又∵ y ? ? ? 是减函 数 ∴

?1? ? 2?

u

y1 ? y 2
x2 ?2 x



2. 设 a 是实数,

?1? y ?? ? ?2?



f ( x) ? a ?

2 ( x ? R) 2 ?1
x

[1,??) 是增函数
小结:在讨论比较复杂 的函数的单调性时,首 先根据函数关系确定函 数的定义域,进而分析 研究函数解析式的结构 特征,将其转化为两个 或多个简单初等函数在 相应区间上的单调性的 讨 论问题 . 在该 问题中 先 确 定 内 层 函 数 ( u ? x 2 ? 2x ) 和外层 函数( y ? ? ? )的单 调情况,再根据内外层 函数的单调性确定复合 函数的单调性.

试证明对于任意 a, f ( x) 为增函数;

?1? ? 2?

u

课堂练习答案 1. 解:由题意可知,函 数 y=3 ? x
2

? 2 x ?3

的定义域

为实数 R.



u=



x2+2x+3

(x∈R) , 则 f(u)=3u, 故 原 函 数 由 u= - x2+2x+3 与 f(u)=3u 复 合而成. ∵f (u) =3u 在 R 上是增 函数, 而 u= - x2+2x+3= -(x -1)2+4 在 x∈(-∞, 1]上是增函数,在[1, +∞)上是减函数. ∴y=f(x)在 x∈(-∞, 1]上是增函数,在[1, +∞)上是减函数. 又知 u≤4,此时 x=1, ∴当 x=1 时,ymax=f(1) =81,而 3 ? x
2

? 2 x ?3

>0,

∴函数 y=f(x)的值域 为(0,81].

2.分析:此题虽形式较 为复杂,但应严格按照单调

性、奇偶性的定义进行证明 还应要求学生注意不同题型 的解答方法 (1) 证明: 设 x1 , x 2 ∈R, 且 x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 )

? (a ?

2 2 ) ? (a ? x ) 2 ?1 2 2 ?1
x 1

?

2(2x1 ? 2x 2 ) 2 2 ? ? 2x 2 ? 1 2x1 (2x1 ? 1)(2x 2 ? 1)
x

由于指数函数 y= 2 在 R 上是增函数,且

x1 ? x2 ,
所 以 2 x1 ? 2 x2 即

2 x1 ? 2 x2 <0,
又由 2 >0 得 2 1 +1>0,
x x

2 x2 +1>0
所 以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) <0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

因为此结论与 a 取值无 关, 所以对于 a 取任意实数,

f ( x) 为增函数
小结: 上述证明过程中, 在对差式正负判断时,利用 了指数函数的值域及单调性

归纳 总结

1.复合函数单调性的讨论步骤和方 法; 2. 复合函数奇偶性的讨论步骤和 方法.

学生先自回顾反思,教师点 评完善.

形成知识 体系.

课后 作业

作业:2.1 第六课时 习案

学生独立完成

巩固新知 提升能力

2.2.1 对数与对数运算(一)
(一)教学目标 1.知识技能: ①理解对数的概念,了解对数与指数的关系; ②理解和掌握对数的性质; ③掌握对数式与指数式的关系 . 2. 过程与方法: 通过与指数式的比较,引出对数定义与性质 . 3.情感、态度、价值观 (1)学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归

纳能力. (2)通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质 . (3)在学习过程中培养学生探究的意识. (4)让学生理解平均之间的内在联系,培养分析、解决问题的能力. (二)教学重点、难点 (1)重点:对数式与指数式的互化及对数的性质 (2)难点:推导对数性质的 (三)教学方法 启发式 启发学生从指数运算的需求中,提出本节的研究对象——对数,从而 由指数与对数的关系认识对数,并掌握指数式与对数式的互化、而且要明 确对数运算是指数运算的逆运算. 引导学生在指数式与对数式的互化过程中,加深对于定义的理解,为 下一节学习对数的运算性质打好基础. (四)教学过程 教学 环节 提出 问题 1.提出问题 ( P72 思 考 题 ) 老师提出问题, 学生思考回答. 启发学生从指数 运算的需求中,提出 本节的研究对象—— : 对数, 由实际问题引入, 激 发学生的学习积极性. 教学内容 师生互动 设计意图

y ? 13?1.01x 中,哪一年的人
口数要达到 10 亿、20 亿、30 亿……,该如何解决? 即

18 20 30 ? 1.01x , ? 1.01x , ? 1.01x , 13 13 13
在 个 式子 中 , x 分 别等 于多 少? 象上面的式子,已知底数 和幂的值,求指数,这就是我 们这节课所要学习的对数(引 出对数的概念).

概念 形成

合作探究:若 1.01x=

18 , 13 18 13

合作探究 师:适时归纳总 结,引出对数的定义 并板书.

让学生经历从 “特殊 一一般” , 培养学生 “合 情推理”能力,有利于 培养学生的创造能力.

则 x 称作是以 1.01 为底的

的对数 . 你能否据此给出一个 一般性的结论? 一般地, 如果 ax=N (a>0, 且 a≠1) ,那么数 x 叫做以 a 为 底 N 的对数,记作 x=logaN, 其中 a 叫做对数的底数,N 叫 做真数. 举 例 : 如 :

42 ? 16, 则2 ? log4 16 ,读作
2 是以 4 为底,16 的对数.

4 ? 2 ,则
读作

1 2

1 ? log 4 2 , 2

1 是以 4 为底 2 的对数. 2

概念 深化 化

1. 对数式与指数式的互

掌握指数式与对 数式的互化、而且要

通过本环节的教 学,培养学生的用联系 的关点观察问题.

在对数的概念中, 要注意: 明确对数运算是指数 运算的逆运算. (1)底数的限制 a >0, 且 a ≠1 ( 2 )

a x ? N ? loga N ? x
指数式 ? 对数式 幂底数← a →对数底数 指 幂 数← x →对数 ←N→真数

说明: 对数式 log a N 可看 作一记号, 表示底为 a ( a >0, 且 a ≠1) ,幂为 N 的指数工表 示方程 a ? N ( a >0,且
x

a ≠1)的解. 也可以看作一种
运算,即已知底为 a ( a >0,

且 a ≠1)幂为 N,求幂指数的 运算. 因此,对数式 log a N 又 可看幂运算的逆运算. 2. 对数的性质: 提问:因为 a > 0 , a ≠1 时,

a x ? N ? x ? loga N
则 由1、a 0=1 2、

a 1= a


如何转化为对数

②负数和零有没有对数? ③根据对数的定义,

aloga N =?
(以上三题由学生先独立 思考,再个别提问解答) 由以上的问题得到 ①

? a0 ? 1, a1 ? a

( a >0,且 a ≠1) ② ∵ a >0,且 a ≠1 对

任 意 的 力 , log10 N 常 记 为

lg N .

恒等式: a 3. 两类对数 ①

loga N

=N

以 10 为底的对数称

为常用对数, log10 N 常记为

lg N .
② 以 无 理 数

e=2.71828… 为 底 的 对 数 称 为 自 然 对 数 , log e N 常 记 为

ln N .
以后解题时,在没有指出 对数的底的情况下,都是指常 用对数,如 100 的对数等于 2, 即 lg100 ? 2 .

应用 举例

例 1 将下列指数式化为 对数式,对数式化为指数式: (1)54=625; (2)2 6=


例 1 分析:进行 指数式和对数式的相 互转化,关键是要抓 住对数与指数幂之间 的关系,以及每个量 在对应式子中扮演的 角色. (生口答,师板

通过这二个例题的 解答,巩固所学的指数 式与对数式的互化,提 高运算能力.

1 ; 64

1 (3) ( )m=5.73; 3
(4)log 1 16=-4;
2

(5)lg0.01=-2;

(6)ln10=2.303.

书) 解 :( 1 ) log5625=4; (2)log2 1 =- 64 6; ( 3 )

log 1 5.73=m; 例 2:求下列各式中 x 的值 (1) log 64 x ? ? (2) log x 8 ? 6 (3) lg100 ? x (4) ? ln e ? x
2

3

2 3

(4) (

1 -4 ) =16; 2


(5)10 2=0.01; (6)e2.303=10.

例 2 分析:将对 数式化为指数式,再 利用指数幂的运算性 质求出 x. 解: (1)

x ? (64)
?4
2 3?( ? ) 3

?

2 3

? (43 )

?

2 3

? 4?2 ?

1 16

(2) x ? 8,
6

所以( x6 ) 6 ? (8) 6

1

1

? (2 ) ? 2 ? 2
( 3 )

1 3 6

1 2

10x ? 100 ? 102 ,
于是x ? 2
课本 P74 练习第 1,2,3, 4 题. ( 4 )

由? ln e2 ? x, 得 ? x ? ln e2 ,即e-x ? e2
所以 x ? ?2

练习 (生完成, 师 组织学生进行课堂评 价) 解 答 : 1. ( 1 ) log28=3; (2)log232=5; ( 3 ) log2 1;
1

1 =- 2

( 4 ) log27 3 = -

1 . 3
2.(1)32=9; (2)

53=125; (3)2 2=


1 ; 4

(4)3 4=


1 . 81

3. ( 1 ) 设 x=log525 , 则

5x=25=52,所以 x=2; ( x=log2 2 ) , 设 则

1 16

- 2x= 1 =2 4,所以 x= 16

-4; ( x=lg1000 3 ) , 设 则

10x=1000=103 , 所 以 x=3; ( x=lg0.001 4 ) ,


设 则

10x=0.001=10 3, 所以 x=-3. 4.(1)1; (2)0; (3)2; (4)2; (5) 3; (6)5.

归纳 总结

1.对数的定义及其记法; 2. 对 数 式 和 指 数 式 的 关 系; 3. 自然对数和常用对数的 概念.

先让学生回顾反 思,然后师生共同总 结,完善.

巩固本节学习成 果,形成知识体系.

课后 作业

作业:2.2 第一课时 习案

学生独立完成

巩固新知 提升能力

2.2.1 对数与对数运算(二)
(一)教学目标 1.知识与技能:理解对数的运算性质. 2.过程与方法:通过对数的运算性质的探索及推导过程,培养学生 的“合情推理能力” 、 “等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法, 以及创新意识. 3.情感、态态与价值观 通过“合情推理” 、 “等价转化”和“演绎归纳”的思想运用,培养学 生对立统一、相互联系,相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主 义观点,以及大胆探索,实事求是的科学精神.

(二)教学重点、难点 1.教学重点:对数运算性质及其推导过程. 2.教学难点: 对数的运算性质发现过程及其证明.

(三)教学方法 针对本节课公式多、思维量大的特点,采取实例归纳,诱思探究,引 导发现等方法. (四)教学过程

教学

教学内容

师生互动

设计意图

环节 复习 式 引入 复习:对数的定义及对数恒等 学生口答,教师板书. 对数的概念 和对数恒等

loga N ? b ? ab ? N
>0,且 a ≠1,N>0) , 指数的运算性质.

(a

式是学习本 节课的基础, 学习新知前

a m ? a n ? a m? n ;

a m ? a n ? a m? n

的简单复习, 不仅能唤起 学生的记忆,

(a m )n ? a mn ;

m

an ? a

n m

而且为学习 新课做好了 知识上的准 备.

提出

探究:在上课中,我们知道, 对数式可看作指数运算的逆运算,

学生探究,教师启发引 导.

问题

你能从指数与对数的关系以及指数 运算性质,得出相应的对数运算性

质吗?如我们知道 a ? a ? a
m n

m? n



那 m ? n 如何表示, 能用对数式运算 吗? 如:

am ? an ? am?n , 设M ? am , N ? an
. 于是 MN ? am?n , 由对数的定 义得到

M ? am ? m ? loga M , N ? an ? n ? loga N

MN ? am?n ? m ? n ? loga MN

?loga M ? loga N ? loga MN (放出投影)

即:同底对数相加,底数不变, 真数相乘 提问:你能根据指数的性质按 照以上的方法推出对数的其它性质 吗?

概念

(让学生探究,讨论)

让学生明确

如果 a >0 且 a ≠1,M>0,N 形成 >0,那么: ( 1 )

让学生多角度思考,探究, 教师点拨.

由“归纳一猜 想”得到的结 论不一定正

loga MN ? loga M ? loga N
( 2 )

让学生讨论、研究,教师 引导.

确,但是发现 数学结论的 有效方法,让 学生体会 ― 归

M log a ? log a M ? log a N N
( 3 )

纳一猜想一 证明 ‖ 是数学 中发现结论, 证明结论的 完整思维方

loga M n ? n loga M
证明:

(n ? R)

(1)令 M ? a m , N ? a n 则 :

法,让学生体 会回到最原 始(定义)的 地方是解决 数学问题的 有效策略.通

M ? a m ? a n ? a m?n N M ? m ? n ? log a N
又由 M ? a ,
m

N ? an

?m ? loga M , n ? loga N
即 :

过这一环节 的教学,训练 学生思维的 广阔性、发散 性,进一步加

log a M ? log a N ? m ? n ? log a

M N

(3)

n ? 0时, 令N ? log a M n , 则M ? a n

N

深学生对字 母的认识和 利用,体会从

b ? n loga M , 则M ? a
?a ? a
?N ? b

N n b n

b n

―变‖中发现规 律.通过本环 节的教学,进 一步体会上 一环节的设 计意图.

M log a ? log a M ? log a N N
当 n =0 时,显然成立.

?loga M n ? n loga M

概念

合作探究: 1. 利用对数运算性质时,各字

(师组织,生交流探讨 得出如下结论) 底数 a>0,且 a≠1,真 数 M>0,N>0;只有所得结 果中对数和所给出的数的对 数都存在时,等式才能成立.

深化

母的取值范围有什么限制条件?

(生交流讨论) 2. 性质能否进行推广? 性质(1)可以推广到 n 个正数的情形,即

loga(M1M2M3…Mn) =logaM1+logaM2 +logaM3+… +logaMn(其中 a>0,且 a≠1,M1、M2、M3…Mn>0).

应用 举例

例 1 用 log a x , log a y ,

学生思考,口答,教师板 演、点评. 例 1 分析:利用对数运 算性质直接化简. (1) log a

通过例题的解 答,巩固所学的 对数运算法则, 提高运算能力.

loga z 表示下列各式
xy (1) log a z
(2) log a

x2 y
3

8

xy z

? loga xy ? loga z ? loga x ? loga y ? loga z
(2) log a

x2 y
3

z

? loga x2 y ? loga 3 z

? loga x2 ? loga y ? loga 3 z
= 2 log a x ?

1 log a y 2

1 ? log a z 3

小结:此题关键是要记 住对数运算性质的形式,要 求学生不要记住公式.

例2解 (1) log2 (47 ? 25 )

例 2 求下列各式的值. (1) log2 (47 ? 25 ) (2) lg 5 100

? log2 47 ? log2 25
? 14 ? 5 ? 19
(2) lg 5 100

? lg10 ?

2 5

2 5

例 3(1)解法一: lg14-2lg 例 3 计算: (1)lg14-2lg (2)
lg 243 ; lg 9

7 +lg7-lg18 3

7 +lg7-lg18; 3

=lg (2× 7) -2 (lg7-lg3) +lg7-lg(32× 2) =lg2+lg7 -

(3)

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 . lg1.2

2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0. 解法二: lg14-2lg - lg18=lg14 - lg ( -lg18=lg

7 +lg7 3

7 2 ) +lg7 3

14 ? 7 =lg1=0. 7 2 ( ) ? 18 3

(2)解:
lg 243 lg 3 5 51g 3 = = = 2 lg 9 2 lg 3 lg 3

5 . 2
(3)解:
lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg1.2

=
1 1

lg(33 ) 2 ? lg 2 3 ? 31g10 2 lg 3 ? 22 10

3 (lg 3 ? 21g 2 ? 1) 3 =2 = . lg 3 ? 21g 2 ? 1 2

小结:以上各题的解答, 体现对数运算法则的综合运 用,应注意掌握变形技巧, 每题的各部分变形要化到最 简形式,同时注意分子、分 母的联系,要避免错用对数 运算性质. 课本 P79 练习第 1,2,3. 课本 P79 练习第 1,2,3. 答案:1.(1)lg(xyz)

=lgx+lgy+lgz; (2)lg lgz =lgx+lgy2-lgz =lgx+2lgy-lgz; (3)lg
xy 3 z
xy 2 =lg(xy2)- z

=lg(xy3)-lg z

1 lgz 2 1 =lgx+3lgy- lgz; 2
=lgx+lgy3- (4)lg
x y z
2

=lg x -lg(y2z)

1 lgx-lgy2-lgz 2 1 = lgx-2lgy-lgz. 2
= 2.(1)7; (2)4; (3) -5; (4)0.56. 3.(1)log26-log23 =log2 6 =log22=1; 3 5 (2)lg5-lg2=lg ; 2

(3)log53+log5

1 3

=log53× =log51=0; (4)log35-log315 =log3 补充练习:若 a>0,a≠1,且 x >y>0,N∈N,则下列八个等式: ①(logax)n=nlogx; ②(logax)n=loga(xn) ; ③-logax=loga( ④ 补充练习答案:4
1

1 3

1 5 - =log3 =log33 15 3

=-1.

1 ) ; x

loga x x =loga( ) ; y loga y

⑤ n loga x = ⑥

1 logax; x

1 logax=loga n x ; n
n

⑦a

log a x

=xn;

⑧loga

x? y x? y = - loga .其 x? y x? y

中成立的有________个.

归纳 总结

1.对数的运算性质. 2.对数运算法则的综合运用, 应 掌握变形技巧: (1) 各部分变形要化到最简形 学生先自回顾反思,教 师点评完善.

通过师生 的合作总结, 使学生对本节 课所学知识的

式,同时注意分子、分母的联系; (2) 要避免错用对数运算性质. 3.对数和指数形式比较:
式子 ab=N a——幂的底数 名称 b——幂的指数 N——幂值 am· an=am+n 运算性 质 am÷ an=am
-n

结构有一个明 晰的认识,形 成知识体系.

(am)n=amn (a>0,且 a≠1,m、n∈R)

式子

logaN=b a——对数的底数

名称

b——以 a 为底的 N 的对数 N——真数 loga(MN)=logaM+logaN

运算性 质

loga

M =log M-log N a a N

logaMn=nlogaM(n∈R) (a>0,且 a≠1,M>0,N>0)

课后 作业

作业:2.1 第四课时 习案

学生独立完成

巩固新知 提升能力

2.2.1 对数与对数运算(三)
(一)教学目标 1.知识与技能: (1)掌握换底公式,会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自 然对数,并能进行一些简单的化简和证明. (2)能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答. 2.过程与方法: (1)结合实例引导学生探究换底公式,并通过换底公式的应用,使 学生体会化归与转化的数学思想. (2)通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨,培养学生学会 共同学习的能力. (3)通过应用对数知识解决实际问题,帮助学生确立科学思想,进 一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用. 3.情感、态度与价值观 (1)通过探究换底公式的概念,使学生体会知识之间的有机联系, 感受数学的整体性,激发学生的学习兴趣,培养学生严谨的科学精神. (2)在教学过程中,通过学生的相互交流,培养学生灵活运用换底 公式的能力,增强学生数学交流能力,同时培养学生倾听并接受别人意见 的优良品质. (二)教学重点、难点 1.教学重点: (1)换底公式及其应用. (2)对数的应用问题.

2.教学难点: 换底公式的灵活应用. (三)教学方法 启发引导式 通过实例研究引出换底公式,既明确学习换底公式的必要性,同时也 在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质,在教学中可以根据学生 的不同基础适当地增加具体实例,便于学生理解换底公式的本质,培养学 生从具体的实例中抽象出一般公式的能力. 利用换底公式―化异为同‖是解决有关对数问题的基本思想方法,它在 求值或恒等变形中起着重要作用,在解题过程中应注意: ( 1)针对具体 问题,选择恰当的底数; ( 2)注意换底公式与对数运算性质结合使用; ( 3)换底公式的正用与逆用 . (四)教学过程 教学 教学内容 师生互动 设计 意图 环节 提出 我们学习了对数运算法则,可以看 到对数的运算法则仅适用于对数的底数 问题 相同的情形,若在解题过程中,遇到对 数的底数不相同时怎么办? 师:从对数的定义可以知 道,任何不等于 1 的正数都可以 作为对数的底.数学史上, 人们经 过大量的努力,制作了常用对 数、自然对数表,只要通过查表 就能求出任意正数的常用对数 或自然对数.这样, 如果能将其他 产生 认知 冲 突, 激发 学生 的学

底的对数转换为以 10 或 e 为底 的对数,就能方便地求出任意不 为 1 的正数为底的对数.

习欲 望.

概念

1. 探求换底公式,明确换底公式的 意义和作用.

师:你能根据对数的定义推 导出下面的换底公式吗? logaN=
logc N ( a > 0 ,且 logc a

推导 换底 公式

形成

a≠1;c>0,且 c≠1;N>0). (师生讨论并完成) 当 a>0,且 a≠1 时, 若 ab=N, 则 logaN=b. 例如,求我国人口达到 18 亿的年份,就 是计算 x=log1.01 ① ②

在①的两边取以 c(c>0, 且 c≠1)为底的对数, 则 logcab=logcN, 即 blogca=logcN. ∴b=
log a N .③ logc a
logc N (c logc a

18 的值,利用换底公式 13

与对数的运算性质,可得
18 lg 18 13 = lg 18 ? lg 13 ≈ x=log1.01 = lg 1.01 13 lg1.01

1.2553? 1.1139 =32.8837≈33(年). 0.0043
由此可得,如果人口年增长率控制 在 1%,那么从 2000 年初开始,大约经 过 33 年,即到 2032 年底我国的人口总 数可达到 18 亿.

由②③得 logaN= >0,且 c≠1). 一般地,logaN=

logc N (a logc a

>0,且 a≠1;c>0,且 c≠1;N >0) ,这个公式称为换底公式 .

应用

(多媒体显示如下例题,生板演, 师组织学生进行课堂评价)

例 1 分析:在利用换底公式 进行化简求值时,一般情况是根 据题中所给的对数式的具体特 点选择恰当的底数进行换底,如 果所给的对数式中的底数和真 数互不相同, 我们可以选择以 10 为底数进行换底. (1)解:原方程等价于
lg 4 lg 8 lg m × × =2, lg 3 lg 4 lg 8

掌握 换底 公式 的应 用.

举例



1

计 算 :( 1 )

log34· log48· log8m=log416,求 m 的值. (2)log89· log2732.
log 2 (3) (log25+log4125)· 3 . log 3 5

即 log3m=2,∴m=9. (2)解法一:原式 =
lg 9 lg 32 21g 3 51g 2 · = · = lg 8 lg 27 31g 2 31g 3

10 . 9
解法二:原式 = =
log2 9 log 2 32 · log2 8 log 2 27

2 log2 3 5 10 · = . 3 log 2 3 9 3

(3)解:原式= ( log25+log25
log 3 2 2 log 3 5

5

) ·

=

1 log225 5 · log52 2
5

1 = log25 2 · log52 2
=

5 5 log25· log52= . 4 4

小结(1)不同底的对数要 尽量化为同底的对数来计算; (2)在第(3)小题的计算 过程中,用到了性质 log am Mn

n logaM 及换底公式 m logb N logaN= . 利用换底公式可 logb a
= 以证明:logab= 合作探究:现在我们来用已学过的 对数知识解决实际问题. 例 2 20 世纪 30 年代,里克特 例 2 解: ( 1 ) M=lg20 - lg0.001 =lg 即 logablogba=1. 掌 握利 用对
1 , logb a

(C.F.Richter) 制订了一种表明地震能量 大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震 能量的等级,地震能量越大,测震仪记 录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们 常说的里氏震级 M,其计算公式为 M=lgA-lgA0,其中,A 是被测地震的最 大振幅,A0 是―标准地震‖的振幅(使用

20 =lg20000 0.001

数知 识解 决实 际问 题.

=lg2+lg104≈4.3. 因此,这是一次约为里氏 4.3 级的地震. (2)由 M=lgA-lgA0 可得 M=lg
A A =10M ? A0 A0

标准地震振幅是为了修正测震仪距实际 震中的距离造成的偏差). (1)假设在一次地震中,一个距离 震中 100 千米的测震仪记录的地震最大 振 幅 是 20 , 此 时 标 准 地 震 的 振 幅 是 0.001 ,计算这次地震的震级(精确到 0.1) ; (2)5 级地震给人的震感已比较明 显, 计算 7.6 级地震的最大振幅是 5 级地 震的最大振幅的多少倍(精确到 1).

10M. ? A=A0· 当 M=7.6 时, 地震的最大振 幅为 A1=A0· 107.6; 当 M=5 时,地震的最大振 幅为 A2=A0· 105. 所以,两次地震的最大振幅 之比是
A1 A0 ? 10 7.6 = A2 A0 ? 105

=107.6 5=102.6≈398.


答:7.6 级地震的最大振幅 大约是 5 级地震的最大振幅的 398 倍. 合作探究:可以看到,虽然 7.6 级地震和 5 级地震仅相差 2.6 级,但 7.6 级地震的最大振幅却 是 5 级地震最大振幅的 398 倍. 所以,7.6 级地震的破坏性远远 大于 5 级地震的破坏性. 例 3 科学研究表明,宇宙射线在大 气中能够产生放射性碳 14.碳 14 的衰变 极有规律,其精确性可以称为自然界的 ―标准时钟‖.动植物在生长过程中衰变的 例 3 解:我们先推算生物死 亡 t 年后每克组织中的碳 14 含 量.设生物体死亡时, 体内每克组

碳 14,可以通过与大气的相互作用得到 补充,所以活着的动植物每克组织中的 碳 14 含量保持不变.死亡后的动植物, 停 止了与外界环境的相互作用,机体中原 有的碳 14 按确定的规律衰减,我们已经 知道其―半衰期‖为 5730 年. 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳 14 的残余量约占原始含量的 76.7%,试 推算马王堆古墓的年代.

织中的碳 14 的含量为 1,1 年后 的残留量为 x,由于死亡机体中 原有的碳 14 按确定的规律衰减, 所以生物体的死亡年数 t 与其体 内每克组织的碳 14 含量 P 有如 下关系:
死亡年数 t 碳 14 含量 P 1 x 2 x2

3 x3

… …

t xt

… …

因此,生物死亡 t 年后体内 碳 14 的含量 P=xt. 由于大约每过 5730 年,死 亡生物体的碳 14 含量衰减为原 来的一半, 所以

1 5730 =x , 2
1 1 =( ) 5730 , 2 2
1

于是 x= 5730

这样生物死亡 t 年后体内碳 14 的含量 P=(

1 5730 ) . 2

t

由对数与指数的关系,指数

1 式 P=( ) 5730 可写成对数式 2
t=log
5730

t

1 2

P.

湖南长沙马王堆汉墓女尸 出土时碳 14 的残余量约占原始 含量的 76.7%,即 P=0.767,那 么 t=log
5730

1 2

0.767,

由计算器可得 t≈2193. 所以, 马王堆古墓是近 2200 年前的遗址. 课堂练习 1.课本 P79 练习第 4 题.
lg a 1 2. 在 , , log logb a lg b
n

课堂练习答案
n b

a ,

1.(1)1; (2)1; (3) 2. A 3.

5 . 4

1 ? logab a log b n an, (a>0,a≠1,b>0, 1 ? logab b

b≠1,ab≠1,n∈N)中和 logab 相等的有 A.2 个 C.4 个 D.1 个 3.若 log34· log48· log8m=log42,求 m. 4.(1)已知 log53=a,log54=b,试 用 a、b 表示 log2512; (2)已知 log1227=a,求 log616. B.3 个

3.
a?b . 2

4. (1) (2)

4(3 ? a) . 3? a

归纳 总结

1.换底公式及其应用条件 (注意字母 的范围). 2.解决实际问题的一般步骤:

学生先自回顾反思,教师点评完 善.

形成 知识 体系.

课后 作业

作业:2.2 第三课时 习案

学生独立完成

巩固 新知 提升 能力

2.2.2 对数函数及其性质(一)
(一)教学目标 1.知识技能 (1)理解对数函数的概念. (2)掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用. 2.过程与方法 (1)培养学生数学交流能力和与人合作精神. (2)用联系的观点分析问题.通过对对数函数的学习,渗透数形结合 的数学思想. 3.情感、态度与价值观 (1)通过学习对数函数的概念、图象和性质,使学生体会知识之间 的有机联系,激发学生的学习兴趣.

(2)在教学过程中,通过对数函数有关性质的研究,培养观察、分 析、归纳的思维能力以及数学交流能力,增强学习的积极性,同时培养学 生倾听、接受别人意见的优良品质. (二)教学重点、难点 1、重点: (1)对数函数的定义、图象和性质; (2)对数函数性质的初步应用. 2、难点:底数 a 对图象的影响. (三)教学方法 通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点. (四)教学过程

教学

教学内容

师生互动

设计 意图

环节 提出 师:如 2.2.1 的例 6,考古学家一般通过 提取附着在出土文物、 古遗址上死亡物体的残 问题 留物,利用 t=log
5730

师:你能据此得到此类 函数的一般式吗? 生:y=logax. 师:这样就得到了我们

由 实 际 问 题 引入, 不 仅 能 激 发 学 生 的

1 2

P 估算出土文物或古遗

址的年代.根据问题的实际意义可知,对于每 一个碳 14 含量 P, 通过对应关系 t=log
5730

1 2

P, 生活中的又一类与指数函 数有着密切关系的函数模 型 —— 对数函数 . 这就是我 们下面将要研究的知识.

都有唯一确定的年代 t 与它对应,所以,t 是 P 的函数.

学 习 兴趣, 而 且 可 以 培 养 学 生 解 决 实 际 问 题 的 能 力. 概念 对数函数概念 一般地,函数 y=logax(a>0,且 a≠1) 形成 叫做对数函数,由对数概念可知,对数函数 y=logax 的定义域是(0,+∞) ,值域是 R. 掌 握 对 数 函 数 概 念 探究: (1)在函数的定义中,为什么要限 定 a >0 且 a ≠1. (2)为什么对数函数 y ? loga x ( a >0 且 a ≠1)的定义域是(0,+∞) . 组织学生充分讨论、交 流,使学生更加理解对数函 数的含义,从而加深对对数 函数的理解. 生答:①根据对数与指 数式的关系,知 y ? loga x

可化为 a ? x , 由指数的概
y

念,要使 a ? x 有意义,必
y

须规定 a >0 且 a ≠1. ② 因 为 y ? loga x 可 化 为

x ? a y ,不管 y 取什么值,
由指数函数的性质,

a y >0,所以 x ? (0, ??) .
概念 1. 对数函数的图象. 借助于计算器或计算机在同一坐标系中 深化 画出下列两组函数的图象, 并观察各组函数的 图象,探求它们之间的关系. (1)y=2x,y=log2x; (2)y=( 师:用多媒体演示函数图 象,揭示函数 y=2x,y=log2x 图象间的关系及函数 y=( 由 特 殊 到 一 般, 培

1 x ) ,y=log 1 x. 2 2

养 学 1 x ) ,y=log 1 x 图象间 2 2 生 的 观察、 归纳、 概 括 ( 1 ) 函 数 y=2x 和 的 能 力.

的关系. 学生讨论总结如下结 论.

2.当 a>0,a≠1 时,函数 y=ax,y=logax 的图象之间有什么关系?

y=log2x 的图象关于直线 y=x 对称; ( 2 )函数 y= (

1 x ) 2

和 y=log 1 x 的图象也关于直
2

对数函数图象有以下特征 图象的特征 (1)图象都在 y 轴的右边 (2)函数图象都经过(1,0)点 (3)从左往右看,当 a >1 时,图象 逐渐上升,当 0< a <1 时,图象逐渐 下降 . (4)当 a >1 时,函数图象在(1,0) 点右边的纵坐标都大于 0,在(1,0) 点左边的纵坐标都小于 0. 当 0< a <1 时,图象正好相反,在( 1, 0)点右 边的纵坐标都小于 0,在(1,0)点左 边的纵坐标都大于 0 .

线 y=x 对称. 一般地,函数 y=ax 和 y=logax(a>0,a≠1)的图 象关于直线 y=x 对称.

师生共同分析所画的 两组函数的图象,总结归纳 对数函数图象的特征,进一 步推出对数函数性质. 掌 握 对 数 函 数 图 象 特 征, 以 及 性 质.

对数函数有以下性质
0<a<1 a>1

图 象

定义 (0,+∞) 域 值域 性 R (1)过定点(1,0) ,即 x=1 时,y=0



(2)在(0,+∞) (2)在(0,+∞)上是 上是减函数 增函数

应用 举例

例 1 求下列函数的定义域: (1)y=logax2; (2)y=loga x ? 1 (a>0,a≠1).

例 1 分析:求函数定义 域时应从哪些方面来考 虑? 学生回答:①分母不能 为 0;②偶次根号下非负; ③0 的 0 次幂没有意义. ④若函数解析式中含 有对数式,要注意对数的真 数大于 0. (师生共同完成该题 解答,师规范板书) 解: ( 1) 由 x2>0, 得 x≠0. ∴函数 y=logax2 的定义 域是{x|x≠0}. (2)由题意可得
x ? 1 > 0 ,又∵偶次根号

掌 握 对 数 函 数 知 识 的 应用.

下非负, ∴x-1>0,即 x>1. 例 2 求证: 函数 f (x) =lg

1? x 是奇函数. 1? x

∴函数 y=loga x ? 1 (a >0,a≠1)的定义域是{x|x >1}.

小结:求函数的定义域 的本质是解不等式或不等 式组.

例 2 分析:根据函数奇 偶性的定义来证明. 证明: 设( f x) =lg 由

1? x , 1? x

1? x >0, 1? x
得 x∈(-1,1) ,即函

数的定义域为(-1,1) , 又对于定义域 (-1, 1) 例 3 溶液酸碱度的测量. 溶液酸碱度是通过 pH 刻画的.pH 的计算 公式为 pH=-lg[H+] ,其中[H+]表示溶液 中氢离子的浓度,单位是摩尔/升. (1)根据对数函数性质及上述 pH 的计 算公式, 说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓 度之间的变化关系; (2) 已知纯净水中氢离子的浓度为 [H+] =10
-7

内的任意的 x, 都有 f(-x)=lg =-lg

1? x 1? x

1? x =-f(x) , 1? x 1? x 是 1? x

所以函数 y=lg 奇函数.

注意:函数奇偶性的判 定不能只根据表面形式加 以判定,而必须进行严格的 演算才能得出正确的结论.

摩尔/升,计算纯净水的 pH.

例 3 解:根据对数的运

算性质,有 pH=-lg[H+] =lg[H+] 1=lg


1 [H ? ]

.

在( 0,+∞)上,随着
1 [ H+] 的增大, ? 减小, [H ]

课堂练习 课本第 85 页练习 1,2.

相应地, lg 即 pH 减小 .

1 [H ? ]

也减小,

所以,随着[H+]的增 大,pH 减小,即溶液中氢 离子的浓度越大,溶液的酸 度就越小. ( 2 )当[ H+ ] =10 时, pH= - lg10 净水的 pH 是 7. 事实上,食品监督监测 部门检测纯净水的质量时, 需要检测很多项目,pH 的 检测只是其中一项 . 国家标 准规定,饮用纯净水的 pH 应该在 5.0~7.0 之间.
-7 -7

,所以纯

课堂练习答案

1. 函 数

y=log3x 及

y=log 1 x 的图象如图所示.
3

相同点:图象都在 y 轴 的右侧,都过点(1,0). 不同点: y=log3x 的图象 是上升的,y=log 1 x 的图象
3

是下降的. 关 系 : y=log3x
3



y=log 1 x 的图象关于 x 轴对 称. 2.(1) (-∞,1) ; (2) (0, 1) ∪ (1, +∞) ; (3) (-∞,

1 ) ; 3

(4) [1,+∞).

归纳 总结

1.对数函数的定义. 2.对数函数的图象和性质.

学生先自回顾反思,教师点 评完善.

形 成 知 识

体系. 课后 作业 作业:2.2 第四课时 习案 学生独立完成 巩 固 新知 提 升 能力

2.2.2 对数函数及其性质(二)
(一)教学目标 1.知识技能 (1)掌握对数函数的单调性. (2)会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较. 2.过程与方法 (1)通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法. (2)培养学生的数学应用的意识. 3.情感、态度与价值观 (1)用联系的观点分析、解决问题. (2)认识事物之间的相互转化. (二)教学重点、难点 1、重点:利用对数函数单调性比较同底对数大小. 2、难点:不同底数的对数比较大小. (三)教学方法 启发式教学 利用对数函数单调性比较同底对数的大小,而对数函数的单调性对底 数分 a ? 1 和 0 ? a ? 1 两种情况,学生应能根据题目的具体形式确定所要

考查的对数函数;如果题目中含有字母,即对数底数不确定,则应该分两 种情形讨论. 对于不同底数的对数大小的比较,应插入中间数,转化为两组同底数 的对数大小的比较,从而使问题得以解决. (四)教学过程

教学

教学内容

师生互动

设计意 图

环节 复习 回顾对数函数的定义、图象、性质. 师:上一节,大家学习了 对数函数 y=logax 的图象和性 引入 为学习 新课作

质,明确了对数函数的单调性, 好了知 即当 a>1 时,在(0,+∞)上 是增函数;当 0<a<1 时,在 (0,+∞)上是减函数.这一节, 我们主要通过对数函数的单调 性解决有关问题. 识上的 准备.

应用

例 1 比较下列各组数中两个值的 大小: (投影显示)

例 1 解: ( 1 )对数函数 y=log2x 在(0,+∞)上是增函 数,且 3.4<3.8. 于是 log23.4<log23.8. (2)对数函数 y=log0.5x 在 (0,+∞)上是减函数,且 1.8 <2.1, 于是 log0.51.8>log0.52.1. (3)当 a>1 时,对数函 数 y=logax 在(0,+∞)上是增 函数, 于是 loga5.1<loga5.9; 当 0<a<1 时,对数函数 y=logax 在(0,+∞)上是减函 数, 于是 loga5.1>loga5.9. (4)因为函数 y=log7x 和 函数 y=log6x 都是定义域上的增 函数, 所以 log75<log77=1=log66 <log67. 所以 log75<log67. 小结:本例是利用对数函

掌握对 数函数 知识的 应用.

举例

(1)log23.4,log23.8; (2)log0.51.8,log0.52.1; (3)loga5.1,loga5.9; (4)log75,log67. 请同学们回顾一下我们利用指数函 数的有关性质比较大小的方法和步骤, 并 完成以下练习 . (生板演前三题,师组织学生进行课 堂评价,师生共同讨论完成第四题)

数的单调性来比较两个对数式 的大小的问题,一般是根据所 给对数式的特征,确定一个目 标函数,把需要比较大小的对 数式看作是对应函数中两个能 比较大小的自变量的值对应的 函数值,再根据所确定的目标 函数的单调性比较两个对数式 例 2 判断函数 f(x)=ln( 1 ? x 2 -x)的奇偶性. 的大小.当底数为变量时,要分 情况对底数进行讨论来比较两 个对数的大小. 若题中所给的对数式的底 数和真数都不相同时,可以找 一个中间量作为桥梁,通过比 较中间量与这两个对数式的大 小来比较对数式的大小,一般 选择 ―0‖ 或 ―1‖ 作为中间量进行 比较.

例 2 解:∵ x 2 ? 1 >x 恒 成立, 故(x)的定义域为(-∞, +∞) ,

又 ∵f ( - x ) =ln ( 1 ? x 2 +x) =-ln
1 1 ? x2 ? x
1 ? x2 ? x ( 1 ? x2 )2 ? x2

=-ln

=-ln( 1 ? x 2 -x) =-f(x) , ∴f(x)为奇函数. 在根据函数的单调性的定 义判断函数单调性的时候,首 例 3(1)证明函数 f(x)=log2(x2+1) 在(0,+∞)上是增函数; (2)问:函数 f(x)=log2(x2+1) 在(-∞,0)上是减函数还是增函数? 先应该根据函数的解析式确定 函数的定义域,当所给函数的 定义域关于原点对称时,再判 断 f(x)和 f(-x)之间的关系. f(x)为奇函数 ? f(-x)=-f(x) ? f(x)+f(-x)=0 ?
f (? x) =-1〔f(x)≠0〕 , f ( x)

f(x)为偶函数 ? f(-x) =f(x) ?

f(-x)-f(x)=0 ?
f (? x) =1〔f(x)≠0〕. f ( x)

在解决具体问题时,可以 根据函数解析式的具体特点选 择不同的方式来判断.

例 3 分析:此题目的在于 让学生熟悉函数单调性证明通 法,同时熟悉利用对数函数单 例 4 已知 f(logax)= >0,且 a≠1. (1)求 f(x) ; (2)求证:f(x)是奇函数; (3)求证:f(x)在 R 上为增函数.
a ( x 2 ? 1) x(a 2 ? 1)

,其中 a

调性比较同底数对数大小的方 法. (1) 证明: 设 x1、 x2∈ (0, +∞) ,且 x1<x2, 则 f ( x1 )- f ( x2 ) =log2 (x12+1)-log2(x22+1) , ∵0<x1<x2, ∴x12+1<x22+1. 又∵y=log2x 在(0,+∞) 上是增函数, ∴log2 ( x12+1 ) < log2 (x22+1) , 即 f(x1)<f(x2). ∴函数 f(x)=log2(x2+1)

在(0,+∞)上是增函数. (2)解:是减函数,证明 可以仿照上述证明过程. 小结:利用定义证明函数 的单调性是研究单调性问题的 重要方法.

例 4 分析:利用换元法, 可令 t=logax,求出 f(x) ,从而 求出 f(x).证明奇函数及增函 数可运用定义. ( 1 )解:设 t=logax ,则 t∈R, ∴x=at(x>0). 则 f(t)= 课堂练习 课本 P85 练习 3.
a(a 2t ? 1) a t (a 2 ? 1)


=

a a ?1
2

(at-a t).

(2)证明:∵f(-x) =

a
2

a ?1 a - =- 2 (ax-a x) a ?1
=-f(x) ,

(a x-ax)


∴f(x)为奇函数. (3)证明:设 x1、x2∈R, 且 x1<x2,则 f(x2)-f(x1) =

a a ?1
2

[
- x2

(a x 2 -a
- x1

)-(a x1 -a

) ] =

a a ?1
2

[(a x 2 -a x1 )+a



x1

a



x2

(a x 2 -a x1 ) ]

=
- x1

a a ?1
).
2

(a x 2 -a x1 ) (1+a

a

- x2

若 0<a<1,则 a2-1<0, a x1 >a x 2 , ∴f ( x2 )> f ( x1 ) .∴y=f (x)在 R 上为增函数; 若 a>1, 则 a2-1>0,a x1 <a x 2 . ∴f ( x2 )> f ( x1 ) .∴y=f (x)在 R 上为增函数. 综上,a>0,且 a≠1 时, y=f(x)是增函数.

课堂练习答案: (1)< (2)< (3)> (4)>

归纳 总结

通过本节的学习,大家要掌握利用对

学生先自回顾反思,教师点评

形成知 识 系. 体

数函数的增减性比较两对数大小的方法, 完善. 并能掌握分类讨论思想.

课后 作业

作业:2.2 第五课时 习案

学生独立完成

巩固新 知 提升能 力

2.2.2 对数函数及其性质(三)
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)了解反函数的概念,加深对函数思想的理解. (2)能根据对数函数的图象,画出含有对数式的函数的图象,并研 究它们的有关性质.

2.过程与方法 (1)熟练利用对数函数的性质进行演算,通过交流,使学生学会共 同学习. (2)综合提高指数、对数的演算能力. (3)渗透运用定义、数形结合、分类讨论等数学思想. 3. 情感、态度、价值观 (1)用联系的观点分析、解决问题. (2)认识事物之间的相互转化. (3)加深对对数函数和指数函数的性质的理解,深化学生对函数图 象变化规律的理解,培养学生数学交流能力. (二)教学重点、难点 重点:对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应 用. 难点:反函数概念的理解. (三)教学方法 通过对应关系与图象的对称性, 理解同底的对数函数与指数函数互为 反函数. (四)教学过程

教学

教学内容

师生互动

设计 意图

环节 复习 1.复习函数及反函数的定义域、值域、 图象之间的关系. 老师提问,学生回答. 为学习 新知作

引入

2.指数式与对数式比较. 3.画出函数 y=2x 与函数 y=log2x 的图象.

准备.

形成

反函数概念 指 数函数 y=ax ( x∈R )与 对数函 数

师: 在指数函数 y=2x 中, 理解反 x 为自变量(x∈R) ,y 是 x 的函数(y∈(0,+∞) ) ,而 且它是 R 上的单调递增函数. 可以发现, 过 y 轴正半轴上任 意一点作 x 轴的平行线,与 y=2x 的图象有且只有一个交 点.另一方面,根据指数与对 数的关系,由指数式 y=2x 可 得到对数式 x=log2y.这样,对 于任意一个 y∈(0,+∞) , 通过式子 x=log2y,x 在 R 中 都有唯一确定的值和它对应. 也就是说, 可以把 y 作为自变 量,x 作为 y 的函数,这时我 们就说 x=log2y (y∈ (0, +∞) ) 是函数 y=2x(x∈R)的反函 数. 师:请同学仿照上述过 程,说明对数函数 y=logax(a 函数的 概念.

概念

y=logax(x∈(0,+∞) )互为反函数.

>0, 且 a≠1) 和指数函数 y=ax (a>0, 且 a≠1) 互为反函数. 生:在函数 x=logay 中, y 是自变量,x 是函数.但习惯 上,我们通常用 x 表示自变 量, y 表示函数.为此, 我们常 对调函数 x=logay 中的字母 x、 y,把它写成 y=logax.这样, 对数函数 y=logax(x∈(0,
x +∞) ) 是指数函数 y=a ( x∈R)

的反函数. 课堂练习: 求下列函数的反函数: (1)y=0.2 x+1;


由上述讨论可知,对数 函数 y=logax(x∈(0,+∞) ) 是指数函数 y=ax(x∈R)的 反函数; 同时, 指数函数 y=ax ( x∈R ) 也 是 对 数 函 数 y=logax(x∈(0,+∞) )的反 函数 . 因此,指数函数 y=ax (x∈R)与对数函数 y=logax (x∈ (0, +∞) ) 互为反函数.

(2)y=loga(4-x).

课堂练习答案 (1) y ? log5 ( x ? 1) ;

(2) y ? 4 ? a x 应用 举例 例 1 已知函数 y=loga(1-ax) (a>0,a≠1). (1)求函数的定义域与值域; (2)求函数的单调区间; (3)证明函数图象关于 y=x 对称. 例 1 分析:有关于对数 函数的定义域要注意真数大 于 0;函数的值域取决于 1- ax 的范围,可应用换元法, 进一步 掌握对 数函数 的 应

令 t=1-ax 以减小思维难度; 用. 运用复合函数单调性的判定 法求单调区间;函数图象关 于 y=x 对称等价于原函数的 反函数就是自身,本题要注 意对字母参数 a 的范围讨论. 解: ( 1 ) 1 - ax > 0 ,即 ax<1, ∴a>1 时, 定义域为 (- ∞,0) ;0<a<1 时,定义域 为(0,+∞). 令 t=1-ax,则 0<t<1, 而 y=loga(1-ax)=logat. ∴a>1 时,值域为(- ∞,0) ;0<a<1 时,值域为 (0,+∞). (2)∵a>1 时,t=1- ax 在(-∞,0)上单调递减,

y=logat 关于 t 单调递增, ∴y=loga(1-ax)在(- ∞,0)上单调递减. ∵0 < a <1 时, t=1 - ax 在(0,+∞)上单调递增,而 y=logat 关于 t 单调递减, ∴y=loga(1-ax)在(0, +∞)上单调递减. (3)∵y=loga(1-ax) , 掌握根 例 2 已知函数 f(x)=(

1 x ) (x>0) 2

∴ay=1-ax. ∴ax=1 - ay , x=loga ( 1 -ay). ∴反函数为 y=loga(1- ax) ,即原函数的反函数就是 自身. ∴函数图象关于 y=x 对 称.

据奇偶 性求函 数表达 式.

和定义在 R 上的奇函数 g(x).当 x>0 时, g(x)=f(x) ,试求 g(x)的反函数.

例 2 分析:分段函数的 反函数应注意分类讨论.由于 f(x)为奇函数,故应考虑 x >0,x<0,x=0 三种情况.

解:∵g(x)是 R 上的 奇函数, ∴g(-0)=-g(0) ,g (0)=0. 设 x<0,则-x>0,∴g (-x)=(

1 -x ) . 2

∴g ( x ) = - g (- x ) = -(

1 -x ) =-2x. 2
x ? 0, x ? 0, x ? 0.

? 1 x ?( 2 ) , ? ? ∴g (x) = ?0, ? ? x ? ?? 2 ,

当 x>0 时,由 y=(
x

1 ) 2

掌握函 数图象 之间的 变换关 系

得 0<y<1 且 x=log 1 y,
2

例 3 探究函数 y=log3(x+2)的图象与 函数 y=log3x 的图象间的关系.

∴g (x)=log 1 x(0<x
2

-1

<1=; 当 x=0 时,由 y=0,得 g
-1

(x)=0(x=0) ; 当 x<0 时,由 y=-2x, 得-1<y<0,且 x=log2

(-y) ,

∴g 1(x)


=log2(-x) (-1<x<0 =. 综上,g(x)的反函数为 g


1



x



0 ? x ? 1, ?log 1 x, ? 2 ? ? x ? 0, = ?0, ? ? ? ?log2 (? x), ? 1 ? x ? 0.

例 3 分析:函数的图象 实际上是一系列点的集合, 因此研究函数 y=log3 ( x+2)的图象与函数 y=log3x 的图象间的关系可以 转化为研究两个函数图象上 对应点的坐标之间的关系 . 解:将对数函数 y=log3x 的图象向左平移 2 个单位长 度, 就得到函数 y=log( 3 x+2) 的图象. 小结:由函数 y=f(x)的 图象得到函数 y=f(x+a)的

图象的变化规律为: 当 a>0 时,只需将函数 y=f(x)的图象向左平移 a 个 单位就可得到函数 y=f(x+a) 的图象; 当 a<0 时,只需将函数 y=f ( x )的图象向右平移 |a| 个 单 位 就 可 得 到 函 数 y=f (x+a)的图象. (2)由函数 y=f(x)的 图象得到函数 y=f(x)+b 的 图象的变化规律为: 当 b>0 时,只需将函数 y=f(x)的图象向上平移 b 个 单位就可得到函数 y=f(x) +b 的图象; 当 b<0 时,只需将函数 y=f ( x )的图象向下平移 |b| 个单位就可得到函数 y=f(x) +b 的图象.

归纳 总结

( 1 )指数函数与对数函数互为反函 数,其图象关于直线 y=x 对称.

学生先自回顾反思,教师点 评完善.

形成知 识 体

(2)求对数函数的定义域、值域、单 调区间、及奇偶性的判定都依赖于定义法、 数形结合及函数本身的性质 .应熟练掌握对 数函数的相关性质 .

系.

课后 作业

作业:2.2 第六课时 习案

学生独立完成

巩固新 知 提升能 力

2.3 幂函数
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解幂函数的概念,会画幂函数 y=x,y=x ,y=x ,y=x ,y=x 的图象. (2)结合这几个幂函数的图象,理解幂函数图象的变化情况和性质. 2.过程与方法 (1)通过观察、总结幂函数的性质,培养学生概括抽象和识图能力. (2)使学生进一步体会数形结合的思想. 3. 情感、态度、价值观 (1)通过生活实例引出幂函数的概念,使学生体会到数学在实际生 活中的应用,激发学生的学习兴趣. (2)利用计算机,了解幂函数图象的变化规律,使学生认识到现代
2 3
-1

1 2

技术在数学认知过程中的作用,从而激发学生的学习欲望. (二)教学重点、难点 重点:常见幂函数的概念、图象和性质. 难点:幂函数的单调性及比较两个幂值的大小. (三)教学方法 采用师生互动的方式,由学生自我探索、自我分析,合作学习,充分 发挥学生的积极性与主动性. 利用实物投影仪及计算机辅助教学. (四)教学过程

教学

教学内容

师生互动

设计意图

环节 复习 (多媒体显示以下 5 个问题,同时附 学生阅读、思考、 培养学生

注相关图象,每个问题的结论由学生说出, 交流、 口答, 教师板演. 的 观 察 、 引入 然后再在多面体屏幕上弹出) 问题 1:如果张红购买了每千克 1 元的 师:观察上述例子 中函数模型,这几个函 归纳、概 括能力,

蔬菜 w 千克, 那么她需要付的钱数 p=w 元, 数表达式有什么共同特 这里 p 是 w 的函数. 问题 2:如果正方形的边长为 a,那么 正方形的面积 S=a2,这里 S 是 a 的函数. 问题 3:如果正方体的边长为 a,那么 正方体的体积 V=a3,这里 V 是 a 的函数. 征? 生:解析式的右边 都是指数式,且底数都 是变量 . 变量在底数位 置,解析式右边又都是

问题 4:如果正方形场地的面积为 S, 那么正方形的边长 a=S ,这里 a 是 S 的函 数. 问题 5:如果某人 t s 内骑车行进了 1 km,那么他骑车的平均速度 v=t 里 v 是 t 的函数.
-1

幂的形式,我们把这种 函数叫做幂函数. (引入新课,书写 课题)

1 2

km/s,这

形成

幂函数的定义 一般地,形如 y ? x? ( x ?R)的函数

师:请同学们举出 几个具体的 幂函数. 生 :
1 ?

理解 幂函数的 定义.

概念

称为幂函数,其中 x 是自变量, ? 是常数.


1 4

y ? x2 , y ? x 3 , y ? x

等都是幂函数,幂函数 与指数函数,对数函数 一样,都是基本初等函 数.

深化

1.研究幂函数的图像 (1) y ? x

引导学生用列表描 点法,应用函数的

概念

(2) y ? x 2 (3) y ? x (4) y ? x
2

1

性质,如奇偶性, 定义域等,画出函 数图像,最后,教

?1

师利用电脑软件画

(5) y ? x3 2.通过观察图像,填 P86 探究中的表格

出以上五个数数的 图像. 探 究 幂 函y ? x 数 的 性 质y ? x 2
2

y?x
定义域 奇偶性 在第Ⅰ象 限单调增 减性 定点 R 奇 在第Ⅰ象 限单调递 增 (1,1)

y ? x2
R
-5

4

1

和图像的
5 10

y=x3 y=x-1
15


-2

变 化 规 0 律,

在第Ⅰ象
-4

限单调递
-6


-8

(1,1)

-10

让学生通过观察图 像,分组讨论,探

y ? x3
R 奇 在第Ⅰ象 限单调递 增 (1,1)

y?x

1 2

y ? x ?1

究幂函数的性质和 图像的变化规律, 教师注意引导学生

?x | x ? 0? ?x | x ? 0?
非奇非偶 在第Ⅰ象 限单调递 增 (1,1) 奇 在第Ⅰ象 限单调递 减 (1,1)

用类比研究指数函 数,对函数的方法 研究幂函数的性 质.

3.幂函数性质 (1)所有的幂函数在( 0,+∞)都有 定义,并且图象都过点(1 , 1 ) (原因:

1x ? 1) ;

(2) x >0 时,幂函数的图象都通过 原点,并且在[0,+∞]上,是增函数(从左 往右看,函数图象逐渐上升). 特别地,当 x >1, x >1 时, x ∈(0, 1) , y ? x2 的图象都在 y ? x 图象的下方, 形状向下凸越大,下凸的程度越大(你能 找出原因吗?) 当 0<α<1 时, x ∈(0,1) ,y ? x 的 图象都在 y ? x 的图象上方,形状向上凸, α 越小,上凸的程度越大(你能说出原因 吗?) (3) α<0 时, 幂函数的图象在区间 (0, +∞)上是减函数. 在第一家限内,当 x 向原点靠近时,图 象在 y 轴的右方无限逼近 y 轴正半轴, 当x 慢慢地变大时, 图象在 x 轴上方并无限逼近
?

x 轴的正半轴.
应用 例 1 求下列幂函数的定义域,并指 出其奇偶性、单调性. 举例 (1)y=x ; (2)y=x
2 5 ? 3 4

例 1 分析:解决有 关函数求定义域的问题

掌握幂函 数知识的 应用.

; (3)y=x 2.


时,可以从以下几个方 面来考虑,列出相应不 等 式 ( 组) , 解不 等式 (组)即可得到所求函

数的定义域. ①若函数解析式中 含有分母,分母不能为 0; ②若函数解析式中 含有根号,要注意偶次 根号下非负; ③0 的 0 次幂没有意 义; ④若函数解析式中 含有对数式,要注意对 数的真数大于 0. 解: (1) 函数 y=x , 即 y= 5 x 2 ,其定义域为 R,是偶函数,它在[0, +∞) 上单调递增, 在 (- ∞,0]上单调递减. 例 2 证明幂函数 f (x) = x在 [0, +∞) 上是增函数. 请同学们回顾一下如何证明一个函数 是增函数,然后请一个学生作答,师板书. (0,+∞) ,它既不是奇 函数,也不是偶函数, (2)函数 y=x 即 y=
1
4
? 3 4 2 5



x3

, 其定义域为

它在(0,+∞)上单调递 减. (3)函数 y=x 2,


即 y=

1 x2

,其定义域为

(-∞,0)∪(0,+∞) , 是偶函数.它在区间(- ∞ , 0 )和( 0 , +∞ )上 都单调递减.

例 2 证明:设 0≤x1 <x2, 合作探究: 【例 3】 比较下列各组数的大小: (1)1.5 ,1.7 ,1;
2 2 4 1 3 1 3

则 f(x1)-f(x2) = x1 - x2 =

? 2 ?3 10 (2) (- ) , (- )3 , 1.1 3 ; ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) 2 7 x1 ? x2
?

(3)3.8

2 3

,3.9 , (-1.8) ;

2 5

3 5

=

x1 ? x 2 x1 ? x 2



(4)31.4,51.5.

因为 x1- x 2< 0,

x1 + x2 > 0,
所以 ( f x1) <( f x2) , 即 幂 函 数 f( x)

= x在 [0,+∞)上是增函数. 小结:以上是用作 差法证明函数的单调 性,还可以用作商法证 明函数的单调性,作简 要分析,提出注意点: 在证得
f ( x1 ) <1 后, 要 f ( x2 )

比较 f(x1)与 f(x2)的 大小,要注意分母的符 号. 例 3 分析:比较两 个或多个数值的大小, 一般情况下是将所要比 较的两个或多个数值转 化为比较某一函数的不 同函数值的大小问题, 进而根据所确定的函数 的单调性,比较自变量 的大小即可.若所给的数 值不能转化为比较同一 函数的不同函数值的大 小问题,可以找出中间

量来作为桥梁间接地进 行比较,确定出它们的 大小关系,一般情况下 是根据具体情况选择常 数 ―1‖―- 1‖或 ―0‖这些数 作为中间量来进行比较. 解: ( 1 )∵所给的
1 三个数之中 1.5 3



1 1.7 3

的指数相同,且 1 的任 何次幂都是 1,因此,比 较幂
1 1.5 3 1 、1.7 3

、1 的
1 3

大 小 就 是 比 较 1.5 、 1.7 、1 的大小,也就 是比较函数
1 y=x 3 1 3 1 3

中,当

自变量分别取 1.5 、 1.7 和 1 时对应函数值的大 小关系,因为自变量的 课堂练习 1.下列函数中,是幂函数的是
1

值的大小关系容易确
1

定,只需确定函数 y=x 3 的单调性即可,又函数
1

A.y=-x 2

B.y=3x2 D.y=2
x

1 C.y= x

y=x 3 在( 0 , +∞ )上单

2.下列结论正确的是 A.幂函数的图象一定过(0,0)和 (1,1) B.当 α<0 时,幂函数 y=xα 是减函数 C.当 α>0 时,幂函数 y=xα 是增函数 D.函数 y=x 既是二次函数, 也是幂函数 3.函数 y=x 的图象大致是
3 5

调递增, 且 1.7>1.5>1, 所以
1 1.7 3 1 >1.5 3

>1.
? 2 3

2 (2) (- ) 2
? 2 ( ) 3, 2 2

=

2

10 7 (- ) 3 =( ) 7 10
? 2 3

2

, 1.1
? 4 3 2 3

=[ ( 1.1 ) 2 ] .
? 2 3

?

2 3

?

=1.21

∵幂函数 y=x 4.幂函数 f(x)=ax
m 2 ?8 m



(0,+∞)上单调递减, (m∈Z)的图 且
2 7 < <1.21, 2 10

象与 x 轴和 y 轴均无交点, 并且图象关于原 点对称,求 a 和 m.

7 ∴( ) 10
2 ( ) 2
? 2 3

?

2 3



?

>1.21 即 (-

2 3


2

10 3 ) > (- 7

2 ) 2

?

2 3

>1.1

?

4 3

.

(3)利用幂函数和 指数函数的单调性可以 发现 0<3.8
? 2 3

<1, 3.9

2 5

3 5 >1, (-1.8)

<0,从

而可以比较出它们的大 小. (4)它们的底和指 数也都不同,而且都大 于 1, 我们插入一个中间 数 31.5,利用幂函数和指 数函数的单调性可以发 现 31.4<31.5<51.5. 小结: ( 1 )当底数 相异,指数相同的数比 较大小,可以转化为比 较同一幂函数的不同函 数值的大小问题,根据 函数的单调性,只要比 较自变量的大小就可以

了. (2)当底和指数都 不同,插入一个中间数, 综合利用幂函数和指数 函数的单调性来比较. 课堂练习答案: 1. C 2. D 3. D 4. a=1,m=1, 3,5,7.

归纳 总结

1. 幂函数的概念以及它和指数函数表 达式的区别. 2.常见幂函数的图象和性质. 3.幂值的大小比较方法.

学生先自回顾反思,教 师点评完善.

形成知识 体系.

课后 作业

作业:2.3 第一课时 习案

学生独立完成

巩固新知 提升能力

3.1.1 方程的根与函数的零点
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解函数零点的意义,了解函数零点与方程根的关系. (2)由方程的根与函数的零点的探究,培养转化化归思想和数形结 合思想.

2.过程与方法 由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与 x 轴的交点情况分析, 导入零点的概念,引入方程的根与函数零点的关系,从而培养学生的转化 化归思想和探究问题的能力. 3.情感、态度与价值观 在体验零点概念形成过程中,体会事物间相互转化的辨证思想,享受 数学问题研究的乐趣. (二)教学重点与难点 重点:理解函数零点的概念,掌握函数零点与方程根的求法. 难点:数形结合思想,转化化归思想的培养与应用. (三)教学方法 在相对熟悉的问题情境中,通过学生自主探究,合作交流中完成的学 习任务.尝试指导与自主学习相结合. (四)教学过程 教学 环节 复习 引入 教学内容 观察下列三组方程与函数 方 程 函 数 y=x2–2x–3 y=x2–2x+1 y=x2–2x+3 x2–2x–3 = 0 x2–2x+1 = 0 x2–2x+3 = 0 师生合作 师:方程 x2 – 2x –3 = 0 的根为–1,3 函数 y = x2 – 2x – 3 与 x 轴交于点(–1, 0) (3,0) 生:x – 2x + 1 = 0 有相等根为 1.
2 2

师生互动

设计意图

以旧引 新,导入课

利用函数图象探究方程的根与 函数图象与 x 轴的交点之间的 关系 1.零点的概念 对于函数 y=f (x),称使 y=f (x)= 0 的实数 x 为函数 y=f (x)的零点 2.函数的零点与方程根的关系 概念 形成 方程 f (x) = 0 有实数根 ? 函数 y = f (x)的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y = f (x)的零点 3.二次函数零点的判定 对于二次函数 y = ax + bx + c 与二次方程 ax2 + bx + c,其判
2

函数 y= x – 2x + 1 与 x 轴有唯一交点 题 (1,0). x2 – 2x + 3 = 0 没有实根 函数 y = x2 – 2x + 3 与 x 轴无交点 师:我们通俗地称函数与 x 轴交点的横 坐标为函数的零点 , 请同学归纳零点 的定义 师:考察函数①y = lgx ②y = lg2(x + 1) ③y = 2 ④y = 2 – 2 的零点 生:①y = lgx 的零点是 x = 1 ②y = lg2(x + 1)的零点是 x=0 ③y = 2x 没有零点 ④y = 2x – 2 的零点是 x = 1
x x

归纳总结 感知概念 分析特征 形成概念

别式△= b2 – 4ac
判别 方程 ax2 + bx 函数 y = ax2 + 式 + c = 0 的根 bx + c 的零点 一个零点 0 个零点 △>0 两不相等实根 两个零点 △=0 两相等实根 △<0 没有实根

师生合作,学生口答,老师点评,阐 述 概念 深化 引导学生回答下列问题 ①如何求函数的零点? ②零点与图象的关系怎样? 生①零点即函数为零对应的自变量的 值,零点即对应方程的根 ②零点即函数图象与 x 轴交点的横坐 标 ③求零点可转化为求方程的根 练习 1.求函数 y = –x2 – 2x + 3 的 零点,并指出 y>0,y = 0 的 x 的取值范围 练习 2.求函数 y =x – 2x – x + 2 的零点,并画出它的图象
3 2

以问题讨论 代替老师的 讲援

学生自主尝试练习完成练习 1、2、3 生:练习 1 解析:零点–3,1 x∈(–3,1)时 y>0
x ? (??,3) ? (1, ??) 时 y<0

练习 2 解析: 因为 x3–2x2–x+2 = x2 (x – 2) – (x – 2) = (x–2) (x2–1) = (x – 2) (x – 1) (x + 1), 所以已知函数的零点为–1,1,2. 让学生动手 3 个零点把 x 轴分成 4 个区间: 练习或借助 (??, ?1] ,[–1,1],[1,2], [2, ??) 多媒体演 在这 4 个区间内,取 x 的一些值(包 示,加深对 括零点) ,列出这个函数的对应值表: 概念的说
x ? –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 ? 明,培养思 y ? –4.38 0 1.88 2 1.13 0 –0.63 0 2.63 ?

应用 举例

维能力

在直角坐标系内描点连线,这个函数 的图象如图所示

练习 3.利用函数图象判断下列 方程有没有根,有几个根: (1) –x2+3x+5 = 0; (2) 2x (x–2) = –3; (3)x2 = 4x – 4; (4)5x2+2x=3x2+5. 练习 3 解析: (1) 令 f (x) = –x2 + 3x + 5, 作出函数 f (x)的图象,它与 x 轴有两 个交点,所以方程–x2 + 3x + 5 = 0 有 两个不相等的实数根. (2) 2x (x – 2) = –3 可化为 2x2–4x+3=0 令 f (x) = 2x2–4x+3 作出函数 f (x)的图 象,它与 x 轴没有交点,所以方程 2x (x – 2) = –3 无实数根 (3) x2 = 4x – 4 可化为 x2 – 4x + 4 = 0, 令 f (x) = x2 – 4x + 4,作出函数 f (x)的 图象, 它与 x 轴只有一个交点 (相切) , 所以方程 x2 = 4x – 4 有两个相等的实 数根 (4) 5x2+2x=3x2+5 可化为 2x2 + 2x – 5 = 0,令 f (x) = 2x2 + 2x–5,作出函数 f (x)的图象,它与 x 轴有两个交点,所 以方程 5x2+2x=3x2+5 有两个不相等的 实数根

师:点评板述练习的解答过程 (1)知识方面 零点的概念、求法、判定 归纳 总结 (2)数学思想方面 函数与方程的相互转化, 即转化 思想 借助图象探寻规律, 即数形结合 思想 课后 作业 固化知 3.1 第一课时 习案 学生独立完成 识,提升能 力 学生归纳,老师补充、点评、完善 回顾、 反思、 归纳知识, 提高自我整 合知识的能 力

3.1.2 函数零点的存在性定理
(一)教学目标 1.知识与技能 体验零点存在性定理的形成过程,理解零点存在性定理,并能应用它 探究零点的个数及存在的区间. 2.过程与方法 经历由特殊到一般的过程,在由了解零点存在性定理到理解零点存在

性定理,从而掌握零点存在性定理的过程中,养成研究问题的良好的思维 习惯. 3.情感、态度与价值观 经历知识发现、生成、发展、掌握、理解的过程,学会观察问题,发 现问题, 从而解决问题; 养成良好的科学态度, 享受探究数学知识的乐趣. (二)教学重点与难点 重点:掌握零点存在性定理并能应用. 难点:零点存在性定理的理解 (三)教学方法 通过问题发现生疑,通过问题解决析疑,从而获取知识形成能力;应 用引导与动手尝试结合教学法, 即学生自主探究与教师启发, 引导相结合. (四)教学过程 教学 环节 1 .函数零点的概 念 复习 回顾 提出 问题 2 .函数零点与方 程根的关系 3.实例探究 已 知 函 数 y= x2+4x– 5,则其零 点有几个?分别 为多少? 1.探究函数 y = x2 + 4x – 5 的零点所 在区间及零点存 在区间的端点函 示例 探究 引入 课题 数值的正负情况 的关系 师: 引导学生利用图象观察零点的 所在区间,说明区间端一般取整 数. 生:零点–5∈(–6,–4) 零点 1∈(0,2) 且 f (–6)?f (–4)<0 f (0)?f (2)<0 师: 其它函数的零点是否具有相同 规律呢?观察下列函数的零点及 零点所在区间. ①f (x) = 2x – 1, ②f (x) = log2(x – 1) 由特殊 到一般, 归纳一 般结论, 引入零 点存在 性定理 生:口答零点的定义,零点与根的 关系 师:回顾零点的求法 生:函数 y= x2+4x– 5 的零点有 2 个,分别为–5,1 回顾旧 知, 引入新 知 教学内容 师生互动 设计意 图

生:函数 f (x) = 2x – 1 的零点为
1 ? (0,1) 且 f (0) f (1)<0. 2

函数 f (x) = log2(x – 1)的零点 为 2∈(1,3)且 f (1) f (3)<0 零点存在性定理 如果函数 y = f (x) 在区间[a,b]上的 图象是连续不断 的一条曲线,并且 发现 定理 有 f (a)?f (b)<0 那么, 函数 y = f (x) 在区间[a,b]内有 零点,即存在 c∈ (a, b), 使得 f (c) = 0 这个 c 也就是方 程 f (x) = 0 的根 定理的理解 ( 1 )函数在区间 [a,b]上的图象连 续不断,又它在区 间[a,b]端点的函 数值异号,则函数 在[a,b]上一定存 在零点 深化 理解 ( 2 )函数值在区 间[a,b]上连续且 存在零点,则它在 区间[a,b]端点的
? f (0) ? 0 ? f (3) ? 0 函数值可能异号 ? ? ??

推荐相关:

高中数学必修一1.1.1集合的含义及表示导学案

高中数学必修一1.1.1集合的含义表示导学案_数学_高中教育_教育专区。太姥山中学必修一学案 课题:1.1.1 集合的含义表示【课前预习】 一、预习指导 1、 ...


高中数学教案1.1.1集合的含义与表示

高中数学教案1.1.1集合的含义与表示_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学教案1.1.1集合的含义与表示§1.1.1 集合的含义与表示教学目标: 一. 教学目标...


1.1.1《集合的含义与表示》教学设计(人教A版必修1)

1.1.1集合的含义与表示》教学设计(人教A版必修1)_数学_高中教育_教育专区。1.1.1集合的含义与表示》教案【教学目标】 1.了解集合、元素的概念,体会集合...


示范教案(1.1.1集合的含义与表示)

示范教案(1.1.1集合的含义与表示)_初一数学_数学_初中教育_教育专区。集合的含义与表示示范教案(1.1.1 集合的含义与表示)课标要求 1.知识与技能 认识和理解集...


1.1.1集合的含义与表示(教案)(课堂实录)

1.1.1集合的含义与表示(教案)(课堂实录)_数学_高中教育_教育专区。集合的含义与表示(教案)(课堂实录)第1 课时 集合的含义与表示(一)教学目标 1.知识与技能 ...


【教材分析与导入设计】1.1.1集合的含义与表示

www.canpoint.cn 第一章 集合与函数概念 1.1.1 集合的含义与表示 本节教学分析 (1)三维目标 知识与技能 通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”...


人教版数学必修一1.1.1集合的含义和表示

1.1.1 集合的含义表示 【知识点】 :(一)集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到 这些东西,并且能...


1.1.1集合的概念和1.1.2集合的表示方法

1.1.1集合的概念和1.1.2集合的表示方法_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 1.1.1集合的概念和1.1.2集合的表示方法_数学_高中...


苏教版高中数学(必修1)1.1《集合的含义及其表示》word教案

集 合班级:高三 姓名: §1.1 集合的含义及其表示方法主备:黄波 审核:数学组 教学目标:(1) 使学生理解集合的含义,知道常用数集及其记法; (2) 使学生初步...


高中数学《集合-1.1.1集合的含义与表示》说课稿1 新人教A版必修1

1.1.1 集合的含义与表示(1)从容说课 本课是章节第一课,也是同学们刚进入高中阶段的第一课.常言道“良好的开端是成功 的一半” ,本课主要是让学生把生活的...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com