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浙江省2016届高三第一次五校联考数学理


2015 学年浙江省第一次五校联考

数学(理科)试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式:
柱体的体积公式 V=Sh 锥体的体积公式 V= 台体的体积公式 V ?
1 3

其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 Sh
h ( S1 ? S1S 2 ? S 2 )

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高

1 3

其中 S1,S2 分别表示台体的上,下底面积 其中 R 表示球的半径,h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径

球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式 V=
4 3

πR 3

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知全集 U ? R , A ? { y | y ? 2x ? 1} , B ? {x | ln x ? 0} ,则 (CU A) ? B ? ( A. ? B. { x | )

1 ? x ? 1} 2

C. {x | x ? 1}

D. x 0 ? x ? 1 )

?

?

2.设 x ? 0 ,则“ a ? 1 ”是“ x ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3.已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ?

a ? 2 恒成立”的( x

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?
6

) ,把函数 f ( x) 的图象沿 x 轴向左平移
)

? 个单位, 得到函数 g ( x) 的 6

图象.关于函数 g ( x) ,下列说法正确的是( A. 在 [

? ?

, ] 上是增函数 4 2

B. 其图象关于直线 x ? ? D. 当 x ? [0,

?
4

对称

] 时,函数 g ( x) 的值域是 [?1, 2] ? a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.已知 a, b 为平面向量,若 a ? b 与 a 的夹角为 , a ? b 与 b 的夹角为 ,则 ? =( 3 4 b
C. 函数 g ( x) 是奇函数

?

3

)

A.

3 3

B.

6 3

C.
·1·

5 3

D.

6 4

5.设 a、b 是两条不同的直线, ?、? 是两个不同的平面,则下面四个命题中错误 的是( ). .. A. 若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 b // ? C. 若 a ? ? , ? ? ? ,则 a // ? 或 a ? ? B. 若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ? D. 若 a // ? , ? ? ? ,则 a ? ?

6.已知等差数列 ?a n ?的等差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a13 成等比数列,若 a1 ? 1 , S n 为数列 ?a n ?的前 n 项 和,则

2 S n ? 16 的最小值为( an ? 3
B. 3

) C. 2 3 ? 2

A. 4

D.

9 2
*

7. 设数列 {xn } 的各项都为正数且 x1 ? 1 .如图,△ABC 所在平面上的点 Pn (n∈N )均满足

???? ? ???? ? 1 ????? △PnAB 与△PnAC 的面积比为 3∶1,若 (2 xn ? 1) PnC ? Pn A ? xn ?1 Pn B ,则 x5 的值为( 3 A A.31 B.33
C.61 D.63

)

Pn

B 第 7 题图 ? ?5 sin x , 0 ? x ? 2 ? ? 4 8. 已知函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 的偶函数. 当 x ? 0 时, f ( x) ? ? 4 , 1 ? ( )x ? 1 , x ? 2 ? ? 2

C

若关于 x 的方程 [ f ( x)]2 ? af ( x) ? b ? 0 ( a, b ? R ),有且仅有 6 个不同实数根,则实数 a 的取值范围 是( )
5 A. (? , ?1) 2 5 9 B. (? , ? ) 2 4 5 9 9 C. (? , ? ) ? (? , ?1) 2 4 4 9 D. ( ? , -1) 4

第Ⅱ卷

非选择题部分(共 110 分)

二、填空题: (本大题共 7 小题, 前 4 小题每题 6 分, 后 3 小题每题 4 分,共 36 分) . 9. 已 知 ?an ? 为 等 差 数 列 , 若 a1 ? a5 ? a9 ? 8? , 则 ?an ? 前 9 项 的 和 S9 ? ▲ ,

cos(a3 ? a7 ) 的值为
10. 已知 cos(? ?



. ▲ , sin(2? ?

?

1 ) ? ? , ? 为锐角,则 sin 2? = 4 3
·2·

?
3

)= ▲

11.所谓正三棱锥,指的是底面为正三角形,顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥,在正 三棱锥 S ? ABC 中,M 是 SC 的中点, 且 AM ? SB ,底面边长 AB ? 2 2 ,则正三棱锥 S ? ABC 的 体积为 ▲ ,其外接球的表面积为 ▲

12. 若三个非零且互不相等的实数 a , b , c 满足

1 a

?

1 b

?

2 c

,则称 a , b , c 是调和的;若满足

a ? c ? 2b ,则称 a , b , c 是等差的.若集合 P 中元素 a , b , c 既是调和的,又是等差的,则称集
合 P 为“好集”,若集合 M ? x x ≤ 2014, x ? Z ,集合 P ? ?a, b, c? ? M ,则(1)“好集” P 中 的元素最大值为 ▲ [(2)“好集” P 的个数为 ▲ .

?

?

? x ?1 ? 1 ? 13. 设 x, y 满 足 约 束 条 件 : ? y ? x 的可行域为 M .若存在正实数 a ,使函数 2 ? ? ? 2 x ? y ? 10
?x ?? ?x ?? y ? 2a sin ? ? ? cos ? ? ? 的图象经过区域 M 中的点,则这时 a 的取值范围是 ▲ ?2 4? ?2 4?
14. 己知 a ? 0, b ? 0, c ? 1 且 a ? b ? 1, 则 (

a2 ? 1 2 ? 2) ? c ? 的最小值为 ab c ?1



15. 如图,直线 l ? 平面 ? ,垂足为 O ,正四面体 ( 所有棱长都相等的三棱 锥) ABCD 的棱长为 2, C 在平面 ? 内, B 是直线 l 上的动点,当 O 到 AD 的 距离为最大时,正四面体在平面 ? 上的射影面积为 ▲

l

A D

B

?
O C

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知命题 p : x1 , x2是方程x ? mx ?1 ? 0 的两个实根,且不等式 a ? 4a ? 3 ?| x1 ? x2 | 对任意
2 2

m ? R 恒成立;命题 q: 不等式 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 有解,若命题 p ? q 为真, p ? q 为假,求实数 a 的
取值范围.

·3·

17. (本题满分 15 分)
3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , ( x ? R ) 2 2 ? 5? (1)当 x ? [? , ] 时,求函数 f ( x) 的值域. 12 12 ?? (2)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a , b, c ,且 c ? 3, f (C) ? 0 ,若向量 m ? (1,sin A) . ? 与向量 n ? (2,sin B) 共线,求 a , b 的值

已知函数 f ( x) ?

·4·

18.(本小题满分 15 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, AD ? 平面 PDC , PD ? DC , 底面 ABCD 是梯形, AB ∥ DC ,

AB ? AD ? PD ? 1, CD ? 2 (1)求证:平面 PBC ? 平面 PBD ??? ? ;??? ? (2)设 Q 为棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,试确定 ? 的值使得二面角 Q ? BD ? P 为 60?.

19.(本小题满分 15 分)

x2 ? a 已知函数 f ( x) ? x 2 x ? a , g ( x) ? (a?R ) x ?1
(1)求函数 f ( x) 的单调增区间. (2)若 a ? 0, 解不等式 f ( x) ? a (3)若 0 ? a ? 12 , 且对任意 t ? [3,5] , 方程 f ( x) ? g (t ) 在 x ? [3,5] 总存在两不相等的实数根, 求a 的取值范围.

20.(本小题满分 15 分) 已知数列 an ? 1 ?

1 1 1 ? ??? ?n ? N * ? 2 3 n
7 (log ( a ?1) x ? log a x ? 1) 恒成立, 12

(1)若 a ? 1 ,对于任意 n ? 2 ,不等式 a2 n ? an ? 求 x 的取值范围
2 (2)求证: an ?

a ? a a 7 ? ? 2 ? a1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ( n ? N * ) 4 2 3 n? ?

·5·

·6·

2015 学年浙江省第一次五校联考

数学(理科)答案
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容制订相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的题答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容与难 度,可视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部 分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 40 分. 1 D 2 A 3 D 4 B 5 D 6 A 7 A 8 C

二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 36 分. 9.

24?

?

1 2

10.

7 9



7?4 6 18

11.

4 3

,

12?

12. 2012

,

1006

,

13.

[

1 ,?? ) 2 cos 1

14.

4?2 2

15.

1?

2 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 答案: P: ?5 ? a ? 1 ????5 分 Q: a ? ?1 ????10 分 P,Q 一真一假
·7·

??5 ? a ? ?1或a ? 1
17. 解:(1) f ( x) ?

????14 分

3 1 3 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2 2 2 2

? sin(2 x ? ) ? 1 。?????3 分 6 ? 5? ? ? 2? ?x? ∵? ,∴ ? ? 2 x ? ? , 12 12 3 6 3
∴?

?

3 ? 3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ? 0 。 ? sin(2 x ? ) ? 1 ,从而 ? 1 ? 2 6 2 6 3 ,最大值是 0 。?????7 分 2

则 f ( x ) 的最小值是 ? 1 ? (2) f (C ) ? sin(2C ?

? ) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ? ) ? 1 , 6 6 ? ? 11? ? ? ? ∵ 0 ? C ? ? ,∴ ? ? 2C ? ? ,∴ 2C ? ? ,解得 C ? .?????10 分 3 6 6 6 6 2
∵向量 m ? (1, sinA) 与向量 n ? (2, sinB) 共线,∴ sin B ? 2sin A , 由正弦定理得, b ? 2a
2 2

?


2

由余弦定理得, c ? a ? b ? 2ab cos

?
3

,即 a 2 ? b 2 ? ab ? 3



由①②解得 a ? 1, b ? 2 .?????15 分 18. (1)证明:∵ AD ? 平面 PDC , PD ? 平面PCD, DC ? 平面PDC ∴ AD ? PD, AD ? DC 在梯形 ABCD 中,过点作 B 作 BH ? CD于H , 在 ?BCH 中, BH ? CH ? 1,??BCH ? 45?. 又在 ?DAB 中, AD ? AB ? 1,??ADB ? 45?.

??BDC ? 45?, ??DBC ? 90?? BC ? BD .……3 分

? PD ? AD, PD ? DC, AD ? DC ? D .

AD ? 平面ABCD, DC ? 平面ABCD.

? PD ? 平面ABCD,? BC ? 平面ABCD,? PD ? BC, ? BD ? PD ? D, BD ? 平面PBD, PD ? 平面PBD .
? BC ? 平面PBD, ? B C ? 平面 P B C , ?平面 P B C ?平面
·8·

P B ……………… D 7分

(2)法一:过点Q 作QM ∥ BC 交PB 于点M ,过点M 作MN 垂直于BD 于点N ,连QN . …8 分 由(1)可知 BC ? 平面 PDB ,? QM ? 平面 PDB ,? QM ? BD ,? QM ? MN ? M

? BD ? 平面 MNQ ,? BD ? QN ,
??QNM 是二面角 Q ? BD ? P 的平面角, ??QNM ? 60?
…………………10 分

? PQ ? ? PC
?

?

PQ ? ? ? QM ‖ BC , PC

PQ QM PM ? ? ?? PC BC PB

? QM ? ?BC ,

由(1)知 BC = 2 ,?QM ? 2? ,又? PD ? 1

? MN ∥ PD
? tan ?MNQ ?

?

MN BM ? PD PB

? MN ?

BM PB ? PM PM ? ?1? ?1? ? PB PB PB

……12 分

QM MN

?

2? ? 3, 1? ?

?? ? 3 ? 6 . …………………………………15 分
(2)法二:以 D 为原点, DA, DC , DP 所在直线为

x, y, z 轴建立空间直角坐标系 (如图)
则 P ? 0,0,1?,C ? 0,2,0?,A?1,0,0?,B ?1,1,0? . 令 Q ? x0 , y0 , z0 ? ,则

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PQ ? (x0,y0 , z0 ?1 ), PC ? (0,2, ?1 ) ? P Q? ? P C ,? ( 0, x 0y , 0? z) 1? ? ( 0, ? 2 ,)1
…………………………………………………………………9 分

(0, 2?,1 ? ?) . ?Q?

? 是平面 PBD 的法向量. ………………………10 分 ? BC ? 平面 PBD , ? n ? (? 1,1,0) ?? 设平面 QBD 的法向量为 m ? . (x,y,z)
? ??? ? ?x ? ? y ? ?x ? y ? 0 ?n ? DB ? 0 ? 则 ? ? ???? ,即 ? 即 ? . 2? z? y ?2? y ? (1 ? ? ) z ? 0 ? ? ?n ? DQ ? 0 ? ?1 ?
令 y ? 1 ,得 m ? ? ?1,1,

??

? ?

2? ? ? ?1 ? ?

………………………………………………………12 分

? 二面角 Q ? BD ? P 为 60 ? ,
·9·

?? ? m?n ?? ? ∴ cos m, n ? ?? ? ? m n

? ?

2 ? 2? ? 2? 2?? ? ? ? ?1 ?
2

?

1 解得 ? ? 3 ? 6 , 2

? Q 在棱 PC 上, 0 ? ? ?????? ? ?? 6 为所求. ………………………15 分
19. 解答: (1)若 a ? 0 , f ( x) 的单调增区间为 ( ??, ) 和 ( , ??) ………………………2 分 若 a ? 0 , f ( x) 的单调增区间为 ( ??, ) 和 ( , ??) ………………………4 分 若 a ? 0 , f ( x) 的单调增区间为 R ………………………5 分 (2) ? a ? 0, ? f ( x) 在 (??, ] 单调递增,在 [ , ] 单调递减,在 [ , ??) 单调递增, 若 f( )??

a 2

a 4

a 4

a 2

a 2

a a 2 4

a 4

a 4

a2 a ? a 2 ? 8a ? a 即 ?8 ? a ? 0 时,令 x(a ? 2 x) ? a 解得: x1 ? 8 4

? 不等式的解为: x ?
若 f( )??

a ? a 2 ? 8a ????7 分 4

a 4

a2 a ? a 2 ? 8a ? a 即 a ? ?8 时,令 x(2 x ? a) ? a 解得: x1,2 ? 8 4

据图像:不等式的解为:

a ? a 2 ? 8a a ? a 2 ? 8a a + a 2 ? 8a ?x? 或x ? 4 4 4

综上: ?8 ? a ? 0 不等式的解为: x ?

a ? a 2 ? 8a 4 a ? a 2 ? 8a a ? a 2 ? 8a a + a 2 ? 8a a ? ?8 不等式的解为: ??9 分 ?x? 或x ? 4 4 4
2

a 2 a a ? (x- )+    x ? ? ?2 4 8 2 (3) f ( x) ? x 2x ? a ? ? a 2 a2 a 2 (x- ) ?    x ? ? 4 8 2 ? a a a ? 0 ? a ? 12, ? f ( x) 在 (??, ] 单调递增,在 [ , ] 单调递减 4 4 2 a a 在 [ , ??) 单调递增,? 3 ? ? 5 即 6 ? a ? 10 2 2

? g ( x) ?

1? a x2 ? a ? 1 在 x ? [3,5] 单调递增, = x ?1? x ?1 x ?1
·10·

9 ? a 25 ? a , ] ………………………11 分 2 4 a a f ( x) 在 [3, ] 单调递减在 [ , 5] 单调递增 2 2 a ? 必须 [ g (3), g (5)] ? [ f ( ), min{ f (3), f (5)}] 2

? g ( x) ? [



) ? g (3)? f ( a 2 ? g (5)? f (3), g (5)? f (5) ? ?
20.解:(1)易知 a2 n ? an ?

?

97 ? a ? 9 ………………………15 分 13

1 1 1 ? ??? =f(n) .......... n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ?? ? ? f(n+1)-f(n)= 2n n ? 2 n ?1 2n ? 2 n ? 1 n ? 2 1 1 1 ? ? = 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 1 1 ? = >0 2n ? 1 2n ? 2 ? f(n)单调递增,………………………………………4 分 7 即 a2 n ? an ? f (2) ? , 12 7 7 ? (log ( a ?1) x ? log a x ? 1) 故 log( a?1) x ? loga x 。 12 12
因 log ( a ?1) x ?

.2 分

lg x lg x , log a x ? , lg(a ? 1) lg a

且 lg(a ? 1) ? lg a ? 0 ,故 x ? 1 。………………………………………7 分 (2) an ? an ?1 ?

1 n

1 ? ( an ? ) 2 ? an ?12 n 2a 1 ? an 2 ? an ?12 ? n ? 2 n n

………………………………..9 分

an?12 ? an?2 2 ?

2an?1 1 ? n ? 1 (n ? 1)2

·11·

2a3 1 ? 3 32 2a 1 a2 2 ? a12 ? 2 ? 2 2 2 a32 ? a2 2 ?
累加得: an 2 ? a12 ? 2 ?

1 a ? 1 1 ? a2 a3 ? ? ? ? n ? - ( 2 ? 2 ? ???? 2 ) n n? 2 3 ? 2 3

1 1 1 a ? a a ? ? an 2 ? 2 ? a1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? - (1 ? 2 ? 2 ? ???? 2 ) …………………………11 分 2 3 n 2 3 n? ?

? an 2 ?

7 ? 4

1 1 1 7 a ? a a ? ? ?? 2 ) + 2 ? a1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? - (1 ? 2 ? 2 ? ? 4 2 3 n 2 3 n? ?

要证原不等式成立,只需证:

(1 ?

1 1 1 7 ? 2 ?? ? ?? 2 ) < 2 4 2 3 n

n=1,2 显然成立

n ? 3 时,左边< 1 ?

1 1 1 1 ? ? ?? ? ?? 2 2 2? 3 3? 4 n(n ? 1)
1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?? ? ?? ? 4 2 3 3 4 n ?1 n

? 1?
? 7 4

? 原不等式成立………………………………..15 分
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·12·


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