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不等式的证明(一)(学案)


高三数学第一轮复习讲义 (40)
不等式的证明(一)

2004.10.16

一.复习目标:
1.掌握并灵活运用分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.

二.知识要点:
1. 不等式证明的几种常见方法: 2.综合法常常用到如下公式: (1) a2 ? b2 ? 2ab(ab ? R) ; (2) .

a?b b a ? ? ab (a, b ? R ? ) ; (3) ? ? 2(a, b ? R ) ; 2 a b 2 2 a?b?c 3 a ?b a?b 2 ? abc (a, b, c ? R ? ) . ?( ) ( a, b ? R ) ; (4) (5) 3 2 2 三.课前预习: 1 1 ,Q ? 1.设 0 ? 2a ? 1, M ? 1 ? a2 , N ? 1 ? a2 , P ? 那么 ( ) 1? a 1? a ( A) Q ? P ? M ? N (B) M ? N ? Q ? P (C ) Q ? M ? N ? P ( D) M ? Q ? P ? N 1 2.已知 x ? y ? 0 ,则 x ? 的最小值 . ( x ? y) y 四.例题分析:
例 1. (1)若 a ? b ? 1 ,求证: a ?

1 1 ? b? ? 2; 2 2
c? 1 1 1 ? ? . a b c

(2)已知 a, b, c 为不相等的正数,且 abc ? 1 ,求证: a ? b ?

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小结: 例 2.设实数 x, y 满足 y ? x2 ? 0,0 ? a ? 1,求证: log a (a ? a ) ? log a 2 ?
x y

1 . 8

小结: 例 3.设 a ? 0, b ? 0, 2c ? a ? b ,求证: c ? c2 ? ab ? a ? c ? c2 ? ab .

例 4.已知 f ( x) 是定义在 R 上的增函数, F ( x) ? f ( x) ? f (1 ? x) , (1)设 f ( x) ? x ,若数列 {an } 满足 a1 ? 3 ,an ? F (an ?1 ) ,试写出数列 {an } 的通项公式; (2)求⑴中数列 {an } 的前 n 项和 S n ; (3)证明:若 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 1 .

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五.课后作业:
2 2

班级

学号

姓名

1. 设 a 和 b 是不相等的正数, 则

a ?b a ? b 2ab 的大小关系是 , ab , , 2 2 a?b



2.已知: a1 ? a2 ? ?? an ? 1, x1 ? x2 ? ?? xn ? 1, n ? N . 求证: a1 x1 ? a2 x2 ? ? ? an xn ? 1.

2

2

2

2

2

2

3.若 a ? 3 ,求证: a ? a ? 1 ?

a ?2 ? a ?3 .

4. 已知 a, b, c 是 ?ABC 的三边, 求证:ab ? bc ? ac ? a ? b ? c ? 2(ab ? bc ? ac) .

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( a ? b) 2 a ? b ( a ? b) 2 ? ? ab ? 5.已知 a ? b ? 0 ,求证: . 8a 2 8b

6. 若 a, b, c ? R ? ,a ? b ? c ? 1 ,求证: (1) a ? b ? c ? 3 ; (2)( ? 1)( ? 1)( ? 1) ? 8 .

1 a

1 b

1 c

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