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江西省宜春市奉新县第一中学2015-2016学年高二数学下学期期末考试试题 理


2017 届高二下学期期末考试数学(理科)试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的)
x 1.已知集合 M ? x x ? 1 , N ? x 2 ? 1 ,则 M ? N ? (

?

?

?

>?

) D. x 0 ? x ? 1

A. ? 2.下列说法错误的是

B. x x ? 0

?

?

C. x x ? 1

?

?

?
2

?

A. 命题“若 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0, 则 x ? 2 ”的逆否命题是“ x ? 2, 则 x ? 5 x ? 6 ? 0 ” B. 已知命题 p 和 q ,若 p ? q 为假命题,则命题 p 与 q 中必一真一假 C. 若 x, y ? R, 则“ x ? y ”是“ xy ? ?
2

? x? y? ? ”的充要条件 ? 2 ?
2

2

D. 若命题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0, 则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 3.设随机变量 ? 服从正态分布 N ? 3, 4 ? ,若 P ?? ? 2a ? 3? ? P ?? ? a ? 2 ? ,则实数 a 等于 A. 5 B.

5 3

C.

7 3

D. 3

4.已知具有线性相关的两个变量 x,y 之间的一组数据如下:

x
y

0 2.2

1 4.3

2 t

3 4.8

4 6.7 ( D.5.5 )

? ? 0.95x ? 2.6 ,则 t= 且回归方程是 y
A.2.5 B.3.5 C.4.5

5.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c(a,b,c ∈(0,1)), 已知他投篮一次得分的数学期望为 2(不计其他得分情况),则 ab 的最大值为( )

A.

1 6

B.

1 12

C.

1 24

D.

1 48

6. 一牧场有 10 头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为 0.02 .设发病的牛的头数 为 ? , 则 D (? ) 等于( A. 0.196 ) B. 0.2 C. 0.8
x ?x

D. 0.804

7.已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 和偶函数 g ? x ? 满足 f ? x ? ? g ? x ? ? a ? a

?2

? a ? 0, a ? 1? ,若 g ? 2? ? a ,则 f ? 2? ? (



1

A.

2

15 B. 4

17 C. 4

2 D. a

8.某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加某高校自主招生考试,若这 4 人中必须既有男生又有女 生,则不同的选法共有 ( )

A.140 种

B.120 种

C.35 种

D.34 种


9.从 0,1, 2,3, 4,5 共 6 个数中任取三个组成的无重复数字的三位数,其中能被 5 整除的有 ( A. 40 个 B. 36 个 C. 28 个 D. 60 个

10.在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(单位长度相同) .已

? ? x ? 1 ? t cos ? ? 6 知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos ? ,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) .若点 P 在 ? ? y ? ? 3 ? t sin ? 6 ?
曲线 C 上,且 P 到直线 l 的距离为 1,则满足这样条件的点 P 的个数为( A.1 B.2 C. 3 D.4 )

2 sin( x ? ) ? 2 x 2 ? 3x 4 11.函数 f ( x) ? 的 最大值为 M,最小值为 N 则有 ( 2 2 x ? cos x
A.M-N=4
x 12.函数 f ( x ) ?| e ?

?



B.M-N=2

C.M+N=4

D.M+N=2

A. a ? ?? 1,1?

a | ( a ? R) 在区间 ?0,1?上单调递增,则 a 的取值范围是 ( ) ex ? 1 ? B. a ? [?1,0] C. a ? [0,1] D. a ? ?? , e? ? e ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案涂在答题卡上)

1 ? ? 5 13.在二项式 ? x ? ? 的展开式中,含 x 的项的系数是 x? ?

8

.(用数字作答)

14.有 5 名数学实习老师,现将他们分配到高二年级的三个班实习,每班至少 1名,最多 2 名, 则不同的分配方案有 15.已知 a ? b ,且 ab ? 1,则
2 2

种(用数字作答) .

a ? b ?1 的最小值是 a ?b

.

16.已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? a | , g ( x) ? x ? 3 ,设 a ? ?1 ,且当 x ? [ ? 则 a 的取值范围是 .

a 1 , ] )时, f ( x) ? g ( x) , 2 2

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )
2

17.(本小题满分 10 分)已知幂函数 f ( x) ? (m ? 1) 2 x m

2

?4m?2

在 (0,??) 上单调递增,函数

g ( x) ? 2 x ? k .
(1)求 m 的值; (2)当 x ? [1,2] 时,记 f ( x), g ( x) 的值域分别为 A, B ,若 A ? B ? A ,求实数 k 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系. 已知曲线 C1 : ?

? x ? ?4 ? cos t ? x ? 8cos ? ( t 为参数) , C2 : ? ( ? 为参数). ? y ? 3 ? sin t ? y ? 3sin ?

(1)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ?

π , Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 2

C3 : ? (cos? ? 2sin ? ) ? 7 距离的最小值.

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? k ? x ? 3 , k ? R 且 f ( x ? 3) ? 0 的解集为 ? ?1,1? (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)若 a , b, c 是正实数,且

1 1 1 1 2 3 ? ? ? 1 ,求证: a ? b ? c ? 1 。 ka 2kb 3kc 9 9 9

20.(本小题满分 12 分)袋中装有大小相同标号不同的白球 4 个,黑球 5 个,从中任取 3 个球. (1)共有多少种不同结果? (2)取出的 3 球中有 2 个白球,1 个黑球的结果有几个? (3)取出的 3 球中至少有 2 个白球的结果有几个? (4)计算第(2)、(3)小题表示的事件的概率.

21.(本小题满分 12 分)
3

心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关, 某数学兴趣小组为了 验

证这个结论,从兴趣小组

中按分层抽样的方法抽取 50 名同学 (男 30 女 20) , 给所有同学几何题和代数题各一题, 让各位同 学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表: (单位: 人)

(Ⅰ)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (Ⅱ)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5—7 分钟,乙每次解答一道几何题所用 的时间在 6—8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率. (Ⅲ)现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、 乙两女 生被抽到的人数为 X, 求 X 的分布列及数学期望 E(X) . 附表及公式

1 x 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=( ) , 3 (1)当 x∈[-1,1]时,求函数 y=[f(x)] -2af(x)+3 的最小值 g(a); (2)是否存在实数 m>n>3,使得 g(x)的定义域为[n,m],值域为[n ,m ]?若存在,求出 m、n 的 值;若不存在,请说明理由.
2 2 2

2017 届高二下学期期末考试数学(理科)答案 一、选择题: 二、填空题: 13. 28 14. 90 15. 2 3 16.
4

DBCCA ABDBC DA

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17【解析】 : (1)由 f ( x) ? (m ?1)2 xm
2

?4m?2

为幂函数,且在 (0, ??) 上递增 . ................................5 分

?(m ? 1) 2 ? 1 ? 则? 2 ? ? m ? 4m ? 2 ? 0

得: m ? 0

(2)A: f ( x) ? x 2 , 由 x ? [1, 2] ,得 f ( x) ?[1, 4] B: g ( x) ?[2 ? k , 4 ? k ] 而 A ? B ? A ,有 B ? A ,所以 ?

?2 ? k ? 1 ?4 ? k ? 4

, 0 ? k ? 1 ..................10 分

18.

19 因

解: (1) 为

f ( x) ? k ? x ? 3 ,所以 f ( x ? 3) ? 0 等价于 x ? k
由 x ? k 有解,得 k ? 0 ,且其解集为 ? x ? k ? x ? k ? ............3 分 又 f ( x ? 3) ? 0 的解集为 ? ?1,1? ,故 k ? 1 (2)由(Ⅰ)知 ............6 分

1 1 1 ? ? ? 1 ,又 a, b, c 是正实数,由均值不等式得 a 2b 3c
5

1 1 1 a a 2b 2b 3c 3c a ? 2b ? 3c ? (a ? 2b ? 3c)( ? ? ) ? 3? ? ? ? ? ? ? a 2b 3c 2b 3c a 3c a 2b a 2b a 3c 2b 3c 3? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3? 2? 2? 2 ? 9 2b a 3c a 3c 2b
............10 分 当且仅当 a ? 2b ? 3c 时取等号。 也即

1 2 3 a ? b ? c ?1 9 9 9
3

. ...........12 分 ..................2 分 ..................5 分 ..................8 分

20.【解析】 (1)共有 C9=84 个不同结果. (2)共有 C4C5=30 种不同的结果. (3)共有 C4+C4C5=34 种不同的结果.
3 2 1 2 1

(4)∵从 4 个白球,5 个黑球中,任取 3 个球的所有结果的出现可能性都相同, 30 5 ∴第(2)小题的事件发生的概率为 = , 84 14 34 17 第(3)小题的事件发生的概率为 = . 84 42
2
2

..................10 分 ..................12 分
2

50 ? ? 22 ?12 ? 8 ? 8 ? 50 21.解析:(1)由表中数据得 K 的观测值 K ? ? ? 5.556 ? 5.024 30 ? 20 ? 30 ? 20 9
所以根据统计有 97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关 ...................3 分 (2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x、y 分钟,则基本事件满足的 区域为 ?

?5 ? x ? 7 (如图所示) ?6 ? y ? 8

设事件 A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为 x ? y

1 . ..................7 分 8 (3)由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人,抽取方法有 C8 2 ? 28 种,其中甲、乙两人没有
即乙比甲先解答完的概率为 一个人被抽到有 C6 2 ? 15 种;恰有一人被抽到有 C21 ? C61 =12 种;两人都被抽到有 C2 2 ? 1 种

1 ? 1? 1 1 ? ? 由几何概型 P ( A) ? 2 2? 2 8

? X 可能取值为 0,1, 2 , P( X ? 0) ?

15 12 3 1 , P ( X ? 1) ? ? , P( X ? 2) ? 28 28 7 28

X 的分布列为:

. .................10 分

X

0

1

2
6

? E( X ) ? 0 ?

15 12 1 1 +1 ? +2 ? ? 28 28 28 2 .

P

15 28

12 28

1 28

..................12 分 22. 【解析】 1 x 1 (1)∵x∈ [-1,1], ∴( ) ∈[ ,3], 3 3 1 3 1 3 ..................1 分

y=[f(x)]2-2af(x)+3=[( )x]2-2a( )x+3
1 x 2 2 =[( ) -a] +3-a , 3 1 当 a< 时, 3 1 当 ≤a≤3 时, 3 当 a>3 时, 28 2a ymin=g(a)= - ; 9 3 ..................3 分 ..................5 分

ymin=g(a)=3-a2;..................6 分 ymin=g(a)=12-6a...................7 分

? ? 1 ∴g(a)=? 3-a ( ≤a≤3), 3 ? ?12-6a(a>3).
28 2a 1 - (a< ), 9 3 3
2 2

..................8 分

(2)∵m>n>3,且 g(x)=12-6x 在 (3,+∞)上是减函数...................9 分 又 g(x)的定义域为[n,m],值域为[n ,m ].
? ?12-6m=n , ∴? 2 ?12-6n=m , ?
2 2

① ②

.................10 分

②-①得:6(m-n)=(m+n)(m-n) ∵m>n>3,∴m+n=6.但这与“m>n>3”矛盾...................11 分 ∴满足题意的 m、n 不存在. ..................12 分

7


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