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2017届广西柳州铁路第一中学高三上学期联考(二)(9月月考)数学(文)试题


2017 届柳州铁一中学联考试卷(二)

文科数学
(考试时间 120 分钟 满分 150 分)

注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写 在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干

净 后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? { 1,3, A.0 或

m}, B ? {1, m}, A ? B ? A ,则 m 的值为(
B.0 或 3
3



3

C.0 或 1 或 3

D .1 或 3

2.设复数 z 满足 (1 ? i) ? z ? 1 ? 2i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 对应的点位于复平面内 A.第一象限 3.设 a ? 0.5
0.5

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 )

, b ? 0.30.5 , c ? log0.3 0.2 ,则 a, b, c 的大小关系为(
B. a ? b ? c C. b ? a ? c

A. c ? b ? a

D. a ? c ? b )

4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的四个面中,最大的面积是( A.

3 5 2

B. 3

6

C. 2

3

D.

5 2 2


5.函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0,? ? 0,0 ? ? ? ? ) 在一个周期内的图象如下,此函数的解析式为(

x ? ) 2 3 2? ) C. y ? 2sin(2 x ? 3
A. y ? 2sin( ?

? ) 3 ? D. y ? 2sin(2 x ? ) 3
B. y ? 2sin(2 x ?

6.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 A.a=13 C.a=11 B.a=12 D.a=10

23 ,则( 12





1第

?x ? y ? 2 ? 0 u 7.若实数 x, y 满足 ? ? y ? x ? 1 ? 0 ,设 u ? x ? 2 y, v ? 2 x ? y ,则 v 的最大值为( ? x ?1 ?
A.1 B.



5 4
2

C.

7 5

D.2

8.若直线 l : mx ? ny ? 4 和圆 O : x ( ) A.0 个 9.已知数列 A. B.至多一个

则过点 (m, n) 的直线与椭圆 ? y 2 ? 4 没有交点,

x2 y2 ? ? 1 的交点个数为 9 4

C.1 个

D.2 个

?an ?为等差数列, Sn 为前 n 项和,公差为 d ,若 S 2017
B.

2017

?

S17 ? 100 ,则 d 的值为( 17



1 20

1 10

C.10

D.20

10.在四面体 S ? ABC 中, AB ? BC , AB ? BC ? 面积是( A. 8 ) B.

2 , SA ? SC ? 2 , SB ? 6 ,则该四面体外接球的表

6?

6?

C. 24?

D. 6?

11.已知双曲线

x2 y 2 且两曲线的一个交点为 P , ? 2 ? 1(a ? 0 ,b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 8x 有一个公共的焦点 F , 2 a b


若 | PF |? 5 ,则双曲线的离心率为(

A.2

B. 2

2

C.

6

D.

5 ?1 2

12.设函数

? x ? [ x], x ? 0 ,其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,如 [?1.2] ? ?2 , [1.2] ? 1 , [1] ? 1 . f ( x) ? ? ? f ( x ? 1), x ? 0


若直线 y ? kx ? k (k ? 0) 与函数 y ? f ( x) 的图象恰有三个不同的交点,则 k 的取值范围是( A. ( , ]

1 1 4 3

B. (0, ]

1 4

C. [ , ]

1 1 4 3

D. [ , )

1 1 4 3



2第

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13--21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22--24 题为选做题,考生 根据要求作答. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13.在一个盒子中有分别标有数字 1,2,3,4 的 4 张卡片,现从中一次 取出 2 张卡片,则取到的卡片上的数字之和为 5 的概率是 .

14.若 a , b 满足 | a |? 1 , |b|=2 ,且 (a ? b) ? a ,则 a 与 b 的夹角为

?

?

?

?

? ?

?

?

?



15.如图,在直角梯形 ABCD 中,AB//CD,AB=2,AD=DC=1,P 是线段 BC 上一动点,Q 是线段 DC 上一动点,

???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? DQ ? ? DC , CP ? (1 ? ? )CB ,则 AP ? AQ 的取值范围是
16.设点 M


x

? x , f ? x ?? 和点 N ? x , g ? x ?? 分别是函数 f ? x ? ? e
1 1 2 2

1 ? x 2 和 g ? x ? ? x ?1 图象上的点,且 2


x1 ? 0, x2 ? 0 ,若直线 MN / / x 轴,则 M , N 两点间的距离的最小值为
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin A, cos A) , n
? ?

? (cosB, sin B) , m? n ? sin 2C ,且 A , B , C 分别为△ ABC 的三边

? ?

a, b, c 所对的角.
(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 sin

??? ? ??? ? ???? A , sin C , sin B 成等比数列,且 CA ? AB ? AC ? 18 ,求边 c 的值.

?

?

18. (本小题满分 12 分) 某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业,在一个开学季内,每售出 1 盒该产品获利润 50 元,未售出 的产品,每盒亏损 30 元.根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图,如图所示.该同学为这个 开学季购进了 160 盒该产品,以 x(单位:盒,100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量,y(单位:元) 表示这个开学季内经销该产品的利润. (Ⅰ)根据直方图估计这个开学季内市场需求量 x 的众数和中位数; (Ⅱ)将 y 表示为 x 的函数; (Ⅲ)根据直方图估计利润 y 不少于 4800 元的概率



3第

19. (本小题满分 12 分)

AC 如图,直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,
D 为 CC1 的中点, E 为 BC 上一点.
(Ⅰ)若 DE ∥平面 A 1MC1 ,求

? AB , AB ? 2 AA1 , M 是 AB 的中点,△ A1MC1 是等腰三角形,

CE ; EB

(Ⅱ)平面 A 1B 1C1 分成两个部分, 1MC1 将三棱柱 ABC ? A 求较小部分与较大部分的体积之比.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

? x2 y 2 3? 3 C ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,点 A ? 1, 2 ? 2 ? ? 在椭圆 上. a b 2 ? ?

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点, 判断是否存在以原点 O 为圆心的圆, 满足此圆与 l 相交于两点

P 1, P 2 (两点均不在坐标轴上),且使得直线 OP 1 , OP 2 的斜率之积为定值?若存在,求此圆的方程;若不存在,说明理
由.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? e ? 1 ?
x

ax x ?1

(Ⅰ)若曲线

y ? f ? x ? 在 ? 2, f ? 2?? 处的切线过 ? 0, ?1? ,求 a 的值; f ? x ? ? ln x ? 0 在 ? 0,1? U?1, ??? 上恒成立.

(Ⅱ)求证:当 a ? ?1 时,不等式

请考生在第 22--24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知⊙O 是△ ABC 的外接圆,AB=BC,AD 是 BC 边上的高,AE 是⊙O 的直径.过点 C 作⊙O 的切线交 BA 的延长线于点 F.


4第

(Ⅰ)求证:AC· BC=AD· AE (Ⅱ)若 AF=2,CF=2 2,求 AE 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系和参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ2 = 3 4 ,直线 l 的极坐标方程为 ρ= . 1+2cos2x sin θ+cos θ

(Ⅰ)写出曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 Q 为曲线 C1 上一动点,求 Q 点到直线 l 距离的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? ? ?1

?

x, x ? 1

,0 ? x ?1 ? ?x

, g ? x ? ? af ? x ? ? x ? 2 , a ? R

(Ⅰ)当 a ? 0 时,若 g

? x? ? x ?1 ? b 对任意 x ??0, ??? 恒成立,求实数 b 的取值范围;
y ? g ? x ? 的最小值.

(Ⅱ)当 a ? 1 时,求函数



5第

2017 届柳州铁一中学联考试卷(二) 文科数学答案解析
选择题:BACAC 填空题: 13. CCDBD AD

1 3

14.

2? 3

15.

?0, 2?

16. 2

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) ∵ m ? (sin A, cos A), n ? (cosB, sin B) , m ? n ? sin 2C , ∴sinAcosB+cosAsinB=sin2C 又 C 为三角形的内角, ∴ 即 sinC=sin2C ∴ cosC=

C?

?
3

1 ……4 分 2

……6 分
2

(Ⅱ) ∵sinA,sinC,sinB 成等比数列, ∴ sin C=sinAsinB ∴ c =ab
2

………7 分

又 CA ? ( AB ? AC) ? 18 ,即 CA ? CB ? 18 ………………9 分
2

∴ abcosC=18 ∴ ab=36 故 c =36 18. (本小题满分 12 分)

∴ c=6

………………12 分

解: (1)由频率直方图得:最大需求量为 150 的频率 ? 0.015 ? 20 ? 0.3 这个开学季内市场需求量 x 的众数估计值是 150; 需求量为[100,120)的频率= 0.005 ? 20 ? 0.1 ,需求量为[120,140)的频率= 0.01? 20 ? 0.2 , 需求量为[140,160)的频率= 0.015 ? 20 ? 0.3 ,需求量为[160,180)的频率= 0.0125 ? 20 ? 0.25 , 需求量为[180,200)的频率= 0.0075 ? 20 ? 0.15 则中位数 x ? 110 ? 0.1 ? 130 ? 0.2 ? 150 ? 0.3 ? 170 ? 0.25 ? 190 ? 0.15 ? 153 ………5 分 (2)因为每售出 1 盒该产品获利润 50 元,未售出的产品,每盒亏损 30 元, 所以当 当 所以 (3)因为利润不少于 4800 元,所以 所以由(1)知利润不少于 4800 元的概率 19. (本小题满分 12 分) 解:取 BC 中点为 N ,连结 MN , C1 N ,………1 分 ∵ M , N 分别为 AB, CB 中点


时, ………9 分

,………7 分

,解得 ………12 分

6第

∴ MN ∥ AC ∥ AC 1 1 ,∴ A 1 , M , N , C1 四点共面,……… 3 分 且平面 BCC1B1 I 平面 A 1MNC1 = C1 N 又 DE ? 平面 BCC1B1 ,且 DE ∥平面 A1MC1 ∴ DE ∥ C1 N ∵ D 为 CC1 的中点,∴ E 是 CN 的中点,∴

CE 1 ? .………6 分 EB 3

(2)因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱,∴ AA1 ^ 平面 ABC , 又 AC ? AB ,则 AC ? 平面 ABB1 A 1 设 AB ? 2 AA = AC 1 ? 2 ,又三角形 A 1MC1 是等腰三角形,所以 AM 1 1 1= 如图,将几何体 AA 1M ? CC1 N 补成三棱柱 AA 1M ? CC1F ∴几何体 AA 1M ? CC1 N 的体积为:

2.

1 1 1 1 1 1 2 5 2 V1 ? ? AM ? AA1 ? AC ? ? ? CF ? CC1 ? NF ? ?1?1? 2 ? ? ?1?1? ? 2 3 2 2 3 2 2 12
又直三棱柱 ABC ? A1B1C1 体积为: V ?

9分

1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ……… 11 分 2

故剩余的几何体棱台 BMN ? B1 AC 1 1 的体积为: V2 ? V ? V1 ?

7 2 12

∴较小部分的体积与较大部分体积之比为:

V1 5 ? . ………12 分 V2 7

20. (本小题满分 12 分) 【解析】(Ⅰ)由题意得 = 又点 A ? 1,

c a

3 2 2 2 ,a =b +c , 2

? ? ?

3? 1 3 在椭圆 C 上,∴ 2+ 2=1,解得 a=2,b=1,c= 3, ? ? a 4b 2 ?
x2
2

∴椭圆 C 的方程为 +y =1.(5 分) 4 (Ⅱ)存在符合条件的圆,且此圆的方程为 x +y =5. 证明如下:假设存在符合条件的圆,并设此圆的方程为 x +y =r (r>0). 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y=kx+m.
2 2 2 2 2

y=kx+m ? ? 2 2 2 2 由方程组?x 得(4k +1)x +8kmx+4m -4=0, 2 +y =1 ? ?4
∵直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,


7第

2 2 2 2 2 ∴Δ1=(8km) -4(4k +1)(4m -4)=0,即 m =4k +1. 由方程组?
?y=kx+m ? ? ?x +y =r
2 2

2

得(k +1)x +2kmx+m -r =0,
2 2 2 2

2 2 2 2 则Δ2=(2km) -4(k +1)(m -r )>0. -2km m -r 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , k +1 k +1 设直线 OP1,OP2 的斜率分别为 k1,k2,
2 2 y1y2 (kx1+m)(kx2+m) k x1x2+km(x1+x2)+m ∴k1k2= = = x1x2 x1x2 x1x2 2 2

m2-r2 -2km 2 k? 2 +km? 2 +m k +1 k +1 m2-r2k2 2 2 = = 2 ,将 m =4k +1 代入上式, 2 2 m -r m -r2 k2+1
2

(4-r2)k2+1 得 k1k2= 2 2 . 4k +(1-r )
4- r 1 2 要使得 k1k2 为定值,则 = 2,即 r =5,代入Δ2 验证知符合题意. 4 1-r 1 2 2 ∴当圆的方程为 x +y =5 时,圆与 l 的交点 P1,P2 满足 k1k2 为定值- . 4 当直线 l 的斜率不存在时,由题意知 l 的方程为 x=±2. 1 2 2 此时,圆 x +y =5 与 l 的交点 P1,P2 也满足 k1k2=- . 4 综上,当圆的方程为 x +y =5 时, 1 圆与 l 的交点 P1,P2 满足直线 OP1,OP2 的斜率之积为定值- .(12 分) 4 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)定义域为 x ? ? ??,1? ? ?1, ??? f ? 2? ? e ?1? 2a
2
2 2 2

f ? ? x ? ? ex ?

a ? x ? 1? ? ax

? x ? 1?

2

? ex ?

a

? x ? 1?

?

f ? ? 2? ? e2 ? a ?切线 y ? ? e2 ? 1 ? 2a ? ? ? e2 ? a ? ? x ? 2 ?
2 2 将 ? 0, ?1? 代入,得 ?1 ? e ? 1 ? 2a ? ?2e ? 2a ? a ? ?

?

?

e2 4

(Ⅱ) f ? x ? ? ln x ? ? e x ? 1 ?

? ?

ax ? ? ? ln x x ?1 ?



8第

只需证:

1 ? ln x ? ? ? x ? 1? ? e x ? 1? ? ax ? ? ? ? 0 在 ? 0,1? ? ?1, ??? 上恒成立 x ?1
x ?1

? x ?? 0,1? ? ?1, ??? 时, 1 ? ln x ? 0 恒成立,
?只需证:

? x ? 1? ? e x ? 1? ? ax ? 0 在 ?0, ??? 恒成立

设 g ? x ? ? ? x ? 1? e x ? 1 ? ax , x ??0, ??? ? g ? 0? ? 0 恒成立
?只需证: g

?

?

? x? ? 0 在 ?0, ??? 恒成立 g? ? x ? ? x ? ex ?1? a

g?? ? x ? ? ? x ?1? ? ex ? 0 恒成立? g? ? x ? 单调递增, g? ? x ? ? g? ? 0? ? ?1 ? a ? 0 ? g ? x? 单调递增, g ? x ? ? g ? 0? ? 0 ? g ? x? ? 0 在 ?0, ??? 恒成立
即 f ? x ? ? ln x ?

1 ? ln x ? g ? x ? ? 0 在 ? 0,1? ? ?1, ??? 上恒成立. x ?1

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 【解析】(Ⅰ)证明:连接 BE,由题意知△ABE 为直角三角形. ∵∠ABE=∠ADC=90°,∠AEB=∠ACB,∴△ABE∽△ADC ∴

AB AE = ,即 AB?AC=AD?AE.又 AB=BC,∴AC?BC=AD?AE.………5 分 AD AC
2

(Ⅱ)∵FC 是⊙O 的切线,∴FC =FA?FB, 又 AF=2,CF=2 2,∴BF=4,BC=AB=BF-AF=2, ∵∠ACF=∠FBC,又∠CFB=∠AFC,∴△AFC∽△CFB. ∴

AF AC AF?BC = ,AC= = 2. FC BC CF
2 14 ,sin∠ACD= =sin∠AEB. 4 4

∴cos∠ACD=

AB 4 14 ∴AE= = .………10 分 sin∠AEB 7
23.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 【解析】(Ⅰ)C1=3x +y =3,l:x+y=4.………4 分 ( Ⅱ ) 法 1 :设 Q(cos θ , 3sin θ ) ,则点 Q 到直线 l 的距离 d = 3 π? ? ? ?1 ? ? ? ?2? cos θ+ sin θ?-4? ? ?2sin?θ+ 6 ?-4? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 = 2 π π 当且仅当θ+ =2kπ+ , 6 2 π 即θ=2kπ+ (k∈Z)时,Q 点到直线 l 距离的最小值为 2.………10 分 3

2 2

|cos θ+ 3sin θ-4| 2





2 2

= 2

9第

法 2:设 Q(x,y),直线 l:x+y=c 与椭圆方程联立,利用直线与椭圆相切求出 c,则 Q 点到直线 l 距离的最小值为两平行直线间的距离. 24.(本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 【解析】(Ⅰ)当 a=0 时,g(x)=-|x-2|(x>0),

g(x)≤|x-1|+b?-b≤|x-1|+|x-2|(2 分)
|x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|=1,当且仅当 1≤x≤2 时等号成立………4 分 实数 b 的取值范围是[-1,+∞).………5 分 1 ? ?x+x-2,0<x<1 (Ⅱ)当 a=1 时,g(x)=? ,………7 分 2x-2,1≤x≤2 ? ?2,x>2 1 当 0<x<1 时,g(x)= +x-2>2

x

x? -2=0;………8 分 x

1

当 x≥1 时,g(x)≥0,当且仅当 x=1 等号成立;………9 分 故当 x=1 时,函数 y=g(x)取得最小值 0.………10 分



10 第


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