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高中数学学习中的学法指导


数学学习中的学法指导 【内容综述】 本讲就数学学法中常用的几个策略作了介绍, 第一就是要不断掌握有用的先进武器—— 数学公式、定理;第二,要加强对数学概念的学习理解,在一些利用概念分析,可能减少计 算一的试题中,应尽量减少计长算量,提高解题效率;第三,提供了一个面对较难试题的思 维策略:反客为主,欲擒故纵??第四,其它 【要点讲解】 §1. 武器精,巧解题 若能不断掌握一些有用的

课外公式,无论是解高考试题,还是解数竞试题都是有用的,尤 其是高考现今强调创新,出活题考能力;而高中数竞一试又往高考靠,并且数竞从来就是在 出活题考能力(当然它要求的知识面更广,基础更坚深) ,二者关系极为密切,这一节,我 们介绍两个课外的有用公式实理,供大家参考。 1.等差数列 中, ① 证明 例 1.设等差数列 分析:若等差数列 满足 且 Sn 为其前 n 项之和,求 Sn 中最大者。 (1995 高中全国数竞赛题) 中,满足 则 Sn 最大。或当 Sn=Sm 时, 解: 由题设: 得 取最大值 故由等差数列前 n 项和是二次函数,可见 说明 本题若用常规解法,就需由题设 是最大和 ,求得 再去解 求得 n=20.计算量较大。 例 2.等差数列 , 的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn,若 (1995 年全国高考试题) 分析 本题若按解答题做,推理、论证计算相当繁杂,但若利用公式①就非常简单 解 ∴ 例 3.设等差数列的前 n 项和为 Sn,已知 围. 解: , 求公差 d 的取值范 即 又∵ 故 2.三面角余弦公式 在如图三面角 O—ABC 中。设面角∠AOB=Q, ∠AOC=Q1,∠BOC=Q2, 二面角 A—OC—B 大小为 ,则有公式 ,② 称为三面角余弦公式或三射线定理。当 时,就是主几课本中复习题的公式。它的证 明可在如图的基础上,作 CA、CB 分别垂直 OC、于 C、连 AB,分别在△AOB、△AOC、 △BOC 得用三角函数可分别将 AB、BC、AC 用 Q、Q1、Q2 及 OC 的关系表出,最后再在 △ABC 中利用余弦定理求得公式② 本公式无论在高考试题还是竞赛试题,多有应用。 例 4.已知二面角 M—AB—N 是直二面角,P 是棱上一点,PX、PY 分别在平面 M、N 内,且 。求 大小?(1964,北京赛题) 解:利用三面角余弦公式 得 ∴ 例 5. 已 知 四 面 体 S—ABC 中 , , ,设以 SC 为棱的二面角为 ,求 与 、β 关系。 解:由三面角余弦公式及题设,得 , ,故有 解之,得 例 6.已知正四棱锥 P—ABCD 的侧面与底面夹角为 L,相邻两侧面的夹角为β ,求证: (1981 上海竞赛题) 证:设 PO 是棱锥的高,O 是底面 ABCD 的对角线交点 作 OE⊥AD, 则 PE⊥AD, 从而∠PEO 是侧面与底面所成角 ; 作 BF⊥PC,连 DF,易证∠DFB 即两侧面间所成二面角的平面角β . 设侧棱长为 a,底面边长为 b。则侧高为 ,则由三面角余弦公式有 = = = 又由三面角 P—BCD 知 ∴ 例 7.如图正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成 BF 所成角的余弦是_____________。 (1996 年全国高考试题) 面角, 则异面直线 AD 与 解 ∵AD,BF 所成角,即 BC 与 BF 所成角,由三面角余弦公式,有 说明:由上面几道在高中竞赛或全国高考试题解答中,显然课外的公式,担供了极其简 捷的解

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