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2014世纪金榜第二章 第三节


第三节 函数的奇偶性与周期性

1.函数的奇偶性 定义 奇偶性 前提:函数y=f(x)的定义域A 关于原点对称

图象 特点

偶函数

f(-x) 如果对任意的x∈A,都有______ =f(x) 那么称y=f(x)是偶函数 ______, f(-x)= 如果对任意的x∈A,都有_______

-f(x) 那么称y=f(x)是奇函数 ______,

y轴 关于____对称 原点 关于_____ 对称

奇函数

2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使

f(x+T)=f(x) ,那么就称 得当x取定义域内的任何值时,都有____________
函数y=f(x)为周期函数,T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

最小的正数 ,那么这个___________ 最小的正数 就叫做它的最小正周期. ___________

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).

(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(
(2)函数f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.( )

)

(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对
称.( )

(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心 对称.( )

(5)对于函数y=f(x),x∈(0,+∞),若2是f(x)的一个周期,则-2 也是f(x)的一个周期.( )

【解析】(1)错误.当奇函数的定义域不含0时,则图象不过原 点. (2)错误.函数f(x)的定义域不关于原点对称. (3)正确.函数y=f(x+a)关于直线x=0对称,则函数y=f(x)关于 直线x=a对称.

(4)正确.函数y=f(x+b)关于点(0,0)中心对称,则函数y=f(x) 关于点(b,0)中心对称. (5)错误.若-2是函数f(x)的周期,则f(1)=f(1-2)=f(-1)不合 题意. 答案:(1)〓 (2)〓 (3)√ (4)√ (5)〓

1.已知函数y=f(x)是奇函数,则函数y=f(x+1)的图象的对称中
心是________. 【解析】函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,函数y=f(x+1) 的图象可由y=f(x)的图象向左平移1个单位得到,故函数 y=f(x+1)图象的对称中心为(-1,0). 答案:(-1,0)

2.若f(x)=(a-1)x2+ax+3是偶函数,则f(x)的单调增区间为 ________. 【解析】由f(-x)=f(x)得a=0, ?f(x)=-x2+3, ?f(x)的单调增区间为(-≦,0]. 答案:(-≦,0]

3.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),则 f(8)=_________. 【解析】≧f(x+4)=f(x), ?f(x)是以4为周期的周期函数, ?f(8)=f(0). 又函数f(x)是定义在R上的奇函数, ?f(8)=f(0)=0. 答案:0

4.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是 减函数,若f(a)≥f(2),则实数a的取值范围是______. 【解析】由题意知函数y=f(x)在(0,+≦)上是增函数,且 f(-2)=f(2),故由f(a)≥f(2),得f(|a|)≥f(2),?|a|≥2, 解得a≥2或a≤-2. 答案:(-≦,-2]∪[2,+≦)

考向 1

函数奇偶性的判断

【典例1】判断下列各函数的奇偶性. (1)f(x)= 3 ? x 2 ? x 2 ? 3.
lg(1 ? x 2 ) (2)f(x)= . x?2 ?2
? x 2 ? x, x<0, ? (3)f(x)= ? 2 ? x ? x, x>0. ? ?

【思路点拨】先求定义域,看定义域是否关于原点对称,在定 义域下,解析式带绝对值号的先尽量去掉,再判断 f(-x)与f(x) 的关系,分段函数应分情况判断.

? 3 ? x 2 ? 0, ? 【规范解答】(1)由 ? 2 x ? ? ? 3 ? 0, 得x2=3,?x=〒 3 ,

?函数f(x)的定义域为 ? 3, 3 , 此时f(x)=0,

?

?

因此函数f(x)既是奇函数,又是偶函数.

2 ? 1 ? x >0, (2)由 ? ? ? ? x ? 2 ? 2,

得-1<x<0或0<x<1. ?函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1). 此时x-2<0,|x-2|-2=-x, ?f(x)=
lg ?1 ? x 2 ? ?x 2 2 lg[1 ? ? ? x ? ] lg ?1 ? x ? 又≧f(-x)= =-f(x), ?? x ?x .

?函数f(x)为奇函数.

(3)显然函数f(x)的定义域为: (-≦,0)∪(0,+≦),关于原点对称, ≧当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x =-x2-x=-f(x); 当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x =x2-x=-f(x). 综上可知:对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立, ?函数f(x)为奇函数.

【拓展提升】判断函数奇偶性的两种常用方法
(1)定义法:

(2)图象法:

【变式训练】(1)下列函数中:①f(x)= x ,②f(x)= x ,
③f(x)=cos x,④f(x)=x,偶函数的个数为_______.

1 2

2 3

【解析】易知①④不是偶函数,②③为偶函数.
答案:2

(2)判断下列函数的奇偶性.
4 ? x2 ①f(x)= . x ?3 ?3
? x 2 ? 2,x>0, ②f(x)= ? ?0,x ? 0, ?? x 2 ? 2,x<0. ?

? 4 ? x 2 ? 0, ? 【解析】①由 ? 得-2≤x≤2且x≠0, ? ? x ? 3 ? 3,
2 4 ? x ?f(x)= ? x ?3?3

?函数f(x)的定义域关于原点对称,且x+3>0,
4 ? x2 . x
2

又≧f(-x)=

4 ? ? ?x ? ?x

4 ? x 2 =-f(x), ?? x

?函数f(x)为奇函数.

②f(x)的定义域为R,关于原点对称,当x>0时, -x<0,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);

当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2+2
=-(-x2-2)=-f(x);

当x=0时,f(0)=0,也满足f(-x)=-f(x).
故该函数为奇函数.

考向 2 函数奇偶性的应用 【典例2】(1)(2013·泰州模拟)已知f(x)= a ?
1 是定义 x 2 ?1

在(-∞,-1]∪[1,+∞)上的奇函数,则f(x)的值域为_____.
x 2 (2)(2013·苏州模拟)“a=1”是“函数f(x)= x ? a 在其定 2 ?a

义域上为奇函数”的_______条件(填“充分不必要”“必要 不充分”“充要”或“既不充分也不必要”). 【思路点拨】(1)首先利用函数的奇偶性求a值,再利用定义域 求值域. (2)分别验证p?q与q?p是否成立.

【规范解答】 (1)≧f(x)为奇函数,?f(-x)=-f(x), ?f(x)+f(-x)=0,
?a ? 1 1 ? a ? ? 0, x ?x 2 ?1 2 ?1 x 1 1 1 ? 2 2a= ? ?x ? x ? x x 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 x 1 ? 2 = ? ?1, x 2 ?1 1 1 1 ? a ? ? .? f ? x ? ? ? ? x . 2 2 2 ?1

≧x∈(-≦,-1]∪[1,+≦),
3 1 1 3 ?? ? f ? x ? ? ? 或 ? f ? x ? ? . 2 2 2 2 3 1 1 3 答案: [? , ? )?( ,] 2 2 2 2

?x 2x ? 1 2 ?1 (2)当a=1时,f(x)= x ,此时f(-x)= 2 ?1 2? x ? 1 1 ? 2x 2x ? 1 ? ?? x ? ?f ? x ? , x 1? 2 2 ?1

?f(x)是其定义域上的奇函数.
x 2 ? a 是其定义域上的奇函数时, 当f(x)= 2x ? a

f(-x)=-f(x),
?x x 2 ? a 2 ?a 即 ?x ?? x , 2 ?a 2 ?a

1 ? 2x x a ? 2 1 a ? ? ,? ? a,? a ? ?1. x 1 a ? 2 a ? 2x a x 2 从而“a=1”是“函数f(x)= x ? a 在其定义域上为奇函数” 2 ?a

的充分不必要条件. 答案:充分不必要

【拓展提升】应用函数奇偶性可解决的四类问题及方法 (1)已知函数的奇偶性求函数值. 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 . (2)已知函数的奇偶性求解析式. 将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求 出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到 f(x)的解析式.

(3)已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值 . 利用待定系数法:利用f(x)〒f(-x)=0得到关于待求参数的恒 等式,由系数的对等性得参数的值或方程 (组),进而得出参数 的值. (4)应用奇偶性画图象和判断单调性. 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的 单调性.

【变式训练】(1)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时, f(x)=2x2-x,则f(1)=________.
? x 2 ? x, x ? 0, ? (2)已知函数f(x)= ? 为奇函数,则a+b=______. 2 ? ?ax ? bx, x>0

【解析】(1)由奇函数的定义有f(-x)=-f(x),所以
f(1)=-f(-1)=-[2〓(-1)2+1]=-3.

答案:-3

(2)设x>0,则-x<0,

?f(-x)=(-x)2-x=x2-x.
又f(-x)=-f(x), ?x>0时,f(x)=-f(-x)=-x2+x=ax2+bx, ?a=-1,b=1,?a+b=0. 答案:0

考向 3 函数的周期性及其应用 【典例3】(1)(2012·浙江高考)设函数f(x)是定义在R上的周 期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则f(
3 )=______. 2

(2)(2012·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,
?ax ? 1, ?1 ? x<0, ? 在区间[-1,1]上,f(x)= ? bx ? 2 ,0 ? x ? 1, ? ? x ?1 其中a,b∈R,若 f ( 1 ) ? f ( 3 ), 则a+3b的值为_______. 2 2

【思路点拨】(1)先根据周期性缩小自变量,再根据奇偶性把 自变量转到区间[0,1]上.
1 1 3 (2)利用周期性可知f(-1)=f(1),f( )=f(- )=f( ),列方程 2 2 2

组求解. 【规范解答】(1)≧函数f(x)是周期为2的偶函数,
3 3 1 1 1 3 ? f( ) ? f( ? 2) ? f( ? ) ? f( ) ? ?1 ? . 2 2 2 2 2 2 答案:3 2

(2)因为f(x)的周期为2, 所以 f ( 3 ) ? f ( 3 ? 2) ? f (? 1 ),
1 即 f( 1 ) ? f( ? ) , 2 2 2 2 2

又因为f(- 1 )=- 1 a+1,
b ?2 1 b?4 1 b?4 f( ) ? 2 ? , 所以 ? a ? 1 ? , 1 2 3 2 3 ?1 2

2

2

?3a+2b=-2

①,

又因为f(-1)=f(1),所以-a+1= b ? 2 ,即b=-2a
2

②,

将②代入①,得a=2,b=-4,?a+3b=2+3〓(-4)=-10. 答案:-10

【拓展提升】判断函数周期性的几个常用结论 若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有: ①f(x+a)=-f(x)(a≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它 的一个周期; ②f(x+a)=
1 (a≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的 f (x)

一个周期;

③f(x+a)=周期.

1 ,则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个 f (x)

【提醒】应用函数的周期性时,应保证自变量在给定的区间内 .

【变式训练】设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x, 恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数. (2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式. (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 013). 【解析】(1)≧f(x+2)=-f(x), ?f(x+4)=-f(x+2)=f(x), ?f(x)是周期为4的周期函数.

(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又f(x)是奇函数, ?f(-x)=-f(x)=-2x-x2, ?f(x)=x2+2x. 又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], ?f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).

又f(x)是周期为4的周期函数, ?f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8. (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数, ?f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =?=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0 , ?f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.

【创新体验】自变量与众不同的分段函数
1, x为有理数, 【典例】(2012·福建高考改编)设函数D(x)= ? ? ?0, x为无理数,

则下列结论错误的是________. ①D(x)的值域为{0,1} ②D(x)是偶函数 ③D(x)不是周期函数 ④D(x)不是单调函数

【思路点拨】

【规范解答】由已知条件可知,D(x)的值域是{0,1}, ①正确;当x是有理数时,-x也是有理数,且D(-x)=1, D(x)=1,故D(-x)=D(x),当x是无理数时,-x也是无理数, 且D(-x)=0,D(x)=0,即D(-x)=D(x),故D(x)是偶函数,②正 确;当x是有理数时,对于任一非零有理数a,x+a是有理数, 且D(x+a)=1=D(x),当x是无理数时,对于任一非零有理数b, x+b是无理数,所以D(x+b)=D(x)=0,故D(x)是周期函数,但 不存在最小正周期,③不正确;由实数的连续性易知,不存

在区间I,使D(x)在区间I上是增函数或减函数,故D(x)不是 单调函数,④正确. 答案:③

【思考点评】 1.方法感悟 本题充分考查了利用定义判断函数奇偶性、周期性、单调性的 方法.本题中自变量的范围分别是有理数和无理数,因此在判 断奇偶性时,应考虑-x与x的范围是否一致;在判断周期性时 应考虑x与x+a或x+b在a或b取何值时范围一致.

2.技巧提升 对于函数类创新题,常见的类型有讨论新函数的性质,利用新 函数进行计算,判断新函数的图象等,常见的方法有排除法、 特征分析法、特殊值法或定义法. 创新题目虽然构思巧妙,但考查的还是基本知识和基本技能, 解题的关键是抓住创新点充分利用定义,把新信息和所学知识 相结合求解.

1.(2013·苏州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且 f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=x+2,则f(7)=______. 【解析】≧f(x+4)=f(x), ?f(7)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-(1+2)=-3. 答案:-3

2.(2013·盐城模拟)定义域为(-1,1)的奇函数y=f(x)是减 函数,且f(a-3)+f(9-a2)<0,则a的取值范围是_______. 【解析】由题意f(a-3)<-f(9-a2), ?f(a-3)<f(a2-9),
??1 ? a ? 3 ? 1, ? ? ??1 ? a 2 ? 9 ? 1, 解得 2 2 <a<3. ?a ? 3 ? a 2 ? 9, ?

答案:( 2 2 ,3)

3.(2013·泰州模拟)设f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数, 若f(1)≤1,f(2)=(2a-3)(a+1),则实数a的取值范围是 _________.

【解析】≧f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数, ?f(x+3)=f(x),f(-x)=-f(x), ?f(2)=f(2-3)=f(-1)=-f(1), 又f(1)≤1,?f(2)≥-1, 即(2a-3)(a+1)≥-1,
?a ? 1 ? 17 1 ? 17 或a ? . 4 4 4 4

答案: a ? 1 ? 17 或a ? 1 ? 17

4.(2013·徐州模拟)设f(x)是连续的偶函数,且当x>0时, f(x)为单调函数,则满足f(x)=f(1_______. 【解析】由题意x=11 或-x=1- 1 , x?2 x?2 1 )的所有x之和为 x?2

即x2+x-1=0或x2+3x+1=0 ?x1+x2=-1或x3+x4=-3, ?x1+x2+x3+x4=-4. 答案:-4

1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时f(x)=3x+m(m为 常数),则f(-log35)的值为_______. 【解析】由题意知f(0)=1+m=0,?m=-1, ?f(x)=3x-1(x≥0), ?f(-log35)=-f(log35)=-( 3log 5 -1)=-4.
3

答案:-4

2.设偶函数f(x),当x≥0时,f(x)=x3-8,则{x|f(x-2)>0} =________. 【解析】由题意知f(2)=0=f(-2), f(x-2)>0?f(|x-2|)>f(2), 由f(x)在(0,+≦)上为增函数, ?|x-2|>2, ?x-2>2或x-2<-2, ?x>4或x<0. 答案:(-≦,0)∪(4,+≦)


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