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【红对勾】高中数学(人教A版)必修二练习:2-3-3、4直线与平面垂直的性质(含答案解析)


1.已知直线 a,b,平面 α,且 a⊥α,下列条件中,能推出 a∥b 的是( A.b∥α C.b⊥α 答案:C B.b ? α D.b∩α=A ) 2.△ ABC 所在的平面为 α,直线 l⊥AB,l⊥AC,直线 m⊥BC,m⊥AC,则直线 l,m 的位置关系是( A.相交 C.平行 ) B.异面 D.不确定 解析:因为 l⊥AB,l⊥AC,AB ? α,AC ? α 且 AB∩AC=A,所以 l⊥α,同理可证 m⊥α,所以 l∥m. 答案:C 3.设 α-l-β 是直二面角,直线 a ? α,直线 b ? β,a,b 与 l 都不垂直,那么( A.a 与 b 可能垂直,但不可能平行 B.a 与 b 可能垂直,也可能平行 C.a 与 b 不可能垂直,但可能平行 D.a 与 b 不可能垂直,也不可能平行 ) 解析:当 a,b 都与 l 平行时,则 a∥b,所以 A、D 错,如图,若 a⊥b,过 a 上一点 P 在 α 内作 a′⊥l,因为 α⊥β,所以 a′⊥β,又 b ? β,∴a′⊥b,∴b⊥α,而 l ? α,∴b⊥l, 与 b 和 l 不垂直矛盾,所以 B 错. 答案:C 4.如图,在三棱锥 P-ABC 内,侧面 PAC⊥底面 ABC,且∠PAC=90° ,PA=1,AB =2,则 PB=________. 解析:∵侧面 PAC⊥底面 ABC,交线为 AC,∠PAC=90° (即 PA⊥AC),∴PA⊥平面 ABC,∴PA⊥AB,∴PB= PA2+AB2= 1+4= 5. 答案: 5 5.已知 α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l. 求证:l⊥γ. 证明:方法 1:在 γ 内取一点 P,作 PA 垂直 α 与 γ 的交线于 A,PB 垂直 β 与 γ 的交线 于 B,则 PA⊥α,PB⊥β. ∵l=α∩β,∴l⊥PA,l⊥PB. 又 PA∩PB=P,且 PA ? γ,PB ? γ,∴l⊥γ. 图1 图2 方法 2:在 α 内作直线 m 垂直于 α 与 γ 的交线,在 β 内作直线 n 垂直于 β 与 γ 的交线, ∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥γ,n⊥γ. ∴m∥n.又 n ? β,∴m∥β. 又 m ? α,α∩β=l,∴m∥l.∴l⊥γ. 课堂小结 ——本课须掌握的两大问题 1.垂直关系之间的相互转化 2.平行关系与垂直关系之间的相互转化


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