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2013届高考数学知识点复习测试题16


第1讲

复数的的概念

★ 知 识 梳理 ★ 1.复数的定义:形如 a ? bi(a, b ? R) 的数叫复数,a 叫复数的实部,b 叫 复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集,用字母 C 表示 2.复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示,即 z ? a ? bi(a, b ? R) ,把 复数表示成 a ? bi 的形式,叫做复数的代数形式. 3.复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系:对于复数 a ? bi(a, b ? R) , 当且仅当 b ? 0 时, 复数 a ? bi(a, b ? R) 是实数 a ; b ? 0 时, 当 复数 z ? a ? bi 叫做虚数;当 a ? 0 且 b ? 0 时, z ? bi 叫做纯虚数;当且仅当 a ? b ? 0 时,
z 就是实数 0

4.复数集与其它数集之间的关系: N 苘Z Q 苘R C 5.两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那 么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果 a , b , c , d ? R ,那么
a ? bi ? c ? di ? a ? c , b ? d

6.复数的模:设 oz = a ? bi ,则向量 oz 的长度叫做复数 a ? bi 的模(或绝 对值) ,记作 a ? bi .

(1)

z ? a ? bi ? a 2 ? b 2



(2) z1 ? z 2 = z 2 ? z1 ; (3)
z1 z1 ? z2 z2



7.共扼复数:如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则这 两个复数互为共扼复数.

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点:理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚 数、实部、虚部、复数相等)
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2.难点:复数的有关概念的应用 3.重难点:. (1) 复数与实数的区别. 问题 1: 判断下列命题是否正确
2 (1)若 z ? C , 则 z ? 0

(2)若 z1 , z 2 ? C, 且 z1 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? z 2 (3)若 a ? b ,则 a ? i ? b ? i 点拨: (1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中, 从而(1) 是正

确的 (2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数, 也可推到复 数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2) 是正确的. (3)把不等式性质错误的推广到复数中,忽略不等式是在实 数中成立的 前提条件.
2 2 正解:(1)错,反例设 z ? i 则 z ? i ? ?1 ? 0

(2)错,反例设 z1 ? 2 ? i , z 2 ? 1 ? i ,满足 z1 ? z 2 ? 1 ? 0 ,但
z1 z2

不能比较大小. (3)错,? a ? b ,? a, b ? R ,故 a ? i , b ? i 都是虚数,不能比较大 小. (2)正确理解复数的相关概念 问题 2: 两个共扼复数的差是(
A .实数 B .纯虚数


D .零或纯虚数

C .零

点拨:当得到 z ? z ? 2bi 时就错误的选 B,忽略了 b 可以为零的条件. 正 解 : 设 互 为 共 扼 的 两 复 数 分 别 为 z ? a ? bi 及 z ? a ? bi(a, b ? R) 则
z ? z ? 2bi 或 z ? z ? 2bi

当 b ? 0 时, z ? z , z ? z 为纯虚数 当 b ? 0 时, z ? z ? 0 , z ? z ? 0 ,因此应选 D.

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点一:复数的概念 题型 1.考查基本概念 [例 1] (广东省四校联合体第一次联考) 下面四个命题 (1) 0 比 ?i 大 (2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数 (3) x ? yi ? 1 ? i 的充要条件为 x ? y ? 1 (4)如果让实数 a 与 ai 对应,那么实数集与纯虚数集一一对应,其中正 确的命题个数是( ) A
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0

B

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1

C

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2

D

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3

[解题思路]:抓住基本概念,以概念为辨析的依据。 解析:答案:A (1) 0 比 ?i 大,实数与虚数不能比较大小; (2)两个复数互为共轭复数时其和为实数,但是两个复数的和为实 数不一定是共轭复数; (3) x ? yi ? 1 ? i 的充要条件为 x ? y ? 1 是错误的,因为没有表明 x, y 是 否是实数; (4)当 a ? 0 时,没有纯虚数和它对应 [例 2] 实数 a 分别取什么值时,复数
z? a2 ? a ? 6 ? (a 2 ? 2a ? 15)i a?3 是

(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. [解题思路]:正确理解复数的相关概念.要特别注意复数 z=a+bi(a, b∈R)为纯虚数的充要条件是 a=0 且 b≠0.
a 2 ? a ? 6 (a ? 2)(a ? 3) ? 2 a?3 解析:实部 a ? 3 ,虚部 a ? 2a ? 15 ? (a ? 3)(a ? 5) .

(1)当 (2)当 (3) 当

时, z 是实数; ,且 或 时, z 是虚数; 时是纯虚数.

【名师指引】解决与复数基本概念相关问题的基本思想是:利用复数 的概念,联系以前学过的实数的性质,对复数的知识要有较完整的认 识,以及能利用转化的思想将复数问题转化为实数问题
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【新题导练】 1 . ( 广 东 省 惠 州 市 2008 届 高 三 第 三 次 调 研 考 试 ) 如 果 复 数
z ? a 2 ? a ? 2 ? (a 2 ? 3a ? 2)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为(

).

A.-2

B.1 C.2 D.1 或 -2 即 a ? ?2 ,故选择答案 A

?a 2 ? a ? 2 ? 0 ? ? 2 ? 解析: ?a ? 3a ? 2 ? 0

2 . ( 湖 南 省 雅 礼 中 学 2008 年 高 三 年 级 第 六 次 月 考 ) 计 算 :
i0! + i1! + i 2! + ? + i100! ?

( i 表示虚数单位)

答案:95+2i 解析:用好 i 的周期性: i 4n+1=i, i 4n+2=-1,
i 4n+3=-i, i 4n=1
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题型 2。与模相关的问题 [例 3] (广东省五校 2008 年高三上期末联考) 设复数 z 满足 Z ? | Z |? 2 ? i ,则 z =(
3 ? ?i A. 4 3 ?i B. 4 3 ? ?i C. 4


3 ?i D. 4

[解题思路]:解法 1 利用复数相等的条件;解法 2 利用复数模的性 质;解法 3 考虑选择题的特点. 解析:

z ? ?2 ? z ? ?1 ? 4 ? 4 z ? z ?1
2 2 2

,所以

z ?

5 3 z ? ?i 4 ,代入①得 4 ,故选 B .
2

?3? ? ? ?1 z ?0 解法 3:选择支中的复数的模均为 ? 4 ? ,又 ,而方程右边为

2+i,它的实部,虚部均为正数,因此复数 z 的实部,虚部也必须为 正,故选择 B.

【名师指引】要认真审题,看清题设条件,结论. 学会全面辩证的思 考问题,准确记忆有关概念及性质. 【新题导练】 3. (广东北江中学业 2008 届高三统测)

? z 满足 z ? 1,且 (3 ? 4i)?z 是纯虚数,求 z 设复数

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2 2 解析:设 z ? a ? bi,(a, b ? R) ,由 z ? 1得 a ? b ? 1 ;

(3 ? 4i)?z ? (3 ? 4i)(a ? bi) ? 3a ? 4b ? (4a ? 3b)i 是纯虚数,则 3a ? 4b ? 0

4 4 ? ? ? ?a ? ? 5 ? a 2 ? b 2 ? 1 ?a ? 5 ? ? ?? ,或 ? ? ? 4 3 4 3 ?3a ? 4b ? 0 ?b ? 3 ?b ? ? 3 ? z ? ? i, 或 ? ? i ? ? 5 5, ? ? 5 5 5 5

4.复数 z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则 z1=z2 的充 要条件是______. 答案:a=c 且 b2=d2
?a ? c ?? ? ?| b |?| d | a=c 且 b2=d2. 解析:z1=z2

★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练 1
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(四川省乐山市 2008 届第二次调研考试) )
8

?1 3 复数 (i ? i ) 的虚部为(

A

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8i

B

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? 8i

C

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D

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?8

答案:D 2
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1 i2 ?1 3 ?2 (i ? i ?1 )3 ? (i ? )3 ? ( ) ? ( )3 ? (2i)3 ? ?8i i i i ,虚部为 ?8

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(北京市东城区 2008 年高三综合练习) ) D
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使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( A
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z?z

?

B
?

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z ?z

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C

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z 2 为实数

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z ? z 为实数

?

答案:B

z ? z ? z ? R ; z ? z ? z ? R ,反之不行,例如 z ? ?2 ; z 2 为

实数不能推出

z ? R ,例如 z ? i ;对于任何 z , z ? z 都是实数

?

3

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(东北三校 2008 年高三联考)

4 5 6 12 4 5 6 12 设 z1 ? i ? i ? i ??? i , z2 ? i ? i ? i ??? i , 则 z1 , z2 的关系是( )

A

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z1 ? z2
z1 ?

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B

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z1 ? ? z2

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C

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z1 ? 1 ? z2

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D

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无法确定

答案:A
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i 4 (1 ? i 9 ) i 4 (1 ? i) 4 ? ? i ? 1, z2 ? i 4?5?6?7?...?12 ? i 72 ? 1 1? i 1? i

n ?n 2 4 (广东省五校 2008 年高三期末联考) 已知 f (n) ? i ? i (i ? ?1, n ? N )
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集合 ? f (n)? 的元素个数是( ) A
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2

B

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3

C

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4

D

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无数个 : B





1 f (0) ? i 0 ? i 0 ? 0, f (1) ? i ? i ?1 ? i ? ? 2i, f (2) ? i 2 ? i ?2 ? 0, f (3) ? i 3 ? i ?3 ? ?2i i

5.(广东省揭阳市 2008 年第一次模拟考试)设 i 为虚数单位,则 ? 展开式中的第三项为 A 30i
?15

1? i?

6

B ?15i
1? i?
6

C 30

D

解析:在 ?

2 2 展开式中, T3 ? C6 i ? ?15 ,故选 D.

6. (上海市部分重点中学 2008 届高三第二次联考)若 (a ? 2 i ) i ? b ? i , 其 中 a , b ? R , i 是虚数单位,则 a+b=__________ 答案:3

综合拔高训练
2 2 z ? a ? bi(a, b ? R, 且a ? 0) 是虚数,则 z, z, z, z , z , z ? z, z , z , z 中是 7.如果 2

虚数的有 答案: 4,5,3
? ? ?

个,是实数的有
?
? ?

个,相等的有
z , z , z ? z, z , z 2
2 ?



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z , z , z , z 四个为虚数;
2

2

五个为实数;

z ? z, z ? z , z ? z ? z

三组相等

8.(吉林省实验中学 2008 届高三年级第五次模拟考试)
2 3 2000 计算 i ? 2i ? 3i ? ? ? 2000i ?
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答案:1000 ? 1000i
2 3 2000 记 S ? i ? 2i ? 3i ? ? ? 2000i

iS ? i 2 ? 2i3 ? 3i 4 ? ? ? 1999i 2000 ? 2000i 2001

(1 ? i) S ? i ? i 2 ? i 3 ? i 4 ? ? ? i 2000 ? 2000i 2001 ?
S? ?2000i ? 1000 ? 1000i 1? i

i(1 ? i 2000 ) ? 2000i 2001 ? ?2000i 1? i

9. (成都四中 2008 高三数学统测)已知复数 z1 满足(1+i)z1=-1+5i, z2=a-2-i, 其中 i 为虚数单位,a∈R, 若 解 : 由 题 意 得 z1=
z1 ? z 2

< z1 ,求 a 的取值范围. =2+3i, 于 是

? 1 ? 5i 1? i

z1 ? z 2

2 = 4 ? a ? 2i = (4 ? a ) ? 4 , z1 = 13 .

(4 ? a) 2 ? 4

< 13 ,得 a2-8a+7<0, 解得 1<a<7.

(1 ? i) 2 (3 ? 4i) 2 2z 10.已知复数 z 满足: z ? 1 ? 3i ? z, 求 的值

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2 2 解:设 z ? a ? bi,(a, b ? R) ,而 z ? 1 ? 3i ? z, 即 a ? b ?1? 3i ? a ? bi ? 0



? a 2 ? b 2 ? a ? 1 ? 0 ?a ? ?4 ? ?? , z ? ?4 ? 3i ? ?b ? 3 ?b ? 3 ? 0 ?

(1 ? i)2 (3 ? 4i)2 2i(?7 ? 24i) 24 ? 7i ? ? ? 3 ? 4i 2z 2(?4 ? 3i) 4?i


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