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数学工具四 解析法


笛卡尔曾经在他的哲学著作《指导思维的法则》中提出了“通用数学”的思路,即任何问题一数学问题一代数问题一方程求解。其中,数学问题 向代数问题的转化非常明确地指出了解析思想的重要性,在向量、解三角形、立体几何等内容里都有广泛的应用,而且思路清晰,计算简单,是 我们在平时教学中应不断渗透的一种思想方法。 一 在向量中的应用

例(2009 年安徽)给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120 .如图所 示, C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? y 的 点 最大值是_. 解:建立坐标系如图所示

??? ?

??? ?

o

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? 1 3? A ?1,0 ? , B ? ? , ? ,设 C ? m, n ? ,由 ? m, n ? ? x ?1,0 ? ? ? 2 2 ?

? 1 3? y?? , ?, ? 2 2 ?

y ? 2 2 ?m ? x ? 2 y? ? 3 ? ? ? 2 2 得? ,又因为 m ? n ? 1 ,所以 ? x ? ? ? ? y? ?1, 2? ? 2 ? ? ?n ? 3 y ? ? 2
y ? ? x ? 2 ? cos ? ? 2? ? 再由参数方程 ? ,?0 ? ? ? 3 ? ? 3 y ? sin ? ? 2 ?
故x? y ?

? ?y ? ? ? ? ,所以 ? ? ?x ? ? ?

2 3 sin ? 3 , 3 sin ? ? cos ? 3

? ?? ? 3 sin ? ? cos ? ? 2sin ? ? ? ? ,当 ? ? 时,取得最大值 2 3 6? ?

本题将问题放在了单位圆中,使得坐标计算非常简单,再应用圆的参数方程使得本题较快地得到解决,当然本题还可以利用基本不等式,比较起 来,解析法更容易被同学们所想到 例2

(2008 江苏).若 AB ? 2, AC ?

2BC ,则 S ?ABC 的最大值
2

2 解:建立如图所示的坐标系,由已知条件得 A?1,0? , B(?1,0) ,设 C ? x, y ? ,由 AC ? 2BC 知, ? x ? 3? ? y ? 8 ,

故点 C 在以 D ? ?3,0? 为圆心,以 2 2 为半径的圆的最高位置,即高为半径时, ?ABC 取到面积最大值为 2 2
点评:本题如果用正余弦定理解决的话,计算将会比较繁琐,但是放到解析几何当中,只是阿波罗尼圆的一个特例,条理清晰,方法简单,易于 计算。 解析法在向量问题中的应用 例 2 已知 a , b

?

?

是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 , C )

?

? ?

? ?

则 c 的最大值是(

?

(A)1

(B)2

(C) 2

(D)

2 2

简解 设 a ? ?1,0? , b ? ? 0,1? , c ? ? x, y ? ,由 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,得 ?1 ? x ?? ? x ? ? ? ? y ??1 ? y ? ? 0
2 2 ? ? 2 1? ? 1? 1 ?1 1? ? 即 ? x ? ? ? ? y ? ? ? ,所以 c 的起点在坐标原点,终点在以 ? , ? 为圆心, 为半径的圆上,故 c 的最大 2 2? ? 2? 2 ?2 2? ?

?

?

?

? ?

? ?

值为 2 通过题中所给的已知条件,巧妙设出向量坐标,得出向量 的坐标运动曲线,转化为圆上动点到原点距离问题,从而体现解析
法的无穷魅力.

三 解析法在函数中的应用 例(4)已知函数 y ? 1 ? x ? x ? 3 的最大值为 M ,最小值为 m ,则

m 的值为 M

(A)

1 4

(B)

1 2

(C)

2 2

(D)

3 2

解:设 u ? 1 ? x , v ?

x ? 3 ,消去 x 得 u2 ? v 2 ? 4 ?u ? 0, v ? 0? ,其图像是圆 u2 ? v 2 ? 4 在第一象限的一部

分,如图所示,考虑直线系 u ? v ? y 中,与此圆相交的直线过点 0, 2 或

?

? ?

2,0 时,取得最小值 2 ,当直线与圆相

?

切时取得最大值易得切点为 ?1,1? ,所以函数 y ? 1 ? x ? x ? 3 的最大值为 2 2 ,因此

m 2 ? M 2

本题巧妙的利用换元,将函数问题转化为几何问题.利用数形结合迅速求出函数的最值,反映了数学知识所固有的内在联系,作为一种 解题思路,应有一定的借鉴价值

四 解析法在三角函数中的应用 (12)函数 f(x)=

1 1 1 1 1 1 2 2 sin x (0≤x≤2 ? )的值域是(A)[- , ] (B)[- , ](C)[- , ] (D)[- , ] 4 4 3 3 2 2 3 3 5 ? 4 cos x

【简解

sin x 具有两个向量夹角余弦值的几何意义 5 ? 4 cos x

构造 OA ? ? cos x ? 2,sin x ? , OB ? ? 0,1?
2 则 f ? x ? 为 OA 与 OB 夹角的余弦值,其中点 A 在圆 O1 : ? x ? 2 ? ? y ? 1 上运动,显然 OA 与⊙ O1 相切, 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 1 ? OA 与 OB 夹角有最值,点 A 在 A1 处时,OA 与 OB 夹角最小为 , f ? x ? 的最大值为 ,点 A 在 A2 处时,OA 与 OB 2 3 1 1 2? 1 夹角最小为 , f ? x ? 的最大值为 ? ,所以 f ? x ? 的值域为[- , ] 3 2 2 2



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