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直线与方程课件


基础梳理
1. 直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角 ①定义:直线向上的方向与x轴正方向所成的角,叫
做直线的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定 它的倾斜角为00. ②倾斜角的范围为0°≤α<1800 (2)直线的斜率 ①当直线与x轴不垂直时,直线的斜率k与倾斜 角α之间满足

k=tanα(α≠900) .

/>
(2)直线的斜率

②已知两点P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2,那么
直线PQ的斜率为 k ? y2 ? y1 (x1 ? x2 )
x2 ? x1

③斜率图象:

k

?
2

o

?

名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式

适用范围 y-y1=k(x-x1) 不含与x轴垂直的直线(x=x1) y=kx+b 不含垂直于x轴的直线
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

方程

不含与x轴垂直的直线x=x1和与 y轴垂直的直线y=y1

x y ? ?1 a b

一般式

不含与坐标轴垂直和过原点的 直线 Ax+By+C=0 平面直角坐标系内的任意一条 (A2+B2≠0) 直线都适用

典例分析
题型一 直线的倾斜角和斜率
[例 1] 求经过 A(m,3),B(1,2)两点的直线的斜率, 并指出倾斜角 α 的取值范围.

[解] 当 m=1 时,直线的斜率不存在,此时直线的 倾斜角为 α=90° . 3-2 1 当 m≠1 时,由斜率公式可得 k= = . m- 1 m- 1 1 ① 当 m>1 时,k= >0,所以直线的倾斜角的 m- 1 取值范围是 0° <α<90° . 1 ② 当 m<1 时,k= <0,所以直线的倾斜角的 m- 1 取值范围是 90° <α<180° .

题型一

直线的倾斜角和斜率

【例2】求直线xcosα+ 3y +2=0的倾斜角的取值范围。
分析 解 先求斜率的取值范围,再求倾斜角的取值范围. 因为直线xcosα + 3y +2=0,

所以直线的斜率为k= ?

cosα 3

.
cosα . 3

设直线的倾斜角为β ,则tan β = ?

3 3 3 cosα 3 ? ? tan β ? 又因为 ? ,即 ?? ? 3 3 3 3 3
π? ?5π ? 所以 β? ?0, ? ,π? . ? ? 6? ? ? ? 6 ?

典例分析
题型一直线的倾斜角和斜率
【例2】求直线xcosα + 3y+2=0的倾斜角的取值范围。 求倾斜角范围的步骤是: (1)求出斜率的取值范围; (2)利用正切函数的单调性,结合图象,确定倾 斜角的取值范围。

举一反三
1. 直线xcosθ+y-1=0(θ∈R)的倾斜角的取值范围是 解析: 设倾斜角为α,则k=tanα=-cosθ. .

∵θ∈R,-1≤-cos θ≤1, 即 -1≤tan α≤1,
∴ α∈
? π? ?3 ? 0, ? π,π ? ? ? ? ? 4 ? ?4 ?

题型二

求直线的方程

【例3】求下列直线l的方程.

3 (1)过点A(0,2),它的倾斜角的正弦是 ; 5
倾斜角的一半。

(2)过点A(2,1),它的倾斜角是直线l1:3x+4y+10=0的

分析 由已知条件求出直线的斜率,然后用适当形式

3 解 (1)设直线l的倾斜角为α ,则sinα = , 5 3 ∴tanα =± ,∴l的方程为y=± 3 x+2,
4 4 即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0.

写出直线的方程.

题型二

求直线的方程

【例3】求下列直线l的方程. (2)过点A(2,1),它的倾斜角是直线l1:3x+4y+10=0的 倾斜角的一半。
β 解(2)设直线l和l1的倾斜角分别为α 、β ,则有α = 2 3 3 又tanβ =- ,∴tanβ =tan2α = 2tan α =, 2 4 1 - tan α 4

1 解得tanα =3或tanα = ? . 3 ∵ π <β <π ,∴ π<α = β < π,∴tanα >0.

∴tanα = ? 1 舍去,∴tanα =3.
3

2

4

2

2

由点斜式得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.

题型二
[例 4]

求直线的方程
过点 A(-5, -4)作一直线 l, 使它与两坐标轴相

交且与两轴所围成的三角形的面积为 5,求直线 l 的方程.

[解]

由题意知,直线l的斜率存在.设直线为y+4=

4 k(x+5),交x轴于点(k-5,0),交y轴于点(0,5k-4), 1 4 S=2× |k-5|× |5k-4|=5, 得25k2-30k+16=0(无实根),或25k2-50k+16=0, 2 8 解得k=5,或k=5, 所以所求直线l的方程为2x-5y-10=0, 或8x-5y+20=0.

举一反三
2.已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,

且过点(6,-2),求直线l的方程.
解:设直线l在y轴上的截距为b,则其在x轴上的 x y 截距为b+1,设其方程为 + =1. b+1 b 由于直线l过点(6,-2), -2 6 所以 + b =1,b=1或b=2. b+1 所以直线l的方程为x+2y-2=0或2x+3y-6=0.

举一反三
3. 设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上截距相等,求l的方程; (2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围. 解析: (1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上

的截距为零,当然相等,∴a=2,方程即为3x+y=0;

当直线不过原点时,∵截距存在且均不为0,
∴ a ? 2 =a-2,即a+1=1,
a?1

∴a=0,方程即为x+y+2=0.

[点评]

求直线方程的方法及方程形式的选择

(1)待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法.
(2)方程形式的选择; 已知一点通常选择点斜式(要考查斜率不存在的情况); 已知斜率选择斜截式或点斜式;已知截距或两点选择截 距式或两点式.


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