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湖南省湘西州边城高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)


湖南省湘西州边城高中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
一、选择题(10×3′=30′) 1. (3 分)复数 z=2+i,则 z 在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 2. (3 分)已知函数 y=x+2,则 y′=() A.x B.x+2

D.第四象限

C. 1

D.2

3. (3 分)为研究某大学女大学生的身高 xcm 和体重 ykg 的相关关系,据所抽取 8 名女生测 得的数据可计算出线性回归方程为 ,由此方程知,当 x=172(cm)时,

y=60.316(kg) ,下列说法正确的是() A.身高为 172cm 的女大学生的体重是 60.316kg B. 身高为 172cm 的所有女大学生的平均体重必为 60.316kg C. 身高为 172cm 的女大学生的体重多数在 60.316kg 左右 D.以上说法均不对 4. (3 分)复数 z1=1+i,z2=3+ai,且 3z1=z2,则 a=() A.0 B. 1 C. 2
2

D.3

5. (3 分)已知函数 f(x)=x 的图象如图所示,且点 A、B、C、D 在图象上,问函数 f(x) 2 =x 在哪点附近增长最快()

A.A 点
4

B. B 点

C. C 点

D.D 点

6. (3 分)计算:2i =() A.﹣2 B. 2

C.﹣2i

D.2 i

7. (3 分)已知复数 z=2+i,则复数 z 的虚部为() A.2 B. 0 C. 1

D.i

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

8. (3 分)曲线 C 经过伸缩变换 程为() A. B.

后,对应曲线的方程为:x +y =1,则曲线 C 的方

2

2

C.

D.4x +9y =1

2

2

9. (3 分)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=sinθ,则曲线 C 为() A.直线 B. 圆 C.双曲线
3 2

D.抛物线

10. (3 分)已知函数 f(x)=x ﹣px ﹣qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点,则 f(x)的极大 值、极小值分别为() A. ,0 B . 0, C. ﹣ ,0 D.0,﹣

二、填空题(6×3′=18′) 11. (3 分)用反证法证明命题:“ 设应为. 不可能是等比数列”时,则证明的第一步假

12. (3 分)已知线性回归直线方程

及样本中心(1,4) ,则 a=.

13. (3 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是.

14. (3 分)计算:

=.

15. (3 分)已知点 M 的极坐标为

,则该点的直角坐标为.

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16. (3 分)古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图:则第 20 个图共有 个黑点.

三、解答题(17~19 每题 10 分,20、21 题每题 11 分) 17. (10 分)当实数 a 为何值时,使得复数 z=(a﹣2)+(a+1)i (1)是实数? (2)是虚数? (3)是纯虚数? 18. (10 分)用分析法证明: .

19. (10 分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区 调查 500 位老人,结果如下: 男 女 合计 需要 40 30 70 不需要 160 270 430 合计 200 300 500 (1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?附: 2 P(K ≥k) 0.50 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 20. (11 分)已知函数 f(x)=x +1. 3 (1)求函数 f(x)=x +1 在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)求该函数的单调区间. 21. (11 分)设函数 f(x)是定义在上的偶函数,当 x∈ (1)当 x∈(0,1]时,求 f(x)的解析式; (2)若 a>3,试判断 f(x)在(0,1]上的单调性,并证明你的结论; (3)是否存在 a,使得当 x∈(0,1]时,f(x)有最大值 1?
3

湖南省湘西州边城高中 2014-2015 学年高二上学期期中 数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

一、选择题(10×3′=30′) 1. (3 分)复数 z=2+i,则 z 在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案. 解答: 解:∵复数 z=2+i,则 z 在复平面内对应的点的坐标为(2,1) ,位于第一象限, 故选:A. 点评: 本题考查了复数的代数表示法及其几何意义,是基础题. 2. (3 分)已知函数 y=x+2,则 y′=() A.x B.x+2

C. 1

D.2

考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据导数的公式即可得到结论. 解答: 解:∵y=x+2, ∴y′=1, 故选:C 点评: 本题主要考查导数的基本运算,比较基础. 3. (3 分)为研究某大学女大学生的身高 xcm 和体重 ykg 的相关关系,据所抽取 8 名女生测 得的数据可计算出线性回归方程为 ,由此方程知,当 x=172(cm)时,

y=60.316(kg) ,下列说法正确的是() A.身高为 172cm 的女大学生的体重是 60.316kg B. 身高为 172cm 的所有女大学生的平均体重必为 60.316kg C. 身高为 172cm 的女大学生的体重多数在 60.316kg 左右 D.以上说法均不对 考点: 回归分析的初步应用. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 回归分析得到的是预报值,不能代替实际值,仅能说明身高为 172cm 的女大学生 的体重多数在 60.316kg 左右. 解答: 解:由回归分析可知, 身高为 172cm 的女大学生的体重多数在 60.316kg 左右, 故选 C. 点评: 本题考查了回归分析的应用,属于基础题. 4. (3 分)复数 z1=1+i,z2=3+ai,且 3z1=z2,则 a=() A.0 B. 1 C. 2 考点: 复数相等的充要条件.
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D.3

专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则与复数相等即可得出. 解答: 解:∵复数 z1=1+i,z2=3+ai,3z1=z2, ∴3+3i=3+ai ∴a=3. 故选:D. 点评: 本题考查了复数的运算法则与复数相等,属于基础题. 5. (3 分)已知函数 f(x)=x 的图象如图所示,且点 A、B、C、D 在图象上,问函数 f(x) 2 =x 在哪点附近增长最快()
2

A.A 点

B. B 点

C. C 点

D.D 点

考点: 变化的快慢与变化率. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 由题意求导 f′(x)=2x,比较导数的大小即可. 解答: 解:f′(x)=2x, ∵点 A、B、C、D 对应的横坐标中 D 点对应的最大, ∴在点 D 处的切线的斜率最大, 故选 D. 点评: 本题考查了导数的几何意义的应用,属于基础题. 6. (3 分)计算:2i =() A.﹣2 B. 2
4

C.﹣2i

D.2 i

考点: 虚数单位 i 及其性质. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则即可得出. 4 解答: 解:∵i =1. ∴原式=2. 点评: 本题考查了复数的运算法则,属于基础题. 7. (3 分)已知复数 z=2+i,则复数 z 的虚部为() A.2 B. 0 C. 1 考点: 复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用虚部的定义即可得出.
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D.i

解答: 解:∵复数 z=2+i,∴复数 z 的虚部为 1. 故选:C. 点评: 本题考查了虚部的定义,属于基础题.

8. (3 分)曲线 C 经过伸缩变换 程为() A. B.

后,对应曲线的方程为:x +y =1,则曲线 C 的方

2

2

C.

D.4x +9y =1

2

2

考点: 平面直角坐标轴中的伸缩变换. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 直角坐标系中的伸缩变换只要是利用变换前的关系式, 变换关系, 变换后的关系式, 只要知道其中的两个变量就可以求出点三个变量. 本题知道第二、 第三个变量求第一个变量. 解答: 解:曲线 C 经过伸缩变换 ①后,对应曲线的方程为:x′ +y′ =1②,
2 2

把①代入②得到: 故选:A 点评: 本题考查的知识要点:直角坐标系中的函数关系式的伸缩变换,属于基础题型. 9. (3 分)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=sinθ,则曲线 C 为() A.直线 B. 圆 C.双曲线

D.抛物线

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 2 2 2 分析: 曲线 C 的极坐标方程 ρ=sinθ 化为:ρ =ρsinθ,化为 x +y =y,即可得出所表示的曲 线. 解答: 解: 曲线 C 的极坐标方程 ρ=sinθ 化为: ρ =ρsinθ, ∴x +y =y, 即 因此曲线 C 表示圆. 故选:B. 点评: 本题考查了圆的极坐标方程方程,属于基础题. 10. (3 分)已知函数 f(x)=x ﹣px ﹣qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点,则 f(x)的极大 值、极小值分别为() A. ,0 B . 0, C. ﹣ ,0 D.0,﹣
3 2 2 2 2

= .

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题.
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分析: 对函数求导可得,f′(x)=3x ﹣2px﹣q,由 f′(1)=0,f(1)=0 可求 p,q,进而 可求函数的导数,然后由导数判断函数的单调性,进而可求函数的极值 解答: 解:对函数求导可得,f′(x)=3x ﹣2px﹣q, 由 f′(1)=0,f(1)=0 可得 ,解得 ∴f(x)=x ﹣2x +x. 由 f′(x)=3x ﹣4x+1=0,得 x= 或 x=1, 当 x≥1 或 x≤ 时,函数单调递增;当 ∴当 x= 时,f(x)取极大值 时,函数单调递减
2 3 2 2

2



,当 x=1 时,f(x)取极小值 0,

故选 A. 点评: 本题主要考查了导数在求解函数的单调性、 函数的极值中的应用, 属于导数基本方 法的应用 二、填空题(6×3′=18′) 11. (3 分)用反证法证明命题:“ 设应为“ 是等比数列”. 考点: 反证法与放缩法. 专题: 推理和证明. 分析: 写出命题“ 不可能是等比数列”的否定为,即为所求. 解答: 解:根据用反证法证明数学命题的方法和步骤,应先假设命题的否定成立, 而命题“ 不可能是等比数列”的否定为:“ 是等比数列”. 故答案为:“ 是等比数列”. 点评: 本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤, 求一个命题的否定, 属于中档 题. 不可能是等比数列”时,则证明的第一步假

12. (3 分)已知线性回归直线方程

及样本中心(1,4) ,则 a=1.

考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: 利用回归直线方程经过样本中心,代入求解即可. 解答: 解:线性回归直线方程 及样本中心(1,4) ,

所以 4=3×1+a,解得 a=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查回归直线方程的应用,基本知识的考查. 13. (3 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是 11.
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考点: 循环结构. 专题: 计算题. 分析: 按照循环结构的流程, 列举出每个循环的变量的取值, 与循环条件对比即可得结果 解答: 解:依此程序框图,变量 a 的变化依次为 1,1 +2=3,3 +2=11 不满足循环条件 a <10,故输出 11 故答案为 11 点评: 本题考察了算法的表示方法,程序框图的意义,循环结构的流程规则
2 2

14. (3 分)计算:

=



考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则即可得出. 解答: 解:原式= 故答案为:= . = = ,

点评: 本题考查了复数的运算法则,属于基础题.

15. (3 分)已知点 M 的极坐标为

,则该点的直角坐标为(



) .

考点: 专题: 分析: 解答:

点的极坐标和直角坐标的互化. 坐标系和参数方程. 直接利用极坐标与直角坐标的互化,求出结果即可. 解:∵x=ρcosθ,y=ρsinθ. ,则该点的直角坐标为( , ) .

∴点 M 的极坐标为

故答案为: ( , ) . 点评: 本题考查了极坐标化为直角坐标的方法,属于基础题.
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16. (3 分)古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图:则第 20 个图共有 210 个黑点.

考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 根据已知中第 1 个图中黑点有 1 个,第 2 个图中黑点有 1+2 个,第 3 个图中黑点 有 1+2+3 个, 第 4 个图中黑点有 1+2+3+4 个, …归纳可得第 n 个图中黑点有 1+2+3+…+n 个, 进而得到答案. 解答: 解:由已知中: 第 1 个图中黑点有 1 个, 第 2 个图中黑点有 3=1+2 个, 第 3 个图中黑点有 6=1+2+3 个, 第 4 个图中黑点有 10=1+2+3+4 个, … 故第 n 个图中黑点有 1+2+3+…+n= 个,

当 n=20 时,共有黑点 210 个, 故答案为:210 点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的 相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) . 三、解答题(17~19 每题 10 分,20、21 题每题 11 分) 17. (10 分)当实数 a 为何值时,使得复数 z=(a﹣2)+(a+1)i (1)是实数? (2)是虚数? (3)是纯虚数? 考点: 复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: (1)直接利用复数的虚部为 0 求解即可. (2)利用复数的虚部不为 0,求解即可. (3)复数的实部为 0,虚部不为 0,求解即可. 解答: 解:复数 z=(a﹣2)+(a+1)i (1)a+1=0,解得 a=﹣1,此时复数是实数. (2)a+1≠0,即 a≠﹣1 复数是虚数. (3)当 a﹣2=0,即 a=2 时复数是纯虚数. 点评: 本题考查复数的基本概念的应用,基本知识的考查. 18. (10 分)用分析法证明: .

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考点: 综合法与分析法(选修) . 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 要证不等式成立,只要证 10+2 <20,即证 <25 显然成立,从而得到要证的不等式成立. 解答: 证明:要证 只要证 10+2 <20, 即证 <5. 故只要证 21<25, 而 21<25 显然成立, ,

<5.故只要证 21<25,而 21

显然成立,故 成立. 点评: 本题主要考查用分析法证明不等式, 把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分 条件,直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止,利用了要证 a>b(b>0) ,只要证 a >b . 19. (10 分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区 调查 500 位老人,结果如下: 男 女 合计 需要 40 30 70 不需要 160 270 430 合计 200 300 500 (1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?附: P(K ≥k) k .
2 2 2

0.50 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

考点: 独立性检验的应用. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)用频率估计概率,从而得到需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值; (2)由公式 计算 k 的值,从而查表即可. =14%;

解答: 解: (1)需要志愿者提供帮助的老年人的比例估计为

(2)由

代入得,

k=
2

≈9.967>6.635;

查表得 P(K ≥6.635)=0.01; 故有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关. 点评: 本题考查了独立性检验的应用,属于基础题.

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20. (11 分)已知函数 f(x)=x +1. 3 (1)求函数 f(x)=x +1 在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)求该函数的单调区间. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 先根据切点在曲线上求出 m 的值,然后利用导数的几何意义求出在 x=1 处的导数 即为切线的斜率,从而求出切线方程. (2)利用导数的正负,即可求函数 f(x)的单调区 间. 解答: 解: (1)∵点 P(1,f(1) )为切点 ∴f(1)=2, ∴P (1,2)为切点, ∵y′=3x ∴y′|x=1=3,切点为(1,2) 3 ∴函数 f(x)=x +1 在点(1,2)切线方程为 y﹣2=3(x﹣1) ,整理得 y=3x﹣1 3 所以函数 f(x)=x +1 在点(1,f(1) )处的切线方程切线方程:3x﹣y﹣1=0; 2 (2)f′(x)=3x ≥0 恒成立, 令 f′(x)>0,可得 x<0 或 x>1;令 f′(x)<0,可得 0<x<1, ∴f(x)在定义域内是增函数,单调递增区间是(﹣∞,+∞) . 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程、 函数的单调区间, 明确导数的 几何意义,正确求导是关键.属于基础题. 21. (11 分)设函数 f(x)是定义在上的偶函数,当 x∈时,求 f(x)的解析式; (2)若 a>3,试判断 f(x)在(0,1]上的单调性,并证明你的结论; (3)是否存在 a,使得当 x∈(0,1]时,f(x)有最大值 1? 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题. 分析: (1)先由函数是偶函数得 f(﹣x)=f(x) ,然后将所求区间利用运算转化到已知 区间上,代入到上,函数的解析式. (2)先求导函数,然后利用导数的符号确定函数 f(x)在(0,1]上的单调性; (3)讨论 a,分别利用导数研究函数在(0,1]上的最值,然后建立等式关系,解之即可. 2 解答: 解: (I)设 x∈(0,1],则﹣x∈?3x ∈上为增函数.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣7 分 (III)当 a>3 时,f(x)在(0,1]上是增函数,fmax(x)=f(1)=a﹣1=1?a=2. (不合题意,舍去)﹣﹣﹣8 分 当 x f'(x) f(x) + 0 最大值 ﹣ .如下表:
2

3

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.﹣﹣

﹣﹣﹣﹣(10 分) 2 当 a<0 时,f'(x)=a﹣3x <0,f(x)在(0,1]上单调递减,f(x)在(0,1]无最大值. ∴存在 上有最大值 1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评: 本题主要考查了解析式的求解以及函数的单调性, 同时考查了利用导数研究闭区间 上的最值,属于中档题.

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