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湖北省部分重点高中(麻城一中、新洲一中、黄陂一中盘龙校区等)2015-2016学年高一数学下学期期中联考试题


湖北省 2016 年春季部分重点中学期中联考 高二数学试卷(文科)
考试时间:2016 年 4 月 27 日上午 8:00~10:00 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.设 i 为虚数单位,则复数 A.1 B.i 的虚部是( ) C.﹣1 D.﹣i 试卷满分:150 分

2.已知全集 U=R, A ? x log

4 x ? 1 , B ? x ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 A ? ? CU B ? 为 (
2

?

?

?

?



A.

?0,1?
) =1

B.

??3,1?

C. ?1, 4 ?

D.

? 0,1?

3.已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ,它的长轴长等于圆 C:x2+y2﹣2x﹣15=0 的半径,则椭圆的标准 方程是( A. +

B.

+

=1

C.

+y =1

2

D.

+

=1 )

4. 已知命题 p、 q ,如果 ? p 是 ? q 的充分而不必要条件,那么 q 是 p 的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 5. 阅读如图的程序框图,若输出 s 的值为﹣7,则判断框内可填写( A.i<3 B.i<4 C.i<5 ) D.i<6

6.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数 a,b,c 中 恰有一个偶数”,正确的反设为( A.a,b,c 中至少有两个偶数 C.a,b,c 都是奇数 7. 有下列说法: ①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适. ②相关指数 R2 来刻画回归的效果,R2 值越小,说明模型的拟合效果越好. ③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好 其中正确命题的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3 ) B.a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 D.a,b,c 都是偶数

1

8.设 a, b ? R, a ? 2b ? 6, 则a ? b 的最小值是(
2 2

) D. ?

A. ?3

B. ?

5 3 3

C.-2

7 2

9.若

f ? x ? ? ex cos x ,则此函数图象在点 ?1, f ?1? ? 处的切线倾斜角为(

) )

A.0 B.锐角 C.直角 D.钝角 10. 椭圆的四个顶点 A,B,C,D 构成四边形为菱形, 若菱形 ABCD 的内切圆恰好过焦点, 则椭圆离心率为 ( A.

3 5 2
2

B.

3? 5 8

C.

5 ?1 2

D.

5 ?1 4

11.若函数 f ( x) ? x ? x ? ln x ? 1在其定义域的一个子区间 (2k ? 1, k ? 2) 内不是单调函数,则实数 k 的 取值范围是( ) A. ? ?

? ?

3 3? , ? 2 4?
2

B. ? ,3 ?

?1 ? ?2 ?

C. ? ?

? ?

3 ? ,3 ? 2 ?

D. ? , ?

?1 3 ? ?2 4 ?

12.抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A,B 是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB= 段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N,则 A. B.

2? .设线 3

MN 的最大值是( AB
C.

) D.

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知双曲线的渐近线方程为 y ? ?2 x ,则其离心率大小是___ 14. ?x ??1,3? 使 a ? x ? .

1 ? 0 ,则 a 的取值范围为 __________. x

15.从 1 ? 1 , 1 ? 4 ? ?(1 ? 2) , 1 ? 4 ? 9 ? 1 ? 2 ? 3 , 1 ? 4 ? 9 ? 16 ? ?(1 ? 2 ? 3 ? 4) ,?, 推广到第 n 个等式为 .

16.已知 f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数,且满足以下条件: ①f(x)=a g(x)(a>0,a≠1);
x

②g(x)≠0;

③f(x)g'(x)>f'(x)g(x)



,则 a=

.

2

三、解答题(共 70 分) 17. (满分 12 分)已知命题 p:x ﹣2x+a≥0 在 R 上恒成立,命题 q: 或 q 为真, ? p 为真,求实数 a 的取值范围.
2

若p

18. (满分 12 分)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次试验,得到 的数据如下: 零件的个数 x(个) 加工的时间 y(小时) 2 2. 5 (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图; (2)求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ,并在坐标系中画出回归直线; (3)试预测加工 10 个零件需要多少时间? 3 3 4 4 5 4. 5

参考公式:回归直线 =bx+a,其中 b=

=

,a= ﹣

b

19.(满分 12 分) 在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 124 人,其中女性 70 人,男性 54 人,女性中有 43 人主 要的休闲方式是看电视,其余人主要的休闲方式是运动;男性中有 21 人主要的休闲方式是看电视,其 余人主要的休闲方式是运动. (1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表;

3

(2)能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为休闲方式与性别有关系.独立性检验观察值计算 公式 P(K ≥k0) k0
2

,独立性检验临界值表: 0.50 0.25 0.15 0.05 0.025 0.01 6.635 0.005 7.879

0.455 1.323 2.072 3.841 5.024

20. (满分 12 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的点到右焦点 F 的最小距离是 2 ? 1 ,F 到上顶点的距离为 2 , a2 b2

点 C ( m,0) 是线段 OF 上的一个动点. (I)求椭圆的方程; (Ⅱ)是否存在过点 F 且与 x 轴不垂直的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两点,使得 (CA ? CB) ? BA ,并说明 理由.

21. (满分 12 分) 已知函数 .

(Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点 P(1,f(1))处的切线与直线 y=x+2 垂直,求函数 y=f(x)的单调区间. (Ⅱ)若对于? x∈(0,+∞)都有 f(x)>2(a﹣1)成立,试求 a 的取值范围; (Ⅲ)记 g(x)=f(x)+x﹣b(b∈R).当 a=1 时,函数 g(x)在区间[e ,e]上有两个零点,求实数 b 的取值范围.
﹣1

22.(满分 10 分)在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点 M 的极坐标为 ,曲线 C 的参数方程为 (α 为参数).

(I)求直线 OM 的直角坐标方程; (Ⅱ)求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值.

4

湖北省 2016 年春季部分重点中学期中联考 高二数学(文科)参考答案

题号 答案

1 C

2 D

3 A

4 B

5 D

6 B

7 C

8 A

9 D

10 C

11 D

12 B

13、 5 或

5 2

14、 ? ?

? 10 ? , ?? ? ? 3 ?
16.

15、 1 ? 2 2 ? 32 ? 4 2 ? ? ? (?1) n?1 ? n 2 ? (?1) n?1 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n) 17.解:若 P 是真命题.则△=4﹣4a≤0∴a≥1; ?(3 分) 若 q 为真命题,则方程 x2+2ax+2﹣a=0 有实根, ∴△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,即,a≥1 或 a≤﹣2,?(6 分) 依题意得, p 假 q 真?(9 分) a 的取值范围为 a≤﹣2.?(12 分) 18.解:解:(1)作出散点图如下:

1 2

?(3 分)

(2) = (2+3+4+5)=3.5,

= (2.5+3+4+4.5)=3.5,?(5 分)

=54,

xiyi=52.5

∴b=

=0.7,a=3.5﹣0.7×3.5=1.05,

∴所求线性回归方程为:y=0.7x+1.05?(10 分) (3)当 x=10 代入回归直线方程,得 y=0.7×10+1.05=8.05(小时). ∴加工 10 个零件大约需要 8.05 个小时?(12 分)

5

19. 解:(1)(6 分) 看电视 男性 女性 合计 21 43 64 运动 33 27 60 合计 54 70 124

(2) 在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为休闲方式与性别有关系 ?(12 分)

所以不能

20. 解析:(1)由题意可知 a ? c ? 2 ? 1 且 c ? b ? 2 ,解得 a ? 2, b ? c ? 1 ,
2 2

? 椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ; ?(4 分) 2

(2)由(1)得 F (1,0) ,所以 0 ? m ? 1 .假设存在满足题意的直线 l ,设 l 的方程为

y ? k ( x ? 1) ,代入

x2 ? y 2 ? 1 ,得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 , 2
1

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x

? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x2 ? 2 2k ? 1 2k 2 ? 1

① ?(6 分)

? y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ? 2) ?

? 2k , 2k 2 ? 1

? CA ? CB ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x2 ? m, y 2 ) ? (

4k 2 ? 2k ? 2m, 2 ) , 2 2k ? 1 2k ? 1

? (CA ? CB) ? AB, 而 AB 的方向向量为 (1, k ) ,
4k 2 ? 2k ? 2 ? 2m ? 2 ? k ? 0 ? (1 ? 2m)k 2 ? m 2k ? 1 2k ? 1
?(8 分)

?当 0 ? m ?
线l .

1 1 m 时, k ? ? ,即存在这样的直线 l ;当 ? m ? 1 时, k 不存在,即不存在这样的直 2 2 1 ? 2m
?(12 分)

21.解:(Ⅰ)直线 y=x+2 的斜率为 1,函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 因为 ,所以, ,所以,a=1.

6

所以,



. 由 f'(x)>0 解得 x>2;由 f'(x)<0,解得 0<x

<2.所以 f(x)的单调增区间是(2,+∞),单调减区间是(0,2). ?(4 分) (Ⅱ) ,由 f'(x)>0 解得 ; 由 f'(x)<0 解得 所以,f

(x)在区间 所以,当

上单调递增,在区间 时,函数 f(x)取得最小值,

上单调递减. .因为对于? x∈(0,+∞)都有

f(x)>2(a﹣1)成立, 所以, 即可. 则 .



解得

. . ?(8 分)

所以,a 的取值范围是

(Ⅲ) 依题得 由 g'(x)>0 解得 x>1;

,则 由 g'(x)<0 解得 0<x<1.



所以函数 g(x)在区间(0,1)为减函数,在区间(1,+∞)为增函数.

又因为函数 g(x)在区间[e ,e]上有两个零点,所以

﹣1



解得



所以,b 的取值范围是



22.解: (Ⅰ) 由点 M 的极坐标为 即 M(4,4). ∴直线 OM 的直角坐标方程为 y=x. (Ⅱ)由曲线 C 的参数方程
2

, 得点 M 的直角坐标





?(4 分) (α 为参数),消去参数 α 得普通方程为:(x﹣1)

+y2=2.

7

∴圆心为 A(1,0),半径

,由于点 M 在曲线 C 外, = .?(10 分)

故点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值为|MA|﹣r=

8


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