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高中新课程数学(新课标人教B版)必修一2.4.1《函数的零点》教案


2.4.1 函数的零点 教案
教学目标: 1、知识目标:理解函数零点的意义,能判断二次函数零点的存在性,会求简单函数的零点, 了解函数的零点与方程根的关系 . 2、能力目标:体验函数零点概 念的形成过程,引导学生学会用转化与数形结合思想方法研 究问题,提高数学知识的综合应用能力. 3、情感目标:让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想. 重点、难点: 教学过程: 一.自主达标 1.如果函数y=f(x )在实数处的值等于零,即f(x)=0,则x叫做 . 2.把一个函数的图像与 叫做这个函数的零点. 3.二次函数y=a x 2 +bx+c(a ? 0),当 Δ = b2 -4ac>0时,二次函数有 Δ = b2 -4ac=0时,二次函数有 Δ = b2 -4ac<0时,二次函数有 个零点; 个零点; 个零点.

4.二次函数零点的性质: ( 1)二次函数的图像是连续的,当它通过零点时(不是二重零点), . (2)在相邻的两个零点之间所有 . 二。典例解析 例1.若函数f(x)= x 2 +ax+b的两个零点是2和-4,求a,b的值. 例 1、解:函数f(x)= x 2 +ax+b的两个零点是2和-4,也就是方程 x 2 + ax+b=0的两个根是2和-4,由根与系数的关系可知 ?

?2 ? (?4) ? ?a 得a=2,b ?2 ? (?4) ? b

=-8. 评析:反常的根与函数零点的关系以及反常的根与系数的关系是本体解决关键. 例2.求证:方程5 x -7x-1=0的一个根在(-1,0)上,另一个根在(1, 2)上. 例 2、证明:设f(x)=5 x -7x-1,则f(-1)f(0)=-11<0, f(1)(2)=-15<0.而二次函数f(x)=5 x -7x-1是连续的.所以, f(x)在(-1,0)和(1,2)上分别有零点. 即方程5 x -7x- 1=0的根一个在(-1,0)上,另一个(1,2)在上.
2 2 2 2

评析:判断函数是否在(a,b)上存在零点,除验证f(a) ? f( b)<0是否 成立外,还需考察函数是否在(a,b)上连续.若判断根的个数问题,还须结合函数的单 调性. 例3:学校请了30名木工,要制作200把椅子和100张桌子.已知制作一张桌 子与制作一把椅子的工时数之比为10:7,问30名工人应当如何分组(一组制桌子,另 一组制椅子),能使完成全部任务最快? 例 3、解:设名x工人制桌子,(30-x)名工人制椅子,一个工人在一个单位时 间里可制7张桌子或10把椅子,所以 制作100张桌子所需时 间为函数p(x)=

100 ,制作200把椅子所需时间为函 7x

数q (x) =

200 , 完成全部任务所需时间为 y (x) =max {p (x) , q (x) } . 10(30 ? x)

100 200 = ,解得x=12.5,考虑到人数 x ? N ? ,考察p(12)与q 7 x 10(30 ? x)
(13),p(12)=

100 20 ? 1.18,即y(12)> ? 1.19,q(13)= 84 17

y(13).所以用13名工人制作桌子,17名工人制作椅子完成任务最快. 评析:对于本题要用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系,寻找已知量与未 知量之间的内在联系, 然后将这些内在联系与数学知识联想建立函数关系式或列出方程, 利 用函数性质或方程观点来解,则可使应用问题化生为熟,尽快得到解决. 三、达标练习: 1.已知函数f(x)在区间(a,b)上单调且f(a)f(b)<0,则函数f (x)在区间(a,b)上( ) A.至少 有一个零点 B.至多有一个零点 C.没有零点 D.必有唯一零点 2.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2并且α ,β 是函数f(x)的两个零 点,则实数a,b,α ,β 的大小关系可能是( ) A.a<α <b<β B.a<α <β <b C.Α <a<b<β D.a<a<β <b 3.函数f(x)= ?

? 2 x ? 2( x ? 1)
2 ? x ? 2 x( x ? 1)

,则函数f(x)-0.25的零点


2 4 .如 果函 数 f ( x ) = x + m x + (m +3 )至 多有 一个 零点 ,则 m的 取值范



. 5.对于函数f(x);若存在 x0 ? R,使f( x0 )= x0 成立,则称 x0 为f(x)

的不动点.已知函数 f(x)=a x +(b+1)x+(b-1)(a ? 0).
2

(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点; (2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.

参考答案: 1.D 2.C 3. ,

9 4? 5 8 2

4. ? 2 ? m ? 6

5.(1)当a=1,b=-2时,f(x)=

x

2

-x-3,由题 意可知x=

x

2



x-3 解得x=-1或x=3,故当a=1,b=-2时f(x)的两个相异的不动点为 - 1,3. (2)? f(x)=a

x

2

+(b+1)x+(b-1)恒有两个相异的不动点.

?x=a x 2 +(b+1)x+(b-1),即a x 2 +bx+(b-1)=0恒有两个相异的
实数根,得Δ = 于是

b

2

? 4a(b ? 1) ? 0(b ? R) 恒成立,即 b ? 4ab ? 4a ? 0(b ? R) 恒成立,

2

? =16 a
1

2

? 16 a ? 0 ,解得0<a<1.故当 b ? R ,f(x)恒有两个相异的不
动点时,a取值范围为0<a<1.



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