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2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准


2013 年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准
说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准,选择题和填空题只设 5 分和 0 分两档,其它各 题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。 2.如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,评卷时可参照本 评分标准适当划分档次评分,可以 5 分为一个档次,不要再增加其它中间档次。 一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1 .已知集合 A ? { x | x ? 2 x ? 10 ? 0}, B ? {x | m ? 1? x ? 2m ? 1} .当 A ? B ? ? 时,实 数 m 的取值范围是( ) .
2

(A) . 2 ? m ? 4 1. (B).

(B). m ? 2 或 m ? 4 (C). ?

1 1 ? m ? 4 (D). m ? ? 或 m ? 4 2 2

2.过原点的直线 l 交双曲线 xy ? ?2 2 于 P、Q 两点,其中点 P 在第二象限,将下半平面 沿 x 轴折起使之与上半平面成直二面角,线段 PQ 的最短长度是( ) . (A) . 2 2 2. (D). (B). 3 2 (C). 4 2 (D).4

3.设 a, b, c 均为非零复数,令 w ? ?

1 3 a b c a ?b ?c ? i ,若 ? ? ,则 的值为( 2 2 b c a a ?b ?c 2 2 (A) . 1 (B). ?w (C). 1, w, w (D). 1, ? w, w

) .

3. (C). 4.设 f ( x) 是 (0, ??) 上的单调函数,且对任意 x ? (0, ??) ,都有 f [ f ( x) ? log 2 x] ? 6 .若

x0 是方程 f ( x) ? f ' ( x) ? 4 的一个解,且 x0 ? (a ? 1, a)(a ? N * ) ,则 a 的值为(
(A) . 1 (B). 2 4. (B). 5.内直径为 ( (C). 3 (D).4

) .

4 3 ? 2 ,高为 20 的圆柱形容器中最多可以放入直径为 2 的小球的个数是 3
(D).39
2 2

) . (A) . 30 (B). 33 (C). 36 5. (C). 最大值是( ) .

2 2 6. 已知实数 x, y 满足 17( x ? y ) ? 30 xy ? 16 ? 0 . 则 16 x ? 4 y ? 16 xy ? 12 x ? 6 y ? 9 的

(A) . 7 (B).

29

(C).

19 (D).3

6. (A) . 二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 7.若 2 ? 2 ? 2
a b a ?b

, 2a ? 2b ? 2c ? 2a ?b?c ,则 2c 的最大值是



7.

8.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AA1 ? 4, AD ? 3 ,则异面直线 A1 D 与 B1 D1 的距离 为 8. .

4 . 3

6 34 . 17 3 x2 y 2 9.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,斜率为 1 且过点 M (b, 0) 的直线与椭圆交 2 a b
1/4

于 A、 B 两点. 设 O 为坐标原点, 若 OA ? OB ? 9.

??? ? ??? ?

32 cot ?AOB ,则该椭圆的方程是 5



x2 y2 ? ? 1. 16 4

10.将 11 个完全一样的小球放入 6 个不相同的盒子中,使得至多有 3 个空盒子的放法有 种. 10. 4212 . 11.已知函数 f ( x ) ? ?

? 2 x ? 1, x ? 0, ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0,

设方程 f ( x) ? x 在区间 (0, n] 内所有实根的和为

S n ,则数列{
11.

1 }的前 n 项和= Sn



2n . n ?1

12.数列{ an }中, an ? 2an ?1 ? 12. an ? (n ? 1)(2n ?1 ? 1) . 三.解答题

2an?1 ? n ? 1(n ? 2) ,则此数列的通项公式 an = n



13.设关于 x 的方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个实根 ? , ? (? ? ? ) ,函数 f ( x) ?
2

(1)求 ? f (? ) ? ? f (? ) 的值; (2)判断 f ( x) 在区间 (? , ? ) 的单调性,并加以证明; (3)若 ? , ? 均为正实数,证明: | f (

2x ? m . x2 ? 1

?? ? ?? ?? ? ?? )? f ( ) |?| ? ? ? | . ??? ??? 13. 解: (Ⅰ)∵ ? , ? 是方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 的两个根, ∴ ? ? ? ? m, ?? ? ?1 , 2? ? m 2? ? (? ? ? ) ? ?? 1 ∴ f (? ) ? 2 , ? ? ? 2 ? ?1 ? ? ?? ? (? ? ? ) ? ∴ ? f (? ) ? 1 , 同理可得 ? f ( ? ) ? 1 ∴ ? f (? ) ? ? f ( ? ) ? 2 , ……………… (5 分) 2 2( x ? mx ? 1) 2( x ? ? )( x ? ? ) ?? (Ⅱ)∵ f ?( x) ? ? , 2 2 ( x ? 1) ( x 2 ? 1)2 当 x ? (? , ? ) 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (? , ? ) 上单调递增. ………………………(10 分) ?? ? ?? ? (? ? ? ) ?? ? ?? ? (? ? ? ) (Ⅲ)∵ ?? ? ?0, ?? ? ?0, ??? ??? ??? ??? ?? ? ?? ?? ? ?? ∴? ? ∴由(Ⅱ)可知, f (? ) ? f ( ?? ) ? f (? ) , ??? ??? ?? ? ?? ) ? f (? ) , 同理 f (? ) ? f ( ??? ?? ? ?? ?? ? ?? )? f ( ) |?| f (? ) ? f ( ? ) | , ……………………………(15 分) ∴| f ( ??? ???
由(Ⅰ)可知, f (? ) ? , ?? ? ?1, ? ? 1 1 ? ?? |?| ? ? ? | , ∴ | f (? ) ? f ( ? ) |?| ? |?| ? ? ??
2/4

1

, f (? ) ?

1

∴| f (

?? ? ?? ?? ? ?? )? f ( ) |?| ? ? ? | . ??? ???
2 ?

……………………(20 分)

14.已知数列{ an }满足 a1 ? 3, an ?1 ? an ? nan ? ? (n ? N , ? 为实数) . (1)若 an ? 2n 恒成立,求 ? 的取值范围;

1 1 1 ? ?? ? ? 2. a1 ? 2 a2 ? 2 an ? 2 14. 解: (Ⅰ)当 n ? 2 时,由 a2 ? 6 ? ? ? 2 ? 2 得 ? ? ?2 ,
(2)若 ? =-2,求证: 即 an ? 2n 时, ? ? ?2 . 下面证明当 ? ? ?2 时, an ? 2n . 当 n ? 2 时, a2 ? 2 ? 2 成立;设当 n ? k (k ? 2) 时, ak ? 2k 成立;则当 n ? k ? 1 时,
2 ak ?1 ? ak ? kak ? ? ? ak (ak ? k ) ? ? ? 2k 2 ? 2 ? 2 ? k ? 1? (k ? 1) ? 2 ? k ? 1? ,

…………………………(5 分)

故对所有 n ? 2 , an ? 2n 成立. 当 n ? 1时, a1 ? 3 ? 2 ? 1 成立, 故对所有 n ? N* , an ? 2n 成立. 综上, ? 的取值范围是 ? ? ?2 . ……………………………(10 分) 2 (Ⅱ)当 ? ? ?2 时, a n ?1 ? 2 ? a n ? nan ? 4 ? nan ? 4 ? 2?a n ? 2? ? 0 ( n ? 2 ) ,

?

1 1 1 1 1 1 , …………………(15 分) ? ? ? ? ? ? ? ?? ? n ?1 ? ? n ?1 ( n ? 3 ) a n ? 2 2 a n ?1 ? 2 a1 ? 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? 1 ? ? 2 ? ??? ? n?1 ? 2 ? n?1 ? 2 . ……………(20 分) a1 ? 2 a2 ? 2 an ? 2 2 2 2 2

15.如图,锐角△ABC 中,AB<AC,且点 D 和 E 在边 BC 上,满足 BD=CE.若在△ABC 内存在点 P 满足 PD||AE 且∠PAB=∠EAC,证明: ∠PBA=∠PCA. 15.证明:如图,作平行四边形 ABFC 和平行四边形 ABGP , A 则 AC ? FB , ?ACE ? ?FBD ,又 BD ? CE , 故 ?AEC ? ?FDB , ………………………(5 分) ?BDF ? ?AEC ,所以 FD / / AE , 又 PD / / AE ,则 P 、 D 、 F 三点共线. ……(10 分) 因此, ?BFP ? ?BFD ? ?EAC ? ?BAP ? ?BGP , 故 B 、 G 、 F 、 P 四点共圆, ?FBG ? ?FPG ? ?BAP ? ?EAP ? ?CAP 又由于 AP ? BG, AC ? BF ,故 ?APC ? ?BGF ,……(20 分) 故 ?ABP ? ?BPG ? ?BFG ? ?ACP .
2 2

P

……(25 分)

16.设点 P 为圆 C1:x ? y ? 2 上的动点,过点 P

???? ? ??? ? 作 x 轴的垂线,垂足为 Q.点满足 2 ? MQ ? PQ .

G

B
P M

y
A

D

E

(1)求点 M 的轨迹的方程; (2)过直线 x ? 2 上的点 T 作圆 C2 的两条切线, 设切点分别为 A、B,若直线 AB 与(1)中的曲线

F

C

| CD | 的取值范围. | AB | ???? ? ??? ? 16.解:(Ⅰ)设点 M ( x,y ) ,由 2 ? MQ ? PQ ,得
C2 交于两点 C、D,求

C
O

T
x

Q

D

P( x, 2 y ) ,
由于点 P 在 C1:x ? y ? 2 上,
2 2

B

3/4

x2 ? y 2 ? 1. ………………(5 分) 2 (Ⅱ)设点 T (2,t ) , A( x1? , y1? ),B ( x2? ,y2? ) ,则 AT , BT 的方程为
所以 x
2

? 2 y 2 ? 2 ,即 M 的轨迹方程为

x1? x ? y1? y ? 2 , x2? x ? y2? y ? 2 , 又点 T (2, t ) 在 AT 、 BT 上,则有:

2 x1? ? ty1? ? 2





2 x2? ? ty2? ? 2

②, ……………………(10 分) 由①、②知 AB 的方程为: 2 x ? ty ? 2 , 设点 C ( x1 ,y1 ),D( x2 ,y2 ) ,则圆心 O 到 AB 的距离

d?

2 4 ? t2

,则

| AB |? 2 r 2 ? d 2 ? 2

2t 2 ? 4 ; t2 ? 4

……………………(15 分)

?2 x ? ty ? 2 ? 2 2 又由 ? x 2 ,得 (t ? 8) y ? 4ty ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?2 2 4t ?4 t2 2 2 t ?4? 2 t ?8 | y1 ? y2 |? 于是 y1 ? y2 ? 2 ,y1 y2 ? 2 , ∴ | CD |? 1 ? , 2 4 t ?8 t ?8 t ?8

| AB | (t 2 ? 8) t 2 ? 2 ? 于是 , | CD | (t 2 ? 4) t 2 ? 4

| AB | s 3 ? 6s 2 ? 32 6 32 ? ? 1 ? ? 设 t ? 4 ? s ,则 s ? 4 ,于是 , | CD | s3 s s3 1 1 | AB | ? 1 ? 6m ? 32m3 ,……………………(20 分) 设 ? m,m ? (0, ] ,于是 | CD | s 4 1 3 2 设 f (m) ? 1 ? 6m ? 32m , f ?(m) ? 6 ? 96m ,令 f ?(m) ? 0 ,得 m ? ., 4
2



f (m) 在 (0, ] 上单调递增,故 f (m) ? (1, 2] .,即

1 4

? 2 ? | CD | ,1 ? 的范围为 ? ?. 2 | AB | ? ?

…………………………………………(25 分)

4/4



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