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高中数学 第三章 基本不等式教案1 北师大版必修5


基本不等式
(1)教学目标 (a)知识与技能:理解两个实数的平方和不小于它们之积的 2 倍的不等式的证明;理解两个 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释 (b)过程与方法 : 本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。 要善于引导学生从数和形两方 面深入地探究不等式的证明, 从而进一步突破难点。 变式练习的设计可加深学生对定理的理 解,并为以后实际问

题的研究奠定基础。基本不等式的证明要注重严密性,老师要帮助学生 分析每一步的理论依据,培养学生良好的数学品质 (c)情感与价值:培养学生举一反三的逻辑推理能力,并通过不等式的几何解释,丰富学生 数形结合的想象力 (2)教学重点、难点 教学重点:基本不等式的证明和几何解释 教学难点:理解“当且仅当 a=b 时取等号”的数学内涵 (3)学法与教学用具 先让学生观察常见的图形, 通过面积的直观比较抽象出基本不等式。 从生活中实际问题还原 出数学本质,可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间,让他 们自主探究,通过类比得到答案 投影仪(多媒体教室) (4)教学设想

1、设置情境
(投影出图 3.4-1)同学们,这是北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标,大家想一想,你 能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗? 提问 1:我们把“风车”造型抽象成图 3.4-2.在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角形.设 直角三角形的长为 x、y,那么正方形的边长为多少?面积为多少呢? 生答:

x ?y
2

2



x ?y
2

2

提问 2:那 4 个直角三角形的面积和呢? 生答:2xy 提问 3:好,根据观察 4 个直角三角形的面积和正方形的面积,我们可得容易得到一个不等

式,

x ?y
2 2

2

? 2xy。什么时候这两部分面积相等呢?

生答:当直角三角形变成等腰直角三角形,即 x=y 时,正方形 EFGH 变成一个点,这时有

x ?y
2

=2xy

2、新课讲授
(1)一般地,对于任意实数 x、y,我们有 提问 4:你能给出它的证明吗? (学生尝试证明后口答,老师板书) 证明: 所以

x ?y
2

2

? 2 xy ,当且仅当 x=y 时,等号成立。

x ?y
2

2

- 2 xy =

( x ? y)
2
2

2

, 当x ? y时
2

( x ? y)

2

>0 ,当 x=y 时,等号成立。

x ?y


? 2 xy

x ?y
2

2

? xy ,当且仅当 x=y 时,等号成立。

(2)

设 x= a ,y= b ,则由这个不等式可以得出下列结论: 如果 a,b 都是非负数,那么

a?b ? ab ,当且仅当 a=b 时,等号成立。 2

我们称上述不等式为基本不等式, 其中

a?b 称为 a,b 的算术平均数, ab 为 a,b 的几何平均数。因此,基本不等式, 2

又被称为均值不等式。 (3) 基本不等式的一种几何解释。 如图 1 所示,AB 是圆 O 的直径,AC=a, CB=b,过点 C 作 CD ? AB 交圆 O 上半圆于 D, 连接 AD,BD,由射影定理可知: CD= ab ,而 OD= 因为 OD ? CD 所以

a?b , 2

a?b ? ab 2

当且仅当 C 于 O 重合,即 a=b 时,等号成立。 (4) 应用 例 1 设 a,b 均为正数,证明不等式 ab ?

2 1 1 ? a b

.

证明 因为 a,b 均为正数,由基本不等式,可知

1 1 ? a b? 1 2 ab
也即 ab ?

2 1 1 ? a b

,当且仅当 a=b 时,等号成立。

下面给出这个不等式的几何解释。

如上图,AB 是圆 O 的直径,AC=a, CB=b,过点 C 作 CD ? AB 交圆 O 上半圆于 D,过 点 C 作 CE ? OD 于 E, 在Rt ? OCD中,由射影定理可知: DC =DE ? OD




DE= DC



OD

=

ab 2 = a?b 1 1 ? 2 a b

由 DC ? DE ,可得

ab ?

2 1 1 ? a b

当且仅当 a=b 时,等号成立。

3.学生思考交流
基本不等式的的几种叙述。 (学生交流完成)

4.课堂练习
课本 90 页练习题

5.课时小结
1.两个重要的不等式 2.基本不等式的联系和理解

3.对基本不等式和例 1 及练习题的总结

a ?b
2

2

2

?

a?b 2 ? ab ? 1 1 2 ? a b

当且仅当 a=b 时,等号成立。

6.课后作业
1.课本 94 页 A 组 3 和 B 组 1 题 2.预习 3.2 节


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