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湖北省钟祥市第一中学2016届高三数学5月适应性考试试题(一)理(新)


钟祥一中 2016 届高三五月适应性考试(一) 数学(理科)试题
考试时间:2016 年 5 月 10 日 15:00—17:00 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第 I 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改

动,用橡皮擦干净后,再涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第 II 卷时, 用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内,将 答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 定义集合 A ? B ?

?x | x ? A且x ? B? ,若集合 M ? ?1,2,3,4,5?, 集合 N ? ?x x ? 2k ? 1, k ? Z ? ,
) C.无数个 ) C.-1 D.-i D. 4 B.3
2016

则集合 M ? N 的子集个数为( A. 2 2. i 为虚数单位,复数 i A.i

的共轭复数为(

B.1

3. 某中学高三年级从甲、 乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛, 他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图, 其中甲班学生成绩 的中位数是 83,乙班学生成绩的平均数是 86,则 x+y 的值为 ( ) B.9 C. 8 D.169 A.168

4.命题 p : ?? ? R,sin(? ? ? ) ? cos ? ;命题 q : "0 ? a ? 4" 是”关于

x 的不等式 ax 2 ? ax ? 1 ? 0 的解集是实数集 R " 的充分必要条件,
则下面结论正确的是( A. " p ? q " 是假命题 C. p 是假命题 5.执行右边的程序框图,当 n ? 2, n ? N
?

) B. q 是真命题 D. " p ? q " 是假命题 时, f n ( x) 表示 f n ?1 ( x) 的导

函数,若输入函数 f1 ( x) ? sin x ? cos x ,则输出的函数 f n ( x) 可化 为( A. )

?? ? 2 sin ? x ? ? 4? ?

B.

?? ? 2 sin ? x ? ? 4? ?

1

C. ? 2 sin ? x ?

? ?

??
? 4?

D. ? 2 sin ? x ?

? ?

??
? 4?

6.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣:“ 远看巍巍塔七层,红光点点倍加增, 共灯三百八十一,请问尖头几盏灯”。 这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠,本题说它一 共有 7 层,每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍,共有 381 盏灯,问塔顶有几盏灯? 你算 出顶层有( A. 2 )盏灯. B. 5 C. 3 D. 6

7.如图,网格纸上小正方形的边长为 2,粗线画出的是某几 何体的三视图则该几何体的体积是( ) A. 6 ? C. 12 ? 8. 设 a , b 为正数, B. 14 ? D. 7 ?

1 1 ? ? 2 2,( a ? b) 2 ? 4( ab)3 ,则 a b
B. 2 D. 2 2

a?b? (
A. 2 C. 4 2

)

9.如图,菱形 ABCD 的边长为 2, ?A ? 60? , M 为 DC 的中 点,若 N 为菱形内任意一点(含边界) ,则 AM ? AN 的最 大值为( A. 9 C. 6
a b

???? ? ????

) B. 2 3 D. 3

2 2 2 2 2 2 10.设点 P 是双曲线 x ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 与圆 x ? y ? a ? b 在第一象限的交点, 2 2

F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点,且 | PF1 |? 3 | PF2 | ,则双曲线的离心率(
A.



10 2

B.

5 2
)

C. 5

D. 10

11.已知 A,B,C 在球 O 的球面上,AB=1,BC=2, ?ABC ? 60? ,直线 OA 与截面 ABC 所成的 角为 30? ,则球 O 的表面积为( A.

16 π 3

B. 16 ?

C.

4 ? 3

D. 4 ?

12.已知不等式ln ? x ? 1? ? ? a ? 2 ? x ? b ? 2恒成立,则 A.

b?3 的最小值是( ) a?2
D.1-3e

1 ?2 e

B. 1-e

C.1-2e

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分. 13.有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.若将其随机的并排摆放 到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率 。
2

14.己知 a ?

?

?

0

(sin t ? cos t) dt ,则 ( x ?

1 6 ) 的展开式中的常数项为 ax



15.设函数 f ( x) ? ?

? x ? [ x], x ? 0 , 其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,如 [?1.2] ? ?2 , ? f ( x ? 1), x ? 0

[1.2] ? 1 , [1] ? 1 ,若直线 y ? kx ? k (k ? 0) 与函数 y ? f ( x) 的图象恰有三个不同的交
点,则 k 的取值范围是 . 16.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 (a2 ? 1)3 ? 2010(a2 ? 1) ? 1 ,

(a2009 ? 1)3 ? 2010(a2009 ? 1) ? ?1 ,则下列四个命题中真命题的序号为
① S2009 ? 2009 ; ② S2010 ? 2010 ; ③ a2009 ? a2 ; ④ S2009 ? S2



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图,梯形 ABCD 中, AB // CD, BC ? 6, tan?ABC ? ?2 2 .

? , 求 AC 的长; 4 (Ⅱ)若 BD ? 9 ,求 ?BCD 的面积.
(Ⅰ)若 ?ACD ?

18. (本小 题满分 12 分) 某校在规划课程设置方案的调研中, 随机抽取 50 名文科学生, 调查对选做题倾向得下表:

(Ⅰ)从表中三种选题倾向中,选择可直观判断“选题倾向与性别有关系”的两种,作为选 题倾向变量的取值, 分析有多大的把握认为“所选两种选题倾向与性别有关系”. (只 需要做出其中的一种情况) (Ⅱ) 按照分层抽样的方法, 从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生 中抽取 8 人进行问卷. (ⅰ)分别求出抽取的 8 人中倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数; (ⅱ) 若从这 8 人中任选 3 人, 记倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人 数的差为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E? .

3

19. (本小 题满分 12 分) 在等腰梯形 ABCD 中, AD / / BC , AD ?

1 BC ? 2 , ?ABC ? 60? , M 是 BC 的 2

中点, 将梯形 ABCD 绕 AB 旋转 90? ,得到梯形 ABC1 D1(如图) (Ⅰ)求证: BC1 ? AC (Ⅱ)求二面角 D1 ? AM ? C 的余弦值

20. (本小 题满分 12 分) 抛物线 C 的方程为 y ? ax2 (a ? 0) ,过抛物线 C 上一点 P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为 k1,k2 的两条直线分别交抛物线 C 于 A(x1,y1),B(x2,y2) 两点 (P,A,B 三点互不相同 ) ,且满足

k 2 ? ?k1 ? 0(? ? 0且? ? ?1) .
(Ⅰ)求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)设直线 AB 上一点 M,满足 BM ? ? MA ,证明线段 PM 的中点在 y 轴上; (Ⅲ)当 ? =1 时,若点 P 的坐标为(1,-1) ,求∠PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 y1 的取值范围.

21. (本小 题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1), g ( x) ?

e

x

?1 ,

(Ⅰ)若 F ( x) ? f ( x) ? px, 求F ( x)的单调区间; (Ⅱ) 若对任意的x2 ? x1 ? 0,比较f ( x2 ) ? f ( x1 )于g ( x2 ? x1 ) 的大小,并说明理由。

4

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。 如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AB 是⊙ O 的直径,点 D 是⊙ O 上一点,过点 D 作⊙ O 的切线,交 AB 的 延长线于点 C , 过点 C 作 AC 的垂线, 交 AD 的延长线于 点E. (Ⅰ)求证: ?CDE 为等腰三角形; (Ⅱ)若 AD ? 2,

BC 1 ? ,求⊙ O 的面积. CE 2

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos? , (其中 ? 为参数),以坐标 ? y ? sin ?

原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? . (Ⅰ)若 A,B 为曲线 C1 , C2 的公共点,求直线 AB 的斜率; (Ⅱ)若 A,B 分别为曲线 C1 , C2 上的动点,当 AB 取最大值时,求 ?AOB 的面积.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ?x? ? x ? 2 ? 2x ? a , a ? R . (Ⅰ)当 a ? 1 时,解不等式 f ?x ? ? 5 ; (Ⅱ)若存在 x0 满足 f ?x0 ? ? x0 ? 2 ? 3 ,求 a 的取值范围.

钟祥一中 2016 届高三五月适应性考试(一)
5

数学(理科)试题答案 一、选择题 A 卷 CADCC BDBDA 二、填空题 13. 2/5 三、解答题 17.解: (Ⅰ)因为 tan ?ABC ? ?2 2 , 所以 ?ABC 为钝角,且 sin ?ABC ? DC B卷 DBBAC CBDAA AB 15. [ , )

14. -5/2

1 1 4 3

16. ②③

2 2 , 3

1 cos ?ABC ? ? ,2 分 3
因为 AB ? CD ,所以 ?BAC ? ?ACD ? 在 ?ABC 中,由

?
4

. ?5 分

BC AC ? ,解得 AC ? 8 . sin ?BAC sin ?ABC

(Ⅱ)因为 AB ? CD ,所以 ?ABC ? ?BCD ? ? , 故 cos ?BCD ? ? cos ?ABC ?

1 2 2 , sin ?BCD ? sin ?ABC ? .??7 分 3 3

1 36 ? CD 2 ? 81 在 ?BCD 中, cos ?BCD ? ? , 3 2 ? 6 ? CD
2 整理得 CD ? 4CD-45 ? 0 ,解得 CD ? 9 ,

????11 分

所以 S?BCD ?

1 1 2 2 ? 6 ? 9 ? sin ?BCD ? ? 6 ? 9 ? ? 18 2 .???12 分 2 2 3

18 解: (Ⅰ)可直观判断:倾向“坐标系与参数方程”或倾向“不等式选讲”,与性别无关; 倾向“坐标系与参数方程”或倾向“平面几何选讲”,与性别有关;倾向“平面 几何选讲”或倾向“不等式选讲”,与性别有关. 与性别有关即给 1 分) ????1 分 (正确选择一组变量并指出

选择一: 选择倾向“平面几何选讲”和倾向“坐标系与参数方程”作为选题倾向变 量 Y 的值.作出如下 2×2 列联表: 平面几何选讲 男生 女生 合计 16 4 20 坐标系与参数方程 4 8 12 合计 20 12 32 ????2 分 由上表,可直观判断:
6

因为 k ?

32 ? (16 ? 8 ? 4 ? 4) 2 ? 6.969 ? 6.635 , 20 ?12 ? 20 ?12

????4 分

所以可以有 99%以上的把握,认为“‘坐标系与参数方程’和‘平面几何选讲’这两种 选题倾向与性别有关”. 分 选择二:选择倾向“平面几 何选讲”和倾向“不等式选讲”作为分类变量 Y 的值.作出如下 2×2 列联表: 平面几何选讲 男生 女生 合计 16 4 20 不等式选讲 6 12 18 合计 22 16 38 ?2 分 因为 k ? ????6

38 ? (16 ?12 ? 6 ? 4) 2 ? 10.88 ? 10.828 , 20 ?18 ? 22 ?16
倾向与性别有关”.

???4 分

所以可以有 99. 9%以上的把握, 认为“‘不等式选讲’和‘平面几何选讲’这两种选题 ???6 分 (Ⅱ) (ⅰ)倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数比例为 20:12=5: 3, 所以抽取的 8 人中倾向“平面几何选讲”的人数为 5,倾向“坐标系与参数方程” 的人 数为 3. ???7 分 ????8 分 (ⅱ)依题意,得 ? ? ?3, ?1,1,3 ,

P(? ? ?3) ?

3 C3 1 , ? 3 C8 56

P(? ? ?1) ?

1 2 C5 C3 15 ? , 3 C8 56

1 C52C3 30 P(? ? 1) ? ? , 3 C8 56

3 0 C5 C3 10 P(? ? 3) ? ? .???10 分 3 C8 56

故 ? 的分布列如下:

?

-3

-1

1

3

P

1 56
3 ? 所 以 E? ? ?

15 56
1 15 ? ( 1 ?) ? 56 56

30 10 56 56 30 10 3 ? 1 ? 3 ? ? . ? ???12 分 56 56 4

19.解: (1)在等腰梯形 ABCD 中,? ?ABC ? 60? ,? AC ? AB ,同理 AC1 ? AB ,

7

而据题意可知:二面角 C ? AB ? C1 为 90? ,则平面角为 ?CAC1 ? 90? ,即 AC ? AC1 又? AB ? AC1 ? A ,? AC ? 平面ABC1 ,? BC1 ? AC ;???6 分 (2)以 A 为坐标原点,分别以 AB、AC、AC1 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系, 则 A?0,0,0 ? , M 1, 3 ,0 , C 0,2 3 ,0 , D1 ? 1,0, 3

?

?

?

?

?

?
1

? AM ? 1, 3 ,0
得?

?

? ?,AD ? ??1,0, 3 ?,设 n ? ? x, y, z ? ? 平面AMD ,
1

? ?x ? 3 y ? 0 ? ?? x ? 3 z ? 0

,令 x ? 3 ,则 n ?

?

?

3 ,?1,1 ,又有

?

? m ? ?0,0,1? ? 平面AMC ,
1 5 ? ? 5 ,故所求二面角余弦值为 ??12 分 ? cos ? m, n ?? ? 5 5 5
2 2 20.解(Ⅰ)由抛物线 C 的方程 y ? ax ( a ? 0 )得, x ?

1 1 y ,焦点坐标为 (0, ) , a 4a

准线方程为 y ? ?

1 .----------------4 分 4a

( Ⅱ ) 证 明 : 设 直 线 PA 的 方 程 为 y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ) , 直 线 PB 的 方 程 为

y ? y0 ? k 2 ( x ? x0 ) . 点 P( x0 , y0 ) 和 点 A( x1 , y1 ) 的 坐 标 是 方 程 组
? ? y ? y0 ? k1 ( x ? x0 )? ① 的 解 . 将 ② 式 代 入 ① 式 得 ax2 ? k1 x ? k1 x0 ? y0 ? 0 , 于 是 ? 2 ? ? y ? ax ?? ②

x1 ? x 0 ?

k1 k , 故 x1 ? 1 ? x 0 a a

③ 又 点 P( x0 , y0 ) 和 点 B( x2 , y 2 ) 的 坐 标 是 方 程 组

)? ④ ? ? y ? y0 ? k 2( x ? x 0 的 解 . 将 ⑤ 式 代 入 ④ 式 得 ax2 ? k 2 x ? k 2 x0 ? y0 ? 0 . 于 是 ? 2 y ? ax      ? ⑤ ? ?
x2 ? x0 ? k2 k ? ,故 x2 ? 2 ? x0 .分由已知得, k 2 ? ??k1 ,则 x 2 ? ? k1 ? x 0 . a a a
⑥分

设点 M 的坐标为 ( xM , y M ) ,由 BM ? ?MA ,则 x M ?

???? ?

??? ?

x 2 ? ?x1 .将③式和⑥式代入上式 1? ?

得 xM ?

? x0 ? ?x0 ? ? x0 ,即 xM ? x0 ? 0 .∴线段 PM 的中点在 y 轴上. 1? ?

2 2 (Ⅲ)因为点 P(1,?1) 在抛物线 y ? ax 上,所以 a ? ?1 ,抛物线方程为 y ? ? x .由

8

③式知 x1 ? ?k1 ? 1 ,代入 y ? ? x 2 得 y1 ? ?(k1 ? 1) 2 . 将 ? ? 1 代入⑥式得 x2 ? k1 ? 1 , 代入 y ? ? x 2 得 y2 ? ?(k1 ? 1)2 .因此,直线 PA 、 PB 分别与抛物线 C 的交点 A 、 B 的坐
2 标 为 A(? k , B(k1 ?1, ?k12 ? 2k1 ?1) . 于 是 AP ? (k1 ? 2, k1 ? 2k1 ) , 1 ?1, ?k 1 ? 2k 1 ?1)

??? ?

2

??? ? AB ? (2k1,4k1 ) , ??? ? ??? ? AP ? AB ? 2k1 (k1 ? 2) ? 4k1 (k12 ? 2k1) ? 2k1 (k1 ? 2)(2k1 ?1) .因 ?PAB 为钝角且 P 、 A 、
1 ? k1 ? 0 .又 2 1 点 A 的 纵 坐标 y1 满 足 y1 ? ?(k1 ? 1)2 , 故 当 k1 ? ?2 时 , y1 ? ?1 ; 当 ? ? k1 ? 0 时 , 2 1 1 ?1 ? y1 ? ? .即 y1 ? (??, ?1) ? (?1, ? ) ----------------12 分 4 4
B 三点互不相同,故必有 AP ? AB ? 0 .分求得 k 1 的取值范围是 k1 ? ?2 或 ?
21.

??? ? ??? ?

(22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 解: (Ⅰ)连接线段 DB , 又因为 AB 为⊙ O 的直径, BD ? AE , 所以 ?CDE ? ?CDB ? ?DAB ? ?AEC ? 90 , ????4 分
?

????1 分

因为 DC 为⊙ O 的切线,所以 ?DAB ? ?BDC ,????3 分

9

所以 ?CDE ? ?AEC , 从而 ?CDE 为等腰三角形. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 CD ? CE , 因为 DC 为 ? O 的切线, 所以 CD 2 ? CB ? CA , 所以 CE 2 ? CB ? CA ,即 ????7 分 ????5 分

CB CE 1 ? ? . CE CA 2 CE BD 1 ? ? CA AD 2 .
2

????8 分

又 Rt ?ABD ∽ Rt ?AEC ,故

????9 分

? 5 ? 5? 因为 AD ? 2 ,所以 BD ? 1, AB ? 5 , S ? ? ? ? 2 ? ? ? 4 , ? ? 5? 所以 ⊙ O 的面积为 . ????10 分 4
(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)消去参数 ? 得曲线 C 1 的普通方程 C1 : x ? y ? 2 x ? 0 . ?(1) ??1 分
2 2

将曲线 C2 : ? ? 4 sin ? 化为直角坐标方程得 C2 : x ? y ? 4 y ? 0 (2)??3 分
2 2

由 (1) ? (2) 得 4 y ? 2 x ? 0 ,即为直线 AB 的方程,故直线 AB 的斜率为

1 .5 分 2

注:也可先解出 A(0, 0), B ( , ) ?1 分,再求 AB 的斜率为
2 2

8 4 5 5

1 . ?1 分 2

( (Ⅱ )由 C1 : ( x ? 1) ? y ? 1 知 曲 线 C 1 是 以 C 为 圆 心, 半径为 1 的 圆; 由 1 1,0)

C2 : x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 知曲线 C2 是以 C( ) 为圆心,半径为 2 的圆.??6 分 2 0,2
因为 | AB |?| AC1 | ? | C1C2 | ? | BC2 | , 所以当 AB 取最大值时,圆心 C1 , C2 在直线 AB 上, 所以直线 AB (即直线 C1C 2 )的方程为: 2 x ? y ? 2 . ???7 分 因为 O 到直线 AB 的距离为 d ?

2 5

?

2 5, 5

????8 分

又此时 | AB |?| C1C2 | ?1 ? 2 ? 3 ? 5 , 所以 ?AOB 的面积为 S ?

????9 分

1 2 3 5 ? 5 ? (3 ? 5 ) ? ? 1 .??10 分 2 5 5
10

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 2 ? 2x ? 1 . 由 f ( x) ? 5 得 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 5 . 当 x ? 2 时,不等式等价于 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 5 ,解得 x ? 2 ,所以 x ? 2 ;?1 分 当?

1 ? x ? 2 时,不等式等价于 2 ? x ? 2 x ? 1 ? 5 ,即 x ? 2 ,所以 x ?? ;?2 分 2

当x ? ?

4 1 4 时,不等式等价于 2 ? x ? 2 x ? 1 ? 5 ,解得 x ? ? ,所以 x ? ? .3 分 3 2 3
4 或 x ? 2? . ????5 分 3

所以原不等式的解集为 ?x | x ? ?

(Ⅱ) f ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 2 ? 2x ? a ? 2x ? 4 ? 2x ? a ? 2x ? a ? (2x ? 4) ? a ? 4 .7 分 因为原命题等价于 ( f ( x)? | x ? 2 |)min ? 3 , 所以 ????9 分

a?4 ?3

,所以 ?7 ? a ? ?1 为所求实数 a 的取值范围. ???10

11


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