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河南省三门峡市陕州中学2016届高三上学期第二次精英对抗赛(文数)


三门峡市陕州中学 2016 届高三上学期第二次精英对抗赛 数学(文科)
试卷满分:150 分 考试时间:120 分

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 复数

i (i 为虚数单位)的共轭复数为 1-2i -2+i -2-i 2- i A. B. C. 5 5 5
2

D.

2+ i 5

2.集合 A={x| x ? 2 x ? 0 },集合 B 是函数 y=lg(2﹣x)的定义域,则 A∩B= A. (﹣∞,0) B. (0,1) , C. (1,2) D. (2,+∞)

3.平行四边形 ABCD 中, A. -4

??? ? ???? AB ? ?1, 0 ? AD ? ?1, 2 ?
C. 2

,则 AC?BD 等于 D. ﹣2

??? ? ??? ?

B. 4

4.已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则 cos( A. 4
5

2015? ? 2? ) 的值为 2
D. ? 1
2

B. ? 4
5

C. 2

5.设 Sn 为等比数列{ an }的前 n 项和,记命题甲:4a2-a4=0,命题乙:S4 =5S2,则命题甲成立是命题乙成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 1 x+ ?≤1”发生的概率为 6.在区间[0,2]上随机地取一个数 x,则事件“-1≤log ? 2? 2? 3 A. 4 2 B. 3 1 C. 3 1 D. 4

7.函数 f (x) =sin (ωx+φ) (其中|φ|<

) 的图象如图所示, 为了得到 y=sinωx )个单位长度.

的图象,只需把 y=f(x)的图象上所有点( A.向右平移 C.向左平移 B.向右平移 D.向左平移

8.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的 “更相减损术”.执行该程序框图,若输入的 a,b 分别为 14,18, 则输出的 a= A.0 B.2 C.4 D.14 9.已知 x 、 y 取值如下表:

1

x
y

0 1.3

1 1.8

4 5.6

5 6.1

6 7.4

8 9.3

? ? 0.95x ? a ,则 a ? 从所得的散点图分析可知: y 与 x 线性相关,且 y
A. 1.30 B. 1.45 C. 1.65 D. 1.80

? 10 . 在 ?ABC 中 , ?A ? 60 , ? A 的 平 分 线 AD 交 边 BC 于 D , 已 知 AB ? 3 , 且

AD ?

1 AC ? ? AB (? ? R) ,则 AD 的长为 3
B.

A. 1

3

C. 2 3

D. 3

11. 两个圆 C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与 C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三条 公切线,则 a+b 的最小值为 A.-6 12. 已知函数 y= a
x+10

B.-3

C.-3 2
log 2 x

D.3

-3 过定点 A (m, n) , 若不等式 2

<k(x-m)+n+|x- 是

1 |恒成立,则实数 k 的取值范围 x 1 3 , ) 5 11 3 D. ( ,+∞) 11
B. (

1 3 , ) 5 11 1 C. (-∞, ) 5
A .[

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则 a=________. ?x ? 2 y ? 1 ? 0 14.已知实数 x, y 满足: ? x ? 2 , z ?| 2 x ? 2 y ? 1 | ,则 z 的取值范围是________. ? ?x ? y ? 1 ? 0 ? 15.已知两点 A(-1,0),B(0,2),点 P 是圆(x-1)2+y2=1 上任意一点,则△PAB 面积的最大 值________. 16.已知函数 f(x)的定义域为[﹣1,5],部分对应值如表,f(x)的导函数 y=f′(x)的图 象如图所示. 下列四个命题: x f(x) ﹣1 ﹣1 0 ﹣2 4 ﹣2 5 ﹣1

①函数 f(x)的极大值点为 2; ②函数 f(x)在[2,4]上是减函数; ③如果当

x0 ? ? m, 5?

时,f(x)的最小值是﹣2,那么 m 的最大值为 4;
2

④函数 y=f(x)﹣a(a∈R)的零点个数可能为 0、1、2、3、4 个. 其中正确命题的序号是 .

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分. ) 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c.已知 AB · BC =-2,cosB 1 = ,b=3. 3 求:(Ⅰ)a 和 c 的值; (Ⅱ)cos(B-C)的值.

18.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ) 求 a n 及 S n ; (Ⅱ) 求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Tn ? Sn ?

19. (本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件, 测量这些产品的一项质量指标值, 由测量结果 得如下频数分布表: 质量指标 值分组 频数 [75,85) 6 [85,95) 26 [95,105) 38 [105,115) 22 [115,125) 8

(Ⅰ)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图;

(Ⅱ)估计这种产品质量指标值的平均值及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表); (Ⅲ)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合 “质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定?

3

20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点都在圆 C 上 (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交与 A,B 两点,且 OA ? OB ,求 a 的值.

21.(本小题 12 分) 设函数 f ( x ) =

bx -ax. ln x

(Ⅰ)若 a=0,求 f ( x ) 的单调增区间; (Ⅱ)当 b=1 时,若存在 x1 , x2 ∈[e, e ],使 f ( x1 ) ≤ f ?( x2 ) +a 成立,求实数 a 的最
2

小值. (其中 e 为自然对数的底数) 请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请 写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

PA ? 20 , 如图所示, PA 为圆 O 的切线, A 为切点, PO交圆O于B, C两点,

PB ? 10, ?BAC 的角平分线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E .
(I) 求证 AB ? PC ? PA ? AC ; (II) 求 AD ? AE 的值.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 2? sin(? ?

? x ? 1 ? cos ? .以 O 为极点, (? 为参数) ? y ? sin ?

?
3

) ? 3 3 ,射线 OM : ? ?

?
3

( ? ≥0)与圆 C

的交点为 O、P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.

24.(本小题满分 l0 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 |, g ( x) ?| x | ? a (I)当 a=0 时,解不等式 f ( x) ? g ( x) ; (II)若存在 x∈R,使得,f(x)≤g(x)成立,求实数 a 的取值范围.

4

数学(文科)参考答案
1—5 BABBA 16.①②③④ 1 → → 17.解 (1)由BA· BC=2,得 c· acosB=2. 又 cosB= ,所以 ac=6.由余弦定理,得 a2+c2= 3 b2+2accosB.
?ac=6, ? 又 b=3,所以 a2+c2=9+2× 2=13. 解? 2 2 得 a=2,c=3 或 a=3,c=2. ?a +c =13, ?

6—10 AABBC

11—12 CD

13. 1

14. [0,5)

15.

1 (4 ? 5 ) 2

因为 a>c,所以 a=3,c=2. (2)在△ABC 中,sinB= 1-cos2B= 2 2 2 4 2 = × = . 3 3 9 因为 a=b>c,所以 C 为锐角.因此 cosC= 1-sin2C= 4 2?2 7 1-? = . ? 9 ? 9 1?2 2 2 c 1- ? ?3? = 3 ,由正弦定理,得 sinC=bsinB

1 7 2 2 4 2 23 于是 cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC= × + × = . 3 9 3 9 27 18. 解 : (Ⅰ) 设 等 差 数 列 ?an ? 的 公 差 为 d , 因 为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , 所 以 有

?a1 ? 2d ? 7 , 解 得 a1 ? 3 , d ? 2 , 所 以 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ? 1 ; ? ?2a1 ? 10d ? 26
S n ? 3n ? n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 2n . 2

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可 知 , Sn ? n2 ? 2 n , 所 以

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) ,所以 Sn n ? 2n n(n ? 2) 2 n n ? 2

Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ?L ? ? S1 S 2 S 3 Sn? 1 Sn

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n ? 2

1 ? 1? 1 1 1 ? 3 1? 1 ? ? ?1 ? ? ? ?. ?? ? ? 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 4 2 ? n ?1 n ? 2 ?
19. 解:(1)频率分布直方图如下: (2)质量指标值的样本平均数为 x = 80× 0.06 + 90× 0.26 + 100× 0.38 + 110× 0.22 + 120× 0.08 =
5

100. 质量指标值的样本方差为 s2=(-20)2× 0.06+(-10)2× 0.26+0× 0.38+102× 0.22+202× 0. 08=104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100,方 差的估计值为 104. (3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.8=0.68. 由于该估计值小于 0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值 不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定. 20. (Ⅰ)曲线 y ? x2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点为(0,1) (3 ? 2 2,0) 故可设圆的圆心坐标为(3,t)则有 半径为

3

2

?

?t -1? ? ?2
2

2

? + t 解得 t=1,
2

2

则圆的

3

2

?

?t ?1?
y)
1

2

?3

所以圆的方程为 (Ⅱ)设 A( x1 ,

?x?3? ? ? y ?1? ? 9
2 2

B( x , y ) 其坐标满足方程组 2 2

x ? y ? a ? 02

?x?3? ? ? y ?1? ? 9
2 2

消去 y 得到方程 2 x2 ? (2a ? 8) x ? a 2 ? 2a ? 1 ? 0

由已知可得判别式△=56-16a-4 a 2 >0 由韦达定理可得

x ?x
1

2

? 4?a ,

xx
1

2

?

a

2

? 2a ? 1 2



由 OA ? OB 可得 x1 x2 ? 所以 2 x1 x2 ? a ( x1 ?
2

yy
1

2

? 0. 又 y ?
1

x ?a y
1

2

?

x

2

?a。

x )?a

2

?0



由①②可得 a=-1,满足△>0,故 a=-1。

6

22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 (1)∵ PA 为圆 O 的切线, ??PAB ? ?ACP, 又 ?P 为公共角,

?P A B ∽ ?P C A ?

AB PA . ? AC PC

……………………4 分
2

(2)∵ PA 为圆 O 的切线, BC 是过点 O 的割线, ? PA ? PB ? PC,

? PC ? 40, BC ? 30 又∵ ?CAB ? 900 , ? AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 900
又由(1)知

AB PA 1 ? ? ? AC ? 12 5 AC PC 2

AB ? 6 5 , 连接 EC ,则

?CAE ? ?EAB,
?ACE ∽ ?ADB ,则

AB AD , ∴ AD ? AE ? AB ? AC ? 6 5 ?12 5 ? 360 . ? AE AC
7

------10 分 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
2 解:(I)圆C的普通方程是( x ?1 ) ? y 2 ? 1, 又x ? ? cos? , y ? ? sin ? :

所以圆C的极坐标方程是 ? ? 2 cos? ?????5分 ? ?1 ? 2 cos?1 ? ?1 ? 1 ? ? ( II )设( ?1 ,?1 )为点P的极坐标,则有 解得? ? ? ? ?1 ? ?1 ? ? ? 3 3 ? ? ? ? 2 (sin ? 2 ? 3 cos? 2 ) ? 3 3 ?? 2 ? 3 ? ? 设( ? 2 ,? 2 )为点Q的极坐标,则有 .解得? ? ? ? ?2 ? ?? 2 ? ? 3 ? 3 ? 由于? 1? ? 2,所以 PQ ? ?1 ? ? 2 ? 2,所以线段PQ的长为2.????10分
24.(本小题满分 l0 分)选修 4—5:不等式选讲

故 h( x) min ? h(? ) ? ?

1 2

1 1 1 ,从而所求实数 a 的范围为 a ? 1 ? ? ,即a ? -------10 分 2 2 2

8



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