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自主招生专题——一类不定方程问题


中学数学 杂 志 2 0 1 3年 第 7期  .   住  Z   £   谚黾  舞   自主 招 生专 题  — — 一 类 不 定 方 程 问题  2 0 1 2 0 3   任念 兵  1 +了 华 东师 范大 学 第二 附属 中学  如火如荼 的高校 自主招生考试越来越受到广大  学 生 和家长 的重 视 , 对 自主招 生 试 题 的研 究 也 成 为  一 若 n:1 , 则 l:~ 1+ 1   了 + , 不难 发现 。:   线数 学教 师 日常 教 学 研 究 的重 要 内容 . 数论 问 题  2 , b=4 , c =6 , d=1 2 符合要求.   若 凡= 2 , 则 2=   +_ 1 +  a   o c 虽然在高考中要求较低 , 但却是 自主招生的热点, 其  中有一类不定方程问题频繁出现在各名牌大学 自主  招生考试 中, 本文试 以朴素 的不等式估值来 统一处  理 这类 问题 .   + 吉 口   , 不 难 发 现 。 =   一 1 , 6=2 , C=3 , d=6符 合要 求.   说 明  本例 只要 求 : 一 1+   1+ 1 +  1的正整  数解存在 即可 , 并不要 求 出所有 正整数 解 实际上 , 根 据  引例  ( 2 0 1 2 年清华大学保送生考试 ) 求方程  +   +   :l的所有 正整 数解 (  , y ,   ) .   Y   Z   引例中利用不等式估值的方法可以得到: 1 =一 ● 1+   _ 1+   1的正整数解( 按  6 , c , d 从 小到大排 列)为( 2 ,   , 解  不 妨设  ≤ Y≤ z , 则显然 有  ≥ 2 .   若  :2 , 则  +   :  . 当 y:3时 , : :6 ; 当 y:   z  +  4 时 , z = 4 ; 当 ) , ≥ 5 时 ,   V 1  Z +   1  ) ≤   2   < 丢 , 矛 盾 !   若  :3 , 则 由  ≤Y≤ , 知  +   +   ≤  +   z  3 , 7 , 4 2 ) 、 ( 2 , 3 , 8 , 2 4 ) 、 ( 2 , 3 , 9 , 1 8 ) 、 ( 2 , 3 , 1 0 , 1 5 ) 、 ( 2 , 4 ,   5 , 2 0 ) 、 ( 2 , 4 , 6 , l 2 ) ; 2 :  + ÷+  +   1 的 正 整 数 解   ( 按a , b , C , d 从 小到大排列 )为( 1 , 2 , 3 , 6 ) .   ÷+ ÷ =1 , 故  = Y = z = 3 .   综上,  , y _ , z从 小 到 大 排 列 为 ( 2 , 3 , 6 ) ,( 2 , 4 ,   4 ) , ( 3 , 3 , 3 ) .   例2 ( 2 0 0 9年上 海 交通 大学 )求有 限集 合 A=   { a l , a 2 , …, a   } ( n≥ 2 ) , 其中 a 1 , a 2 , …, a  为正 整  数, 使得 a I 口 2 …口   a l +a 2 +… +a   .   解  显然 a 。 , a : , …, a  是 互 不 相 等 的正 整 数 ,   不妨 设 a 1<a 2< … <a   .   对 于 这 类 形 如∑÷= C 的 不 定 方 程 的 正 整 数   解 问题 , 可 以考 虑

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