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两条直线的位置关系综合练习题及答案


两条直线的位置关系综合练习题及答案
(一)知识梳理:
1、两直线的位置关系 (1)平行的判断: ①当 l1 , l 2 有斜截式(或点斜式)方程 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 , 则 l1 // l 2 ?

k1 ? k2 , b1 ? b2 .

②当 l1 ,

l 2 有一般式方程: l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 , 则 l1 // l 2 ? (2)垂直的判断: ①当 l1 , l 2 有斜截式(或点斜式)方程 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 , 则 l1 ? l 2 ?

A1B2 ? A2 B1 ? 0, C1B2 ? C2 B1 ? 0 .

l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 .

②当 l1 , l 2 有一般式方程: l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 , 则 l1 ? l 2 ? A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 . 2、两条直线的交点: 若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 则 l1 , l 2 的交点为__方程 ?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 的解. ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

3、点到直线的距离: (1)点到直线的距离公式:点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离为 d ? (2)两平行直线间的距离求法: 两平行直线: l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则距离 d ? d ?

Ax0 ? By0 ? C0 A2 ? B2 C2 ? C1 A2 ? B2

_.

.

(二)例题讲解:
考点 1:直线的平行与垂直关系 例 1、 (1)已知直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 12 ? 0 ,求与 l 平行且过点 ? ?1,3? 的直线方程;
(2)已知直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 10 ? 0, l2 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 ,求过直线 l1 和 l2 的交点,且与直线 l3 : 3x ? 2 y ? 4 ? 0

垂直的直线 l 方程. 易错笔记: 解: (1)设与直线 l 平行的直线 l1 的方程为 3x ? 4 y ? C ? 0 ,则点 ? ?1,3? 在直线 3x ? 4 y ? C ? 0 上,将点

? ?1,3? 代入直线 3x ? 4 y ? C ? 0 的方程即可得: 3? ? ?1? ? 4 ? 3 ? C ? 0 ,? C ? ?9 ,? 所求直线方程为:
3x ? 4 y ? 9 ? 0 .
(2)设与直线 l3 : 3x ? 2 y ? 4 ? 0 垂直的直线 l 方程为: 2 x ? 3 y ? C ? 0 , 方程 ?

?2 x ? 3 y ? 10 ? 0 ? x ? ?2 的解为: ? , ?3x ? 4 y ? 2 ? 0 ?y ? 2

? 直线 l1 : 2x ? 3 y ? 10 ? 0, l2 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 的交点是 ? ?2, 2? , ? 直线 l 过直线 l1 : 2x ? 3 y ? 10 ? 0, l2 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 的交点 ? ?2, 2? , ? 2 ? ? ?2? ? 3? 2 ? C ? 0 ,? C ? ?2 ,? 直线 l 方程为: 2 x ? 3 y ? 2 ? 0 .
考点 2:直线的交点问题 例 2、已知直线方程为 ? 2 ? m? x ? ?1 ? 2m? y ? 4 ? 3m ? 0 , (1)求证:无论 m 取何值,此直线必过定点;
(2)过这定点引一直线,使它夹在两坐标轴间的线段被这定点平分,求这条直线方程. 解:(1)设直线方程为 ? 2 ? m? x ? ?1 ? 2m? y ? 4 ? 3m ? 0 过定点 ? A, B ? ,

?2 A ? B ? ?4 ? A ? ?1 ,? ? , ?? ? A ? 2B ? 3 ? B ? ?2 ? 直线方程为 ? 2 ? m? x ? ?1 ? 2m? y ? 4 ? 3m ? 0 过定点 ? ?1, ?2? .
(2) 由题意知,直线 l 在 x 轴上的截距 a ? 0 ,在 y 轴上的截距 b ? 0 ,

x y ? 设直线 l 的方程为: ? ? 1 ,? 直线 l 在 x 轴上的交点坐标为 M ? a,0? ,直线 l 在 y 轴上的交点坐标为 a b

N ? 0, b? ,
直线 l 夹在两坐标轴间的线段被点 ? ?1, ?2? 平分,

? 点 ? ?1, ?2? 是线段 MN 的中点,
?a ? 0 ? ?1 ? ? 2 ,? a ? ?2, b ? ?4 , ?? ? 0 ? b ? ?2 ? ? 2

? 直线 l 的方程为:
易错笔记:

x y ? ? 1 ,即 2 x ? y ? 4 ? 0 . ?2 ? 4

(三)练习巩固:
一、选择题 1、 直线 3x ? y ? 1 ? 0 和直线 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 的位置关系是 A.重合 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂直 ( A ) C.
4 25



B )

2、 点 ?2 ,1 ? 到直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 的距离是 A.
4 5

B.

5 4

D.

25 4

3、如果直线 x ? 2ay ? 1 ? 0 与直线 (3a ? 1) x ? ay ? 1 ? 0 平行,则 a 等于 A.0 B.



A )

1 6

C.0 或 1

D.0 或

1 6

解: 1? ? ?a ? ? 2a ?3a ?1? ? 0 ①, 且 2a ? ? 1 ? ? ? ?a ? ? 0

a ? 0或a ? ②, 由①得:

1 a ? 0, , 由②得: ? a ? 0. 6
( B )

4、若三条直线 2 x ? 3 y ? 8 ? 0, x ? y ? 1 ? 0 和 x ? ky ? 0 相交于一点,则 k ? A.-2 B. ? 1 C.2 D. 1

2

2

解:

方程 ?

?2 x ? 3 y ? 8 ? 0 ? x ? ?1 的解为: ? , ? y ? ?2 ?x ? y ?1 ? 0

? 直线 2 x ? 3 y ? 8 ? 0, x ? y ? 1 ? 0 的交点是 ? ?1, ?2? ,
三条直线 2 x ? 3 y ? 8 ? 0, x ? y ? 1 ? 0 和 x ? ky ? 0 相交于一点 ? ?1, ?2? ,

1 ? 直线 x ? ky ? 0 过点 ? ?1, ?2? ,? ?1? k ? ?2? ? 0 ,? k ? ? ,故选 B. 2
5、已知点 M ? 4, 2? 与 M ? 2, 4? 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为 A. x ? y ? 6 ? 0 B. x ? y ? 6 ? 0 C. x ? y ? 0 D. x ? y ? 0 ( D ) ( D )

6、已知直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 与直线 6 x ? my ? 14 ? 0 平行,则它们间的距离是

A.

17 10

B.

17 5

C.8

D.2

解:

直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 与直线 6 x ? my ? 14 ? 0 平行,

? ?3m ? 4 ? 6 ? 0 ,? m ? 8 ,? 直线 6 x ? my ? 14 ? 0 的方程为 6 x ? 8 y ? 14 ? 0 ,即 3x ? 4 y ?7 ? ?? 0 , ? ? 4 ? 14 ? ? ?3? m ? 0

? 直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 之间的距离 d ? C2 ? C1 ? 7 ? ? ?3? ? 2 . 2 2 2 2
A ?B 3 ?4

直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 与直线 6 x ? 8 y ? 14 ? 0 的距离等于直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 之间的距

离,? 直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 与直线 6 x ? my ? 14 ? 0 的距离 d ? C2 ? C1 ? 7 ? ? ?3? ? 2 ,故选 D. A2 ? B 2 32 ? 42 二、填空题 7、如果三条直线 l1 : mx ? y ? 3 ? 0, l2 : x ? y ? 2 ? 0, l3 : 2x ? y ? 2 ? 0 不能成为一个三角形三边所在的直线,那么 m 的 8、过点 ? 2,3? 且平行于直线 2 x ? y ? 5 ? 0 的方程为______ 2 x ? y ? 7 ? 0 __________. 过点 ? 2,3? 且垂直于直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 的方程为______ 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 __________. 分析:设与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 平行的直线方程为: 2 x ? y ? C ? 0 ,则点 ? 2,3? 在直线 2 x ? y ? C ? 0 上, 将点 ? 2, 3? 代入直线 2 x ? y ? C ? 0 的方程即可得: 2 ? 2 ? 3 ? C ? 0 , ? C ? ?7 , ? 所求直线方程为: 一个 值是_______. ..

2x ? y ? 7 ? 0 .
分析:设垂直于直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 的方程为:4 x ? 3 y ? C ? 0 ,则点 ? 2,3? 在直线 4 x ? 3 y ? C ? 0 上,将点 ? 2,3? 代入直线 4 x ? 3 y ? C ? 0 的方程即可得: 4 ? 2 ? 3 ? 3 ? C ? 0 ,? C ? 1 ,? 所求直线方程为: 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 . 9、 已知直线 l1 的斜率为 3, 直线 l 2 经过点 A ?1, 2 ? ,B ? 2, a ? , 若直线 l1 // l 2 , 若 l1 ? l 2 , 则 a ? __ a ? _ 3 _; 当直线 l1 // l 2 时: 直线 l1 的斜率: k1 ? 3 ,且直线 l1 // l 2 ,? 直线 l2 的斜率 k2 ? k1 ? 3 ,

5 __. 3

直线 l 2 经过点 A ?1, 2 ? , B ? 2, a ? ,? 直线 l2 的斜率 k2 ?

y2 ? y1 a ? 2 ? ? a?2?3, x2 ? x1 2 ? 1

?a ? 5.
当直线 l1 ? l 2 时,设直线 l1 的斜率为 k1 ,直线 l2 的斜率为 k2 , 则直线 l1 的斜率: k1 ? 3 , 直线 l1 ? l 2 ,? k1 ? k2 ? ?1 ,? 直线 l2 的斜率 k2 ?

?1 1 ?? , k1 3



直线 l 2 经过点 A ?1, 2 ? , B ? 2, a ? ,? 直线 l2 的斜率 k2 ?

y2 ? y1 a ? 2 1 ? ? a?2 ? ? , x2 ? x1 2 ? 1 3

5 ?a ? . 3
10、设直线 l1 :3x ? 4 y ? 2 ? 0, l2 : 2x ? y ? 2 ? 0, l3 :3x ? 4 y ? 2 ? 0 ,则直线 l1 与 l2 的交点到 l3 的距离为__ 12 __.
5

解:

方程 ?

?3x ? 4 y ? 2 ? 0 ? x ? ?2 的解为: ? , ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 2

? 直线 2 x ? 3 y ? 8 ? 0, x ? y ? 1 ? 0 的交点是 ? ?2, 2? ,? 点 ? ?2, 2? 到直线 l3 的距离为:
d? Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

?

3 ? ? ?2 ? ? 4 ? 2 ? 2 3 ? ? ?4 ?
2 2

?

12 . 5

2 的直线方程为 x ? y ? 3 ? 0 或 7 x ? y ? 9 ? 0 . 2 解 : 设 所 求 直 线 的 斜 率 为 k , 则 直 线 过 点 A ? ?1, 2 ? ,? 方程为 y?2? k ? ? x ? ? ?1? ? ? ? k ? x ? 1? , 即
11、过点 A ? ?1, 2? ,且与原点距离等于

kx ? y ? k ? 2 ? 0 ,

? 直 线 到 原 点 的 距 离 为 : d?

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

?

k ? 0 ? 1? 0 ? k ? 2 k 2 ? ? ?1?
2

?

k ?2 k 2 ? ? ?1?
2

?

2 , 2

? k ? 2? 2 k 2 ? ? ?1?
2

? 2? 1 2 k ? 1或 k ? 7 , ?? ? 2 ? ? ? 2 ,? k ? 8k ? 7 ? 0 ,? ? ?

2

? 所求直线的方程为: x ? y ? 3 ? 0 或 7 x ? y ? 9 ? 0 .
三、解答题 12、已知直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0, l2 : ? m ? 2? x ? 3y ? 2m ? 0 ,求 m 的值,使得 (1) l1 和 l2 相交; (2) l1 ? l 2 垂直;(3) l1 // l 2 ; (4) l1 和 l2 重合. 解:(1) (2)

l1 和 l2 相交,? m ? m ? 2? ?1? 3 ? 0 ,? m ? ?1 .
1 . 2

l1 ? l 2 垂直,? 1? ? m ? 2? ? m ? 3 ? 0 ,? m ?

? ?m ? m ? 2 ? ? 1? 3 ? 0 ?1? , l1 // l 2 ,? ? ? ? 2m ? m ? 3 ? 6 ? 0 ? 2 ? 由(1)得: m ? 3 或 m ? ?1 ,由(2)得: m ? ?3 ,? m ? ?1 .
(3)

? ?m ? m ? 2 ? ? 1? 3 ? 0 ?1? , l1 和 l2 重合,? ? 2 m ? m ? 3 ? 6 ? 0 2 ? ? ? ? 由(1)得: m ? 3 或 m ? ?1 ,由(2)得: m ? 3 或 m ? ?3 ,
(4)

? 当 m ? 3 ,或 m ? ?3 ,或 m ? ?1 时, l1 和 l2 重合.
13、已知直线 l 过点 ?1, 2 ? ,且与 x , y 轴正半轴分别交于点 A 、 B (1) 、求 ?AOB 面积为 4 时直线 l 的方程; (2) 、在(1)的前提之下,求边 AB 上的高所在的直线方程. 解: (1) 、由题意知,直线 l 在 x 轴上的截距 a ? 0 ,在 y 轴上的截距 b ? 0 , O A x B y

(1,2)

x y ? 设直线 l 的方程为: ? ? 1 , 直线 l 过点 ?1, 2? , a b 1 2 1 1 ? ? ? 1①, ?AOB 面积为 4,? a b ? ab ? 4 ②,由①、②得: a ? 2 , b ? 4 , a b 2 2 x y ? 直线 l 的方程为: ? ? 1 ,即 2 x ? y ? 4 ? 0 . 2 4
( 2) 、设边 AB 上的高所在的直线为 l1 ,斜率为 k1 ,直线 l1 过原点 O ? 0,0? , 直线 l 的方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0 ,? 边 AB 所在的直线方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0 ,斜率为斜率 k ? ?2 ,

l ? l1 ,? k ? k1 ? ?1 ,? k1 ?

?1 ?1 1 ? ? , 直线 l1 过原点 O ? 0,0? , k ?2 2

? 直线 l1 的方程为:y ? 0 ?

1 即 x ? 2 y ? 0 .综上所述: 边 AB 上的高所在的直线方程为:x ? 2 y ? 0 . ? x ? 0? , 2


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