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12 函数与方程


2010届数学高考第一轮复习课件

函数与方程

一、零点存在性定理
若函数f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且 在闭区间[a,b]端点的函数值符号相反,即f (a)f (b)<0,则 f (x)在(a,b)上至少有一个零点(方程f (x)=0在(a,b)上 至少有一个实数解). 说明: 1.方程f (x)=0在区间(a,b)内有奇数个解,则_________; 方程在区间(a,b)内有偶数个解,则_________. 2.若方程f (x)=0在区间(a,b)只有一解,则必有_________.

考点1:函数的零点所在的大致区间问题
例1:(1)若函数f(x)=ax-3在区间(-2,3)内的图像与x轴有交 点,则a的取值范围为_____________.

2 (2)函数 f ( x ) = ln x 的零点所在的大致区域为( x
A.(1,2) B.(2,3) C.(1/e,1) D.(e,+∞)

)

2x ?1 ? log 1 x 的解所在的区间是( C ) (3)方程 2 2 1 x ?2 1 21 1 2 A. (0, ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( ,1) 2 3 3 2 2 2

考点1:函数的零点所在的大致区间问题之二分法 例2:(1)设f(x)=3x+3x-8,在用二分法求方程3x+3x-8=0在 x∈(1,2)内的近似解的过中,f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0, 则方程的根落在区间( B ) A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定 (2) 已知 x 在区间(1,2)内有一个零点,用二分法求该 (3) 已知 ff (( x )) 图象是一条连续的曲线,且在区间 (a,b)内 函数的零点,使其具有 5位有效数字,则至少将区间 有唯一的零点 x0,用“二分法”求得一系列含零点 x0的 (1,2)等分( B ) ? 区间,这些区间满足 :(a,? b) (a1,b? … 1) (a2,b? 2) 负 (A.12 ak,bk次 )若f(a)<0, f ( b )>0, 则 f ( a ) 的符号为 k B.13次 C.15次 D.16次 _____(填:“正”,“负”, “正、负、零均有可能”)

考点2:二次函数的零点问题
例3.实数m为何值时,关于x的方程7x2- (m +13)x +m2 – m-2=0的两个实数根x1,x2分别满足: ①0<x1<x2<2; ②x1<1<x2; ③1<x1<x2; ④x1∈(0,1),x2∈(1,2); ⑤x1<0,x2>2.

练习1:方程5x2-ax-1=0(a∈R)的一个根在区间
(-1,0)上,另一个在区间(1,2)上,求a的取值范围.

考点3:零点的个数和相关性质问题 x2 例4:(1)函数 y ? 和y=|log2x|的交点有( C ) 6 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(2)若 x1、x 2为方程2 x

-1 x1 ? x 2 ? ______.

?1? ?? ? ?2?

?

1 ?1 x

的两个实数解,则

(3)已知函数f(x)=|x2-2x-3|,若x2>x1>1且f(x1)=f(x2),则 (2 ? 2 2,6) x1+x2的取值范围是__________.
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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考点3:零点的个数和相关性质问题

练习2.对于正整数 k, 若关于 x 的方程 (x-2k)2=ax 在区间 (2k-1, 2k+1] y 上有两个不相等的实根, 求 a 的取值范围. A B

解: 设 f(x)=(x -2k)2 (x∈(2k -1, 2k+1]), ∵f(2k -1)=f(2k+1)=1,
o
2k-1 2k 2k+1

x

∴f(x) 的图象是以 A(2k -1, 1) 及 B(2k+1, 1) 为端点, 顶点为 (2k, 0) 的一段抛物线.
设 g(x)=ax, 它表示过原点且斜率 k=a 的直线. 则命题等价于: 求使 f(x) 与 g(x) 的图象有两个交点的 a 的取 值范围. 等价于 0<a≤kOB, 而 kOB= 1 . 2k+1 ∴0<a≤ 1 , k?N*. 2k+1

考点4:综合问题

例5:已知a、b、c、d是不全为零的实数,函数 f(x)=bx2+cx+d,g(x)=ax3+bx2+cx+d.方程f(x)=0 有实根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根, 反之,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根.

(1)求d的值;
(2)若a=0,求c的取值范围.

考点4:综合问题 例6:过曲线C:f(x)=x3-ax+b外的点A(1,0)作曲线C的 切线恰有两条, (1)求a,b满足的等量关系; (2)若存在x0∈R+ ,使f(x0)>x0· ex +a成立,求a的取值范围.
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