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[中学联盟]江苏省徐州市邳州市第四中学高三数学复习学讲稿:三角函数的最值与值域(高二部分)


邳 州 市 第 四 中 学
高 三 年级 数学 学科
任课教师: 班级


时间:


课 型

稿
新 授

课 题

高考要求

1、 能将函数式化成一个角的同名三角函数的一次式或一元二次式求函数的 值域与最值, 2、能使用换元法将函数化为基本的函数如:一元二次函数等来求值域和最 值。 3、简单含参 数的三角函数式会进行必要的分类讨论。

教学重难点

求三角函数的 最值

学法指导
⑴化为一个角的同名三角函数形 式、 利用函数的有界性或单调性求解; ⑵将函数式化成一个角的同名三角函数的一元二次式,利用配方法或图像法求解; ⑶借助直线斜率的关系用数形结合法求解; ⑷换元法要注意的问题有:①注意题设给定的区间;②注意代数代换或三角变换的等价性;③含 参数的三角函数式,要重视参数的作用,很可能要进行讨论。 化归的类型:求三角函数的最值,主要是利用正、余弦的有界性,一般是通过三角恒等化归为下 列基本类型处理: ⑴ y ? a sin x ? b ? 设 t ? sin x 化为一次函数 y ? at ? b 在 t ? ?? 1,1? 上的最值求解; ⑵ ⑶

b? ? y ? a sin x ? b cos x ? c ? 引入辅助角 ? , ? tan ? ? ? ,化为 y ? a 2 ? b 2 sin?x ? ? ? ? c 求解; a? ?

y ? a sin 2 x ? b sin x ? c ?设 t ? sin x 化为二次函数 y ? at 2 ? bt ? c 在 t ? ?? 1,1? 上的 最值求解;
⑷ y ? a sin x cos x ? b?sin x ? cos x? ? c ? 设 t ? sin x ? cos x 化 为 二 次 函 数 y ?
a t 2 ?1 ? bt ? c 在 ?2

?

?

t ? ? 2 , 2 上的最值求解。

?

?

基础过关
1、求下列函数的最大、最小值: ⑴y?
2 sin x cos x ; 3

⑵y?

1 ? sin x ; 4

5 ? 15 ? ⑶ y ? ? sin x ? ? ? 4 ? 16 ?
2、若 x ?

2

?? ? ? ⑷ f ?x ? ? sin x ? 3 cos x? ? ? x ? ? 2? ? 2


?
4

, 则f ? x ? ? cos 2 x ? sin x 的 最小值是

3、函数 y ? sin x cos x ? sin x ? cos x 的值域为

? 4、函数 y ? sin x ? cos( x ? ) 的最大值和最小值分别为___________ 6

新课讲解
?? ? ?? ? 例 1、求函数 y ? 2sin ? ? x ? ? cos ? ? x ? , x ? R 的最小值 ?3 ? ?6 ?

例 2、 (1)已知 x ? ? 0, ? ? 求函数 y ? sin x ?

2 的最小值 sin x

[来源:Z+xx+k.Com]

2 例 3、已知函数 f ? x ? ? 2a sin x ? 2 3a sin x cos x ? a ? b, x ? ? , ? ? 值域是 2

?? ?

? ?

?2,5? ,求 a, b 的值。

例 4、若 sin x ? sin y ?

1 2 ,求 sin y ? cos x 的最大与最小值。 3

[来源:Z§ xx§ k.Com]

2 例 5、设函数 f ( x) ? 3 cos ?x ? sin ?x cos?x ? a (其中 ω>0,a∈R) ,且 f(x)的图象在 y 轴右侧

的第一个最高点的横坐标为 (1)求 ω 的值; (2)如果 f ( x ) 在区间 [?

?
6



? 5x
3 , 6

] 的最小值为 3 ,求 a 的值.

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

课后练习
1、函数 y ?
3 ? sin 2 x, ? x ? k? , k ? ? ? 的值域是 2 sin x



2、已知 ? ? ?0, ? ? ,函数 y ?

3 sin ? 的最大值是 1 ? 3 sin 2 ?



? ?? 3 、 设 f ? x ? ? 2cos2 x ? 3 sin 2 x ? a, ? a ? R ? , 当 x ? ? 0, ? 时 , f ?x ? 的 最 大 值 为 4 , 则 ? 2?

a?



5 3 ? π? 4、是否存在实数 a,使得函数 y=sin2x+acos x+ a- 在闭区间?0,2 ?上的最大值是 1?若存在, 8 2 ? ? 求出对应的 a 值;若不存在,说明理由.

x x x 5、已知函数 f(x)=2sin · cos + 3cos . 4 4 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期及最值; ? π? (2)令 g(x)=f ?x+3 ?,判断函数 g(x)的奇偶性,并说明理由. ? ?

本节小结
[来源:Z,xx,k.Com]

课后一练
已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; 1 (2)若 x=- 是 f(x)的极值点,求 f(x)在[1,a]上的最大值; 3 (3)在(2)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的 图象恰有 3 个 交点,若存在,请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由.


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