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专题复习五 立体几何高考题型


专题复习五 专题复习五
热点之一: 热点之一:点、线、面问题

立体几何高考题型 立体几何高考题型

包括平面的基本性质、空间的直线和平面的位置关系及判定方法,特别注意三垂线 定理及其逆定理的应用。 [例 1] 已知 α 、β 是两个平面, 直线 l ? α , l ? β . 若以① l ⊥ α , l // β , α ⊥ β 中 ② ③ 例 两个为条件,另一个为结论构成三个命题,则其中正确命题的个数是( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个

[例 2]把边长为 a 的正方形剪去图中的阴影部分,沿图中 例 所画的线折成一个正三棱锥,则这个正三棱锥的高为( (A)



1 3 + 2 3a 3 1 (C) 2 + 3a 3

1 3 ? 3a 3 1 (D) 3 + 3 3a 3
(B)

b b b

a a a

a

(练习) 练习) 1.在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触, 经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )

(A)

(B)

(C)

(D)

2.如右图,点 E 是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 DD1 的中点,则过点 E 与直线 AB 和

A1 B1
A

D1 C1
E

B1C1 都相交的直线的条数是(
(A)0 条 (B)1 条 (C)2 条

) (D)无数

D

3.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,写出过顶

C 点 A 的一个平面______________, 使该平面与正方体的 12 条棱所在的直线所成的角均 相等(注:填上你认为正确的一个平面即可,不必考虑所有可能的情况)。

B

热点之二:空间角与距离问题 热点之二:空间角与距离问题
三个角:包括两条直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角; 八个距离:包括点到直线的距离、点到面的距离、两条平行直线的距离、异面直线
立体几何专题(2002) 第 1 页

的距离、直线与平行平面的距离、两个平行平面之间的距离、球面上两点的距离。 在求角或距离时,一定要“先找后解” 。 [例 3] 1998 年全国高考题) 已知斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧面 A1 ACC1 与底面 ABC 例 ( 垂直, ∠ABC = 90 , BC = 2, AC = 2 3 ,
o

且 AA1 ⊥ A1C , AA1 = A1C. (Ⅰ)求侧棱 AA1 与底面 ABC 所成角的大小; (Ⅱ)求侧面 A1 ABB1 与底面 ABC 所成二面角的大小; (Ⅲ) (理)求顶点 C 到侧面 A1 ABB1 的距离; (Ⅲ) (文)求侧棱 B1 B 和侧面 A1 ACC1 的距离。 A B C

C1

A1

B1

(练习 练习) 练习 4.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 AB 、 AD 的中点, (1) A1C1 与 B1C 所成角的大小是_____________; (2) A1C1 与 EF 所成角的大小是_____________; (3) A1C 与 AD1 所成角的大小是_____________; (4) AD1 与 EF 所成角的大小是_____________; (5) BD1 与 CE 所成角大小是_____________; (6) B1C 与平面 ABCD 所成角的大小是_________; (7) BD1 与平面 DCC1 D! 所成角的大小是_____________; (8)二面角 A1 ? BC ? D 的大小是_________; (9)二面角 B ? A1C1 ? B1 的大小是_____________; (10)二面角 C1 ? EF ? C 的大小是_____________; 5. 将锐角为 60°, 边长为 a 的菱形 ABCD 沿较短的对角线 BD 折成 60°的二面角后, (1)求异面直线 AC 与 BD 的距离; C (2)求三棱锥 C ? ABD 的体积; (3)求 D 到面 ABC 的距离。 D C A E B F

D1 A1
D

C1 B1

C

E
A

O
B

立体几何专题(2002)

第 2 页

热点之三:表面积与体积问题 热点之三:表面积与体积问题
[例 4]棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分侧棱、侧面积、体积时,相应截 例 面面积记作 S1 、 S2 、 S3 ,则( ) (A) S1 < S 2 < S3 (C) S3 < S 2 < S1 (B) S 2 < S1 < S3 (D) S1 < S3 < S 2 S

[例 5]如右图,在母线长为 2 的等边圆锥内作一个内接圆柱, 例 当这个圆柱体积最大时,它的高是( ) (A)

3 3

(B)

3 2

(C)

2 3

(D)

3 4

O

A1
(练习 练习) 练习 6.如图,三棱台 ABC ? A1 B1C1 的上底 ?A1 B1C1 面积 为 4,下底 ?ABC 面积为 9,且三棱锥 C ? AA1 B1 的体 积为 9,则三棱台 ABC ? A1 B1C1 的体积为( (A)19 (B)18 (C) ) A

B1

C1

C B 7.已知圆台上、下底面半径分别为 1cm 和 4cm,圆台的侧面展开图扇环所对的圆心角 为 216°,则该圆台的体积为_________________________。 8.直四棱柱 ABCD ? EFGH 的体积等于 1,底面 ABCD 为平行四边形,则四面体 DCGF 体积为____________。

57 2

(D)

76 3

热点之四: 几综合题 热点之四:立几综合题 o [例 6]如图,圆台 OO1 的高等于下底面圆的半径,母线 AA1 与下底面成 60 的角,P 例
为下底面圆周上的一点, PO 与 AA1 成 30 的角。 (Ⅰ)求二面角 P ? OO1 ? A 的余弦值; (Ⅱ)若下底面圆的半径为 1,求圆台的侧面积。
o

O

A

O1

A1

P

立体几何专题(2002)

第 3 页

[例 7]如图,直四棱柱 ABCD ? A1C1 B1 D1 的侧棱 AA1 的长是 a,底面 ABCD 是边长 例 AB=2a,BC=a 的矩形,E 为 C1 D1 的中点。 (Ⅰ)求证:平面 BCE⊥平面 BDE; (Ⅱ)求二面角 E-BD-C 的大小; (Ⅲ)求三棱锥 B1 ? BDE 的体积.

D1

E

C1

A1
C H A B F

B1
D

(练习答案) 1、B 2、B 3、面 AB1 D1 4、 (1) 60 (2) 90 (3) 90 (4) 60o
o o o

15 2 2 2 o (6)45o(7)arctg (8)45 (9)arctg 2 (10)arctg 15 2 3 3 3 3 3 1 3 5、 (1) a (2) a (3) a 6、C 7、 28π cm 8、 4 16 2 6
(5)arccos
立体几何专题(2002) 第 4 页


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