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高中数学竞赛


[2012 年全国高中数学联赛集训系列 1]

2012 年 5 月 22 日

函数专题训练 1(含参考解答与提示 含参考解答与提示 含参考解答与提示)

一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.设 a > 0, a ≠ 1 ,函数 f ( x ) = log a | ax ? x | 在 [3, 4] 上是增函数,则 a 的取值范围是
2



2 2.函数 f ( x) = ax + (2a ? 1) x ? 3 在 x ∈ [ ?

3 , 2] 上的最大值为 1 ,则实数 a 的值是 2



3.设函数 f ( x ) =

1 ,则 f ( ?2011) + f ( ?2010) + f ( ?2009) + L + f (2010) + a + a
x

f (2011) + f (2012) 等于



4.定义在 R 上的函数 f ( x ) ,对任意的 x ∈ R ,都有 f ( ? x ) + f ( x ) = 0 , f ( x + 1) + f ( x ) = 0 ,且当

5 x ∈ (0,1) 时, f ( x) = x ,则当 x ∈ [?3, ? ] 时, f ( x) 的值域为 2
5.不等式 ( x + 1)3 x 3 + 5 x ( x + 1)3 > 10( x + 1) 2 + 8 的解集为 6.函数 f ( x ) = ( .



1 x ) 与 f ( x) = log 1 x 的交点的个数为 16 16



7.若 x ≥ 0 ,则 y =

1 x + 的最大值是 2 4+ x 2+ x



8 . 已 知 f ( x ) 定 义 在 R 上 的 函 数 , f (2) = 1 , 且 对 任 意 的 x ∈ R , 有 f ( x + 6) ≥ f ( x ) + 6 ,

f ( x + 2) ≤ f ( x) + 2 .设 g ( x) = f ( x) + 1 ? x ,则 g (2012) 等于
二、解答题(第 9 题 16 分,10 题、11 题 20 分) 9.函数 y =



ax 2 + 8 x + b 的值域是 [1,9] ,求实数 a 、 b 的值. x2 + 1

10.设函数 f ( x) = ax + bx + c( a > 0) ,方程 f ( x ) = x 的两个根 x1 、 x2 满 0 < x1 < x2 <
2

1 . a

(1)当 x ∈ (0, x1 ) 时,证明: x < f ( x ) < x1 ; (2)设函数的图像关于 x = x0 对称.证明: x <

x1 . 2

11.设函数 f ( x ) = ax 2 + 8 x + 3( a < 0) 对于给定的负数,有一个最大的数 L( a ) ,使得在整个区间

[0, L(a )] 上,不等式 f ( x) ≤ 5 都成立,问 a 为何值时, L(a ) 最大?求出这个最大的 L(a ) ,证
明你的结论.

参考解答与提示 参考解答与提示
1. [ , ) U (1, +∞)

1 1 6 4

提示:利用复合函数分类讨论结合函数 u ( x) =| ax 2 ? x | 图像讨论.

2.

3 ? 2 ?4 或 4 2

提示:分端点、对称轴讨论,结合二次函数过定点简化讨论.

3. 1006 2

提示:利用广义中心对称 f (1 ? x ) + f ( x ) =

2 (定值) . 2

4.此题为错题,虽有结果,但是某些特值不符合题意! ! 5. (?∞, ?2) U (1, +∞ ) 提示:构造 x 3 + 5 x >

8 2 +5 ,构造单调函数 3 ( x + 1) x +1

6.3 个.分别取 x =

1 1 1 x 、 ;或者构造函数 f ( x ) = log 1 x ? ( ) 讨论零点 2 4 16 16

7.

3 2 .提示:柯西放缩与均值放缩 4

1 (12 + 12 ) 2 1 = ≤ = 2 2 2 2 2 2 2 4+ x (1 + 1 )(2 + x ) ( x + 2) 2+ x x x 1 2 x 1 = 2? ? ≤ ( + ) 2+ x 2+ x 2 2 2+ x 2
y≤
2 2? x 1? 3 2 + + ?= 当 x = 1 取等。求更优秀解答回复 ? x+2 2 ? 2+ x 2? 4

8.0.提示:迭代 f ( x + 2) ≤ f ( x ) + 2 . f ( x + 4) ≤ f ( x + 2) + 2 , f ( x + 6) ≤ f ( x + 4) + 2 三式相加得 f ( x + 6) ≥ f ( x + 4) + 2 .夹逼法 f ( x ) + 2 ≤ f ( x + 6) ≤ f ( x ) + 2 , 得关键 f ( x + 6) ? f ( x ) = 2 ,后略. 9.提示: ? 法求解,利用 1 、 9 是方程的根. 10.请百度文库参见 1997 年高考倒数第 2 题 11. 请百度文库参见 1998 年全国高中联赛一试题, 提示: 也可以利用 f ( x) ≤ 5 ?≤ ?5 ≤ f ( x) ≤ 5 求解答

参考解答



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