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江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研(二)数学试题(二模) Word版含答案


2015-2016 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二) 数学Ⅰ试题 2016.5

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题——第 14 题) 、解答题(第 15 题——第 20 题) .本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后请将答题卡交回. 2.答题前,请

您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡 的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整笔迹清楚. 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 参考公式:

1 圆锥的体积公式:V 圆锥= Sh ,其中 S 是圆锥的底面积,h 是高. 3 圆锥的侧面积公式:S 圆锥= p rl ,其中 r 是圆柱底面的半径, l 为母线长. 1 n 1 n 样本数据 x1 , x 2 ,? , x n 的方差 s 2 ? ? ( xi ? x) 2 ,其中 x = ? xi . n i ?1 n i ?1
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位 ...... 置上 . .. 1.已知全集 U ? ?1, 2 ,, 3 4, 5? , A ? ?1, 2? , B ? ?2 ,, 3 4? ,那么 A ? ??U B? ? 2.已知 (a ? i)2 ? 2i ,其中 i 是虚数单位,那么实数 a ? ▲ . 开始 n←1 x←a n≤3 Y x ← 2x? 1 ▲ . n← n? 1
(第 7 题)





3.从某班抽取 5 名学生测量身高(单位:cm) ,得到的数据为 160,162, 159,160,159,则该组数据的方差 s 2 ? ▲ .

4.同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次,则至少有两枚硬币正面 向上的概率为 ▲ .

2 ,则该双曲线的虚轴长为 5.若双曲线 x2 ? my 2 ? 1 过点 ? 2 ,

?

?

N 输出 x 结束





6.函数 f ( x) ?

ln ? 2 x ? x x ?1

2

? 的定义域为

7.某算法流程图如右图所示,该程序运行后,若输出的 x ? 15 ,则实数 a 等 于 ▲ .

8.若 tan ? ?

1 1 , tan(? ? ? ) ? ? ,则 tan( ? ? 2? ) ? 3 2





9.若直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 始终有公共点,则实数 m 的取值范围 是 ▲ .

10.设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为 V1 , S1 ,底面半径和高均为 r 的圆锥的体积 和侧面积分别为 V 2 , S2 ,若
V1 3 S = ,则 1 的值为 V2 p S2
a





11.已知函数 f ( x) ? x3 ? 2x ,若 f (1) ? f (log 1 3) ? 0 ( a ? 0 且 a ? 1 ) ,则实数 a 的取值范围 是 ▲ .

Sm ? 0 , 12. 设公差为 d( d 为奇数, 且 d ?1) 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 若 Sm ?1 ? ?9 ,
其中 m ? 3 ,且 m ? N * ,则 an ? ▲ .

13 .已知函数 f ( x) ? x x2 ? a ,若存在 x ??1, 2? ,使得 f ( x ) ? 2 ,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

1) , C (a , b) , D(c , d ) ,若不等式 14 .在平面直角坐标系 xOy 中,设点 A(1,0) , B(0 ,

????2 ???? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? CD ≥ ( m? 2)OC? OD? m ( OC? OB ) ? ( OD ? OA )对任意实数 a ,b ,c ,d 都成立,则实数
m 的最大值是





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)
C , ) 在 △ ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 是 a , b, c , 已 知 向 量 m ? (cosB ,cos n ? (4a ? b ,c) ,且 m ∥ n .

(1)求 cos C 的值; (2)若 c ? 3 ,△ ABC 的面积 S =
15 ,求 a ,b 的值. 4

B D C P A

16. (本小题满分 14 分) 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CA ? CB , AA1 ? 2 AB ,

D 是 AB 的中点.

C1

B1
(第 16 题)

A1

(1)求证: BC1 ∥ 平面 A1CD ; (2)若点 P 在线段 BB1 上,且 BP ? 求证: AP ? 平面 A1CD .

1 BB1 , 4

17. (本小题满分 14 分) 某经销商计划销售一款新型的空气净化器,经市场调研发现以下规律:当每台净化器的 利润为 x (单位:元, x ? 0 )时,销售量 q( x) (单位:百台)与 x 的关系满足:若 x 不 超过 20 ,则 q( x) ?

1260 ;若 x 大于或等于 180 ,则销售量为零;当 20 ≤ x ≤ 180 时, x ?1

. q( x) ? a ? b x ( a , b 为实常数) (1)求函数 q( x) 的表达式; (2)当 x 为多少时,总利润(单位:元)取得最大值,并求出该最大值.

18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左,右焦点分别是 F1 , a 2 b2

F2 ,右顶点、上顶点分别为 A , B ,原点 O 到直线 AB 的距离等于 ab ﹒

(1)若椭圆 C 的离心率等于

6 ,求椭圆 C 的方程; 3

(2) 若过点 (0,1) 的直线 l 与椭圆有且只有一个公共点 P , 且 P 在第二象限, 直线 PF2 交 y 轴于点 Q ﹒试判断以 PQ 为直径的圆与点 F1 的位置关系,并说明理由﹒

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 3 ,且对任意的正整数 n ,都有 Sn ?1 ? ? Sn ? 3n ?1 , 其中常数 ? ? 0 .设 bn ?

an 3n

(n ? N? ) ﹒

(1)若 ? ? 3 ,求数列 {bn } 的通项公式; (2)若 ? ? 1 且 ? ? 3 ,设 cn ? an ?

2 ? 3n (n ? N? ) ,证明数列 {cn } 是等比数列; ? ?3

(3)若对任意的正整数 n ,都有 bn ≤ 3 ,求实数 ? 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a ? e x ? x2 ? bx ( a ,b ? R ,e ? 2.71828? 是自然对数的底数) ,其导函 数为 y ? f ?( x) . (1)设 a ? ?1 ,若函数 y ? f ( x) 在 R 上是单调减函数,求 b 的取值范围; (2)设 b ? 0 ,若函数 y ? f ( x) 在 R 上有且只有一个零点,求 a 的取值范围; (3)设 b ? 2 ,且 a ? 0 ,点 (m ,n) ( m , n ? R )是曲线 y ? f ( x) 上的一个定点,是否 存在实数 x0 ( x0 ? m ) ,使得 f ( x0 ) ? f ?(

x0 ? m )( x0 ? m) ? n 成立?证明你的结论. 2

2015-2016 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二) 数学Ⅱ(附加题) 2016.5

注 意 事 项
1. 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 本试卷只有解答题,供理工方向考生使用.本试卷第 21 题有 A,B,C,D 4 个小题供选做,每 位考生在 4 个选做题中选答 2 题.若考生选做了 3 题或 4 题,则按选做题中的前 2 题计分.第 22,23 题为必答题.每小题 10 分,共 40 分.考试时间 30 分钟.考试结束后,请将答题卡交 回. 答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡 的规定位置. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.

2. 3. 4. 5.

21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 ...... . 题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ...... A.选修 4 —1:几何证明选讲 已知△ ABC 内接于 ? O , BE 是 ? O 的直径, AD 是 BC 边上的高. 求证: BA ? AC ? BE ? AD .

A E O B D
(第 21-A 题)

C

B.选修 4—2:矩阵与变换
0) 分别变换成 (2 , ? 4) , (5 , ? 1) , (?1, 2) ,试求变换 T 对应的 已知变换 T 把平面上的点 (3 ,

矩阵 M .

C.选修 4—4:坐标系与参数方程
2) ,倾斜角为 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 过点 M (1,

? ﹒以坐标原点 O 为极点, x 轴 3

的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C : ? ? 6cos ? ﹒若直线 l 与圆 C 相交于 A , B 两点,求

MA? MB 的值.

D.选修 4—5:不等式选讲 设 x 为实数,求证: ? x 2 ? x ? 1? ≤ 3 ? x 4 ? x 2 ? 1? ﹒
2

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解 ....... 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 一个口袋中装有大小相同的 3 个白球和 1 个红球,从中有放回地摸球,每次摸出一个,若 有 3 次摸到红球即停止. (1)求恰好摸 4 次停止的概率; (2)记 4 次之内(含 4 次)摸到红球的次数为 X ,求随机变量 X 的分布列.

23. (本小题满分 10 分)
?,an 满 足 a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 , 且 | a1 | ? | a2 | ??? | an |≤1 (n ? N * 且 设 实 数 a1 ,a2 ,
n ≥ 2) ,令 bn ?

an 1 1 (n ? N*) . (n ? N*) .求证: | b1 ? b2 ? ? ? bn |≤ ? n 2 2n

2015-2016 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二) 数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.
2, 5} 1. {1, 10] 9. [0 ,

2. ?1

3.

6 5

4.

1 2

5. 4

6. ? 0,1? ? ?1,2?

7. 1

8. ?

1 7

3 2 3n ? 12 (?1,5) 10. 11. 12. 13. 14. 5 ? 1 ? 0,1? ? ?3, ??? p 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 解: (1)∵ m ∥ n ,∴ c cos B ? (4a ? b)cos C , 由正弦定理,得 sin C cos B ? (4sin A ? sin B) cos C , 化简,得 sin( B ? C ) ? 4sin A cos C ﹒ ∵ A ? B ? C ? p ,∴ sin A ? sin( B ? C ) ﹒ 又∵ A ? ? 0, p ? ,∵ sin A ? 0 ,∴ cos C ? (2)∵ C ? ? 0, p ? , cos C ? ∵S ?

????2 分

????4 分

1 . 4

????6 分

1 15 1 ? ,∴ sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? . 16 4 4

1 15 ab sin C ? ,∴ ab ? 2 ﹒① 2 4

????9 分

1 ∵ c ? 3 ,由余弦定理得 3 ? a2 ? b2 ? ab , 2
∴ a 2 ? b2 ? 4 ,② ????12 分

由①②,得 a 4 ? 4a 2 ? 4 ? 0 ,从而 a 2 ? 2 , a ? ? 2 (舍负) ,所以 b ? 2 , ∴a?b? 2 . 16.证明: (1)连结 AC1 ,设交 A1C 于点 O ,连结 OD . ∵四边形 AA1C1C 是矩形,∴ O 是 AC1 的中点. 在△ ABC1 中, O , D 分别是 AC1 , AB 的中点, ∴ OD ∥ BC1 . 又∵ OD ? 平面 A1CD , BC1 ? 平面 A1CD , ∴ BC1 ∥ 平面 A1CD . ????6 分 ????4 分 ????2 分 ????14 分

(2)∵ CA ? CB , D 是 AB 的中点,∴ CD ? AB ﹒ 又∵在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面 ABC ⊥侧面 AA1 B1 B ,交线为 AB ,
CD ? 平面 ABC ,∴ CD ? 平面 AA1 B1 B ﹒

????8 分 ????9 分

∵ AP ? 平面 A1 B1 BA ,∴ CD ? AP . ∵ BB1 ? 2BA , BB1 ? AA1 , BP ? ∴
BP 2 AD ? = , BA 4 AA1

1 BB1 , 4

∴ Rt △ ABP ∽ Rt △ A1 AD ,

从而∠ AA1 D =∠ BAP ,所以∠ AA1 D +∠ A1 AP =∠ BAP +∠ A1 AP = 90 ? , ∴ AP ? A1D . 又∵ CD ? A1D ? D , CD ? 平面 A1CD , A1 D ? 平面 A1CD ∴ AP ? 平面 A1CD . ????14 分 ????12 分

?a ? b ? 20 ? 60 , ? ?a ? 90 , ? 17.解: (1)当 20 ≤ x ≤ 180 时,由 ? 得? ? ?b ? 3 5. ?a ? b ? 180 ? 0 , ?
? 1260 0 ? x ≤ 20, ? x ?1 , ? ? 故 q( x)=?90 ? 3 5 x , 20 ? x ≤180, ? 0, x ? 180 ? ? ?

????2 分

????4 分

(2)设总利润 f ( x) ? x ? q( x) ,
?126000 x 0 ? x ? 20, ? x ?1 , ? ? 由(1)得 f ( x)=?9000 x ? 300 5 ? x x , 20 ≤ x ≤ 180, ?0, x ? 180 ? ? ?

????6 分

当 0 ? x ≤ 20 时, f ( x) ?

126000 x 126000 20] 上单调递增, , f ( x) 在 [0 , ? 126000 ? x ?1 x ?1
????8 分

所以当 x ? 20 时, f ( x) 有最大值 120000 .

当 20 ? x ≤ 180 时, f ( x)=9000x ? 300 5 ? x x , f ?( x)=9000 ? 450 5 ? x , 令 f ?( x)=0 ,得 x ? 80 . ????10 分

当 20 ? x ? 80 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增, 当 80 ? x ≤ 180 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 所以当 x ? 80 时, f ( x) 有最大值 240000 . 当 180 ? x 时, f ( x) ? 0 ﹒ 答:当 x 等于 80 元时,总利润取得最大值 240000 元. 18.解:由题意,得点 A(a,0) , B(0, b) ,直线 AB 的方程为 由题设,得 (1)∵ e ?
ab a ?b
2 2

????12 分

????14 分

x y ? ? 1 ,即 ax ? by ? ab ? 0 ﹒ a b
????2 分

? ab ,化简,得 a 2 ? b2 ? 1 ﹒①

a 2 ? b2 2 c 6 ? ? ,即 a2 ? 3b2 ﹒② ,∴ a 3 a2 3
????5 分

? 2 3 a ? , ? ? 4 由①②,解得 ? ﹒ ? b2 ? 1 ? ? 4

所以,椭圆 C 的方程为

4 x2 ? 4 y2 ? 1 ﹒ 3

????6 分

(2)点 F1 在以 PQ 为直径的圆上﹒ 由题设,直线 l 与椭圆相切且 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为: y ? kx ? 1 ,
? x2 y 2 ?1 ? ? 由 ? a 2 b2 ,得 (b2 ? a2k 2 ) x2 ? 2ka2 x ? a2 ? a2b2 ? 0 , (*) ? y ? kx ? 1 ?

????8 分

则 ?=(2ka2 )2 ? 4(b2 ? a2k 2 )(a2 ? a2b2 ) ? 0 , 化简,得 1 ? b2 ? a 2 k 2 ? 0 ,所以, k 2 ? ∵点 P 在第二象限,∴ k ? 1 ﹒ 把 k ? 1 代入方程(*) ,得 x 2 ? 2a 2 x ? a 4 ? 0 , 解得 x ? ?a 2 ,从而 y ? b 2 ,所以 P(?a2 , b2 ) ﹒ 从而直线 PF2 的方程为: y ? b2 ? 令 x ? 0 ,得 y ? ????11 分

1 ? b2 ?1 , a2
????10 分

b2 ( x ? a2 ) , 2 ?a ? c
????12 分 ????13 分

b2c b2 c Q (0, ) ﹒ ,所以点 a2 ? c a2 +c

2 2 从而 F 1P=(?a ? c, b ) , F 1Q =(c,

????

????

b2c ), a 2 +c

???? ???? b4 c 2 从而 F1P ? FQ ? c ( ? a ? c ) ? 1 a2 +c
(b2 ? a 2 )(b2 ? a 2 ) ? c 2 ? c(?a 4 ? c 2 +b4 ) c(?a 4 ? b4 ? c 2 ) c ? ? ? =0 , = ? ? a 2 +c a 2 +c a 2 +c

又∵ a 2 ? b2 ? 1 , a 2 =b 2 +c 2 , ???? ???? ∴ F1P ? FQ ?0﹒ 1 所以点 F1 在以 PQ 为直径的圆上﹒ 19.解:∵ Sn ?1 ? ? Sn ? 3n ?1 , n ? N? , ∴当 n ≥ 2 时, Sn ? ? Sn-1 ? 3n , 从而 an?1 ? ? an ? 2 ? 3n , n ≥ 2 , n ? N? ﹒ 又在 Sn ?1 ? ? Sn ? 3n ?1 中,令 n ? 1 ,可得 a2 ? ? a1 ? 2 ? 31 ,满足上式, 所以 an?1 ? ? an ? 2 ? 3n , n ? N? ﹒ (1)当 ? ? 3 时, an?1 ? 3an ? 2 ? 3n , n ? N? , 从而

????15 分 ????16 分

????2 分

an?1 an 2 2 ? n ? ,即 bn?1 ? bn ? , n ?1 3 3 3 3 2 的等差数列, 3
????4 分

又 b1 ? 1 ,所以数列 {bn } 是首项为 1,公差为 所以 bn ?

2n ? 1 . 3

(2)当 ? ? 0 且 ? ? 3 且 ? ? 1 时,

cn ? an ?

2 2 ? 3n ? ? an?1 ? 2 ? 3n?1 ? ? 3n ? ?3 ? ?3 2 2 ? 3n?1 (? ? 3 ? 3) ? ? (an?1 ? ? 3n?1 ) ? ? ? cn?1 , ? ?3 ? ?3 6
????7 分

? ? an?1 ?
又 c1 ? 3 ?

? ?3

?

3(? ? 1) ?0, ? ?3 3(? ? 1) 3(? ? 1) n?1 ,公比为 ? 的等比数列, cn ? ? ? ﹒????8 ? ?3 ? ?3 3(? ? 1) n?1 ?? . ? ?3

所以 {cn } 是首项为 分

(3)在(2)中,若 ? ? 1 ,则 cn ? 0 也适合,所以当 ? ? 3 时, cn ?
?(2n ? 1) ? 3n ?1 , ? 从而由(1)和(2)可知 an ? ? 3(? ? 1) n ?1 2 ?? ? ? 3n , ? ? ?3 ? ? ?3

? ? 3, ? ? 3.
????9

分 当 ? ? 3 时, bn ? 分 当 ? ? 3 时, bn ? 若 ? ? 3 时, 分 若 0 ? ? ? 1 时, 所以只须 b1 ? 分 若 ? ? 1 时, bn ? 1 ,满足条件.故 ? ? 1 符合条件; 分 若 1 ? ? ? 3 时, ????13

2n ? 1 ,显然不满足条件,故 ? ? 3 . 3

????10

? ? 1 ? n?1 2 . ?( ) ? ? ?3 3 ? ?3

? ?1 ? 0 , bn ? bn ?1 , n ? N? , bn ?[1, ??) ,不符合,舍去. ????11 ? ?3 ? ?1 2 ?0,? ? 0 , bn ? bn ?1 , n ? N? ,且 bn ? 0 . ? ?3 ? ?3
????12

a1 ? 1≤ 3 即可,显然成立.故 0 ? ? ? 1 符合条件; 3

? ?1 2 ?0,? ? 0 ,从而 bn ? bn ?1 , n ? N? , ? ?3 ? ?3
2 2 ) , 要使 bn ≤ 3 成立,只须 ? ≤ 3 即可. ? ?3 ? ?3
????15

因为 b1 ? 1 ? 0 .故 bn ? [1, ?

7 于是 1 ? ? ≤ . 3


7 综上所述,所求实数 ? 的范围是 (0 , ] . 3
分 20.解: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ?ex ? x2 ? bx ,∴ f ?( x) ? ?e x ? 2 x ? b , 由题意 f ?( x) ? ?e x ? 2x ? b ≤ 0 对 x ? R 恒成立﹒ 由 ?e x ? 2 x ? b ≤ 0 ,得 b ≥ -e x ? 2 x , 令 F ( x) ? -e x ? 2 x ,则 F ?( x) ? -e x ? 2 ,令 F ?( x) ? 0 ,得 x ? ln 2 .

????16

????1 分

当 x ? ln 2 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 单调递增,当 x ? ln 2 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 单调递减, 从而当 x ? ln 2 时, F ( x) 有最大值 2ln2 ? 2 , 所以 b ≥ 2 ln 2 ? 2 . 分 ????3

(2)当 b ? 0 时, f ( x) ? ae x ? x2 ,由题意 ae x ? x 2 ? 0 只有一解﹒ 由 ae x ? x 2 ? 0 ,得 ?a ?

x(2 ? x) x2 x2 ,令 ,则 G?( x) ? , G ( x ) ? x x ex e e
????5

令 G?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 . 分 当 x ≤ 0 时, G ?( x) ≤ 0 , G ( x) 单调递减, G ( x) 的取值范围为 ?0 , ? ?? ,
? 4? 当 0 ? x ? 2 时, G?( x) ? 0 , G ( x) 单调递增, G ( x) 的取值范围为 ? 0 ,2 ? , ? e ? ? 4? 当 x ≥ 2 时, G ?( x) ≤ 0 , G ( x) 单调递减, G ( x) 的取值范围为 ? 0 ,2 ? , ? e ?

由题意,得 ? a ? 0 或 ?a ? 所以当 a ? 0 或 a ? ? 分

4 4 ,从而 a ? 0 或 a ? ? 2 , 2 e e
????8

4 时,函数 y ? f ( x) 只有一个零点. e2

(3) f ( x) ? ae x ? x2 ? 2x , f ?( x) ? ae x ? 2 x ? 2 , 假设存在,则有 f ( x0 ) ? f ?( 即

x0 ? m x ?m )( x0 ? m) ? n ? f ?( 0 )( x0 ? m) ? f (m) , 2 2

x0 ? m x ?m x ?m f ( x0 ) ? f (m) x ?m ) ? ae 2 ? 2 ? 0 ?2, ? f ?( 0 ) ,∵ f ?( 0 2 2 x0 ? m 2

f ( x0 ) ? f (m) a(e x0 ? em ) ? ( x0 2 ? m2 ) ? 2( x0 ? m) a(e x0 ? em ) ? ? ? ( x0 ? m) ? 2 , x0 ? m x0 ? m x0 ? m

∴ ae

x0 ? m 2

?

a(e x0 ? em ) ﹒??(*)﹒ x0 ? m
x0 ? m 2

????10 分

∵ a ? 0 ,∴ e

?

t ?m et ? m ? e m e x0 ? em ,不妨设 t ? x0 ? m ? 0 ,则 e 2 ? ﹒ t x0 ? m t
t et ? 1 ,即 te 2 ? et ? 1 , t

两边同除以 em ,得 e 2 ?

????12 分

t t t t t t t 令 g (t ) ? et ? te 2 ? 1 ,则 g ?(t ) ? et ? (e 2 ? e 2 ) ? e 2 (e 2 ? ? 1) , 2 2

令 h (t ) ? e 2 ?

t

t 1 t 1 1 t ? 1 ,则 h?(t ) ? e 2 ? ? (e 2 ? 1) ? 0 , 2 2 2 2

? ?) 上单调递增, ∴ h (t ) 在 (0 , ? ?) 恒成立, 又∵ h(0) ? 0 ,∴ h(t ) ? 0 对 t ? (0 ,

????14 分

? ?) 恒成立, 即 g ?(t ) ? 0 对 t ? (0 , ? ?) 上单调递增,又 g (0) ? 0 , ∴ g (t ) 在 (0 , ? ?) 恒成立,即(*)式不成立, ∴ g (t ) ? 0 对 t ? (0 ,

????15 分 ????16 分

∴不存在实数 x0 ( x0 ? m ) ,使得 f ( x0 ) ? f ?(

x0 ? m )( x0 ? m) ? n 成立. 2

2013-2014 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一) 数学Ⅱ(附加题) 参考答案
21、 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分. ...... A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:连结 AE . ∵ BE 是 ? O 的直径,∴ ?BAE ? 90? . ∴ ?BAE ? ?ADC . 又∵ ?BEA ? ?ACD , ∴△ BEA ∽△ ACD . ∴ ????7 分 ????10 分 ????2 分 ????4 分

BE AC ,∴ BA ? AC ? BE ? AD . ? BA AD

B.选修 4—2:矩阵与变换
? a b ? ? 3 5? ? 2 ?1? ?a b ? 解:设 M ? ? ,由题意,得 ? ?? ??? ?, ? ? c d ? ? ?4 0 ? ? ?1 2 ? ?c d ?
?3a ? 4b ? 2 , ?5a ? ?1 , ? ∴? ?3c ? 4d ? ?1 , ? ?5c ? 2 .

????3 分

????5 分

1 ? ?a ? ? 5 , ? ?b ? ? 13 , ? 20 解得 ? . 2 ?c ? , ? 5 ? ? d ? 11 20 ?

????9 分

? 1 ?? 5 即M ?? ? 2 ? ? 5

?

13 ? 20 ? ?. 11 ? 20 ? ?

????10 分

C.选修 4—4:坐标系与参数方程
1 ? x ?1? t, ? 2 ? 解:直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数 ) , ?y ? 2 ? 3 t, ? ? 2

????2 分

圆 C 的普通方程为 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 ﹒ 直线 l 的参数方程代入圆 C 的普通方程,得 t 2 ? 2( 3 ? 1)t ? 1 ? 0 , 设该方程两根为 t1 , t 2 ,则 t1 ? t2 ? ?1 ﹒ ∴ MA ? MB= t1 ? t2 =1 . D.选修 4—5:不等式选讲 证明:因为 右—左= 2 x 4 ? 2 x3 ? 2 x ? 2 = 2( x ? 1)( x3 ? 1) ? 2( x ? 1)2 ( x2 ? x ? 1)
2 ?? 1 ? 3? = 2( x ? 1)2 ?? x ? ? ? ? ≥ 0 , 2 ? 4? ? ?? ?

????4 分 ????6 分 ????8 分 ????10 分

????2 分 ????4 分 ????8 分 ????10 分

所以,原不等式成立. 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.解: (1)设事件“恰好摸 4 次停止”的概率为 P ,则
1 3 1 9 . P ? C32 ? ( )2 ? ? ? 4 4 4 256
1,, 2 3, (2)由题意,得 X =0,

????4 分

3 81 0 , P( X = 0) ? C4 ? ( )4 ? 4 256

1 3 27 1 , P( X = 1) ? C4 ? ( ) ? ( )3 ? 4 4 64

1 3 27 81 27 27 13 2 , P( X = 3) ? 1 ? , P( X = 2) ? C4 ? ( )2 ? ( )2 ? ? ? ? 4 4 128 256 64 128 256

???? 8



∴ X 的分布列为

X
P

0

1
27 64

2
27 128

3

81 256

13 256

? ? ? ? 10 分

1 23.证明: (1)当 n ? 2 时, a1 ? ?a2 ,∴ 2 | a1 |?| a1 | ? | a2 |≤1 ,即 | a1 |≤ , 2
∴ | b1 ? b2 |?| a1 ?

a2 | a1 | 1 1 1 ,即当 n ? 2 时,结论成立. ????2 分 |? ≤ ? ? 2 2 4 2 2? 2

(2)假设当 n ? k (k ? N * 且 k ≥ 2) 时,结论成立, 即当 a1 ? a2 ? ? ? ak ? 0 ,且 | a1 | ? | a2 | ??? | ak |≤1 时,

1 1 有 | b1 ? b2 ? ? ? bk |≤ ? . 2 2k

????3 分

则当 n ? k ? 1 时,由 a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? 0 ,且 | a1 | ? | a2 | ??? | ak ?1 |≤1 , ∵ 2 | ak ?1 |?| a1 ? a2 ? ? ? ak | ? | ak ?1 |≤ a1 | ? | a2 | ??? | ak ?1 |≤1 ,

1 ∴ | ak ?1 |≤ , 2
又∵ a1 ? a2 ? ? ? ak ?1 ? (ak ? ak ?1 ) ? 0 ,且
| a1 | ? | a2 | ??? | ak ?1 | ? | ak ? ak ?1 |≤| a1 | ? | a2 | ??? | ak ?1 |≤1 ,

????5 分

ak ? ak ?1 1 1 , ????7 分 |≤ ? k 2 2k a a ∴ b1 ? b2 ? ? ? bk ? bk ?1 |?| b1 ? b2 ? ? ? bk ?1 ? k ? k ?1 | k k ?1 a ? ak ?1 a a a a 1 1 ?| (b1 ? b2 ? ? ? bk ?1 ? k ) ? ( k ?1 - k ?1 )|≤ ? ? | k ?1 - k ?1 | k k ?1 k 2 2k k ? 1 k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?( ) | ak ?1 |≤ ? ?( )? ? ? , 2 2k k k ?1 2 2k k k ? 1 2 2 2(k ? 1)
由假设可得 | b1 ? b2 ? ? ? bk ?1 ? 即当 n ? k ? 1 时,结论成立. 综上,由(1)和(2)可知,结论成立. ????10 分


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