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2013-2014学年高中数学人教A版必修三同步辅导与检测:2.1.1简单随机抽样和系统抽样


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统计

2.1

随机抽样

2.1.1简单随机抽样和系统抽样

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1.理解随机抽样的必要性和重要性. 2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本. 3.了解系统抽样的方法.

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基础梳理 1.简单随机抽样定义:一般地,设一个总体含有N个 个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如 果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就 把这种抽样方法叫做简单随机抽样. 2.抽签法的定义:抽签法就是把总体中的N个个体编 号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均 匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取n次,就得到一个 容量为n的样本.

例如:抽签法的一般步骤是什么? (1)将总体的个体编号;
(2)连续抽签获取样本号码. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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3.随机数法的定义:利用随机数表、随机数骰子或 计算机产生的随机数进行抽样,叫随机数表法. 随机数表法的步骤是:①将总体的个体编号;②在随 机数表中选择开始数字;③读数获取样本号码. 下面是一段随机数表 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 金品质?高追求 我们让你更放心!

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注意:开始位置可以自定;读取方向可以上、下、 前、后,但一般是向后读取;遇到超过编号数或重复的 号码要舍去;编号是三位数时每次取数字也要三个;编 号一般从0开始. 例如:抽取编号为00~50中的三个乒乓球检验,决 定从上表第二行第11个数开始向后进行,则样本编号是 多少?

24 06 04

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4.系统抽样的定义:一般地,要从容量为N的总体中 抽取容量为n的样本,可将总体分成均衡的若干部分,然后 按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所 需要的样本,这种抽样的方法叫做系统抽样. 例如:某学校有1005个学生,现要选出10个学生代表, 决定采用系统抽样的方法进行,如何设计步骤? 第一步,用随机数法除去5个学生;第二步,将剩余 的1000个学生编号为1~1000;第三步,按编号将学生分 为10组,每组100人;第四步,随机在第一组选取一个号 码如15;第五步,间隔为100在每组中抽取一个号码分别 为:15,115,215,315,415,515,615,715,815,915.

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思考应用

1.如何理解“抽样”的必要性?
解析:统计的基本思想方法是用样本估计总体, 即用局部推断整体.要了解总体的分布情况,可以从 总体中抽取部分个体研究,这就是抽样.

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2.如何理解抽样方法的重要性? 解析:要判断总体的情况,抽取的样本应具有很 好的代表性,而样本的良好客观的代表性完全依赖于 抽样方法.因此抽样方法的选取直接影响对总体的估 计的判断.

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3. 系统抽样与简单随机抽样有何联系? 解析: 系统抽样与简单随机抽样的联系在于: 在总体均分后的每一部分进行抽样时,采用的是简单 随机抽样;整个抽样过程中,每个个体被抽取的机会 均等.

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自测自评 1.在统计中,从总体中抽取得到的部分个体叫做总体 的一个( C ) A.对象 B.个体 C.样本 D.容量

2.为了分析高三年级的8个班400名学生第一次高考模 拟考试的数学成绩,决定在8个班中每班随机抽取12份试卷 进行分析,这个问题中样本容量是( C )

A. 8
C.96

B.400
D.96名学生的成绩

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3.简单随机抽样当用随机数表时,可以随 机的选定读数,从选定读数开始后读数的方向可

以是________.
4.简单随机抽样适合于________的总体. 3.任意选定的 4.个体较少的

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对简单随机抽样的理解 判断下列关于简单随机抽样的描述的正误:

(1)简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是 有限的.
(2)简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N.

(3)简单随机样本是从总体中逐个抽取的.
(4)简单随机抽样是一种不放回的抽样. (5)简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n/N. 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√

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跟踪训练

1.实施简单随机抽样的两种常用方法是:________ 和________. 抽签法 随机数表法

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实施简单随机抽样的具体方法和步骤 某车间工人加工一种轴100件,为了了解这 种轴的直径,要从中抽取10件轴在同一条件下测量,如 何采用简单随机抽样的方法抽取样本? 解析:简单随机抽样一般采用两种方法:抽签法和 随机数表法.

法一:(抽签法)将100件轴编号为1,2,…,100,并 做好大小、形状相同的号签,分别写上这100个数,将 这些号签放在一起,进行均匀搅拌,接着连续抽取10个 号签,然后测量这个10个号签对应的轴的直径.

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法二:(随机数表法)将100件轴编号为 00,01,…99,在随机数表中选定一个起始位置,如 取第21行第1个数开始,选取10个为

68,34,30,13,70,55,74,30,77,40,这10件即为所要抽取
的样本.

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跟踪训练 2.为了检验某种产品的质量,决定从40件产品 中抽取10件进行检查,如何利用随机数表抽取这个样 本?

解析:可以按下面的步骤进行:
第一步,先将40件产品编号,可以编为 00,01,02,…,38,39. 第二步,在课本(附录1)随机数表中任选一个数 作为开始,例如从第8行第5列的数59开始,为便于说 明,将课本(附录1)中的第6行至第10行摘录如下:

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16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 96 43 84 26 34 91 64 17 37 93 23 78 87 35 20

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 13 42 99 66 02 79 54

77 04 74 47 67
98 10 50 71 75 52 42 07 44 38

21 76 33
12 86 73 15 51 00

57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 77 27 08 02 73 43 28

49 17 46 09 62

90 52 84

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第三步,从选定的数59开始向右读下去,得到一个 两位数字号码59,由于59>39,将它去掉;继续向右读, 得到16,将它取出;继续下去,又得到 19,10,12,07,39,38,33,21,随后的两位数字号码是12,由于 它在前面已经取出,将它去掉,再继续下去,得到34.至 此,10个样本号码已经取满.于是,所要抽取的样本号码 是 16 19 10 12 07 39 38 33 21 34

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对系统抽样的理解 判断下列关于系统抽样的描述的正误: (1)当总体容量N较大时,采用系统抽样. (2)将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分 段的间隔要求相等,因此,系统抽样又称等距抽样,这时 N? 间隔一般为k= ? ?n? . (3)预先制定的规则指的是:在第1段内采用简单随机 抽样确定一个起始编号,在此编号的基础上加上分段间隔 的整倍数即为抽样编号. 金品质?高追求

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(4)在确定分段间隔k时,由于间隔k为整数, 当 N 不是整数时,应采用随机抽样的方法剔除部 分个体,以获得整数间隔k. 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ ?
n

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跟踪训练 3.为了了解某地区参加数学竞赛的1005名学生的成 绩情况,准备从中抽取一个容量为50的样本,现采用系统 抽样的方法,需要从总体中剔除5个个体,在整个抽样过 程中,每个个体被剔除的概率和每个个体被抽到的概率分 别为( )
5 50 A. , 1005 1005 5 50 C. , 1005 1000 1000 50 B. , 1005 1005 1000 50 D. , 1005 1000

5 解析:每个个体被剔除的概率为 , 1005 1000 50 50 每个个体被抽中的概率为 × = . 1005 1000 1005 答案:A

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实施系统抽样的具体方法和步骤 某校高中三年级的295名学生已经编号为

1,2,…,295,为了了解学生的学习情况,要按1∶5的
比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写 出过程. 分析:按1∶5比例抽取样本确定样本容量,再按 系统抽样的步骤进行,关键是确定第1段的编号. 解析:按照1∶5的比例抽取样本,则样本容量为
1 5

×295=59.

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步骤是: (1)编号:按现有的号码.

(2)确定分段间隔k=5,把295名同学分成59组,每组5 人,第1组是编号为1~5的5名学生,第2组是编号为6~10 的5名学生,依次下去,第59组是编号为291~295的5名学 生.
(3)采用简单随机抽样的方法,从第一组5名学生中抽 出一名学生,不妨设编号为l(1≤l≤5). (4)那么抽取的学生编号为l+5k(k=0,1,2…,58),得 到59个个体作为样本,如当l=3时的样本编号为3,8,13…, 288,293.

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点评:当总体中个体无差异且个体数目较大时,采用

系统抽样抽取样本.利用系统抽样抽取样本时,要注意在每
一段上仅抽取一个个体,并且抽取出的个体编号按从小到大 顺序排列时,从第2个号码起,每个号码与前面一个号码的 差都等于同一个常数,这个常数就是分段间隔,因此系统抽 样又称为等距抽样.

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跟踪训练 4.体育彩票000001~100000编号中,凡彩票号码 最后三位数为345的中一等奖,采用的是系统抽样吗? 为什么?

解析:是系统抽样.系统抽样的步骤可概括为总
体编号,确定间隔总体分段,在第一段内确定起始个 体编号,每段内规则取样等几步.该抽样符合系统抽 样的特点.

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1.抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量 非常大时,费时、费力,又不方便,如果标号的签搅拌得 不均匀,会导致抽样不公平,随机数表法的优点与抽签法 相同,缺点是当总体容量较大时,仍然不是很方便,但是 比抽签法公平,因此这两种方法只适合总体容量较少的抽 样类型,简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等,均 为n/N. 2.系统抽样的一般步骤: (1)将总体中的N个对象逐个编号.

(2)将整体按编号进行分段,确定分段间隔k(k∈N, L≤k).

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(3)在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号
L(L∈N,L≤k). (4)按照一定的规则抽取样本,通常是将起始编号L 加上间隔k得到第2个个体编号L+k,再加上k得到第3个 个体编号L+2k,这样继续下去,直到获取整个样本.

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