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2016届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:2.6 指数与指数函数


§2.6

指数与指数函数

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.指数幂的概念与性质


n a; (1)( a)n=__ n a, (2)当 n 为奇数时, an=___ 根式的性 a ? ?a≥0? ?__ n | a | n 质 当 n 为偶数时, a =___=? -a ; ? ?____ ? a<0? 负数 没有偶次方根; (3)_____ 0 (4)零的任何次方根都是____. 分数指数 幂的意义
n m a a>0,m,n∈N*,且 n>1); (1)a n = ______(
m

(2)a- n =______ (a>0,m,n∈N*,且 n>1). an

m

1

m

有理指数 (1)ar· as=ar+s(a>0,r,s∈Q), ars (a>0,r,s∈Q), 幂的运算 (2)(ar)s=______ arbr (a>0,b>0,r∈Q). 性质 (3)(ab)r=_______

2.指数函数 形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数叫指数函数,定义域 定义 R 为_____. a>1 0<a<1 图 象 (0,+∞) 值域:_______________ y= 1 当x=0时,_______ 当x>0时,y>1;当x<0时, 当x>0时,0<y<1;当x<0 0<y<1 时,y>1 在(-∞,+∞)上是 在(-∞,+∞)上是 减函数 增函数 __________ ________

指 数 函 数

性 质

思考探究 1.分数指数幂表示相同因式的乘积吗? 提示:分数指数幂不表示相同因式的乘积,而是根式的另一 种写法,分数指数幂与根式可以相互转化. 2.底数不同的指数函数图象在第一象限有怎样的位置关系? 提示:在第一象限内,底数越大,其图象越位于其它图象 的上方.

课前热身
1. (2011· 高考山东卷)若点 (a,9)在函数 y= 3x 的图象上, aπ 则 tan 的值为 ( ) 6 3 A. 0 B. 3 C. 1 D. 3

解析:选 D.∵点(a,9)在函数 y=3x 的图象上, ∴9=3a,∴a=2, aπ π ∴tan =tan = 3. 6 3

2.函数f(x)=3-x-1的(

)

A.定义域是R,值域是R
B.定义域是R,值域是(0,+∞) C.定义域是R,值域是(-1,+∞) D.以上都不对 答案:C

3.函数f(x)=3x(0<x≤2)的反函数的定义域为( A.(0,+∞) B.(1,9] C.(0,1)

)

D.[9,+∞)
答案:B

4.函数y=ax(a>0,且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和是3,

则a的值是________.
答案:2

5.(2012· 高考山东卷)若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的 最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在[0,+∞)上

是增函数,则a=________.
解析:函数 g(x)在[0,+∞)上为增函数,则 1- 4m>0, 1 1 即 m< .若 a>1,则函数 f(x)在 [- 1,2]上的最小值为 = m,最大 4 a 1 1 值为 a2= 4,解得 a=2, =m,与 m< 矛盾; 2 4 当 0<a<1 时,函数 f(x)在[-1,2]上的最小值为 a2= m, 1 1 1 最大值为 a =4,解得 a= , m= .所以 a= . 4 16 4 1 答案: 4
-1

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 指数式的化简与求值

在进行幂和根式的化简时,一般是先将根式化成幂的形式, 并化小数指数幂为分数指数幂, 并尽可能地统一成分数指数 幂形式,再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算.

例1
2

5 4 5 3 化简: (1)(a5b 5) 2· a ÷ b ;
8


6



1

?a3· b 1?-2· a- 2· b3 (2) ; 6 a· b5


1

1

1

7 0.5 10 -2 37 -2 0 (3)(2 ) +0.1 + (2 ) 3- 3π + . 9 27 48

【思路分析】

(1) 因为题目中的式子既有根式又有分数指数

幂,先化为分数指数幂以便用法则运算;

(2)、(3)题目中给出的是分数指数幂,先看其是否符合运算法
则的条件,如符合用法则进行下去,如不符合应再创设条 件去求.

【领悟归纳】

指数幂的化简与求值的常用方法

(1)化负指数为正指数; (2)化根式为分数指数幂; (3)化小数为分数.

考点 2

指数函数的图象及应用

画指数函数 y=ax 的图象,应抓住三个关键点(1, a)、(0,1)、 1 1 x 1x x x (- 1, ),熟记指数函数 y= 10 , y=2 , y= ( ) , y=( ) 在 10 2 a 同一坐标系中图象的相对位置,由此掌握指数函数图象的位置 与底数大小的关系、图象的变换.

例2

1 |x+ 1| 已知函数 y=( ) . 3

(1)作出函数的图象 (简图 ); (2)由图象指出其单调区间; (3)由图象指出当 x 取什么值时有最值,并求出最值.

化简 作出相应基本 由变换 利用图象 【思路分析】 解析式 → 函数的图象 → 得图象 → 得结果 .

【解】

(1)法一:由函数解析式可得 1 x+ 1 ? ? x≥- 1?, 1 |x+ 1| ?? 3? y= ( ) = ? 3 + ? ?3x 1 ? x<-1? . 其图象由两部分组成: 1 向左平移1个单位 一部分是: y=( )x(x≥ 0)― ― ― ― ― ― ― ― → 3 1 x +1 y= ( ) (x≥- 1); 3 另一部分是: y=3x(x<0)― ― ― ― ― ― ― ― → y= 3x 1(x<- 1). 如图所示.


向左平移1个单位

1 法二:①由 y= ( )|x |可知函数是偶函数,其图象关于 y 轴对称, 3 1x 故先作出 y= ( ) 的图象保留 x≥0 的部分,当 x<0 时,其图象 3 1x 1 |x | 是将 y= ( ) (x≥0)图象关于 y 轴对折, 从而得出 y= ( ) 的图象. 3 3 1 |x | 1 |x+ 1| ②将 y= ( ) 向左平移 1 个单位,即可得 y= ( ) 的图象,如 3 3 图所示. (2)由图象知函数在 (-∞,- 1]上是增函数,在 [- 1,+∞)上 是减函数. (3)由图象知当 x=- 1 时,有最大值 1,无最小值.

【思维总结】

指数函数的图象就有两大类:增或减,要抓

住底数的分类及与y轴的交点.

跟踪训练
1 (2012· 高考四川卷)函数 y=a - (a>0,且 a≠ 1)的图象 a
x

可能是(

)

1 解析:选 D.当 a>1 时, y=a - 为增函数,且在 y 轴上的截距 a
x

1 为 0<1- <1,排除 A, B. a 1 1 当 0<a<1 时, y=a - 为减函数, 且在 y 轴上的截距为 1- <0, a a
x

故选 D.

考点3

指数函数的性质及应用

指数函数y=ax(a>0,a≠1)是单调函数,复合函数y=au(其中u
是关于x的函数u(x))的单调性是由y=au和u=u(x)的单调性综

合确定(遵循同增异减的规律).利用指数函数的单调性,可以
处理有关指数式的比较大小问题,以及某些最简指数方程(不 等式)的求解.

例3 已知 f(x)= 2 a (ax-a- x)(a>0 且 a≠1). a -1
(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 x∈ [- 1,1]时,f(x)≥ b 恒成立,求 b 的取值范围.

【思路分析】

(1)首先看函数的定义域而后用奇偶性定义判

断;(2)单调性利用复合函数单调性易于判断,还可用导数解
决;(3)恒成立问题关键是探求f(x)的最小值.

【解】

(1)函数定义域为 R,关于原点对称.

a - 又∵f(- x)= 2 (a x- ax)=- f(x),∴ f(x)为奇函数. a -1 (2)当 a>1 时, a2-1>0, y= ax 为增函数, y=a 从而 y= ax-a
-x -x

为减函数,

为增函数,∴ f(x)为增函数.
-x

当 0<a<1 时, a2- 1<0, y= ax 为减函数, y= a 从而 y= ax-a
-x

为增函数,

为减函数,∴ f(x)为增函数.

故当 a>0,且 a≠ 1 时, f(x)在定义域 R 内单调递增.

(3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数, ∴在区间[- 1,1]上为增函数.∴f(-1)≤ f(x)≤f(1).
2 1 - a a a -1 ∴ f(x)min=f(-1)= 2 (a -a)= 2 × =-1. a a -1 a -1

∴要使 f(x)≥ b 在 [-1,1]上恒成立, 则只需 b≤f(x)min=-1.故 b 的取值范围是(-∞,-1].

【思维总结】 指数函数 y=ax 的单调性取决于 a 与 1 的大小 1x 关系,且 y=a 与 y=a =( ) 单调性相反. a
x
-x

方法感悟
方法技巧
1.观察指数函数 y= ax(a>0, a≠ 1),
?a>1 ?0<a<1 可以看出,当? 或? 时,均有 x>0; ?y>1 ?0<y<1 ?0<a<1 ?a>1 当? 或? 时,均有 x<0. ?y>1 ?0<y<1

这个性质可概括成“底幂同,大于 0,底幂异,小于 0”.这 个性质可用于研究由值域求自变量的范围.

2.指数式化简结果的形式,如果题目以根式的形式给出,则 结果用根式的形式表示,如果题目以分数指数幂的形式给出, 则结果用分数指数幂的形式表示.结果不要同时含有根式和 分数指数幂,也不要既有分母又含有负指数幂. 3.底数与指数函数的图象相对位置关系 (1)由指数函数y=ax与直线x=1相交于点(1,a)可知:在y轴右 侧,图象从下到上相应的底数由小变到大.

1 (2)由指数函数 y= a 与直线 x=- 1 相交于点 (- 1, )可知, a
x

在 y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变到小. 如图所示的指数函数的底数的大小关系 为 0< a4< a3<1< a2< a1. 这个性质可用于比较:指数相同,底数不同时的 两个指数幂的大小.

失误防范
1.分数指数幂不能随心所欲地将指数约分,例如要将 a4写成 a 2必须认真考察 a 的取值才能决定,例如 (- 1)4=
1 1 2 2

4

?- 1?2= 1,

而 (-1)2= - 1无意义.有理指数幂的运算性质中,其底数都 大于 0,否则不能用性质来运算. 2.指数函数的外形只能是 y=ax,像 y= kax(k≠ 0,k≠ 1)、y= ax+b(b≠0)等都不是指数函数,但它们可以由 y= ax 的图象通 过适当变换得到. 3.指数函数 y= ax(a>0,a≠ 1)的图象和性质与 a 的取值有关, 要特别注意区分 a>1 与 0<a<1 来研究.

考向瞭望把脉高考
命题预测
近两年高考对指数和指数函数的考题主要是以其性质及图象 为依托,常与其他函数进行复合,试题以选择题,填空题为 主,考查学生计算能力和数形结合能力,属低档题.题型有 数值的计算、函数值的求法、数值的大小比较、简单指数不 等式等. 2011年高考山东卷融指数函数、三角函数于一体考查了函数 值问题.2012年高考大纲全国卷综合指数函数与对数函数的单

调性考查比较函数值的大小.
预测2014年的高考中,主要以指数函数的性质为主,利用性质比 较大小和解不等式为重点,同时关注解答题与导数的融合.

典例透析 例 函数 y= 16-4x的值域是(
A.[0,+∞) C.[0,4)
【解析】

)

B.[0,4] D.(0,4)

要使函数有意义,则 16-4x≥0,又∵4x>0,

∴0≤16-4x<16,即函数 y= 16-4x的值域为[0,4).

【答案】

C

【名师点评】

此题主要考查了指数函数的定义域、值域的

知识.从函数形式看是很常见的复合函数.
从此题反馈的信息得知,错选为 A 、 B 、 D的考生都有,其主

要原因是对指数函数性质误用.

知能演练轻松闯关

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