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(新课程)高中数学《3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义》课件1 新人教A版选修1-2


3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

【课标要求】 1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.

2.理解复数加减法的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解
题. 【核心扫描】 1.复数加减运算的几何意义.(重点) 2.本节内容与平面向量的联系.(难点)

自学导引 1.复数加减法的运算法则及加法运算律

(1)加减法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则z1 +z2= (a+c)+(b+d)i ,z1-z2= (2)加法运算律 对任意z1,z2,z3∈C, (a-c)+(b-d)i .

①交换律:z1+z2= z2+z1

.

②结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

想一想:若复数z1,z2满足z1-z2>0,能否认为z1>z2? 提示 不能,如2+i-i>0,但2+i与i不能比较大小.

2.复数加减法的几何意义 → → 如图:设复数 z1,z2 对应向量分别为OZ1,OZ2,四边形 OZ1ZZ2 → 为平行四边形,则与 z1+z2 对应的向量是OZ与 z1-z2 对应的向 → 量是Z2Z1.

想一想:从复数减法的几何意义理解:|z1-z2|表示什么?
提示 表示Z1与Z2两点间的距离.

名师点睛 1.理解用向量法确定两个复数的和 → → 先画出与这个复数对应的向量OZ1,OZ2. → → 设OZ1及OZ2分别与复数 a+bi, → → → c+di 对应,且OZ1,OZ2不共线(如右图),以OZ1及 → OZ2为两条邻边作平行四边形 OZ1ZZ2,作 x 轴的垂 线 PZ1,QZ2 及 RZ,并且作 Z1S⊥RZ.容易证明△ ZZ1S≌△Z2OQ,并且四边形 Z1PRS 是矩形,因此 OR =OP+PR=OP+Z1S=OP+OQ=a+c,

RZ=RS+SZ=PZ1+QZ2=b+d. 于是,点 Z 的坐标是(a+c,b+d), → 这说明OZ就是复数(a+c)+(b+d)i 对应的向量.

2.复数加减法的几何意义 复数加法的几何意义:如果复数 z1,z2 分别对应复平面内的向 → → 量OP1,OP2,那么以 OP1,OP2 为两边作平行四边形 OP1SP2, → 对角线 OS 表示的向量OS就是 z1+z2 的和所对应的向量. 复数减法的几何意义:两个复数的差 z1-z2 与连接这两个向量 终点并指向被减向量的向量对应. 拓展:由复数加减法的几何意义可得如下结论: ||z1|-|z2||≤|z1± 2|≤|z1|+|z2|. z

题型一

复数的加减运算

【例 1】 (1)z1=2+3i,z2=-1+2i.求 z1+z2,z1-z2.
?1 1 ? ?4 3 ? (2)计算:?3+2i?+(2-i)-?3-2i?. ? ? ? ?

(3)计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+?+(-2 008+2 009i)+(2 009-2 010i). [思路探索] 掌握复数的加减运算法则,正确计算即可.

解 (1)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i, z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.
?4 3 ? ?1 4? ?1 3? 1 1 (2)3+2i+(2-i)-?3-2i?=?3+2-3?+?2-1+2?i=1+i. ? ? ? ? ? ?

(3)法一

(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+?+(-2 008

+2 009i)+(2 009-2 010i) =[(1-2)+(3-4)+?+(2 007-2 008)+2 009]+ [(-2+3)+(-4+5)+?+(-2 008+2 009)-2 010]i =(-1 004+2 009)+(1 004-2 010)i=1 005-1 006i.

法二

(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,(3-4i)+(-4+5i)=-1+

i,?,(2 007-2 008i)+(-2 008+2 009i)=-1+i. 相加(共有 1 004 个式子),得 原式=1 004(-1+i)+(2 009-2 010i) =(-1 004+2 009)+(1 004-2 010)i =1 005-1 006i.

规律方法 (1)复数加减运算的方法.

方法一:复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.
方法二:把i看作一个字母,类比多项式加减中的合并同类项. (2)加法法则的合理性: ①当b=0,d=0时,与实数加法法则一致. ②加法交换律和结合律在复数集中仍成立.

③符合向量加法的平行四边形法则.
(3)复数的加减法可以推广到若干个复数,进行连加连减或混合运 算.

【变式1】 计算: (1)(3+5i)+(3-4i);

(2)(-3+2i)-(4-5i);
(3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i). 解 (1)(3+5i)+(3-4i)=(3+3)+(5-4)i=6+i. (2)(-3+2i)-(4-5i)=(-3-4)+[2-(-5)]i=-7+7i. (3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i)=(5-2-3)+[-6+(-2)-3]i

=-11i.

题型二

复数加减法的几何意义

【例 2】 已知复平面内平行四边形 ABCD, 点对应的复数为 2+i, A → → 向量BA对应的复数为 1+2i,向量BC对应的复数为 3-i,求: (1)点 C,D 对应的复数;(2)平行四边形 ABCD 的面积. [思路探索]

→ → 解 (1)∵向量BA对应的复数为 1+2i, 向量BC对应的复数为 3-i, → ∴向量AC对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i. → → → 又OC=OA+AC, ∴点 C 对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i. → → ∵AD=BC, → → ∴向量AD对应的复数为 3-i,即AD=(3,-1).

→ 设 D(x,y),则AD=(x-2,y-1)=(3,-1),
?x-2=3, ? ∴? ?y-1=-1, ? ?x=5, ? 解得? ?y=0, ?

∴点 D 对应的复数为 5.

→ → → → (2)∵BA· =|BA||BC|cos B, BC → → 3-2 BA· BC 1 2 ∴cos B= = = = . → → 5× 10 5 2 10 |BA||BC| 7 2 ∴sin B= = , 5 2 10 7 2 → → ∴S=|BA||BC|sin B= 5× 10× =7, 10 ∴平行四边形 ABCD 的面积为 7. 7

规律方法

(1)根据复数的两种几何意义知:复数的加减运算可以

转化为点的坐标运算或向量运算. (2)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用 提供了可能.

→ → 【变式 2】 (1) 设OZ1及OZ2分别与复数 z1=5+3i 及复数 z2=4+i → → 对应,计算 z1-z2,并在复平面内作出OZ1-OZ2. → → (2)设OZ1及OZ2分别与复数 z1=1+3i 及复数 z2=2+i 对应, → → 计算 z1+z2,并在复平面内作出OZ1+OZ2.

解 (1)z1-z2=(5+3i)-(4+i)=(5-4)+(3-1)i

=1+2i(如图①)

(2)z1+z2=(1+3i)+(2+i)=(1+2)+(3+1)i=3+4i.(如图②)

题型三 复数加减法几何意义的综合应用 【例3】 已知|z+1-i|=1,求|z-3+4i|的最大值和最小值. 审题指导 利用复数加减法的几何意义,以及数形结合的思想 解题.

[规范解答] 法一 设w=z-3+4i,∴z=w+3-4i,
∴z+1-i=w+4-5i. 又|z+1-i|=1, ∴|w+4-5i|=1.(6分)

可知 w 对应的点的轨迹是以(-4,5)为圆心,1 为半径的圆.(8 分) 如图(1)所示,∴|w|max= 41+1,|w|min= 41-1.(12 分)

法二

由条件知复数 z 对应的点的轨迹是以(-1,1)为圆心,1 为半 (4 分)

径的圆,

而|z-3+4i|=|z-(3-4i)|表示复数 z 对应的点到点(3,-4)的距离, (8 分) 在圆上与(3,-4)距离最大的点为 A,距离最小的点为 B,(10 分) 如图(2)所示,所以|z-3+4i|max= 41+1,|z-3+4i|min= 41-1. (12 分)

【题后反思】 |z1-z2|表示复平面内 z1, 2 对应的两点间的距离. z 利 用此性质, 可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题, 从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.

【变式 3】 已知复数 z 满足|z+2-2i|=1,求|z-3-2i|的最大值 与最小值. 解 由复数及其模的几何意义知:

满足|z+2-2i|=1,即|z-(-2+2i)|=1. 复数 z 所对应的点是以 C(-2,2)为圆心, r=1 为半径的圆. 而 |z-3-2i|=|z-(3+2i)|的几何意义是:复数 z 对应的点与点 A(3,2)的距离.由圆的知识可知|z-3-2i|的最小值为|AC|-r, 最大值为|AC|+r. ∴|z-3-2i|min= ?3+2?2+?2-2?2-1=4. |z-3-2i|max= ?3+2?2+?2-2?2+1=6.

方法技巧 数形结合思想在复数中的应用 数与形是数学中两个最古老、也是最基本的研究对象,它们在一

定条件下可以相互转化.数形结合,不仅是一种重要的解题方法,

而且也是一种重要的思维方法.本章中有关复数的几何意义包括
三个方面:复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运 算的几何意义.复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的 数学思想方法,即通过几何图形来研究代数问题.

【示例】 复平面内点 A,B,C 对应的复数分别为 i,1,4+2i,由 → A→B→C→D 按逆时针顺序作?ABCD,则|BD|等于( A.5 C. 15 B. 13 D. 17 ).

[思路分析] 首先由 A、C 两点坐标求解出 AC 的中点坐标, 然后再由点 B 的坐标求解出点 D 的坐标.

解析 如图,设 D(x,y),F 为?ABCD 的对角线的交点,则点 F
? 3? 的坐标为?2,2?, ? ? ?x+1=4, ? 所以? ?y+0=3, ? ?x=3, ? 即? ?y=3. ?

所以点 D 对应的复数为 z=3+3i, → → → 所以BD=OD-OB=3+3i-1=2+3i, → 所以BD= 13. 答案 B

方法点评 解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形, 然后根 据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解.


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