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直线与方程练习


直线的方程
1.设 a,b,c 是互不相等的三个实数,如果 A(a,a ) 、B(b,b ) 、C(c,c )在同一直线上,求证:a+b+c=0. 2.(2009·宜昌调研)若实数 x,y 满足等式(x-2) +y =3,那么
1 2
2 2 3 3 3

y 的最大值为 x



)?<

br />
? A.

B.

3 ? 3

? C.

3 2

D. 3 ?

3.(1)求经过点 A(-5,2)且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程; (2)过点 A(8,6)引三条直线 l1,l2,l3,它们的倾斜角之比为 1∶2∶4,若直线 l2 的方程是 y= 直线 l1,l3 的方程.
3 x,求 4

4.直线 l 经过点 P(3,2)且与 x,y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,△OAB 的面积为 12,求直线 l 的方程.

9.已知线段 PQ 两端点的坐标分别为(-1,1) 、 (2,2) ,若直线 l:x+my+m=0 与线段 PQ 有交点,求 m 的取值范围.

例 3 求适合下列条件的直线方程: 1

(1)经过点 P(3,2) ,且在两坐标轴上的截距相等; (2)经过点 A(-1,-3) ,倾斜角等于直线 y=3x 的倾斜角的 2 倍.

例 4(12 分)过点 P(2,1)的直线 l 交 x 轴、y 轴正半轴于 A、B 两点,求使: (1)△AOB 面积最小时 l 的方程; (2)|PA|·|PB|最小时 l 的方程.

1.设直线 l 与 x 轴的交点是 P, 且倾斜角为 ? ,若将此直线绕点 P 按逆时针方向旋转 45°, 得到直线的倾斜角为 ? +45°,则 2 ( )

A.0°≤ ? <180° C.0°< ? ≤135°
3

B.0°≤ ? <135° D.0°< ? <135° ( D.120° ( C.1 或 3 C.x-2y=0 D.1 或 4 ( D.x+2y-5=0 ) ) ) B.45° B.4 B.x-2y+5=0 C.60°

2.(2008·全国Ⅰ文)曲线 y=x -2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为 A.30° A.1 A.2x+y=0 3.过点 M(-2,m) ,N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为 4.过点 P(-1,2)且方向向量为 a=(-1,2)的直线方程为

5.(2009·株州模拟)一条直线经过点 A(-2,2) ,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1,则此直线的方程为. 6.(2009·宜昌调研)若实数 x,y 满足等式(x-2) +y =3,那么
1 2
2 2

y 的最大值为 x



)?

? A.

B.

3 ? 3
2

? C.

3 2

D. 3 ?

例 1 已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a -1=0, (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)l1⊥l2 时,求 a 的值.

例 2(1) 已知三点 A(1,-1) ,B(3,3) ,C(4,5).?求证:A、B、C 三点在同一条直线上.? (2)设 a,b,c 是互不相等的三个实数,如果 A(a,a ) 、B(b,b ) 、C(c,c )在同一直线上,求证:a+b+c=0.
3 3 3

例 3 (12 分)已知直线 l 过点 P(3,1)且被两平行线 l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0 截得的线段长为 5,求直线 l 的 方程.

例 4 求直线 l1:y=2x+3 关于直线 l:y=x+1 对称的直线 l2 的方程.

线性规划

3

?x ? y ? 5 ? 0 ? 例 1 画出不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域,并回答下列问题:? ?x ? 3 ?
(1)指出 x,y 的取值范围;? (2)平面区域内有多少个整点??

?x ? 1 ? 例 2 (2008·湖南理,3)已知变量 x、y 满足条件 ? x ? y ? 0 , 则 x+y 的最大值是 ?x ? 2 y ? 9 ? 0 ?
? A.2 ? B.5 ? C.6 ? D.8 ?



)?

例 3 (12 分)某工厂生产甲、乙两种产品,计划每天每种产品的生产量不少于 15 吨,已知生产甲产品 1 吨,需煤 9 吨,电力 4 千瓦时,劳力 3 个;生产乙产品 1 吨,需煤 4 吨,电力 5 千瓦时,劳力 10 个;甲产 品每吨的利润为 7 万元,乙产品每吨的利润为 12 万元;但每天用煤不超过 300 吨,电力不超过 200 千瓦时, 劳力只有 300 个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨,才能使利润总额达到最大??

一、选择题 1.直线 xcos ? +y-1=0 ( ? ∈R)的倾斜角的范围是 4 ( )

A. ?0, ? ?

?? 3 ? B. ? , ? ? ? ?4 4 ?

?

? ? ?? C. ?? , ? ? 4 4?
2.已知直线 l 过点(a,1), (a+1,tan ? +1),则 ? A. ? 一定是直线 l 的倾斜角? ? B. ? 一定不是直线 l 的倾斜角? ? C. ? 不一定是直线 l 的倾斜角? ? D.180°- ? 一定是直线 l 的倾斜角?

? ? ? ?3 ? D. ?0, ? ? ? ? , ? ? ? 4 ? ?4 ?
( )?

3.已知直线 l 经过 A(2,1) ,B(1,m ) (m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜角的取值范围是( A. ?0, ? ?

2

) ?

? ? ? ?? ? B. ?0, ? ? ? , ? ? ? ? 4? ? 2 ? ?? ? ? ? ? ? D. ? , ? ? ? , ? ? ?4 2? ? 2 ?
* *

? ?? C. ?0, ? ? 4?
? A.1 B.2 C.3

4.过点(1,3)作直线 l,若经过点(a,0)和(0,b) ,且 a∈N ,b∈N ,则可作出的 l 的条数为( D.4 ? )?



5.经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为( ? A.x+2y-6=0 ? C.x-2y+7=0 线方程是 ? A.2x-3y+1=0 ? C.2x-3y-1=0 二、填空题 7.(2008·浙江理,11)已知 a>0,若平面内三点 A(1,-a) ,B(2,a ) ,C(3,a )共线,则 a=. 8.已知两点 A(-1,-5) ,B(3,-2) ,若直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半,则 l 的斜率是. 三、解答题
2 3

B.2x+y-6=0 ? D.x-2y-7=0 ? ( B.3x-2y+1=0 ? D.3x-2y-1=0 ? )?

6.若点 A(2,-3)是直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的公共点,则相异两点(a1,b1)和(a2,b2)所确定的直

9.已知线段 PQ 两端点的坐标分别为(-1,1) 、 (2,2) ,若直线 l:x+my+m=0 与线段 PQ 有交点,求 m 的取值范围.

10.已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满足下列条件的直线 l 的方程: (1)过定点 A(-3,4) ; (2)斜率为
1 . 6

5

11.已知两点 A(-1,2) ,B(m,3). (1)求直线 AB 的方程;
? ? 3 (2)已知实数 m∈ ?? ? 1, 3 ? 1? ,求直线 AB 的倾斜角 ? 的取值范围. ? 3 ? ? ?

12.过点 P(3,0)作一直线,使它夹在两直线 l1:2x-y-2=0 与 l2:x+y+3=0 之间的线段 AB 恰被点 P 平分,求此 直线的方程.

一选择题(共 55 分,每题 5 分) 1. 已知直线经过点 A(0,4)和点 B(1,2) ,则直线 AB 的斜率为( ) A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在 2.过点(-1,3)?且平行于直线 x-2y+3=0 的直线方程为( )
6

6、若图中的直线 L1、L2、L3 的斜率分别为 K1、K2、K3 则( ) A、K1﹤K2﹤K3 B、K2﹤K1﹤K3 C、K3﹤K2﹤K1 D、K1﹤K3﹤K2 7、直线 2x+3y-5=0 关于直线 y=x 对称的直线方程为( ) A、3x+2y-5=0 B、2x-3y-5=0 C、3x+2y+5=0 D、3x-2y-5=0 8、与直线 2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线是( ) A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0 9、直线 5x-2y-10=0 在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距为 b,则( ) A.a=2,b=5; B.a=2,b=-5; C.a=-2,b=5; D.a=-2,b=-5. 10、直线 2x-y=7 与直线 3x+2y-7=0 的交点是( ) A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 11、过点 P(4,-1)且与直线 3x-4y+6=0 垂直的直线方程是( ) A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0 C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=0 二、填空题(共 20 分,每题 5 分) 12. 过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 __________; 13 两直线 2x+3y-k=0 和 x-ky+12=0 的交点在 y 轴上,则 k 的值是

15 空间两点 M1(-1,0,3),M2(0,4,-1)间的距离是 三、计算题(共 71 分) 16、 (15 分)已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(-1,5) 、B(-2,-1) 、C(4,3) ,M 是 BC 边上的 中点。 (1)求 AB 边所在的直线方程; (2)求中线 AM 的长(3)求 AB 边的高所在直线方程。
7

17、 (12 分)求与两坐标轴正向围成面积为 2 平方单位的三角形,并且两截距之差为 3 的直线的 方程。

8


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