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高考数学专题八解析几何阶段滚动检测练习解析


【步步高】 (浙江专用)2017 年高考数学 专题八 解析几何 阶段滚动 检测 4 练习
一、选择题 1.(2015·日照一模)已知集合 A={(x,y)|y=lg x},B={(x,y)|x=a},若 A∩B=?,则 实数 a 的取值范围是( A.a<1 C.a<0
?1,x为有理数, ? 2.设函数 D(x)=? ?0,x为无理数, ?

) B.a≤1 D.a≤0 则下列结论错误的是( )

A.D(x)的值域为{0,1} B.D(x)是偶函数 C.D(x)不是周期函数 D.D(x)不是单调函数 3.偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),且在 x∈[0,1]时,f(x)=x,则关于 x 的方程 f(x)

? 1 ?x =? ? 在 x∈[0,4]上解的个数是( ?10?
A.1 C.3

) B.2 D.4

1 3 4.(2015·银川一中二模)定义在[a,b](b>a)上的函数 f(x)= sin x- cos x 的值域是 2 2

?-1,1?,则 b-a 的最大值 M 和最小值 m 分别是( ? 2 ? ? ?
π π A.m= ,M= 6 3 4π C.m= ,M=2π 3

)

π 2π B.m= ,M= 3 3 2π 4π D.m= ,M= 3 3 )

5.(2015·温州二测)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是(

A.(18π -20)cm

3

B.(24π -20) cm

3

1

C.(18π -28) cm

3

D.(24π -28) cm
2

3

6.(2015·湖北八校联考)已知点 A 是抛物线 C1:y =2px (p>0)与双曲线 C2: 2- 2=1 (a>0,

x 2 y2 a b

b>0)的一条渐近线的交点(异于原点),若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p,则双曲线 C2 的
离心率等于( A. 2 C. 5 ) B.2 D.4

7.(2015·广西二市联考)若数列{an}满足 a1=1,an-1+an= 2 n(n∈N ,且 n≥ (n -n)·(-1) 2),则数列{ }的前 6 项和为( (2n+1)(2n+3) 1 A.-3 B.- 15 1 C. 15 D.3

anan-1

*

an+1

)

x2 y2 8.已知 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)上的任意一点,若∠PF1F2=α ,∠PF2F1 a b
=β ,且 cos α = A. 5 3 B. 5 4 C. 5 3 ,sin(α +β )= ,则该椭圆的离心率为( 5 5 D. 5 7 )

5 6

二、填空题 9.(2015·南京调研)如图,过椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的左顶点 A 作直 → → 线 l 交 y 轴于点 P, 交椭圆于点 Q.若△AOP 是等腰三角形, 且PQ=2QA, 则椭圆的离心率为________. 10.(2015·台州调考)在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1= 1,若 E,F 为 BD1 的两个三等分点,G 为长方体 ABCD—A1B1C1D1 表面上的动点,则∠EGF 的最 大值为________.

x2 y2 a b

x-2y≤0, ? ? 11.设实数 x,y 满足约束条件?2x-y≥0, ? ?x2+y2-2x-2y≤0,
则目标函数 z=x+y 的最大值为________. 12. 对正整数 n, 设曲线 y=x (1-x)在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an, 则数列? 的前 n 项和 Sn=________. 13 .如果关于 x 的不等式 |x - 3| - |x - 4|<a 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是 ________.
2
n

?

an ? ? n + 1? ?

14.如图 1,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,动点 M,N,Q 分别在线段 AD1,B1C,C1D1 上.当三棱锥 Q—BMN 的俯视图如图 2 所示时,三棱锥 Q—BMN 的正视图面积等于________.

15.设过椭圆 +y =1 的右焦点 F 的直线交椭圆于 A,B 两点,AB 的中点为 P,O 为坐标原 2 → → 点,则OP·PF的取值范围为________. 三、解答题

x2

2

? ? ? ? 16.(2015·湖北七市联考)已知向量 m=?cos ,-1?,n=? 3sin ,cos ?,设函数 f(x) 2 2 2? ? ? ?
x x
2

x

=m·n+1. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 a +b =6abcos C,sin C=2sin
2 2 2

Asin B,求 f(C)的值.

17.如图,在四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,已知平面 AA1C1C⊥平面 ABCD,且

AB=BC=CA= 3,AD=CD=1.
(1)求证:BD⊥AA1; (2)若 E 为棱 BC 的中点,求证:AE∥平面 DCC1D1.

3

18.已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0.且 a2,a5,a14 分别是等比数列{bn}的 b2,b3,

b4.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}对任意自然数 n 均有 + +…+ =an+1 成立,求 c1+c2+…+c2 016 的值.

c1 c2 b1 b2

cn bn

19.(2015·浙江绍兴一中交流卷)如图,四边形 ABEF 是等腰梯形,AB∥

EF,AF⊥BF,矩形 ABCD 与梯形 ABEF 所在的平面互相垂直,已知 AB=2, EF=1.
(1)求证:平面 DAF⊥平面 CBF; (2)当 AD 的长为何值时,二面角 D—FE—B 的大小为 60°?

20.(2015·福建)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)过点(0, 2),且离心率 e= (1)求椭圆 E 的方程;

x2 y2 a b

2 . 2

? 9 ? (2)设直线 l:x=my-1(m∈R)交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点 G?- ,0?与以线段 AB 为直径 ? 4 ?
的圆的位置关系,并说明理由.
4

答案解析 1.D [因为 y=lg x 的定义域为{x|x>0},依题意知,对数函数 y=lg x 的图象与直线 x=a 没有交点,所以 a≤0.故选 D.] 2.C [A 中,由 D(x)的定义直接可得 D(x)的值域为{0,1}.B 中,D(x)的定义域为 R,D(-

x)=?

?1,x为有理数, ? ? ?0,x为无理数,

?1,x为有理数, ? =D(x),所以 D(x)为偶函数.C 中,D(x+1)=? ? ?0,x为无理数,

=D(x),所以可以确定 1 为 D(x)的一个周期,D 中,D(1)=1,D( 2)=0,D(2)=1,…,所 以 D(x)不是单调函数.] 3.D [由 f(x-1)=f(x+1)可知 T=2. ∵x∈[0,1]时,f(x)=x, 又∵f(x)是偶函数,∴可得图象如图.

? 1 ?x ∴f(x)=? ? 在 x∈[0,4]上解的个数为 4.] ?10? ? π? 4.D [依题意得 f(x)=sin?x- ?,在坐标平面内画出函数 y=f(x)的大致图象,结合图象 3? ?
2π 4π ? 1 ? 可知,当函数 y=f(x)的值域是?- ,1?时,m= ,M=2m= ,故选 D.] 2 3 3 ? ? 5.D [根据三视图知,所求的几何体是由一个圆柱挖去一个四棱台得到的,圆柱的底面直径

就是四棱台底面正方形的对角线,其长为 4 2 cm,高为 3 cm,四棱台的上底与下底分别是 边长为 4 cm 和 2 cm 的正方形, 高为 3 cm, 因此所求几何体的体积 V=V 圆柱-V 四棱台=π ×(2 2) 1 2 2 2 2 3 ×3- ×3×(2 + 2 ×4 +4 )=(24π -28)cm ,故选 D.] 3
2

5

6.C [∵点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p,

b b c -a ?p ? ∴A? ,p?在直线 y= x 上,∴ 2= 2 =4, a a a ?2 ?
又∵e>1,∴e= 5,故选 C.] 1 1 7.B [由题意可得 + = 则 (-1)
n

2

2

2

1

an an-1 n(n-1)(-1)n
1 1 - , n-1 n



an

(-1) -
n

n-1

an-1 n



(-1) 1 n-1 累加得 =- ,an=(-1) n,

an

an+1 (-1) (n+1) 所以 = , (2n+1)(2n+3) (2n+1)(2n+3)
则前 6 项的和为 -2 3 -4 5 -6 7 + + + + + 3×5 5×7 7×9 9×11 11×13 13×15 =-?

n

? 1 + 1 + 1 ? ? ?3×7 7×11 11×15?

1 ?1 1 1 1 1 1 ? =- ×? - + - + - ? 4 ?3 7 7 11 11 15? 1 =- ,故选 B.] 15 |PF1| |PF2| |F1F2| |PF1|+|PF2| |F1F2| 8.D [依题意得, = = ,所以 = ,故 sin β sin α sin(α +β ) sin α +sin β sin(α +β )

e=

|F1F2| sin(α +β ) = . 由已知得 0<α <α + β <π , cos α >cos(α + β ) ,即 |PF1|+|PF2| sin α +sin β 5 4 2 2 ,又 cos (α +β )+sin (α +β )=1,所以 cos(α +β )=- ,sin α = 5 5 2 5 ,sin β =sin[(α +β )-α ]=sin(α +β )cos α -cos(α +β )sin α 5

cos(α +β )< 1-cos α =
2

3 5 4 2 5 11 5 21 5 sin(α +β ) 5 = × + × = ,故 sin α +sin β = ,e= = ,即该椭 5 5 5 5 25 25 sin α +sin β 7 圆的离心率为 9. 2 5 5 5 .] 7

2 2 2a a? 4a a → → ? 解析 由题意可得 A(-a,0),P(0,a),因为PQ=2QA,所以 Q?- , ?,所以 2+ 2=1, 9a 9b ? 3 3?

6

化简得 a =5b =5(a -c ),即 2a= 5c,故椭圆的离心率 e= = 10.90°

2

2

2

2

c a

2

2 5 = . 5 5

1 解析 考虑到长方体的体对角线长度为 3,EF=1,以 EF 为直径的球的半径为 ,长方体的高 2 为 1,因此球与长方体的上、下底面均恰有一个交点,因此∠EGF 的最大值为 90°. 11.4 解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,根据图形可
2 2

知, 只有直线 z=x+y 在第一象限与圆 x +y -2x-2y=0 相切时,z |1+1-z| 最大.根据 = 2,解得 z=4(z=0 舍去), 2 故所求的最大值为 4. 12.2
n+1

-2
n n n+1

解析 曲线 y=x (1-x)=x -x 为 k=n×2 2)2
n-1 n-1 n

,y′=nx
n-1

n-1

-(n+1)x ,所以曲线在 x=2 处的切线斜率
n n

n

-(n+1)2 =-(n+2)2
n

,切点为(2,-2 ),所以切线方程为 y+2 =-(n+
n n n

(x-2),令 x=0 得,y+2 =(n+2)2 ,即 y=(n+1)2 ,所以 an=(n+1)2 ,所以

an n+1

n ? an ? 2(1-2 ) n+1 ? ? =2 ,数列 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,所以 Sn= =2 -2. 1-2 ?n+1? n

13.(-1,+∞)

解析 设 y=|x-3|-|x-4|, -1,x≤3, ? ? 则 y=?2x-7,3<x<4, ? ?1,x≥4

的图象如图所示:

若|x-3|-|x-4|<a 的解集不是空集, 则(|x-3|-|x-4|)min<a. 由图象可知当 a>-1 时,不等式的解集不是空集. 1 2 14. a 4 解析 当俯视图如题中所示时,点 Q 与点 D1 重合、点 N 与点 C 重合,点 M 为 AD1 的中点,如 图①所示, 此时如果把正方体的侧面 CDD1C1 作为投影面, 则三棱锥 Q—BMN, 即三棱锥 D1—BMC 1 2 的正视图即为侧面 CDD1C1 上的三角形 CD1H,如图②所示,其中 H 为 DD1 的中点,其面积为 a . 4

7

? 1? 15.?0, ? ? 8?
解析 椭圆 +y =1 的右焦点为 F(1,0),当直线 AB 的斜率存在时,设 AB 的方程为 y=k(x 2 -1),代入椭圆方程 +y =1 中,得(1+2k )x -4k x+2k -2=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2

x2

2

x2

2

2

2

2

2

P(x0 , y0) , 则 x1 + x2 =
2

4k 2k k → 2 , 所 以 x0 = 2 , y0 = k(x0 - 1) = - 2 , OP = 1+2k 1+ 2k 1+2k
2 2 2

2

2

k ? 2k k k → ? 1 → → ? 2k 2,- k 2?, 所以OP·PF= ?1+2k ? PF=?1+2k2,1+2k2?, 2 2- 2 2= 2 2= 1 + 2 k (1+2k ) (1+2k ) (1+2k ) ? ? ? ? k2 → → 2 4,当 k=0 时,OP·PF=0, 1+4k +4k k 1 1 1 → → → → 2 当 k≠0 时,OP·PF= ≤ ,当且仅当 k = 时等号成立,且OP·PF>0. 2 4= 1+4k +4k 1 8 2 2 4+ 2+4k k
当直线 AB 的斜率不存在时,F 与 P 重合, → → 所以OP·PF=0. → → ? 1? 综上,OP·PF的取值范围为?0, ?. ? 8? 16.解 (1)f(x)= 3sin cos -cos +1 2 2 2 = 3 1 1 sin x- cos x+ 2 2 2
2

x

x

2

x

? π? 1 =sin?x- ?+ . 6? 2 ?
π π π 令 2kπ - ≤x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 6 2 π 2π 则 2kπ - ≤x≤2kπ + (k∈Z), 3 3 π 2π ? ? ∴所求增区间为?2kπ - ,2kπ + ? (k∈Z). 3 3 ? ? (2)由 a +b =6abcos C,sin C=2sin Asin B? c =2ab,
8
2 2 2 2

∴cos C=

a2+b2-c2 6abcos C-2ab = =3cos C-1, 2ab 2ab

1 π 即 cos C= ,又∵0<C<π ,C= , 2 3 π π 1 ?π ? ∴f(C)=f? ?=sin( - )+ =1. 3 6 2 ?3? 17.证明 (1)在四边形 ABCD 中, 因为 BA=BC,DA=DC,所以 BD⊥AC, 又平面 AA1C1C⊥平面 ABCD, 且平面 AA1C1C∩平面 ABCD=AC,BD? 平面 ABCD, 所以 BD⊥平面 AA1C1C. 又因为 AA1? 平面 AA1C1C,所以 BD⊥AA1. (2)在三角形 ABC 中,因为 AB=AC,且 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC, 又因为在四边形 ABCD 中,AB=BC=CA= 3,DA=DC=1, 所以∠ACB=60°,∠ACD=30°, 所以 DC⊥BC,所以 AE∥CD, 因为 DC? 平面 DCC1D1,AE?平面 DCC1D1, 所以 AE∥平面 DCC1D1. 18.解 (1)∵a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,且 a2,a5,a14 成等比数列, ∴(1+4d) =(1+d)(1+13d), 解得 d=2,d=0(舍去). ∴an=1+(n-1)×2=2n-1, 又∵b2=a2=3,b3=a5=9. ∴等比数列{bn}的公比 q=3,b1=1,bn=3 (2)∵ + +…+ =an+1,① ∴ =a2,即 c1=b1a2=3. 又 + +…+
n-1
2

.

c1 c2 b1 b2

cn bn

c1 b1

c1 c2 b1 b2

cn-1 =an (n≥2),② bn-1

①-②得, =an+1-an=2, ∴cn=2bn=2×3
n-1

cn bn

(n≥2),

? ?3 (n=1), ∴cn=? n-1 ?2×3 (n≥2). ?

则 c1+c2+c3+…+c2 016
9

=3+2×3 +2×3 +…+2×3 =3+2×(3 +3 +…+3 2×3×(1-3 =3+ 1-3
2 015 1 2 2 015

1

2

2 016-1

)

) 2 016 =3 -3.

19. (1)证明 ∵平面 ABCD⊥平面 ABEF, 平面 ABCD∩平面 ABEF=AB, CB⊥AB, CB? 平面 ABCD, ∴CB⊥平面 ABEF. ∵AF? 平面 ABEF,∴AF⊥CB. 又∵AF⊥BF,BF∩CB=B,∴AF⊥平面 CBF. ∵AF? 平面 DAF,∴平面 DAF⊥平面 CBF. (2)解 取 AB 的中点 O, DC 的中点 H, EF 的中点 G, 以 O 为坐标原点, → → → OA、 OG、 OH分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立空间直角坐标系(如图). 设 AD=t (t>0), 则点 D 的坐标为(1,0,t), 易知等腰梯形 ABEF 的高为 3 , 2

3 ? ? 1 3 ? ?1 则 F? , ,0?,E?- , ,0?, ?2 2 ? ? 2 2 ? 3 3 ? → ? 3 ? → ? 1 所以DF=?- , ,-t?,DE=?- , ,-t?. ? 2 2 ? ? 2 2 ? 设平面 DFE 的一个法向量为 n1=(x,y,z), → → 则 n1·DF=0,n1·DE=0, 1 3 ? ?-2x+ 2 y-tz=0, 即? 3 3 - x+ y-tz=0. ? ? 2 2 令 z= 3,解得 x=0,y=2t,∴n1=(0,2t, 3). 取平面 BEF 的一个法向量 n2=(0,0,1), |n1·n2| 1 |0+0+ 3| 依题意得 cos 60°= ,即 = , 2 |n1|·|n2| 2 4t +3×1 3 解得 t= (负值舍去). 2 3 因此,当 AD 的长为 时,二面角 D—EF—B 的大小为 60°. 2 20.解 方法一 (1)由已知得,

10

b= 2, ? ?c 2 ?a= 2 , ? ?a =b +c .
2 2 2

?a=2, 解得?b= 2, ?c= 2,
x2 y2

所以椭圆 E 的方程为 + =1. 4 2

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点为 H(x0,y0).

x=my-1, ? ? 2 2 由?x y + =1, ? ?4 2
得(m +2)y -2my-3=0. 所以 y1+y2= 从而 y0= 2m 3 ,y1y2=- 2 , m2+2 m +2
2 2

m . m2+2

9?2 5?2 2 ? ? 2 2 所以|GH| =?x0+ ? +y0=?my0+ ? +y0 4? 4? ? ? 5 25 2 2 =(m +1)y0+ my0+ . 2 16 |AB| (x1-x2) +(y1-y2) = 4 4 (1+m )(y1-y2) = 4
2 2 2 2 2 2



(1+m )[(y1+y 2) -4y1y2] 4
2 2

2

=(1+m )(y0-y1y2), |AB| 5 25 2 2 故|GH| - = my0+(1+m )y1y2+ 4 2 16 = 5m 3(1+m ) 25 - 2 + 2 2(m +2) m +2 16
2 2 2 2

17m +2 = >0, 2 16(m +2) |AB| 所以|GH|> . 2
11

? 9 ? 故点 G?- ,0?在以 AB 为直径的圆外. ? 4 ?
方法二 (1)同方法一. (2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2), 9 9 → ? ? → ? ? 则GA=?x1+ ,y1?,GB=?x2+ ,y2?. 4 4 ? ? ? ?

x=my-1, ? ? 2 2 由?x y + =1, ? ?4 2
得(m +2)y -2my-3=0, 所以 y1+y2= 3 2m , m2+2
2 2

y1y2=- 2 , m +2
9?? 9? → → ? 从而GA·GB=?x1+ ??x2+ ?+y1y2 4?? 4? ? 5?? 5? ? =?my1+ ??my2+ ?+y1y2 4 4 ? ?? ? 5 25 2 =(m +1)y1y2+ m(y1+y2)+ 4 16 5 2 m 2 -3(m +1) 2 25 = + 2 + 2 m +2 m +2 16 = 17m +2 >0, 2 16(m +2)
2

→ → 所以 cos〈GA,GB〉>0. → → 又GA,GB不共线,所以∠AGB 为锐角.

? 9 ? 故点 G?- ,0?在以 AB 为直径的圆外. ? 4 ?

12



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