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(课件5)26.1二次函数


y ? x2

y ? 2 x2

8
6

4
2 -4 -2 2

y?

1 2 x 2

4

例3 (1)画出函数 y ? ? 1 ? x ? 1?2 ? 1的图象,
2

1 2 解:作函数 y ? ? ? x ? 1? ? 1 的图象: 2
x
y?? 1 2 ? x ? 1? ? 1 2

·· -4 ·

-3

-2

-1

0

1

2

·· · ·· ·

·· -5.5 -3 ·

-1.5 -1 -1.5 -3

-5.5

-4

-2 -2 -4 -6

2

4

例3:(2)指出它的开口方向、对称轴及顶点.(3)抛物线 y ? ? x 2 2 1 2 怎样的变换可以得到抛物线 y ? ? ? x ? 1? ? 1 2 -4 -2 -2 -4 -6 2 4

1

经过

1 2 抛物线 y ? ? ? x ? 1? ? 1 的开口方向向下、对称轴是x=-1,顶点是 2 (-1,-1).

1 2 把抛物线 y ? ? x 向下平移1个单位,再身左平移1个单位, 2 就得到抛物线 y ? ? 1 ? x ? 1?2 ? 1 2

一般地,抛物线y ? a x ? h ? k与 y ? ax 2 形状 相同 ______,位置不同,把抛物线y=ax2向上(下)向左(右)
2
2 平移 _______,可以得到抛物线 y ? a?x ? h ? ? k

?

?

平移的方向、

h,k 距离要根据_________的值来决定.
抛物线

y ? a ? x ? h? ? k
2

有如下特点:

向上 向下 (1)当a>0时,开口______;当a<0时,开口_______; x=h (2)对称轴是直线______ ;

(h,k) (3)顶点坐标是_________

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
b 4ac ? b 2 =k 另 ? h, 2a 4a

配方

b ? 4ac ? b 2 ? y ? a? x ? ? ? 2a ? 4a ?
2

所以,有y=a(x-h)2+k

因此,任何一个二次函数都可以通过将y=ax2进行平移得 到 当h>0向左平移h个单位,当h<0向 8 右平移|h|个单位, 当k>0时,向上移k个单位,当k<0时, 向下移k个单位, 就可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图像. 例如,y=2x2-8x+12,通过配方 得y=2(x-2)2+4就可以通过平移 -4 y=2x2得到,如演示所示
6 4 2 -2 2 4

例4 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的 顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长? 解:如图建立直角坐标系,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点, 因此可设这段抛物线对应的函数是 y = a( x -1 )2 +3 (0≤x≤3). 由这段抛物线经过点(3,0)可得 0=a(3-1)2+3. 解得 3 2 1 1 2 3

a??

3 4

因此 y ? ?

3 ?x ? 1?2 ? 3 4

?0 ? x ? 3?

当x = 0时,y = 2.25,也就是说,水管应长2.25m.

练习 说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点:

(1)y =2( x+3)2+5;(2)y = -3(x-1)2-2;
(3)y = 4(x-3)2+7; (4)y = -5(x+2)2-6. 解: (1)a=2>0开口向上,对称轴为x=-3,顶点坐标为(-3,5); (2)a=-3<0开口向下,对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-2);

(3)a=4>0开口向上,对称轴为x=3,顶点坐标为(3,7);

(2)a=-5<0开口向下,对称轴为x=-2,顶点坐标为(-2, -6).



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