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2012年全国高考理科数学试题-湖北卷


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理工类)
本试卷共 5 页,共 22 题,其中第 15、16 题为选考题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方块涂黑。 2.选择

题的作答: 每小题选出答案后, 用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答 在试卷、草稿纸上无效。 4.选考题的作答:先把所选题目的题号答在答题卡上指定的位置用统一提供的 2B 铅笔涂黑。考生 应该根据直接的选做的题目准确填涂题号,不得多选,答题答在答题卡上对应的答题区域内,答在 试题卷、草稿纸上无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 ,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的 1. 方程 A -3+2i
x +6x +13 =0 的一个根是
2

B

3+2i

C

-2 + 3i
3

D 2 + 3i

2 命题“ ? x0∈CRQ, x 0 ∈Q ”的否定是 A C
? x0?CRQ, x 0 ∈Q
3

B D

? x0∈CRQ
? x0∈CRQ

, x 0 ?Q , x 0 ?Q
3

3

? x0?CRQ , x 0 ∈Q
3

3 已知二次函数 y =f(x)的图像如图所示 ,则它与 X 轴所围图形的面积为

A.

2? 5 8? 3

B.

4 3

C.

3 2

D.

?
2

4.已知某几何体的三视图如图所示,则该集合体的体积为 A. B.3π C.
1 0? 3

D.6π

5.设 a∈Z,且 0≤a≤13,若 512012+a 能被 13 整除,则 a= A.0 B.A C.11 D.12 6.设 a,b,c,x,y,z 是正数,且 a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则
a?b?c x? y? z ?

A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D,

3 4

7.定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x) ,如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)} 仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数” 。现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下 函数:①f(x)=x?;②f(x)=2x;③ ;④f(x)=ln|x |。

则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 8.如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆。在扇形 OAB 内随机 取一点,则此点取自阴影部分的概率是

A.

B.

C.

D.

9.函数 f(x)=xcosx?在区间[0,4]上的零点个数为 A.4 B.5 C.6 D.7 10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开 立方除之,即立圆径, “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V,求其直径 d 的一个近似公式 。人们还用过一些类似的近似公式。根据 x=3.14159…..判断,下列近似公式中最精确的一 个是

二、填空题:本大题共 6 小题,考试共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填在答 . 题卡对应题号的位置上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 ...... (一)必考题(11-14 题) 11.设△ABC 的内角 A,B,C,所对的边分别是 a,b,c。若(a+b-c) (a+b+c)=ab, 则角 C=______________。 12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 s=___________.

13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如 22,,11,3443,94249 等。显 然 2 位回文数有 9 个: 11,22,33?, 99.3 位回文数有 90 个: 101,111,121, 191,202, ?, ?, 999。则 (Ⅰ)4 位回文数有______个; (Ⅱ)2n+1(n∈N+)位回文数有______个。 14.如图,双曲线 的两顶点为 A1,A2,虚轴两端点为 B1,B2,两

焦点为 F1,F2。若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别为 A,B,C,D。 则 (Ⅰ)双曲线的离心率 e=______; (Ⅱ)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值 __________。

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将 你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第 15 题作答结果计分。 ) 15.(选修 4-1:几何证明选讲)

如图,点 D 在⊙O 的弦 AB 上移动,AB=4,连接 OD,过点 D 作 OD 的垂线交⊙O 于点 C,则 CD 的最大值为_____________。

16.(选修 4-4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知射 线 与曲线 (t 为参数)相较于 A,B 来两点,则线段 AB 的中点的直角

坐标为_________。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知向量 a= ,b= ,设函数 f(x) 为常数,且

=a·b+

的图像关于直线 x=π 对称,其中

(1) 求函数 f(x)的最小正周期; (2) 若 y=f(x)的图像经过点 求函数 f(x)在区间 上的取值范围。

18.(本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列 ? a n

? 的前 n 项的和。

19.(本小题满分 12 分) 如图 1,∠ACB=45°,BC=3,过动点 A 作 AD⊥BC,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B,连接 AB,沿 AD 将△ABD 折起,使∠BDC=90°(如图 2 所示) , (1)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A-BCD 的体积最大; (2)当三棱锥 A-BCD 的体积最大时,设点 E,M 分别为棱 BC,AC 的中点,试在棱 CD 上确定一 点 N,使得 EN⊥BM,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小

20. (本小题满分12分) 根据以往的经验,某工程施工期间的将数量X(单位:mm)对工期的影响如下表: 降水量X 工期延误天数Y 求: (I)工期延误天数Y的均值与方差; (Ⅱ)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率。 21.(本小题满分13分) 2 2 设A是单位圆x +y =1上的任意一点,i是过点A与x轴垂直的直线,D是直线i与x轴的交点,点M 在直线l上,且满足丨DM丨=m丨DA丨(m>0,且m≠1)。当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C。 (I)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求焦点坐标; (Ⅱ)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点,其中P在第一象限,它在y轴上的射影为 点N,直线QN交曲线C于另一点H,是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值; 若不存在,请说明理由。 22.(本小题满分 14 分) (I)已知函数 f(x)=rx-xr+(1-r) (x>0) ,其中 r 为有理数,且 0<r<1.求 f(x)的最小值; (II)试用(I)的结果证明如下命题: 设 a1≥0,a2≥0,b1,b2 为正有理数,若 b1+b2=1,则 a1b1a2b2≤a1b1+a2b2; (III)请将(II)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题。注:当α 为正 α α 有理数时,有求道公式(x )r=α x -1 X<300 0 300≤X<700 2 700≤X<900 6 X≥900 10

历年气象资料表明, 该工程施工期间降水量X小于300,700, 900的概率分别为0.3,0.7,0.9,


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