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四川省新津中学2016届高三数学12月月考试题 理


新津中学高三 12 月月考试题 数学(理科)

第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 M={-1,0,1},N={x|x ≤x},则 M∩N=( A.{0} B.{0,1}
2 2

). D.{-1,0,1} ).

C.{

-1,1}

2. 复数 z 满足(1+i) ·z=-1+i(i 为虚数单位).则在复平面内,复数 z 对应的点位于( A.第一象限
x

B.第二象限 ).

C.第三象限

D.第四象限

3. 函数 y= 16-4 的值域是( A.[0,+∞) B.[0,4]

C.[0,4)

D.(0,4)

→ → → 4. 已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边的中点,且 2OA+OB+OC=0,那么 ( → → A.AO=OD → → B.AO=2OD ). → → C.AO=3OD → → D.2AO=OD ).

5. 下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(

A.①②

B.①③

C.①④
*

D.②④ ).

6. 在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N ),则 a100 等于 ( A.1 B.-1 C .2 D.0

7. 已知球的直径 SC=4,A、B 是该球球面上的两点,AB= 3,∠ASC=∠BSC 30°,则棱锥 S-ABC 的体积为 A.3 3 B.2 3 ( C. 1 ). D. 3



8.若执行如图所示的框图,输入 x1=1,x2=2,x3=3, x =2,则输出的数 等于( A. B. C. 1 3 2 3 2 3
1

).

D.1

x y → → → → 1→2 9. 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的中心为 O,左焦点为 F,A 是椭圆上的一点.OA·AF=0 且OA·OF= OF , a b 2
则该椭圆的离心率是 A. 10- 2 2
3

2

2

( B.
2

). C.3- 5 D.3+ 5

10+ 2 2

10. 已知函数 f(x)=x +2bx +cx+1 有两个极值点 x1,x2,且 x1∈[-2,-1],x2∈[1,2],则 f(-1)的 取值范围是 ( ). C.[3,12] 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 11. (x-2) 的展开式中 x 的系数为________.(用数字作答) 2 2 12. 若点 P(1,1)为圆 C:(x-3) +y =9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为________.
6 3

? 3 ? A.?- ,3? ? 2 ?

?3 ? B.? ,6? ?2 ?

? 3 ? D.?- ,12? ? 2 ?

? π π? 2 13.方程 x +3ax+3a+1=0(a>2)的两根为 tan A,tan B,且 A,B∈?- , ?,则 A+B=________. ? 2 2?
14. 已知函数 f(x)=loga(x -ax+2)在(2,+∞)上为增函数,则实数 a 的取值范围为________. 15. 设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数,且对任意的实数 x,y∈R,都有 f(x)·f(y)=f(x+y),若 a1 1 * = ,an=f(n)(n∈N ),则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是________. 2 三.解答题:共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. cos A-2cos C 2c-a 16. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 = . cos B b sin C (1)求 的值; sin A 1 (2)若 cos B= ,b=2,求△ABC 的面积 S. 4
2

17.正项数列{an}满足:an-(2n-1)an-2n=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn=

2

1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ? n ? 1? an

18. 如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,据统计,通过两条路径所用的时间互不影响,所用时间
2

落在各时间段内的频率如下表:

时间(分钟)

10~20 0.1 0

20~30 0.2 0.1

30~40 0.3 0.4

40~50 0.2 0.4

50~60 0.2 0.1

L1 的频率 L2 的频率

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站. (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案,求 X 的分布列和数 学期望. 19.如图(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥BC,DE= 2.将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图(2).

(1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.

20. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+2=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(0,1),Q(0,2).设 M,N 是椭圆 C 上关于 y 轴对 同两点,直线 PM 与 QN 相交于点 T.求证:点 T 在椭圆 C 上.

x2 y2 a b

3 ,以原点为圆心,椭圆 C 2

称的不

3

21. 已知函数 f ( x) ?

a ln x ? b (其中 a ? 2且a ? 0 ) ,函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线过点 (3, 0) . x
2 的图像在 (0, 2] 有且只有一个交点, 求实数 a 的取值范围. x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 若函数 f ( x) 与函数 g ( x ) ? a ? 2 ? x ?

4

12 月月考数学(理科)答案 1-6 BACAD 7-10 BDCAC

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 11. -160 12. 2x-y-1=0. 3π 13.- 4 14. (1,3]

?1 ? 15. ? ,1? ?2 ?

三.解答题:共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. cos A-2cos C 2c-a 16. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 = . cos B b sin C (1)求 的值; sin A 1 (2)若 cos B= ,b=2,求△ABC 的面积 S. 4 解 2c-a 2sin C-sin A (1)由正弦定理,则 = , b sin B

cos A-2cos C 2sin C-sin A 所以 = , cos B sin B 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 因为 A+B+C=π ,所以 sin C=2sin A. sin C 因此 =2. sin A sin C (2)由 =2,得 c=2a. sin A 1 1 2 2 2 2 2 2 由余弦定理 b =a +c -2accos B 及 cos B= ,b=2,得 4=a +4a -4a × .解得 a=1,从而 c=2. 4 4 1 15 因为 cos B= ,且 0<B<π ,所以 sin B= , 4 4 1 1 15 15 因此 S= acsin B= ×1×2× = . 2 2 4 4 17.正项数列{an}满足:an-(2n-1)an-2n=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; 1 (2)令 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ?n+1?an 解:(1)由 an-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0. 由于{an}是正项数列,所以 an=2n. 1 (2)由 an=2n,bn= , ?n+1?an 1 ? 1 1?1 得 bn= = ? - ?. 2n?n+1? 2?n n+1?
5
2 2

- + - Tn= ?1- + - +?+ = 2 2 3 n-1 n n n+1?

1? 2?

1 1 1

1

1 1

1 ?

?

1 ? 1? n 1- = . ? ? 2? n+1? 2?n+1? 18. 如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,据统计,通过两条路径所用的时间互不影响,所用时间 落在各时间段内的频率如下表: 时间(分钟) 10~ 20 0.1 0 20~ 30 0.2 0.1 30~ 40 0.3 0.4 40~ 50 0.2 0.4 50~ 60 0.2 0.1

L1 的频率 L2 的频率

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站. (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案,求 X 的分布列 和数学期望. 解 (1)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站”,Bi 表示事件“乙选择路径 Li 时,50

分钟内赶到火车站”,i=1,2. 用频率估计相应的概率可得

P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,
∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择 L1;

P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
∵P(B2)>P(B1),∴乙应选择 L2. (2)A,B 分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站, 由(1)知 P(A)=0.6,P(B)=0.9,又由题意知,A,B 独立, ∴P(X=0)=P(AB)=P(A)P(B)=0.4×0.1=0.04,

P(X=1)=P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)
=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42,

P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.9=0.54.
∴X 的分布列为

X P

0 0.04

1 0.42

2 0.54

∴E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5. 19.如图(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥BC,DE= 2.将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图(2).

6

(1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由. (1)证明 因为 AC⊥BC,DE∥BC,所以 DE⊥AC. 所以 DE⊥A1D,DE⊥CD,所以 DE⊥平面 A1DC. 又 A1C? 平面 A1DC,所以 DE⊥A1C. 又因为 A1C⊥CD,所以 A1C⊥平面 BCDE.

(2)解 如图, 以 C 为坐标原点, 建立空间直角坐标系 C-xyz, 则 A1(0,0,2 3), D(0,2,0), M(0,1, 3),

B(3,0,0),E(2,2,0).
→ → 设平面 A1BE 的法向量为 n=(x,y,z),则 n·A1B=0,且 n·BE=0. → → 又A1B=(3,0,-2 3),BE=(-1,2,0),

?3x-2 3z=0, 所以? ?-x+2y=0.
所以 n=(2,1, 3).

令 y=1,则 x=2,z= 3.

设 CM 与平面 A1BE 所成的角为 θ . → 因为CM=(0,1, 3), → |n·CM| 4 2 → 所以 sin θ =|cos〈n,CM〉|= = = . → 8× 4 2 |n||CM| π 所以 CM 与平面 A1BE 所成角的大小为 . 4 (3)解 线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直,理由如下:假设这样的点 P 存在,设其 坐标为(p,0,0),其中 p∈[0,3]. 设平面 A1DP 的法向量为 m=(x′,y′,z′), → → 则 m·A1D=0,且 m·DP=0.
7

→ → 又A1D=(0,2,-2 3),DP=(p,-2,0),

?2y′-2 3z′=0, 所以? ?px′-2y′=0.
所以 m=?2,p,

令 x′=2,则 y′=p,z′=

p

. 3

? ?

p?
3?

?.

平面 A1DP⊥平面 A1BE,当且仅当 m·n=0, 即 4+p+p=0.解得 p=-2,与 p∈[0,3]矛盾. 所以线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面

x2 y2 3 20. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆 C a b 2
的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+2=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(0,1),Q(0,2).设 M,N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点,直线 PM 与 QN 相交于点 T. 求证:点 T 在椭圆 C 上. (1)解 由题意知,b= 2 2 = 2.

因为离心率 e= = 所以 a=2 2.

c a

3 b ,所以 = 2 a

?c?2 1 1-? ? = . ?a? 2

所以椭圆 C 的方程为 + =1. 8 2 (2)证明 由题意可设 M,N 的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0), 则直线 PM 的方程为 y= 直线 QN 的方程为 y=

x2 y2

y0-1 x+1,① x0

y0-2 x+2.② -x0

x0 3y0-4 法一 联立①②解得 x= ,y= , 2y0-3 2y0-3
2 2 ? x0 ,3y0-4?.由x0+y0=1,可得 x2=8-4y2. 即 T? ? 0 0 ?2y0-3 2y0-3? 8 2 2 2 1? x0 ?2 1?3y0-4?2 x0+4?3y0-4? 因为 ? + ? = ? ? 2 8?2y0-3? 2?2y0-3? 8?2y0-3?



8-4y0+4?3y0-4? 32y0-96y0+72 8?2y0-3? = 2 2 = 2=1, 8?2y0-3? 8?2y0-3? 8?2y0-3?

2

2

2

2

所以点 T 的坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上.

x 3y-4 法二 设 T(x,y),联立①②解得 x0= ,y0= . 2y-3 2y-3
8

x2 y2 1? x ?2 1?3y-4?2 0 0 因为 + =1,所以 ? ?+ ? ? =1. 8 2 8?2y-3? 2?2y-3? x ?3y-4? 2 整理得 + =(2y-3) , 8 2 x 9y x y 2 所以 + -12y+8=4y -12y+9,即 + =1. 8 2 8 2
所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上. 21. 已知函数 f ( x) ?
2 2 2 2 2 2

a ln x ? b (其中 a ? 2且a ? 0 ) ,函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线过点 (3, 0) . x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;

2 的图像在 (0, 2] 有且只有一个交点, 求实数 a 的取值范围. x a ln x ? b a ? b ? a ln x |x ?1 ? a ? b 解: (1) f ( x) ? ,? f (1) ? b , f '( x) ? x x2 ? y ? b ? (a ? b)( x ? 1) ,切线过点 (3, 0) ,? b ? 2a a ? b ? a ln x a (ln x ? 1) f '( x) ? ?? 2 x x2 1 1 ① 当 a ? (0, 2] 时, x ? (0, ) 单调递增, x ? ( , ??) 单调递减 e e 1 1 ② 当 a ? (??, 0) 时, x ? (0, ) 单调递减, x ? ( , ??) 单调递增 e e
(Ⅱ) 若函数 f ( x) 与函数 g ( x ) ? a ? 2 ? x ?

a ln x ? 2a 2 ? a ? 2 ? x ? 在 (0, 2] 只有一个根 x x 2 即 x ? (a ? 2) x ? a ln x ? 2a ? 2 ? 0 在 (0, 2] 只有一个根
(2)等价方程 令 h( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? a ln x ? 2a ? 2 ,等价函数 h( x) 在 (0, 2] 与 x 轴只有唯一的交点

(2 x ? a)( x ? 1) x ① 当 a ? 0 时, h( x) 在 x ? (0,1) 递减, x ? (1, 2] 的递增 当 x ? 0 时, h( x) ? ?? ,要函数 h( x) 在 (0, 2] 与 x 轴只有唯一的交点 2 ? h(1) ? 0 或 h(2) ? 0 ,? a ? ?1 或 a ? ? ln 2 ? h '( x) ?
②当 a ? (0, 2) 时, h( x) 在 x ? (0, ) 递增, x ? ( ,1) 的递减, x ? (1, 2] 递增

a 2

a 2

a ? h( ) ? h(1) ? a ? 1 ? 0 ,当 x ? 0 时, h( x) ? ?? ,? h(e?4 ) ? e?8 ? e?4 ? 2 ? 0 2 a ? h( x) 在 x ? (0, ) 与 x 轴只有唯一的交点 2
?4 ?8 ?4 ③当 a ? 2 , h( x) 在 x ? (0, 2] 的递增 ? f (e ) ? e ? e ? 2 ? 0, ? h( x) 在 x ? (0, 2] 与 x 轴只有唯一的交点

f (2) ? 2 ? ln 2 ? 0

故 a 的取值范围是? a ? ?1 或 a ? ?

2 或0 ? a ? 2 . ln 2

9


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