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上海市闸北区2012届高三第二次模拟数学文理试题


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中国校长网 2012.4

闸北区 2011 学年度第二学期高三数学(文科)高考模拟卷
考生注意:

1. 本次测试有试题纸和答题纸,解答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效. 2. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚,并在规 定区域内贴上条形

码. 3. 本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(56 分)本大题共有 14 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个空 格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.设复数 z 满足 i( z ? 1) ? 3 ? z ,其中 i 为虚数单位,则 z ? .

?? 2 ? n 1 ? n ? 2.计算 lim ?? ? ? . ?? n ?? ?? 3 ? 4 ? n ? ? ? 2 3.设 f ( x) ? ( x ? 1) ( x ? 1) ,则 f ?1 (4) ? . ?1 a 3 ? 4.若以 ? ? a 4 1? 为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解,则实数 a 的取值范围为 ? ? ? 2 5 3 5. ( x ? ) 的二项展开式中, x 的系数是___________(用数字作答) . x
? y ? 0, ? 7.若实数 x , y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 4 ? 0, 则 x ? y 的最大值是 ? x ? y ? 1 ? 0, ?



6.从一堆苹果中任取 5 只,称得它们的质量如下(单位:克) :125,124,121,123,127. 则 该样本的标准差 s ? 克. .

8 .设 定点 A(?2,0) 、 B(2,0) , 动点 P( x, y) 满 足: PA ? PB ? 2 , 则动 点 P 的 轨迹 方程 为 . 9.从 5 名男同学、4 名女同学中任意选 4 名同学组成一个课外活动小组,则该活动小组男、女同 学都有的概率为 . 10.设直线 m 与平面 ? 相交但不垂直,则下列所有正确的命题序号是 . ①在平面 ? 内有且只有一条直线与直线 m 垂直; ②与直线 m 平行的直线不可能与平面 ? 垂直; . ③与直线 m 垂直的直线不可能与平面 ? 平行; . ④与直线 m 平行的平面不可能与平面 ? 垂直. . .

11.若关于 x 的不等式 ax ? b ? 2( x ? 1) 的解集为 {x | x ? 1 ,则 b 的取值范围为 }
x



12.某城区从某年开始的绿化总面积 y (万平方米)与时间 x (年)的关系为 y ? 1.15 .则该城 区绿化总面积从 4 万平方米到 12 万平方米所用的时间为 年. (四舍五入取整) 13.若 x ? 1 ? x ? a ? 2 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为 为平面向量, k ? R ,则下列运算性质一定成立的所有序号是 ① a ?b ? b ?a ; ③ a ? (b ? c) ? (a ? b) ? c ; ② (k a) ? b ? a ? (k b) ; ④ a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c . . . 14. 对于任意的平面向量 a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) , 定义新运算 ? : ? b ? ( x1 ? x2 , y1 y2 ) . a, b, c 若 a

二、选择题(20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必
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须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? y ? 0 对称的圆方程是 A. ? x ? 1? ? y ?
2 2





1 2 2 B. ? x ? 1? ? y ? 2 2 1 2 2 2 2 C. ? x ? 1? ? y ? D. ? x ? 1? ? y ? 2 2 16.设函数 f ( x ) 的图像关于 y 轴对称,又已知 f ( x ) 在 (0, ?) 上为减函数,且 f (1) ? 0 ,则不 ? f (? x) ? f ( x) ? 0 的解集为 等式 ( ) x A. (?1 0) ? (0, B. (?1 0) ? (1 ? ?) , 1) , , C. (??, 1) ? (0, D. (??, 1) ? (1 ? ?) ? 1) ? , 17.将若干水倒入底面半径为 2cm 的圆柱器皿中(底面水平放置) ,量得水面的高度为 6cm .若
将这些水倒入轴截面是正三角形的倒置的圆锥形器皿中,则水面的高度是 ( A. 6 3cm B. 6cm C. 2 18cm
3



D. 3 12cm

3

18. {an } 是公比为 q 的等比数列, 设 首项 a1 ?

时,数列 ?bn ? 的前 n 项和取得最大值,则 q 的取值范围为 A. (3,2 3) B. (3,4) C. (2 2 ,4)

1 ? , 对于 n ? N ,bn ? log 1 a n , 当且仅当 n ? 4 64 2
( ) D. (2 2,3 2 )

三、解答题(本题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤. 19. (本小题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 如图,在正四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AB ? 2 . (1)求该正四棱锥的体积 V ; (2)设 E 为侧棱 PB 的中点,求异面直线 AE 与 PC 所成角 ? 的大小.

20. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分)

1 π? ? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ? ? (1)设 x0 是函数 y ? f ( x) 的一个零点,求 g ( x0 ) 的值; (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.
已知函数 f ( x) ? cos 2 ? x ?

21. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分) 一自来水厂用蓄水池通过管道向所管辖区域供水.某日凌晨,已知蓄水池有水 9 千吨,水厂 计划在当日每小时向蓄水池注入水 2 千吨,且每 x 小时通过管道向所管辖区域供水 8 x 千吨. (1)多少小时后,蓄水池存水量最少? (2)当蓄水池存水量少于 3 千吨时,供水就会出现紧张现象,那么当日出现这种情况的时间 有多长? 22. (本小题满分 16 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 8 分)
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设椭圆 C : x ? 2 y ? 2b (常数 b ? 0 )的左右焦
2 2 2

点分别为 F1 , F2 , M , N 是直线 l : x ? 2b 上的两个动点,

????? ???? ? F1M ? F2 N ? 0 . ????? ???? ? (1)若 F1M ? F2 N ? 2 5 ,求 b 的值;
(2)求 MN 的最小值.

23. (本小题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分) 如图, P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y 2 ) ,…, Pn ( xn , y n ) ,…是曲线 C : y ? 1
2

1 x( y ? 0) 上的点, 2

A1 (a1 ,0) , A2 (a 2 ,0) ,…, An (an ,0) ,… 是 x 轴正半轴上的点,且 ?A0 A1 P , ?A1 A2 P2 ,…, 1 ?An?1 An Pn ,… 均为斜边在 x 轴上的等腰直角 三角形( A0 为坐标原点) . (1)写出 a n ?1 、 an 和 xn 之间的等量关系,
以及 a n ?1 、 an 和 y n 之间的等量关系; (2)求证: a n ? (3) bn ? 设 取值范围.

n(n ? 1) ? (n? N ) ; 2
? 1 an?2 ? 1 a n ?3 ??? 1 ? , 对所有 n ? N ,bn ? log8 t 恒成立, 求实数 t 的 a2n

1 a n ?1

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闸北区 2011 学年度第二学期高三数学(理科)高考模拟卷
考生注意:

1. 本次测试有试题纸和答题纸,作答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效. 2. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚,并在规 定区域内贴上条形码. 3. 本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(56 分)本大题共有 14 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个空 格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.设复数 z 满足 i( z ? 1) ? 3 ? z ,其中 i 为虚数单位,则 z ? 2.计算 lim ?? ? ? .

?? 2 ? n n ?? ?? 3 ? ?

1? n ? ?? 4 ? n? ?
?1



3.设 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1) ,则 f 4.若以 ? ?

(4) ?

. .

?1 a 3 ? ? 为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解,则实数 a 的取值范围为 ? ? a 4 1? 2 5 3 5. ( x ? ) 的二项展开式中, x 的系数是___________(用数字作答) . x
? ?

6.从一堆苹果中任取 5 只,称得它们的质量如下(单位:克) :125,124,121,123,127. 则 该样本的标准差 s ? 克. 7.已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ? ? 4cos ? ? ? ≥ 0,≤? ? 0 线 C1 与 C2 交点的极坐标为 .

π? ? , ? cos? ? 3 ,则曲 2?

8.设定点 A(?1,?2) 、 B(1,2) ,动点 P( x, y) 满足: PA ? PB ? 2 5 ,则动点 P 的轨迹方程 为 . . 9.设直线 m 与平面 ? 相交但不垂直,则下列所有正确的命题序号是 . ①在平面 ? 内有且只有一条直线与直线 m 垂直; ②过直线 m 有且只有一个平面与平面 ? 垂直; ③与直线 m 平行的直线不可能与平面 ? 垂直; . ④与直线 m 垂直的直线不可能与平面 ? 平行; . ⑤与直线 m 平行的平面不可能与平面 ? 垂直. . 10.某校学生在上学路上要经过 2 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯 的概率都是

留的总时间 ? 的均值等于 分钟. 11.若关于 x 的不等式 ax ? b ? 2( x ? 1) 的解集为 {x | x ? 1} ,则 b 的取值范围为

1 , 遇到红灯时停留的时间都是 2 分钟. 则该校某个学生在上学路上因遇到红灯停 3

x

12.某城区从某年开始的绿化总面积 y (万平方米)与时间 x (年)的关系为 y ? 1.15 .则该城 区绿化总面积从 4 万平方米到 12 万平方米所用的时间为 年. (四舍五入取整) 13.若 2 x ? 1 ? x ? a ? 2 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为 为平面向量, k ? R ,则下列运算性质一定成立的所有序号是 . . 14. 对于任意的平面向量 a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) , 定义新运算 ? : ? b ? ( x1 ? x2 , y1 y2 ) . a, b, c 若 a

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① a ?b ? b ?a ;

② (k a) ? b ? a ? (k b) ;

③ k (a ? b) ? (k a) ? (k b)

④ a ? (b ? c) ? (a ? b) ? c ;

⑤ a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c .

二、选择题(20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必 须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? y ? 0 对称的圆方程是 A. ? x ? 1? ? y ?
2 2





1 2 2 B. ? x ? 1? ? y ? 2 2 1 2 2 2 2 C. ? x ? 1? ? y ? D. ? x ? 1? ? y ? 2 2 16.设函数 f ( x ) 的图像关于 y 轴对称,又已知 f ( x ) 在 (0, ?) 上为减函数,且 f (1) ? 0 ,则不 ? f (? x) ? f ( x) ? 0 的解集为 等式 ( ) x , 1) , , A. (?1 0) ? (0, B. (?1 0) ? (1 ? ?) ? 1) ? , C. (??, 1) ? (0, D. (??, 1) ? (1 ? ?) 17.将若干水倒入底面半径为 2cm 的圆柱器皿中(底面水平放置) ,量得水面的高度为 6cm .若
将这些水倒入轴截面是正三角形的倒置的圆锥形器皿中,则水面的高度是 ( A. 6 3cm B. 6cm C. 2 18cm
3



D. 3 12cm

3

18. {an } 是公比为 q 的等比数列, 设 首项 a1 ?

时,数列 ?bn ? 的前 n 项和取得最大值,则 q 的取值范围为 A. (3,2 3) B. (3,4) C. (2 2 ,4)

1 ? , 对于 n ? N ,bn ? log 1 a n , 当且仅当 n ? 4 64 2
( ) D. (2 2,3 2 )

三、解答题(本题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤. 19. (本小题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 如图,菱形 ABCD 中, AB ? AC ? 1 , 其对角线的交点为 O ,现将 ?ADC 沿对角线 AC 向上翻折,使得 OD ? OB .在四面体 ABCD 中, E 在 AB 上移动,点 F 在 DC 上移动,且 AE ? CF ? a(0 ? a ? 1) . (1)求线段 EF 的最大值与最小值; (2)当线段 EF 的长最小时,求异面 直线 AC 与 EF 所成角 ? 的大小.

20. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分)

1 π? ? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ? ? (1)设 x0 是函数 y ? f ( x) 的一个零点,求 g ( x0 ) 的值; (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.
已知函数 f ( x) ? cos 2 ? x ?

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21. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分) 某市一家庭一月份、二月份、三月份天然气用量和支付费用如下表所示: 月份 一 二 三 用气量(立方米) 4 20 26 支付费用(元) 8 38 50

该市的家用天然气收费方法是:天然气费=基本费 ? 超额费 ? 保险费. 现已知,在每月用气量不超过 A 立方米时,只交基本费 6 元;每户的保险费是每月 C 元 (C ? 5) ;用气量超过 A 立方米时,超过部分每立方米付 B 元. 设当该家庭每月用气量 x 立方米时,所支付费用为 y 元.求 y 关于 x 的函数解析式.

22. (本小题满分 16 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 8 分) 设椭圆 C : x 2 ? 2 y 2 ? 2b 2 (常数 b ? 0 )的左右焦 点分别为 F1 , F2 , M , N 是直线 l : x ? 2b 上的两个动点,

????? ???? ? F1M ? F2 N ? 0 . ????? ???? ? (1)若 F1M ? F2 N ? 2 5 ,求 b 的值;
(2)求 MN 的最小值.

23. (本小题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分) 如图, P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y 2 ) ,…, Pn ( xn , y n ) ,…是曲线 C : y ? 1
2

1 x( y ? 0) 上的点, 2

A1 (a1 ,0) , A2 (a 2 ,0) ,…, An (an ,0) ,… 是 x 轴正半轴上的点,且 ?A0 A1 P , ?A1 A2 P2 ,…, 1 ?An?1 An Pn ,… 均为斜边在 x 轴上的等腰直角 三角形( A0 为坐标原点) . (1)写出 a n ?1 、 an 和 xn 之间的等量关系,
以及 a n ?1 、 an 和 y n 之间的等量关系; (2)猜测并证明数列 {an } 的通项公式; ( 3 ) 设 bn ?

1 a n ?1

?

1 an?2
2

?

1 a n ?3

???

A ? x | x ? 2ax ? a ? 1 ? 0,x ? R ,若 A ? B ? ? ,求实常数 a 的取值范围.
2

?

?

1 , 集 合 B ? ? 1 , b2 , b3 ,?, bn ,? , ? b a2n

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闸北区 2011 学年度第二学期高三数学(文科)高考模拟卷答案
一、1. 4.

2012.4

5 a ? ?2

2. ? 1 5. 10

3. ? 1 6. 9. 2

7. 2 10. ②③ 13. (??, ?1] ? [3, ??)

y2 ? 1( x ? 3 ) 3 11. (2,??)
8. x ?
2

20 21

12. 8

14. ①③

二、15.D. 16.B. 17.B. 18.C. 三、19.解: (1)设 O 为底面正方形 ABCD 中心,则 PO 为该正四棱锥的高 由已知,可求得 AO ?

2 , PO ? PA2 ? AO2 ? 2 ,……………………4 分 1 2 4 2 . ……………………2 分 所以, V ? ? 2 ? 2 ? 3 3 (2)设 F 为 BC 中点,连结 EF 、 AF , 可求得 AE ? 3 , EF ? 1 , AF ? 5 ,……………3 分 在 ?AEF 中,由余弦定理,得 AE 2 ? EF 2 ? AF 2 3 .…………………2 分 cos? ? ? 2 AE ? EF 6
所以, ? ? arccos

3 . 6

……………………1 分

1 π 1 [1 ? cos(2 x ? )] ? . 2 6 2 ?? ? 因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 的一个零点,所以 1 ? cos? 2 x ? ? ? 0 ,………………2 分 6? ? 5 ?? ? .………………………………………3 分 cos? 2 x ? ? ? ?1 即 x ? k? ? ? ( k ? Z ) 12 6? ? 1 1 ? 5? ? 5 所以 g ( x0 ) ? 1 ? sin x0 ? 1 ? sin? 2k? ? ? ? . …………………………………2 分 2 2 ? 6 ? 4
20.解: (1)由题设知 f ( x) ? (2) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1? π ?? 1 ? ?1 ? cos ? 2 x ? 6 ?? ? 1 ? 2 sin 2 x 2? ? ??

?

? 3 1? ? π? ? 3 1? 3 1 ?cos ? 2 x ? 6 ? ? sin 2 x ? ? 2 ? 2 ? 2 cos2x ? 2 sin 2 x ? ? 2 ? ? 2? ? ? ? ? ?

1 ? π? 3 ………………………………………………………………5 分 ? sin ? 2 x ? ? ? . 2 ? 3? 2 π π π 5π π ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, 当 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,即 kπ ? 2 3 2 12 12 1 ? π? 3 函数 h( x) ? sin ? 2 x ? ? ? 是增函数, 2 ? 3? 2

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5π π? . ,kπ ? ? ( k ? Z ) ……………………2 分 12 12 ? 21.解: (1)设 x 小时后,蓄水池有水 y 千吨.………………………………………1 分
故函数 h( x) 的单调递增区间是 ? kπ ? 依题意, y ? 9 ? 2x ? 8 x ? 2( x ? 2) 2 ? 1. …………………………………………4 分 当 x ? 2 ,即 x ? 4 (小时)时,蓄水池的水量最少,只有 1 千吨. ………2 分 (2)依题意, y ? 9 ? 2 x ? 8 x ? 3. ………………………………………………3 分 解得: 1 ? x ? 9 . …………………………………………………………………3 分 所以,当天有 8 小时会出现供水紧张的情况. ………………………………1 分 22.解:设 M (b, y1 ) , N (b, y 2 ) ………………………………………………………1 分 则 F M ? (3b, y1 ), F2 N ? (b, y2 ) , 1 由 F M ? F2 N ? 0 得 y1 y 2 ? ?3b 2 1

? ?

????? ???? ?

????? ???? ? (1)由 F1M ? F2 N ? 2 5 ,得
(3b) 2 ? y12 ? 2 5
2 b 2 ? y2 ? 2 5

①………………………………………………2 分

② ③

…………………………………………………1 分 …………………………………………………1 分

由①、②、③三式,消去 y1 , y2 ,并求得 b ? (2)解法一:易求椭圆 C 的标准方程为:

2 . ……………………………………3 分

MN

2

x2 y2 ? ? 1 .……………………………2 分 4 2 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? y12 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ? ?2 y1 y 2 ? 2 y1 y 2 ? ?4 y1 y 2 ? 12b 2 , ……4 分
9b 4 ? 6b 2 ? 12b 2 , ……………………………4 分 2 y1

所以,当且仅当 y1 ? ? y2 ? 3b 或 y2 ? ? y1 ? 3b 时, MN 取最小值 2 3b .…2 分 解法二: MN
2

? ( y1 ? y 2 ) 2 ? y12 ?

所以,当且仅当 y1 ? ? y2 ? 3b 或 y2 ? ? y1 ? 3b 时, MN 取最小值 2 3b . …2 分

a n ?1 ? a n a ? a n ?1 , yn ? n ,…………………………4 分 2 2 1? 2 (2)证明:①当 n ? 1 时,可求得 a1 ? 2 ? ,命题成立; ………………………2 分 2 k (k ? 1) ②假设当 n ? k 时,命题成立,即有 a k ? ,……………………………………1 分 2 则当 n ? k ? 1 时,由归纳假设及 (ak ? ak ?1 ) 2 ? ak ?1 ? ak ,
23.解: (1)依题意,有 x n ?

k (k ? 1) ? k (k ? 1) ? 得 ?ak ?1 ? ? an?1 . ? ? 2 ? 2 ? k (k ? 1) (k ? 1)( k ? 2) 2 2 ] ?[ ]?0 即 (a k ?1 ) ? (k ? k ? 1)a k ?1 ? [ 2 2 (k ? 1)( k ? 2) k (k ? 1) ? a k 不合题意,舍去) 解得 a k ?1 ? ( a k ?1 ? 2 2 即当 n ? k ? 1 时,命题成立. ……………………………………………………………4 分 n(n ? 1) ? 综上所述,对所有 n ? N , a n ? . ………………… ……………………1 分 2
2

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1 (3) bn ? ? ? ??? a n ?1 a n ? 2 a n ?3 a2n 2 2 2 ? ? ??? (n ? 1)(n ? 2) (n ? 2)(n ? 3) 2n(2n ? 1) 2 2 2n 2 .………………………2 分 ? ? ? ? 2 1? n ? 1 2n ? 1 2n ? 3n ? 1 ? ? 2n ? ? ? 3 n? ?
因为函数 f ( x ) ? 2 x ?

1

1

1

1 1 在区间 [1,??) 上单调递增,所以当 n ? 1 时, bn 最大为 ,即 x 3

1 .…………………………………………………………………………………2 分 3 1 由题意,有 ? log 8 t ? t ? 2 . 3 所以, t ? ?2,??? . ……………………………………………………………………2 分 bn ?

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闸北区 2011 学年度第二学期高三数学(理科)高考模拟卷答案 一、 1. 5 2. ? 1 3. ? 1 4. a ? ?2 5.10 6.2 ? 7. (2 3, ) 8. y ? 2 x( x ? 1) 9.②③ 6 4 10. 11. (2,??) 12.8 3 13. (??,?1] ? [3,??) 14.①④

2012.4

二、15.D. 16.B. 17.B. 18.C. 三、19.解一: (1)以 O 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系 O ? xyz ,……1 分 由已知可求得 E (?

3 a ?1 1? a 3 a, ,0) , F (0, , a) ,…2 分 2 2 2 2

a a 3 2 EF ? (1 ? ) 2 ? a 2 ? a(1 ? ) ? ( a) 2 2 2 5 2 3 ………………………2 ? (a ? ) 2 ? . 2 5 5 2 15 所以,当 a ? 时,线段 EF 的最小值为 .……1 分 5 5 3 3 3 (2) EF ? ( , , ) , AC ? (0,1,0) , ……2 分 5 5 5
cos? ? EF ? AC EF ? AC ? 3 15 5 ? . 5 15 ?1 5
……3 分

所以, ? ? arccos

15 . 5

……………………1 分

解二: (1)如图,过点 F 作 FM // DO ,则 FM ? 在 ?AEM 中,由余弦定理,得

3 a ,…2 分 2

EM 2 ? AE 2 ? AM 2 ? 2 AE ? AM cos 60 ? ?
所以,当 a ?

5 2 3 (a ? ) 2 ? .……3 分 2 5 5
………………1 分

2 15 时,线段 EF 的最小值为 . 5 5

(2)过点 E 作 EN // AC ,在 ?EFN 中,可求得 EN ? 20.解: (1)由题设知 f ( x) ?

3 6 , FN ? ,由余弦定理可求. 5 5

1 π 1 [1 ? cos(2 x ? )] ? . 2 6 2
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因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 的一个零点,所以 1 ? cos? 2 x ?

? ?

??

? ? 0 ,………………2 分 6?

5 ?? ? .………………………………………3 分 cos? 2 x ? ? ? ?1 即 x ? k? ? ? ( k ? Z ) 12 6? ? 1 1 ? 5? ? 5 所以 g ( x0 ) ? 1 ? sin x0 ? 1 ? sin? 2k? ? ? ? . …………………………………2 分 2 2 ? 6 ? 4
(2) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1? π ?? 1 ? ?1 ? cos ? 2 x ? 6 ?? ? 1 ? 2 sin 2 x 2? ? ??

?

? 3 1? ? π? ? 3 1? 3 1 ?cos ? 2 x ? 6 ? ? sin 2 x ? ? 2 ? 2 ? 2 cos2x ? 2 sin 2 x ? ? 2 ? ? 2? ? ? ? ? ?

1 ? π? 3 ………………………………………………………………5 分 ? sin ? 2 x ? ? ? . 2 ? 3? 2 π π π 5π π ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, 当 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,即 kπ ? 2 3 2 12 12 1 ? π? 3 函数 h( x) ? sin ? 2 x ? ? ? 是增函数, 2 ? 3? 2 5π π? ? 故函数 h( x) 的单调递增区间是 ? kπ ? ,kπ ? ? ( k ? Z ) ……………………2 分 . 12 12 ? ? 0? (1) ?6 ? C,        x ? A,     21.解:根据题意, y ? ? …………………2 分 (2 ?6 ? B( x ? A) ? C,   x ? A.   )   因为 0 ? C ? 5 ,所以 6 ? C ? 11 . 由表格知,二、三月份的费用大于 11,因此,二、三月份的用气量均超过基本量 A ,于是有 ?38 ? 6 ? B(20 ? A) ? C , …………………………………………………………4 分 ? ?50 ? 6 ? B(26 ? A) ? C.  解得 B ? 2,2 A ? 8 ? C. (3)……………………………………………………2 分 假设一月份用气量超过了基本量,即 4 ? A . 将 x ? 4 代入(2)得 2 A ? 6 ? C 与(3)矛盾.…………………………………2 分 所以 4 ? A ,所以 6 ? C ? 8 , C ? 2 . …………………………………………2 分 因此, A ? 5 , B ? 2 , C ? 2 . 0? ?8,      x ? 5,    所以, y ? ? …………………………………………2 分 ?2 x ? 2,  x ? 5.     22.解:设 M (b, y1 ) , N (b, y 2 ) ……………………………………………………1 分
则 F M ? (3b, y1 ), F2 N ? (b, y2 ) 1 由 F M ? F2 N ? 0 得 y1 y 2 ? ?3b 1

????? ???? ?

2

????? ???? ? (1)由 F1M ? F2 N ? 2 5 ,得
(3b) 2 ? y12 ? 2 5
2 b 2 ? y2 ? 2 5

①………………………………………………2 分

② ……………………………………………………1 分 ③ ……………………………………………………1 分

由①、②、③三式,消去 y1 , y2 ,并求得 b ?

2 . ……………………………………3 分

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2 2

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(2)易求椭圆 C 的标准方程为: 解法一: MN
2

x y ? ? 1. …………………………………2 分 4 2 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? y12 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ? ?2 y1 y 2 ? 2 y1 y 2 ? ?4 y1 y 2 ? 12b 2 ,4 分
9b 4 ? 6b 2 ? 12b 2 , ……………………………4 分 y12

所以,当且仅当 y1 ? ? y2 ? 3b 或 y2 ? ? y1 ? 3b 时, MN 取最小值 2 3b . …2 分 解法二: MN
2

? ( y1 ? y 2 ) 2 ? y12 ?

所以,当且仅当 y1 ? ? y2 ? 3b 或 y2 ? ? y1 ? 3b 时, MN 取最小值 2 3b .…2 分 23.解: (1)依题意,有 x n ?
2 n

a n ?1 ? a n a ? a n ?1 , yn ? n , ………………………4 分 2 2
2

1 1 a ? an ? a ? a n ?1 ? (2)由 y ? x n 得 ? ? n , ? ? ? n ?1 2 2 2 2 ? ?
即 (an ? an?1 ) 2 ? an?1 ? an . 猜测 a n ?

1? 2 ,命题成立; ……………………………1 分 2 k (k ? 1) ②假设当 n ? k 时,命题成立,即有 a k ? , …………………………………1 分 2 则当 n ? k ? 1 时,由归纳假设及 (ak ? ak ?1 ) 2 ? ak ?1 ? ak ,
证明:①当 n ? 1 时,可求得 a1 ? 2 ?

n(n ? 1) . 2

…………………………………………………………2 分

k (k ? 1) ? k (k ? 1) ? 得 ?ak ?1 ? ? an?1 . ? ? 2 ? 2 ? k (k ? 1) (k ? 1)( k ? 2) 2 2 ] ?[ ]?0 即 (a k ?1 ) ? (k ? k ? 1)a k ?1 ? [ 2 2 (k ? 1)( k ? 2) k (k ? 1) ? a k 不合题意,舍去) 解得 a k ?1 ? ( a k ?1 ? 2 2 即当 n ? k ? 1 时,命题成立. …………………………………………………………3 分 n(n ? 1) ? 综上所述,对所有 n ? N , a n ? . ……………………………………1 分 2
2

(3) bn ?

1 a n ?1

?

1 an?2

?

1 a n ?3

???

1 a2n

?

2 2 2 ? ??? (n ? 1)(n ? 2) (n ? 2)(n ? 3) 2n(2n ? 1) 2 2 2n 2 .……………………2 分 ? ? ? ? 2 1? n ? 1 2n ? 1 2n ? 3n ? 1 ? ? 2n ? ? ? 3 n? ?

因为函数 f ( x ) ? 2 x ?

1 在区间 [1,??) 上单调递增,且 lim b n ? 0 , n ?? x

所以 bn ? ? 0, ? .…………………………………………………………………………2 分 3

? 1? ? ? 2 A ? x | x ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0, a ? R ? ?x | x ? (a ? 1, a ? 1)?

?

?

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由 A ? B ? ? ,有 a ? 1 ? 0 或 a ? 1 ?

1 , 3

故, a ? ?0,?1? ? ? ,?? ? .………………………………………………………………2 分

?4 ?3

? ?

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