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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第7章 第2节 基本不等式


第七章

第二节

一、选择题 1+a2b2 1.(文)(2014· 福州模拟)已知 a>0,b>0,则 的最小值是( ab A.2 C .4 [答案] A [解析] ∵a>0,b>0,∴ab>0, ∴ 1+a2b2 1 1 = +ab≥2 等号成立时 =ab,∴ab=1,故选 A. ab ab ab ) B.2 2 D.5 )

(理)(2014· 湖北随州中学模拟)函数 y=log2x+logx(2x)的值域是( A.(-∞,-1] C.[-1,3] [答案] D [解析] 由条件知 x>0,且 x≠1, y=log2x+logx2+1, B.[3,+∞)

D.(-∞,-1]∪[3,+∞)

当 x>1 时,log2x>0,y≥2 log2x· logx2+1=3,等号成立时,x=2; 1 当 0<x<1 时,log2x<0,y≤-2 log2x· logx2+1=-1,等号成立时,x= . 2 ∴函数的值域为(-∞,-1]∪[3,+∞). 1 1 1 2.(文)a、b 为正实数,a、b 的等差中项为 A; 、 的等差中项为 ;a、b 的等比中项为 a b H G(G>0),则( ) B.H≤G≤A D.H≤A≤G

A.G≤H≤A C.G≤A≤H [答案] B

a+b 2ab [解析] 由题意知 A= ,H= ,G= ab, 2 a+ b a+b 2ab 易知 ≥ ab≥ ,∴A≥G≥H. 2 a+b ?a+b?2 (理)已知 x>0、y>0,x、a、b、y 成等差数列,x、c、d、y 成等比数列,则 的最小 cd 值是( A.0 ) B.1

-1-

C .2 [答案] D

D.4

[分析] 利用等差、等比数列的性质可将 a、b、c、d 的表达式转化为只含 x、y 的表达式, 然后变形应用基本不等式求解. [解析] 由等差、等比数列的性质得 ?a+b?2 ?x+y?2 x y = = + +2 cd xy y x ≥2 yx ·+2=4.仅当 x=y 时取等号. xy

a b 3.(文)(2014· 天津五校联考)已知 a,b 为正实数且 ab=1,若不等式(x+y)( + )>m 对任 x y 意正实数 x,y 恒成立,则实数 m 的取值范围是( A.[4,+∞) C.(-∞,4] [答案] D a b ay bx ay [解析] 因为(x+y)( + )=a+b+ + ≥a+b+2≥2 ab+2=4,当且仅当 a=b, = x y x y x bx 时等号成立,即 a=b,x=y 时等号成立,故只要 m<4 即可,正确选项为 D. y (理)(2013· 西安二模)在 R 上定义运算:? 意实数 x 恒成立,则实数 a 的最大值为( 1 A.- 2 1 C. 3 [答案] D [解析] 原不等式等价于 x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1,即 x2-x-1≥(a+1)(a-2)对任意实 数 x 恒成立, 1 5 5 5 ∵x2-x-1=(x- )2- ≥- ,∴- ≥a2-a-2, 2 4 4 4 1 3 ∴- ≤a≤ .故选 D. 2 2 1 4. (文)若直线 ax-by+2=0(a>0, b>0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4, 则 + a 1 的最小值为( b 1 A. 4 ) B. 2 )

B.(-∞,1] D.(-∞,4)

?a b?=ad-bc.若不等式? x-1 a-2 ?≥1 对任 ? ? ? ?c d ? ? a+1 x ?
) 3 B.- 2 3 D. 2

-2-

3 C. + 2 2 [答案] C

3 D. +2 2 2

1 1 1 1 1 1 3 [解析] 圆的直径是 4,说明直线过圆心(-1,2),故 a+b=1, + =( a+b)( + )= + 2 a b 2 a b 2 b a 3 b a + ≥ + 2,当且仅当 = ,即 a=2( 2-1),b=2- 2时取等号,故选 C. a 2b 2 a 2b (理)(2014· 德州一模)若直线 ax+by-1=0(a,b∈(0,+∞))平分圆 x2+y2-2x-2y-2=0, 1 2 则 + 的最小值为( a b A.4 2 C .2 [答案] B 1 2 [解析] 由条件知圆心 C(1,1)在直线 ax+by-1=0 上,∴a+b=1,∵a>0,b>0,∴ + a b 1 2 b 2a =( + )(a+b)= + +3≥3+2 2,等号成立时 a= 2-1,b=2- 2. a b a b 5.已知 a≥0,b≥0,且 a+b=2,则( 1 A.ab≤ 2 C.a2+b2≥2 [答案] C [解析] ∵2=a+b≥2 ab,∴ab≤1,排除 A、B; ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,排除 D,选 C. [点评] 用特值检验法易得.令 a=1,b=1 排除 A;令 a=2,b=0,排除 B,D,故选 C. 6.(2014· 上海松江期末)已知 0<a<b,且 a+b=1,则下列不等式中,正确的是( A.log2a>0 C.log2a+log2b<-2 [答案] C 1 1 [解析] 由条件知 0<a<1,∴log2a<0,A 错误;∵0<a<b,a+b=1,∴0<a< , <b<1, 2 2 1 a b - ∴a-b>-1, 此时 2a b> , B 错误; 由 + >2 2 b a ab a b ·=2,2 + >22=4, D 错误; 由 a+b=1>2 ab, ba b a 1 - B.2a b< 2 a b 1 D.2 + < b a 2 ) ) 1 B.ab≥ 2 D.a2+b2≤3 ) B.3+2 2 D.5

1 1 即 ab< ,因此 log2a+log2b=log2(ab)<log2 =-2.故选 C. 4 4

二、填空题

-3-

a 7.(2013· 四川)已知函数 f(x)=4x+ (x>0,a>0)在 x=3 时取得最小值,则 a=________. x [答案] 36 a [解析] ∵f(x)=4x+ ≥2 x a 4x·=4 a, x

a 当且仅当 4x= ,即 4x2=a 时 f(x)取得最小值. x 又∵x=3,∴a=4×32=36. 8.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物 的运费 y2 与到车站的距离成正比,如果在距车站 10 公里处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别 为 2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________公里处. [答案] 5 20 [解析] 设仓库与车站距离为 x 公里,由已知 y1= ;y2=0.8x 费用之和 y=y1+y2=0.8x x 20 + ≥2 x 20 20 0.8x· =8,当且仅当 0.8x= ,即 x=5 时“=”成立. x x

9.(文)已知直线 x+2y=2 分别与 x 轴、y 轴相交于 A,B 两点,若动点 P(a,b)在线段 AB 上,则 ab 的最大值为________. [答案] 1 2

[解析] 因为 A(2,0),B(0,1),所以 0≤b≤1. 由 a+2b=2,得 a=2-2b, 1 1 ∴ab=(2-2b)b=-2(b- )2+ , 2 2 1 1 当 b= 时,(ab)max= . 2 2 [点评] 利用 a+2b=2 消元后可以利用基本不等式求解,也可以利用二次函数求解. 2 (理)(2014· 咸阳专题训练)在平面直角坐标系 xOy 中, 过坐标原点的一条直线与函数 f(x)= x 的图象交于 P、Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是________. [答案] 4 [解析] 由题意,P、Q 关于(0,0)对称,设直线 PQ:y=kx(k>0),从而 P( 2 ,- 2k). k 则 PQ= [点评] 8 +8k≥4,当且仅当 k=1 时,(PQ)min=4. k 1.用基本不等式 a+b ≥ ab求最值时,要注意“一正、二定、三相等”,一定要 2 2 , 2k),Q(- k

-4-

明确什么时候等号成立. 2.应用基本不等式求最值,要注意归纳常见的变形技巧,代入消元,配系数,“1”的代换 等等. 2 3.注意到 P、Q 关于原点对称,可设 P(x0, ),x0>0,则|PQ|=2|OP|=2 x0 x0= 2时取等号,更简捷的获解. 三、解答题 10.(文)如图,互相垂直的两条公路 AM、AN 旁有一矩形花园 ABCD,现欲将其扩建成一 个更大的三角形花园 APQ,要求 P 在射线 AM 上,Q 在射线 AN 上,且 PQ 过点 C,其中 AB =30m,AD=20m.记三角形花园 APQ 的面积为 S. 4 x2 0+ 2≥4, x0

(1)当 DQ 的长度是多少时,S 最小?并求 S 的最小值; (2)要使 S 不小于 1600m2,则 DQ 的长应在什么范围内? [解析] (1)设 DQ=xm(x>0),则 AQ=x+20, ∵ QD AQ x x+20 = ,∴ = , DC AP 30 AP

30?x+20? 15?x+20?2 1 ∴AP= ,则 S= ×AP×AQ= x 2 x 400 =15(x+ +40)≥1200,当且仅当 x=20 时取等号. x ∴DQ 长为 20m 时,S 取最小值 1200m2. (2)∵S≥1600,∴3x2-200x+1200≥0, 20 ∴0<x≤ 或 x≥60. 3 答:(1)当 DQ 的长度是 20m 时,S 最小,且 S 的最小值为 1200m2; 20 (2)要使 S 不小于 1600m2,则 DQ 的取值范围是 0<DQ≤ 或 DQ≥60. 3 (理) (2014· 江苏盐城一中检测)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是 由以点 O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 O 的两条线段围成.按设计要求扇环面的周 长为 30 米,其中大圆弧所在圆的半径为 10 米.设小圆弧所在圆的半径为 x 米,圆心角为 θ(弧 度).

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(1)求 θ 关于 x 的函数关系式; (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为 4 元/米,弧线部分 的装饰费用为 9 元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为 y,求 y 关于 x 的函数关系式,并求 出 x 为何值时,y 取得最大值. 10+2x [解析] (1)由题意,得 30=θ(10+x)+2(10-x),所以 θ= . 10+x 1 (2)花坛的面积为 θ(102-x2)=(5+x)(10-x) 2 =-x2+5x+50(0<x<10), -x2+5x+50 花坛面积与装饰总费用的比为 y= 170+10x x2-5x-50 =- 10?17+x? 39 1 324 3 12 令 t=17+x,则 y= - (t+ )≤ ,当且仅当 t=18 时取等号,此时 x=1,θ= . 10 10 t 10 11 故当 x=1 时,花坛的面积与装饰总费用的比最大.

一、选择题 1 11. (2014· 浙江嘉兴调研)已知正实数 a, b 满足 a+2b=1, 则 a2+4b2+ 的最小值为( ab 7 A. 2 161 C. 36 [答案] D 1 1 [解析] 因为 a>0,b>0,1=a+2b≥2 2ab,所以 ab≤ ,当且仅当 a=2b= 时取等号.又 8 2 1 1 1 1 1 因为 a2+4b2+ ≥2a· (2b)+ =4ab+ ,令 t=ab,所以 f(t)=4t+ ,因为 f(t)在(0, ]上单 ab ab ab t 8 1 17 1 调递减,所以 f(t)min=f( )= ,此时 a=2b= ,故选 D. 8 2 2 1 1 1 12.(文)若 a>0,b>0,a、b 的等差中项是 ,且 α=a+ ,β=b+ ,则 α+β 的最小值为 2 a b ( ) B.4 17 D. 2 )

-6-

A.2 C .4 [答案] D

B.3 D.5

1 [解析] ∵ 为 a、b 的等差中项,∴a+b=1. 2 a+b 1 1 1 1 1 α+β=a+ +b+ ?1+ + =1+ =1+ , a b a b ab ab a+b ?a+b?2 1 ∵ ab≤ ,∴ab≤ = . 2 4 4 1 1 ∴α+β=1+ ≥1+4=5(当且仅当 a=b= 时取等号).∴α+β 的最小值为 5.故选 D. ab 2 → → (理)(2013· 温州模拟)已知 M 是△ABC 内的一点, 且AB· AC=2 3, ∠BAC=30° , 若△MBC, 1 1 4 △MCA 和△MAB 的面积分别为 ,x,y,则 + 的最小值是( 2 x y A.20 C.16 [答案] B 1→ → → → → → → → [解析] 由AB· AC=|AB|· |AC|cos30° =2 3得|AB|· |AC|=4,S△ABC= |AB|· |AC|sin30° =1, 2 1 1 由 +x+y=1 得 x+y= . 2 2 1 4 1 4 y 4x 所以 + =2( + )· (x+y)=2(5+ + )≥2×(5+2 x y x y x y y 4x 1 1 · )=18 等号在 x= , y= 时成立. x y 6 3 B.18 D.19 )

1 1 13.(文)(2014· 广东南雄黄坑中学月考)已知 x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则 + 的最小值 x y 是( ) A.2 3 C.2+ 3 [答案] D [解析] 由已知 lg2x+lg8y=lg2 得 lg2x 3y x =4+ + ≥4+2 3. x y x y (理)函数 y=logax+1(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 A, 若点 A 在直线 + -4=0(m>0, n>0) m n 上,则 m+n 的最小值为( A.2+ 2 C .1 [答案] C
-7+3y

B.4 3 D.4+2 3

1 1 1 1 =lg2,所以 x+3y=1,所以 + =( + )(x+3y) x y x y

) B.2 D.4

x y 1 1 [解析] y=logax+1 过定点 A(1,1), ∵A 在直线 + -4=0 上, ∴ + =4, ∵m>0, n>0, m n m n 1 1 1 1 n m 1 ∴m+n= (m+n)( + )= (2+ + )≥ (2+2 4 m n 4 m n 4 ∴m+n 的最小值为 1. 2 1 14.(2014· 沈阳、云浮、佳木斯一中模拟、长春调研)若两个正实数 x,y 满足 + =1,并 x y 且 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,-2)∪(4,+∞) C.(-2,4) [答案] D 2 1 [解析] ∵x>0,y>0,且 + =1, x y 2 1 4y x ∴x+2y=(x+2y)( + )=4+ + ≥4+2 x y x y 4y x 4y x ·=8, 当且仅当 = , 即 x=2y 时取等号. x y x y ) nm 1 · )=1,等号在 m=n= 时成立, mn 2

B.(-∞,-4)∪[2,+∞) D.(-4,2)

2 1 又∵ + =1,∴x=4,y=2 时,(x+2y)min=8.要使 x+2y>m2+2m 恒成立,只需 (x+ x y 2y)min>m2+2m 恒成立,即 8>m2+2m,解得-4<m<2. 二、填空题 b+c x2 y2 15.已知 c 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的半焦距,则 的取值范围是________. a b a [答案] (1, 2] b+c [解析] 由题设条件知,a<b+c,∴ >1, a ?b+c?2 b2+c2+2bc 2?b2+c2? b+c ∵a2=b2+c2,∴ = ≤ =2,∴ ≤ 2. a2 a2 a2 a 16. (文)(2014· 河南郑州市高三质检)函数 y=loga(x+3)-1(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 A, 1 1 若点 A 在 mx+ny+2=0 上,其中 mn>0,则 + 的最小值为________. m n [答案] 3+2 2 2

[解析] 注意到当 x=-2 时,y=loga(-2+3)-1=-1,即定点 A 的坐标为(-2,-1), n 1 1 1 1 n 3 n m 3 于是有-2m-n+2=0,即 m+ =1, + =( + )(m+ )= + + ≥ +2 2 m n m n 2 2 2m n 2 n m × = 2m n

3+2 2 3+2 2 n m 1 1 ,当且仅当 = ,即 n= 2m=2( 2-1)时取等号,因此 + 的最小值是 . 2 2m n m n 2 (理)(2014· 沈阳模拟)已知点 A(m, n)在直线 x+2y-2=0 上, 则 2m+4n 的最小值为________. [答案] 4 [解析] 由条件知 m+2n=2,
-8-

2 +4 =2 +2 ≥2 2 ∴所求最小值为 4. 三、解答题

m

n

m

2n

m+2n

m 2n ? ?2 =2 , 1 =4,等号成立时,? ∴m=1,n= . 2 ?m+2n=2, ?

17.(文)(2014· 湖南省五市十校联合检测)某化工企业 2013 年年底投入 100 万元,购入一 套污水处理设备.该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一 年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元.设该企业 使用该设备 x 年的年平均污水处理费用为 y(单位:万元). (1)用 x 表示 y; (2)当该企业的年平均污水处理费用最低时,企业需重新更换新的污水处理设备.则该企 业几年后需要重新更换新的污水处理设备. [解析] (1)由题意得, 100+0.5x+?2+4+6+?+2x? y= , x 100 则 y=x+ +1.5(x∈N*). x (2)由基本不等式得: 100 y=x+ +1.5≥2 x 100 100 x· +1.5=21.5,当且仅当 x= ,即 x=10 时取等号. x x

故该企业 10 年后需要重新更换新的污水处理设备. (理)合宁高速公路起自安徽省合肥西郊大蜀山, 终于苏皖交界的吴庄, 全长 133km.假设某 汽车从大蜀山进入该高速公路后以不低于 60km/h 且不高于 120km/h 的速度匀速行驶到吴 庄. 已知该汽车每小时的运输成本 y(以元为单位)由固定部分和可变部分组成: 固定部分为 200 元;可变部分与速度 v(km/h)的平方成正比.当汽车以最快速度行驶时,每小时的运输成本为 488 元. (1)把全程运输成本 f(v)(元)表示为速度 v(km/h)的函数; (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小?最小运输成本为多少元? [解析] (1)依题意 488=200+k×1202?k=0.02. 133 200 f(v)= v (200+0.02v2)=133( v +0.02v)(60≤v≤120). 200 (2)f(v)=133( v +0.02v)≥133×2 时,“=”成立, 即汽车以 100km/h 的速度行驶,全程运输成本最小为 532 元. m 18.(2014· 上海嘉定一模)已知函数 f(x)=x+ +2(m 为实常数). x 200 200 v ×0.02v=532,当且仅当 v =0.02v,即 v=100

-9-

(1)若函数 f(x)图象上动点 P 到定点 Q(0,2)的距离的最小值为 2,求实数 m 的值; (2)若函数 y=f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,试用函数单调性的定义求实数 m 的取值范 围; 1 (3)设 m<0,若不等式 f(x)≤kx 在 x∈[ ,1]时有解,求 k 的取值范围. 2 m [解析] (1)设 P(x,y),则 y=x+ +2, x m m2 |PQ|2=x2+(y-2)2=x2+(x+ )2=2x2+ 2 +2m≥ x x 2 2|m|+2m=2, 当 m>0 时,解得 m= 2-1;当 m<0 时,解得 m=- 2-1. 所以 m= 2-1 或 m=- 2-1. (2)由题意,任取 x1,x2∈[2,+∞),且 x1<x2, x1x2-m m m 则 f(x2)-f(x1)=x2+ +2-(x1+ +2)=(x2-x1)· >0. x2 x1 x1x2 因为 x2-x1>0,x1x2>0,所以 x1x2-m>0,即 m<x1x2. 由 x2>x1≥2,得 x1x2>4,所以 m≤4. 所以 m 的取值范围是(-∞,4]. m (3)由 f(x)≤kx,得 x+ +2≤kx. x 1 m 2 因为 x∈[ ,1],所以 k≥ 2+ +1. 2 x x 1 令 t= ,则 t∈[1,2],所以 k≥mt2+2t+1. x 令 g(t)=mt2+2t+1,t∈[1,2], 1 于是,要使原不等式在 x∈[ ,1]时有解,当且仅当 k≥[g(t)]min(t∈[1,2]). 2 1 1 1 因为 m<0,所以 g(t)=m(t+ )2+1- 图象开口向下,对称轴为直线 t=- >0. m m m 1 3 2 因为 t∈[1,2],所以当 0<- ≤ ,即 m≤- 时,g(t)min=g(2)=4m+5; m 2 3 1 3 2 当- > ,即- <m<0 时,g(t)min=g(1)=m+3. m 2 3 2 综上,当 m≤- 时,k∈[4m+5,+∞); 3 2 当- <m<0 时,k∈[m+3,+∞). 3

- 10 -


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