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《课堂新坐标》2014届高考物理一轮复习配套word版文档:第五章 第3讲 机械能守恒定律及其应用


第3讲

机械能守恒定律及其应用

(对应学生用书第 78 页)

重力势能与弹性势能 1.重力势能 (1)重力做功的特点 ①重力做功与路径无关,只与始末位置的高度差有关. ②重力做功不引起物体机械能的变化. (2)重力势能 ①公式:Ep=mgh. ②矢标性:重力势能是标量,但有正、负,其意义是表示物体的重力势能比它在参考平 面上大还是小,这与功的正、负的物理意义不同. ③系统性:重力势能是物体和地球共有的. ④相对性:重力势能的大小与参考平面的选取有关.重力势能的变化是绝对的,与参考 平面的选取无关. (3)重力做功与重力势能变化的关系 ①定性关系:重力对物体做正功,重力势能就减少;重力对物体做负功,重力势能就增 加. ②定量关系:重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量.即 WG=-(Ep2-Ep1)=- ΔEp. 2.弹性势能 (1)大小:弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量及劲度系数有关. (2)弹力做功与弹性势能变化的关系:弹力做正功,弹性势能减小,弹力做负功,弹性 势能增加.

错误!

【针对训练】 1.

图 5-3-1 “蹦极”是一项非常刺激的体育运动. 如图 5-3-1 所示, 运动员身系弹性绳自高空中 Q 点自由下落,图中 a 是弹性绳的原长位置,c 是运动员所到达的最低点,b 是运动员静止

地悬吊着时的平衡位置.则( ) A.由 Q 到 c 的整个过程中,运动员的动能及重力势能之和守恒 B.由 a 下降到 c 的过程中,运动员的动能一直减小 C.由 a 下降到 c 的过程中,运动员的动能先增大后减小 D.由 a 下降到 c 的过程中,弹性绳的弹性势能一直增大 【解析】 由 Q 到 c 的整个过程中,运动员的动能、重力势能和弹性绳的弹性势能之 和守恒,A 错误;由 a 下降到 c 的过程中,运动员的动能先增大后减小,B 错误,C 正确; 由 a 下降到 c 的过程中,弹性绳的伸长量不断增加,故弹性势能一直增大,D 选项也正确. 【答案】 CD 机械能守恒定律 1.内容 在只有重力或弹力做功的物体系统内, 动能和势能可以互相转化, 而总的机械能保持不 变. 2.机械能守恒的条件 只有重力或弹力做功. 3.守恒表达式 观点 表达式 守恒观点 E1=E2,Ek1+Ep1=Ek2+Ep2=恒量 转化观点 ΔEk=-ΔEp 转移观点 ΔEA 减=ΔEB 增 【针对训练】 2.

图 5-3-2 如图 5-3-2 所示, 小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上, 在将弹簧压缩到最短的整 个过程中,下列关于能量的叙述中正确的是( ) A.重力势能和动能之和总保持不变 B.重力势能和弹性势能之和总保持不变 C.动能和弹性势能之和总保持不变 D.重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变 【解析】 在小球与弹簧相互作用过程中,重力势能、弹性势能和动能相互转化,总和 保持不变,D 正确;重力势能一直减小,故动能和弹性势能之和一直增大,C 错误;动能先 增大后减小,故重力势能与弹性势能之和先减小后增大,B 错误;因弹性势能一直增大,故 重力势能与动能之和一直减小,A 错误. 【答案】 D

(对应学生用书第 78 页)

机械能守恒条件的理解 1.守恒条件 机械能守恒的条件是只有重力、弹力做功,可以从以下三方面理解: (1)只受重力作用,例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动,物体的机械能守 恒. (2)受其他力,但其他力不做功,只有重力或弹力做功. (3)弹力做功伴随着弹性势能的变化,并且弹力做的功等于弹性势能的减少量. 2.几种常见情况分析 (1)水平面上物体做匀速直线运动或匀速圆周运动,其机械能保持不变. (2)光滑斜面上的物体沿斜面匀加速下滑或匀减速上滑时机械能守恒.若物体受摩擦力 或其他力作用匀速下滑或匀速上滑,则机械能不守恒. (3)物体在竖直面内的光滑轨道上运动时,轨道支持力不做功,则机械能守恒. (4)细线悬挂的物体在竖直平面内摆动,悬线的拉力不做功,则机械能守恒. (5)抛体运动.如平抛、斜抛,不考虑空气阻力的过程中机械能守恒.

(1)物体做匀速直线运动或物体所受合外力为零,不是机械能守恒的条件. (2)如果除重力、弹力外,还有其他力做功,但其他力做功之和为零,该种情况下只能 说机械能不变,不能说机械能守恒. (2013 届银川一中检测)在如图 5-3-3 所示的物理过程示意图中,甲图为一端 固定有小球的轻杆,从右偏上 30° 角释放后绕光滑支点摆动;乙图为末端固定有小球的轻质 直角架,释放后绕通过直角顶点的固定轴 O 无摩擦转动;丙图为置于光滑水平面上的 A、B 两小车,B 静止,A 获得一向右的初速度后向右运动,某时刻连接两车的细绳绷紧,然后带 动 B 车运动;丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车,把用细绳悬挂的小球从图 示位置释放,小球开始摆动.则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计),下列判断中正确 的是( )



乙 图 5-3-3





A.甲图中小球机械能守恒 B.乙图中小球 A 的机械能守恒 C.丙图中两车组成的系统机械能守恒 D.丁图中小球的机械能守恒 【解析】 甲图过程中轻杆对小球不做功,小球的机械能守恒;乙图过程中 A、B 两球 通过杆相互影响(例如开始时 A 球带动 B 球转动), 轻杆对 A 的弹力不沿杆的方向, 会对小球 做功,所以每个小球的机械能不守恒,但把两个小球作为一个系统时机械能守恒;丙图中绳 子绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功,但弹力突变有内能转化,机械能不守恒;丁图过 程中细绳也会拉动小车运动,取地面为参考系,小球的轨迹不是圆弧,细绳会对小球做功, 小球的机械能不守恒,把小球和小车当做一个系统,机械能才守恒. 【答案】 A 【即学即用】

1.(2013 届铜川模拟)如图 5-3-4 所示,斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上,现 将一小球从图示位置静止释放,不计一切摩擦,则在小球从释放到落至地面的过程中,下列 说法正确的是( )

图 5-3-4 A.斜劈对小球的弹力不做功 B.斜劈与小球组成的系统机械能守恒 C.斜劈的机械能守恒 D.小球重力势能减少量等于斜劈动能的增加量 【解析】 不计一切摩擦,小球下滑时,小球和斜劈组成的系统只有小球重力做功,系 统机械能守恒,故 B 正确,C 错误;小球重力势能的减少量应等于小球和斜劈动能的增加 量之和,D 错误;斜劈对小球的弹力与小球位移间夹角大于 90° ,故此弹力做负功,A 错误. 【答案】 B 机械能守恒定律的表达式及应用 1.三种守恒表达式的比较 表达 角度 表达公式 表达意义 注意事项 守恒 观点 Ek+Ep= 应用时应选好重力势能 系统初状态的机械能的 的零势能面,且初、末 Ek′+Ep′ 总和与末状态机械能的 状态必须用同一零势能 总和相等 面计算势能 转化 应用时关键在于分清重 表示系统(或物体)机械 力势能的增加量或减少 能守恒时,系统减少(或 观点 ΔEk=-ΔEp 量,可不选零势能面而 增加)的重力势能等于系 直接计算初、末状态的 统增加(或减少)的动能 势能差 转移 若系统由 A、 两部分组 B 常用于解决两个或多个 成,则 A 部分物体机械 观点 ΔE 增=ΔE 减 物体组成的系统的机械 能的增加量与 B 部分物 能守恒问题 体机械能的减少量相等 2.应用机械能守恒的方法步骤

?单个物体 ? (1)选取研究对象?多个物体组成的系统 ?系统内有弹簧 ?
(2)根据受力分析和各力做功情况分析,确定是否符合机械能守恒条件. (3)确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况. (4)选择合适的表达式列出方程,进行求解. (5)对计算结果进行必要的讨论和说明. (2012· 海南高考)如图 5-3-5,在竖直平面内有一固定光滑轨道,其中 AB 是 3 长为 R 的水平直轨道,BCD 是圆心为 O、半径为 R 的 圆弧轨道,两轨道相切于 B 点.在 4 外力作用下,一小球从 A 点由静止开始做匀加速直线运动,到达 B 点时撤除外力.已知小

球刚好能沿圆轨道经过最高点 C,重力加速度大小为 g.求

图 5-3-5 (1)小球在 AB 段运动的加速度的大小; (2)小球从 D 点运动到 A 点所用的时间. 3 【审题视点】 (1)竖直平面,光滑 圆弧轨道. 4 (2)小球 A→B,匀加速,且 AB 长度等于轨道半径 R. (3)小球刚好能过圆轨道最高点 C. 【解析】 (1)小球在 BCD 段运动时, 受到重力 mg、 轨道正压力 N 的作用, 如图所示. 根 据题意,N≥0,且小球在最高点 C 所受轨道正压力为零

NC=0① 设小球在 C 点的速度大小为 vC,根据牛顿第二定律有 2 vC mg=m ② R 小球从 B 点运动到 C 点,机械能守恒.设 B 点处小球的速度大小为 vB,有 1 2 1 2 mv = mv +2mgR③ 2 B 2 C 由于小球在 AB 段由静止开始做匀加速运动,设加速度大小为 a,由运动学公式有 v2 =2aR④ B 5 由②③④式得 a= g.⑤ 2 (2)设小球在 D 处的速度大小为 vD,下落到 A 点时的速度大小为 v,由机械能守恒有 1 2 1 2 mv = mvD+mgR⑥ 2 2 1 2 1 2 mv = mv ⑦ 2 2 设从 D 点运动到 A 点所用的时间为 t,由运动学公式得 gt=v-vD⑧ 由④⑤⑥⑦⑧式得 R t=( 5- 3) . g 5 R 【答案】 (1) g (2)( 5- 3) 2 g 【即学即用】 2.(2013 届渭南模拟)如图 5-3-6 所示,一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道 ABC,其半径 R=0.5 m,轨道在 C 处与水平地面相切,在 C 处放一小物块,给它一水平向 左的初速度 v0=5 m/s, 结果它沿 CBA 运动, 通过 A 点, 最后落在水平地面上的 D 点, C、 求

D 的距离 x(重力加速度 g 取 10 m/s2).

图 5-3-6 1 【解析】 设小物块质量为 m, 它从 C 点经 B 到达 A 点时速度为 v.由机械能守恒有 mv2 2 0 1 = mv2+2mgR① 2 物块由 A 到 D 做平抛运动,设时间为 t,水平位移为 x, 1 2R= gt2② 2 x=vt③ 由①②③式联立代入数据得 x=1 m. 【答案】 1 m

(对应学生用书第 80 页)

多物体系统中的机械能守恒 应用机械能守恒定律解题时, 常会遇到由多个物体组成的系统问题, 这时应注意选取研 究对象,分析研究过程,判断系统的机械能是否守恒,列方程时还要注意分析物体间的速度 关系和位移关系.

图 5-3-7 如图 5-3-7 所示,跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体 A 和 B,A 套在光滑水平杆上,定滑轮离水平杆的高度 h=0.2 m,开始时让连着 A 的细线与水平杆的 夹角 θ1=37° ,由静止释放 B,当细线与水平杆的夹角 θ2=53° 时,A 的速度为多大?在以后 的运动过程中,A 所获得的最大速度为多大?(设 B 不会碰到水平杆,sin 37° =0.6,sin 53° =0.8,取 g=10 m/s2) 【潜点探究】 (1)A、B 之间只有动能和势能转化,可考虑系统机械能守恒. (2)连 A 的细线与水平杆夹角 θ1=37° 2=53° →θ ,可由几何关系求出物体 B 下落高度. (3)线长一定,θ<90° 加速,θ>90° 减速.θ=90° A A 时,A 的速度最大. 【规范解答】 A、B 两物体组成的系统,只有动能和势能的转动,机械能守恒.设 θ2 1 1 =53° 时,A、B 两物体的速度分别为 vA、vB,B 下降的高度为 h1,则有 mgh1= mv2 + mv2 . 2 A 2 B h h 其中 h1= - . sin θ1 sin θ2 vAcos θ2=vB 代入数据解以上关系式得 vA=1.1 m/s 由于绳力对 A 做正功, A 加速, 使 至

左滑轮正下方速度最大,此时 B 的速度为零,此过程 B 下降高度设为 h2 则有 1 mgh2= mv2 2 Am h 其中 h2= -h sin θ1 代入数据解得 vAm=1.6 m/s. 【答案】 见规范解答 【即学即用】 3.

图 5-3-8 (2012· 上海高考)如图 5-3-8,可视为质点的小球 A、B 用不可伸长的细软轻线连接, 跨过固定在地面上半径为 R 的光滑圆柱,A 的质量为 B 的两倍.当 B 位于地面时,A 恰与 圆柱轴心等高.将 A 由静止释放,B 上升的最大高度是( ) A.2R B.5R/3 C.4R/3 D.2R/3 【解析】

如图所示,以 A、B 两球为系统,以地面为零势能面,设 A 质量为 2m,B 质量为 m, 1 根据机械能守恒定律有:2mgR=mgR+ ×3mv2,A 落地后 B 将以 v 做竖直上抛运动,即有 2 1 2 1 1 4 mv =mgh,解得 h= R.则 B 上升的高度为 R+ R= R,故选项 C 正确. 2 3 3 3 【答案】 C

(对应学生用书第 81 页)

●重力势能、弹性势能与机械能守恒的判断 1.(2011· 新课标全国高考)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落,到最 低点时距水面还有数米距离.假定空气阻力可忽略,运动员可视为质点,下列说法正确的是 ( ) A.运动员到达最低点前重力势能始终减小 B.蹦极绳张紧后的下落过程中,弹力做负功,弹性势能增加 C.蹦极过程中,运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒 D.蹦极过程中,重力势能的改变与重力势能零点的选取有关 【解析】 到达最低点前高度始终在降低,所以重力势能始终减小,故 A 正确.绳张 紧后的下落过程,伸长量逐渐增大,弹力做负功,弹性势能增大,故 B 正确.在蹦极过程

中,只有重力与系统内弹力做功,故系统机械能守恒,C 正确.重力势能的改变与重力做功 有关,重力做功只与始末位置高度差有关,与零势能面的选取无关,故 D 错误. 【答案】 ABC ●机械能守恒与功率的综合 2.(2013 届徐州模拟)用长度为 l 的细绳悬挂一个质量为 m 的小球,将小球移至和悬点 等高的位置使绳自然伸直. 放手后小球在竖直平面内做圆周运动, 小球在最低点的势能取作 零,则小球运动过程中第一次动能和势能相等时重力的瞬时功率为( ) 1 A.mg gl B. mg gl 2 1 1 C. mg 3gl D. mg 3gl 2 3 【解析】 设第一次小球动能与势能相等时的速度大小为 v, 由机械能守恒定律得: mgl 1 2 1 2 1 = mv +Ep,Ep= mv ,解得 v= gl,此时 v 与水平方向夹角为 60° ,故 P=mgvsin 60° = 2 2 2 mg 3gl,C 正确. 【答案】 C ●系统的机械能守恒 3.

图 5-3-9 (2013 届吴中检测)轻杆 AB 长 2L,A 端连在固定轴上,B 端固定一个质量为 2m 的小球, 中点 C 固定一个质量为 m 的小球. 杆可以绕 A 端在竖直平面内自由转动. AB 现将杆置于水 平位置,如图 5-3-9 所示,然后由静止释放,不计各处摩擦与空气阻力,则下列说法正确 的是( ) 10g A.AB 杆转到竖直位置时,角速度为 9L 4 B.AB 杆转到竖直位置的过程中,B 端小球的机械能的增量为 mgL 9 C.AB 杆转动过程中杆 CB 对 B 球做正功,对 C 球做负功,杆 AC 对 C 球做正功 D.AB 杆转动过程中,C 球机械能守恒 【解析】 在 AB 杆由静止释放到转到竖直位置的过程中, B 球的最低点为零势能点, 以 根据机械能守恒定律有: 1 1 mg· 2L+2mg(2L)=mgL+ ×2m(ω· 2+ m(ωL)2, 2L) 2 2 10g 解得角速度 ω= ,A 项正确.在此过程中,B 端小球机械能的增量为:ΔEB=E 末 9L 1 4 -E 初= · 2m(ω· 2-2mg· 2L) (2L)= mgL, 项正确. 杆转动过程中, AC 对 C 球不做功, B AB 杆 2 9 杆 CB 对 C 球做负功,对 B 球做正功,C 项错.C 球机械能不守恒,B、C 球系统机械能守 恒,D 项错. 【答案】 AB ●机械能守恒定律在平抛运动中的应用 4.

图 5-3-10 (2012· 大纲全国高考)一探险队员在探险时遇到一山沟,山沟的一侧竖直,另一侧的坡面 呈抛物线形状.此队员从山沟的竖直一侧,以速度 v0 沿水平方向跳向另一侧坡面.如图 5 -3-10 所示,以沟底的 O 点为原点建立坐标系 xOy.已知,山沟竖直一侧的高度为 2h,坡 1 面的抛物线方程为 y= x2,探险队员的质量为 m.人视为质点,忽略空气阻力,重力加速度 2h 为 g. (1)求此人落到坡面时的动能; (2)此人水平跳出的速度为多大时,他落在坡面时的动能最小?动能的最小值为多少? 【解析】 (1)设该队员在空中运动的时间为 t,在坡面上落点的横坐标为 x,纵坐标为 y.由运动学公式和已知条件得 x=v0t① 1 2h-y= gt2② 2 x2 根据题意有 y= ③ 2h 由机械能守恒,落到坡面时的动能为 1 2 1 2 mv = mv0+mg(2h-y)④ 2 2 1 1 4g2h2 联立①②③④式得 mv2= m(v2+ 2 ).⑤ 0 2 2 v0+gh 2gh 2 (2)⑤式可以改写为 v2=( v2+gh- 2 ) +3gh⑥ 0 v0+gh v2 取极小的条件为⑥式中的平方项等于 0,由此得 v0= gh⑦ 此时 v2=3gh,则最小动能为 1 3 ( mv2)min= mgh.⑧ 2 2 1 4g2h2 3 2 【答案】 (1) m(v0+ 2 ) (2)v0= gh时落坡动能最小为 mgh 2 2 v0+gh ●弹簧弹性势能与机械能守恒 5.

图 5-3-11 (2011· 福建高考)如图 5-3-11 为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图,其下半 部 AB 是一长为 2R 的竖直细管,上半部 BC 是半径为 R 的四分之一圆弧弯管,管口沿水平

方向, 管内有一原长为 R、 AB 下端固定的轻质弹簧. 投饵时, 每次总将弹簧长度压缩到 0.5R 后锁定,在弹簧上端放置一粒鱼饵,解除锁定,弹簧可将鱼饵弹射出去.设质量为 m 的鱼 饵到达管口 C 时,对管壁的作用力恰好为零.不计鱼饵在运动过程中的机械 能损失,且锁定和解除锁定时,均不改变弹簧的弹性势能.已知重力加速度为 g.求: (1)质量为 m 的鱼饵到达管口 C 时的速度大小 v1; (2)弹簧压缩到 0.5R 时的弹性势能 Ep. 【解析】 (1)质量为 m 的鱼饵到达管口 C 时做圆周运动的向心力完全由重力提供,则 2 mv1 mg= ① R 由①式解得 v1= gR.② (2)弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能,由机械能守恒定律有 1 Ep=mg(1.5R+R)+ mv2③ 2 1 由②③式解得 Ep=3mgR.④ 【答案】 (1) gR (2)3mgR



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